Содержание к диссертации
Введение
1. Краевые задачи для системы гиперболического типа второго порядка 33
1.1. Начальные задачи 33
1.1.1. Общее решение матричного уравнения 34
1.1.2. Аналог формулы Даламбера 38
1.1.3. Задачи с данными на характеристиках 43
1.2. Краевые задачи с условиями первого рода для системы гиперболического типа второго порядка 46
1.2.1. Первая краевая задача с начальными (финальными) условиями при малых Т 48
1.2.2. Первая краевая задача с начальными (финальными) условиями при больших Т 54
1.3. Вторая краевая задача для системы гиперболического типа второго порядка 61
1.3.1. Вторая краевая задача с начальными (финальными) условиями при малых 62
1.3.2. Вторая краевая задача с начальными (финальными) условиями при больших Т 68
1.4. Краевые задачи с условиями третьего рода для системы гиперболического типа второго порядка 73
1.4.1. Третья краевая задача с начальными (финальными) условиями при малых Т 74
2. Задачи граничного управления для системы гиперболического типа второго порядка 78
2.1. Задача граничного управления для системы гиперболического типа второго порядка в условиях первой краевой задачи 79
2.1.1. Случай различных собственных значений матрицы 81
2.1.2. Случай кратных собственных значений матрицы 85
2.2. Задача граничного управления для системы гиперболического типа второго порядка в условиях второй краевой задачи 95
2.2.1. Случай различных собственных значений матрицы 97
2.2.2. Случай кратных собственных значений матрицы 99
3. Математические модели процессов, описываемые гиперболическими системами 106
3.1. Продольно-крутильные колебания длинной естественно за крученной нити 110
Заключение 129
Литература 131
- Краевые задачи с условиями первого рода для системы гиперболического типа второго порядка
- Вторая краевая задача с начальными (финальными) условиями при малых
- Задача граничного управления для системы гиперболического типа второго порядка в условиях второй краевой задачи
- Случай кратных собственных значений матрицы
Введение к работе
Актуальность темы
Математическая теория процессов управления возникла из потребностей прикладных дисциплин. Как самостоятельный раздел математики это направление сформировалось к середине прошлого века.
Известно, что развитие теории управления началось с процессов, математические модели которых сводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Для задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, термин «управление», был введен акад. Л. С. Понтрягиным в монографии (Математическая теория оптимальных процессов. — М.: ФИЗМАТ ЛИТ. — 1961). В настоящее время круг задач управления существенно расширился и включает задачи управления объектами, математические модели которых описываются в терминах дифференциальных уравнений в частных производных (А.И. Егоров, Ю.Л. Александров, А.Г. Бутков-ский, Ж.-Л. Лионе, В.А. Ильин, Е.И. Моисеев), стахостических дифференциальных уравнений (Д. Табак, Б. Куо) и другие задачи.
Цель управления состоит в том, чтобы изменить динамику поведения физической системы в соответствии с предъявляемыми требованиями. Эта задача естественным образом распадается на две части (см., например, Калман, П. Фалб, Р. М. Арбиб М. Очерки по математической теории систем. —М.: Мир,—1971):
получить математическое описание динамических свойств объекта, подлежащего управлению; — найти «средство» достижения желаемого поведения управляемой системы.
Впервые теоретическая постановка задачи об управлении колебаниями в четкой математической форме была рассмотрена А. Г. Бутковским (Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1965). Появление этих работ определило приоритет России в данной области и дало импульс к появлению большого количества исследований, развивающих это направление, в том числе и за рубежом.
Позднее в работе Ж.-Л. Лионса (Лионе, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными.— М.: Мир, 1972). была исследована проблема существования граничных управлений в терминах обобщенного класса Li решения волнового уравнения.
Решению задач управления колебательными системами посвящены работы Н.Н. Красовского, В. А. Троицкого, А. Г. Бутковского, А. И. Егорова и многих других ученых. Отметим , что в последние годы задачам управления упругими колебаниями были посвящены исследования академиков В. А. Ильина и Е. И. Моисеева, работы А. В. Боровских, Л. Н. Знаменской, А. А. Никитина и других авторов, в которых предлагаются решения задач управляемости упругими колебаниями с помощью граничных управлений при различных типах граничных условий.
В современной теории управления в системах с распределеными параметрами применяют результаты многих смежных математических дисциплин: теории уравнений с частными производными, теории функций, функционального анализа.
В последние годы в работах В. А. Ильина и его последователей, приведены решения задач управления процессом колебаний в классе обобщённых решений ^i{Qi,t\ W^iQ^r), W^iQi^r)-Математической моделью, управляемого процесса является уравнение колебания струны. Задача управления состоит в том, чтобы для произвольных наперед заданных функций, определяющих начальные и финальные условия установить необходимые и достаточные условия существования граничных управлений, обеспечивающих переход колебательного процесса из начального состояния в финальное состояние и получить эти управления в явном виде.
Актуальность задач управления системами дифференциальных уравнений с частными производными легко объясняется их заведомо более значительными по сравнению с системами обыкновенных дифференциальных уравнений возможностями в построении математических моделей для описания самых разнообразных процессов и явлений.
Цель работы
Целью диссертационной работы является:
Разработка аналитических методов решения классических начальных, начально-краевых задач, задач управления для системы гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными в условиях отсутствия смешанной производной.
Проверка корректности поставленных задач.
Исследование математических моделей, описываемых гиперболическими системами; проверка их адекватности и корректности.
Изучение задач граничного управления для объектов, которые описываются системой гиперболического типа второго порядка, а именно получение решения задачи управления объектами
в условиях первой и второй краевых задач для малых Т ( Т < — ).
Разработка численных схем решения задач управления с многомерным управляющим вектором.
Методы исследования
В работе использованы методы функционального анализа, аналитической теории дифференциальных уравнений в частных производных, современные алгебраические методы, методы теории управления волновыми процессами.
Научная новизна
Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что:
найдено общее решение матричного волнового уравнения и соответствующие аналитические формулы для него;
построен аналог формулы Даламбера, определены решения задач Гурса, Дарбу для системы гиперболического типа второго порядка;
найдены решения краевых задач с условиями первого, второго, третьего рода для системы гиперболического типа второго порядка. Показано, что эти решения существенно зависят от спектра матрицы системы и рассматриваемой области;
получены решения задач управления в условиях первой и второй краевой задачи. Выписаны условия существования граничных управлений;
решены задачи о полном успокоении системы и о переводе первоначально покоящейся системы в наперед заданное состояние для обьектов, математические модели которых описываются гиперболическими системами второго порядка с двумя независимыми переменными;
реализовано моделирование процессом управления колебаниями гибкого тела;
разработан комплекс программ для реализации моделирования управления процессами указанными выше.
Теоретическая и практическая значимость
Работа носит как теоретическую так и прикладную направленность. Результаты работы могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории классических краевых и начально-краевых задач, задач управления для системы гиперболического типа второго порядка. Материалы и результаты диссертационной работы могут быть использованы в учебном процессе при подготовке студентов.
Практическая значимость заключается в возможности применить полученные результаты к исследованию конкретных объектов, которые описываются рассмотренными системами гиперболических уравнений. В качестве таких объектов можно рассмотреть длинную естественно-закрученную нить (стальной канат), многопроводные линии связи. Полученные решения задач о полном успокоении системы и о переводе первоначально покоящейся системы в наперед заданное состояние для обьектов, математические модели которых описываются гиперболическими системами второго порядка с двумя независимыми переменными могут быть применены при решении конкретных прикладных задач.
Положения, выносимые на защиту
Аналитическая формула общего решения системы гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными;
Аналог формулы Даламбера для системы гиперболического типа второго порядка;
Теоремы о существовании решений краевых задач для системы гиперболического типа второго порядка;
Задачи граничного управления для системы гиперболического типа в условиях первой и второй краевых задач;
Реализация моделирования процесса управления колебаниями гибкого тела.
Апробация работы
Основные результаты и содержание работы докладывались и обсуждались на профильных научных конференциях и семинарах:
ежегодной международной конференции молодых ученых и студентов «Актуальные проблемы современной науки» (2006—2009 гг.) в СамГТУ, г. Самара;
ежегодной Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (2006-2009 гг.) в СамГТУ, г. Самара;
научном семинаре кафедры прикладной математики и информатики Самарского государственного технического университета в 2007 — 2009 гг.;
международной конференции «Дифференциальные уравнения и частные приложения» (21—26 мая 2007 г.) в МГУ, г. Москва;
международной конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (26 мая—02 июня 2007 г.) в Новосибирском государственном университете, г. Новосибирск;
ежегодном Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (2007 г.) в Сочинском госуниверситете ТиКД, г. Сочи;
на Всероссийской конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (июнь, 2007 г.) в СамГУ, г. Самара;
научном семинаре кафедры механики сплошных сред Самарского государственного университета в 2008 г.;
международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений» (30 марта—2 апреля 2009 г.) в МГУ, г. Москва;
научном семинаре кафедры общей математики, факультета ВМиК, Московского государственного университета в апреле 2009 г.;
научном семинаре кафедры математического анализа Белгородского государственного университета в мае 2009г.;
научном семинаре кафедры уравнения математической физики Самарского государственного университета в сентябре 2009 г.
Публикации
Основные результаты диссертации изложены в 13 публикациях. Работы [1—3], [5—7],[10],[12] написаны на паритетных началах с научным руководителем.
Объем и структура диссертации
Краевые задачи с условиями первого рода для системы гиперболического типа второго порядка
В работах [50 — 51], [100] рассматривается краевая задача, моделирующая процесс теплопереноса в стержне при заданном температурном режиме на концах в рамках гиперболического закона теплопроводности. В явном виде выписаны граничные управления обеспечивающие в рамках рассматриваемой модели нагрев стержня до определенной температуры в заданный промежуток времени. Отдельно рассматривается случай, когда на правом конце стержня поддерживается нулевая температура, т.е. управление на правом конце равно нулю.
Круг задач граничного управления гиперболическими уравнениями и системами гиперболических уравнений ограничен теми задачами, для которых известна интегральная форма представления решения в точках области его определения [109]. Класс таких уравнений достаточно узок. Одним из известных методов построения решений краевых задач в явном виде является метод Римана и его различные обобщения. В связи с этим, в теории линейных уравнений второго порядка гиперболического типа, функция Римана играет важную роль, с ее помощью удается записать в явном виде решение задач Коши и Гурса. Так, например, Вольтерра [132], Адамар [3] привели формулу представления решений задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка с числом независимых переменных больше двух, Бургатти [126] и Реллих [131] привели формулу представления Римана для линейных уравнений высших порядков с числом независимых переменных равным двум, имеются решения задачи Коши и Гурса для уравнения Бианки [124], [123], записываемые в [49] через функцию Римана, Хольмгрен [128-129], Б. Н. Бурмистров [24] обобщили метод Римана на системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. В монографиях А. В. Бицадзе [14] и И. Н. Векуа [30] приведено обобщение метода Римана на один класс гиперболических систем второго порядка с двумя независимыми переменнымии кратными характеристиками, при этом показано, что вопрос о нахождении матрицы Римана сводится к решению системы интегральных уравнений Вольтерра второго порядка, которая всегда имеет единственное решение. В работах [118], [107] метод Римана используется для решения некоторых краевых задач для уравнений третьего порядка и для псевдопараболических уравнений высокого порядка, в [6-7] построена функция Римана для гиперболических уравнений с алгебраическими и трансцендентными сингулярностями.
Например, в работе [99] ядрами интегральной формулы решения задачи Коши для одномерной гиперболической системы с гладкими коэффициентами служат матрицы Римана первого и второго рода. В работах [50-51] аппарат матриц Римана применим к задаче граничного управления процессами в распределенных системах, описываемых системой гиперболического типа второго порядка.
Иногда удается решить краевые задачи для уравнений гиперболиче ского типа и без вспомогательных функций (функций Римана, Римана-Адамара). В работе [86] отмечено, что общие решения, если их возможно найти, являются чрезвычайно полезными, особенно в вопросах прикладного характера. Если известно общее решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, то скорее всего возможно решить и краевую задачу. Число уравнений, для которых известны общие решения очень мало. Это волновое уравнение, уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу [71], некоторые системы частного вида [14], а также ряд нелинейных уравнений [121]. Цель работы. Целью диссертационной работы является: — Разработка аналитических методов решения классических начальных, начально-краевых задач, задач управления для системы гиперболического типа второго порядка с двумя независимыми переменными в условиях отсутствия смешанной производной. — Проверка корректности поставленных задач. — Исследование математических моделей, описываемых гиперболическими системами второго порядка; проверка их адекватности PI корректности. — Изучение задач граничного управления для объектов, которые описываются системой гиперболического типа второго порядка, а именно получение решения задачи управления объектами в условиях первой и второй краевых задач для малых Т (Т —). л — Разработка численных схем решения задач управления с многомер ным управляющим вектором. Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, аналитической теории дифференциальных уравнений в частных производных, современные алгебраические методы, методы теории управления волновыми процессами. Научная новизна. Научная новизна диссертационной работы состоит в том, что: — найдено общее решение матричного волнового уравнения и соответствующие аналитические формулы для него; — построен аналог формулы Даламбера, определены решения задач Гурса, Дарбу для системы гиперболического типа второго порядка; — найдены решения краевых задач с условиями первого, второго, третьего рода для системы гиперболического типа второго порядка. Показано, что эти решения существенно зависят от спектра матрицы системы и рассматриваемой области; — получены решения задач управления в условиях первой и второй краевой задачи. Выписаны условия существования граничных управлений; — решены задачи о полном успокоении системы и о переводе первоначально покоящейся системы в наперед заданное состояние для обьектов, математические модели которых описываются гиперболическими системами второго порядка с двумя независимыми переменными; — реализовано моделирование процессом управления колебаниями гибкого тела. Теоретическая и практическая значимость. Работа носит как теоретическую так и прикладную направленность. Результаты работы могут быть использованы в качестве основы для дальнейшей разработки теории классических краевых и начально-краевых задач, задач управления для системы гиперболического типа второго порядка. Материалы и результаты диссертационной работы могут быть использованы в учебном процессе при подготовке студентов.
Практическая значимость заключается в возможности применить полученные результаты к исследованию конкретных объектов, которые описываются рассмотренными системами гиперболических уравнений. В качестве таких объектов можно рассмотреть длинную естественно-закрученную нить (стальной канат), многопроводные линии связи. Полученные решения задач о полном успокоении системы и о переводе первоначально покоящейся системы в наперед заданное состояние для объектов, математические модели которых описываются гиперболическими системами второго порядка с двумя независимыми переменными могут быть применены при решении прикладных задач.
Вторая краевая задача с начальными (финальными) условиями при малых
Известно, что гиперболические системы являются математическими моделями многих физических объектов и явлений. Например, система телеграфных уравнений вида: где R, L— сопротивление и коэффициент самоиндукции, С, G — коэффициенты емкости и утечки, рассчитанные на единицу длины, опрюывает процесс прохождения тока по проводу [53]. Функции W\, w i есть функции положения точки х и времени , w\ — сила тока, W2 — напряжение. Если исследовать линии передач длины I, то для характеристики функций w\ и W2 требуется задавать не только начальные условия, но и граничные условия. На практике важно, чтобы при передаче электрической энергии сила тока и напряжение у получателя были заданными велечинами. В связи с этим возникают задачи управления процессами с помощью управляющих функций заданных в начале линии.
Отметим, если Wi(x, t), W2(x, t) — дважды непрерывно дифференцируемые функции, то система телеграфных уравнений (3.1) эквивалентна системе уравнений Следовательно, задача управления для системы телеграфных уравнений (3.1) может быть сведена к задаче управления для системы гиперболических уравнений второго порядка. Системам гиперболического типа первого порядка посвещены работы [48], [84-85],[19-22], [1], [106],[115], [12]. Например, в работе [12] рассмотрена система вида: где R, L, C, G — матрицы сопротивлений, индуктивностей, емкостей и проводимостей, соответственно. С помощью математической модели (3.2) описаны мпогопроводные линии связи. Первая пара слагаемых в системе (3.2) задаст процесс распространения электромагнитного поля, вторая -взаимодействие между проводниками. Вид граничных условий будет за-висить от составляющих нагружающей цепи.
Для многопроводной линии без потерь [12] (R = 0, G — 0) систему (3.2) можно представить: где А и В — матрицы соответствующих коэффициентов при напряжениях и токах, U — вектор-столбец напряжений и токов. А и В — симметричные матрицы, причем матрица А — положительно определенная, тогда систему (3.3) можно привести к каноническому виду с диагональной матрицей М. Данная система распадается на т независимых уравнений для отдельных компанент W{ :
В работах [50—51], [100] рассматривается краевая задача, моделирующая процесс теплопереноса в стержне при заданном температурном режиме на концах в рамках гиперболического закона теплопроводности. В явном виде выписаны граничные управления обеспечивающие в рамках рассматриваемой модели нагрев стержня до определенной температуры в заданный промежуток времени. Отдельно рассматривается случай, когда на правом конце стержня поддерживается нулевая температура, т.е. управление на правом конце равно нулю.
Системы гиперболического типа возникают и при изучении природы звука, физических и механических основ музыкальных инструментов. Традиционно задача колебаний и динамических нагружеиий натянутой гибкой музыкальной струны сводилась к анализу только поперечных колебаний. Считалось, что основным источником звука, который может восприниматься ухом человека, служат именно колебания частиц струны поперек первоначального направления. Продолные колебания, их вклад в динамику самой струны и присоединено?! к струне деки (корпуса), которая собственно и является генератором звука любого музыкального инструмента, не учитывались. Продольные колебания рассматривались как колебания, которые не оказывают влияния на процесс формирования звука. Возможно, это связано с малостью «невидимых глазу» продольных перемещений струн по сравненрію с поперечными. В работах Ю. А. Демьянова, А. А Малашина [39 — 40] показано, что продольные колебания струны играют такую же роль в рождении звука, как и поперечные. В этих работах установлено, что вынужденные продольные колебания происходят на поперечных частотах. В работе [39] были получены уравнения поперечно-продольных колебаний гибкой предварительно натянутой струны где Ь, а— скорости поперечных и продольных волн, /о — первоначальная деформация струны. Второе уравнение неоднородно, наличие в правой части некоторой функции говорит, что роль вынуждающей силы для продольных колебаний играют поперечные составляющие. Решение второго уравнения представляет собой суперпозицию продольных колебаний на собственных частотах и вынужденных продольных колебаний на частотах поперечных.
Аналогичные процессы связывают крутильные и продольные колебания, когда рассматриваются смычковые инструменты. В исследованиях [40] показано, что при изучении игры на смычковых инструментах крутильные и продольные составляющие движения необходимо учитывать наряду с поперечными.
Известно [119], что систему гиперболических уравнений второго порядка можно рассматривать в качестве математической модели движения нити. Нитью в данном случае называют материальную линию, которая под действием приложенных сил может принимать любую форму. Начальные и граничные условия определяются состоянием концов нити. Начальные условия зависят от формы нити и скоростей се точек в момент времени t = 0.
Задача граничного управления для системы гиперболического типа второго порядка в условиях второй краевой задачи
Под естественно закрученной нитью подразумевается нить обладающая продольной и крутильной жесткостями, а также способная раскручиваться при растяжении и удлиняться при раскручивании. Модель естественно закрученной нити более точно отражает основные свойства реального стального каната, в частности, огоюывает его свойства раскручивания при свободном натяжении PI дает возможность оценить крутящие моменты, возникающие при продольных колебаниях. При составлении уравнений движения естественно закрученной нити были введены следующие обозначения [36]: W\(x:t) — продольные деформации (полное удлинение части нити), W2(x, t) — поворот нити. В качестве примера естественно закрученной нити можно рассмотреть стальной канал [35].
Граничные условия для функций Wi(x,t), W2(x,t) на конце х = 1} образуют уравнения движения концевого груза. Если u 2(M)- = 0, то это означает, что груз прикрепленный на конце х = I нити не может совершать поворотов.
Система трех неоднородных уравнений вида (1) представленная в работе [119] описывает динамику нити в декартовых осях. Граничные условия определяются состоянием концов нити. Начальные условия зависят от формы нити и скоростей ее точек в момент времени t — 0. Уравнения динамики нити в декартовых осях целесообразно использовать в случае, когда инерцией вращения нити можно пренебречь [119].
Отметим, что системам гиперболического типа первого порядка по-свещены работы [48], [84-85],[19-22], [1], [106],[115], [12]. Например, в работе [12], многопроводные линии связи описываются системой телеграфных уравнений вида: где R, L,C,G — матрицы сопротивлений, индуктивностей, емкостей и проводимостей, соответственно. Первая пара слагаемых в системе (4) описывает процесс распространения электромагнитного поля, вторая -взаимодействие между проводниками. Вид граничных условий будет зависить от составляющих нагружающей цепи.
Для многопроводной линии без потерь [12] (Я = О, G = 0) систему (4) можно записать в виде где А и В — матрицы соответствующих коэффициентов при напряжениях и токах, U — вектор-столбец напряжений и токов. А и В — симметричные матрицы, причем матрица А — положительна определенная, тогда систему (5) можно привести к каноническому виду с диагональной матрицей М. Данная система распадается на т независимых уравнений для отдельных компанент W{ : где W = 5-1/ = colcm(wi,W2, --, wm), S — матрица перехода к матрице М.
В работах [50 — 51], [100] рассматривается краевая задача, моделирующая процесс теплопереноса в стержне при заданном температурном режиме на концах в рамках гиперболического закона теплопроводности. В явном виде выписаны граничные управления обеспечивающие в рамках рассматриваемой модели нагрев стержня до определенной температуры в заданный промежуток времени. Отдельно рассматривается случай, когда на правом конце стержня поддерживается нулевая температура, т.е. управление на правом конце равно нулю.
Круг задач граничного управления гиперболическими уравнениями и системами гиперболических уравнений ограничен теми задачами, для которых известна интегральная форма представления решения в точках области его определения [109]. Класс таких уравнений достаточно узок. Одним из известных методов построения решений краевых задач в явном виде является метод Римана и его различные обобщения. В связи с этим, в теории линейных уравнений второго порядка гиперболического типа, функция Римана играет важную роль, с ее помощью удается записать в явном виде решение задач Коши и Гурса. Так, например, Вольтерра [132], Адамар [3] привели формулу представления решений задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка с числом независимых переменных больше двух, Бургатти [126] и Реллих [131] привели формулу представления Римана для линейных уравнений высших порядков с числом независимых переменных равным двум, имеются решения задачи Коши и Гурса для уравнения Бианки [124], [123], записываемые в [49] через функцию Римана, Хольмгрен [128-129], Б. Н. Бурмистров [24] обобщили метод Римана на системы уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. В монографиях А. В. Бицадзе [14] и И. Н. Векуа [30] приведено обобщение метода Римана на один класс гиперболических систем второго порядка с двумя независимыми переменнымии кратными характеристиками, при этом показано, что вопрос о нахождении матрицы Римана сводится к решению системы интегральных уравнений Вольтерра второго порядка, которая всегда имеет единственное решение. В работах [118], [107] метод Римана используется для решения некоторых краевых задач для уравнений третьего порядка и для псевдопараболических уравнений высокого порядка, в [6-7] построена функция Римана для гиперболических уравнений с алгебраическими и трансцендентными сингулярностями.
Например, в работе [99] ядрами интегральной формулы решения задачи Коши для одномерной гиперболической системы с гладкими коэффициентами служат матрицы Римана первого и второго рода. В работах [50-51] аппарат матриц Римана применим к задаче граничного управления процессами в распределенных системах, описываемых системой гиперболического типа второго порядка.
Иногда удается решить краевые задачи для уравнений гиперболического типа и без вспомогательных функций (функций Римана, Римана-Адамара). В работе [86] отмечено, что общие решения, если их возможно найти, являются чрезвычайно полезными, особенно в вопросах прикладного характера. Если известно общее решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, то скорее всего возможно решить и краевую задачу. Число уравнений, для которых известны общие решения очень мало. Это волновое уравнение, уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу [71], некоторые системы частного вида [14], а также ряд нелинейных уравнений [121].
Случай кратных собственных значений матрицы
Известно, что гиперболические системы являются математическими моделями многих физических объектов и явлений. Например, система телеграфных уравнений вида: где R, L— сопротивление и коэффициент самоиндукции, С, G — коэффициенты емкости и утечки, рассчитанные на единицу длины, опрюывает процесс прохождения тока по проводу [53]. Функции W\, w i есть функции положения точки х и времени , w\ — сила тока, W2 — напряжение. Если исследовать линии передач длины I, то для характеристики функций w\ и W2 требуется задавать не только начальные условия, но и граничные условия. На практике важно, чтобы при передаче электрической энергии сила тока и напряжение у получателя были заданными велечинами. В связи с этим возникают задачи управления процессами с помощью управляющих функций заданных в начале линии.
Отметим, если Wi(x, t), W2(x, t) — дважды непрерывно дифференцируемые функции, то система телеграфных уравнений (3.1) эквивалентна системе уравнений Следовательно, задача управления для системы телеграфных уравнений (3.1) может быть сведена к задаче управления для системы гиперболических уравнений второго порядка. Системам гиперболического типа первого порядка посвещены работы [48], [84-85],[19-22], [1], [106],[115], [12]. Например, в работе [12] рассмотрена система вида: где R, L, C, G — матрицы сопротивлений, индуктивностей, емкостей и проводимостей, соответственно. С помощью математической модели (3.2) описаны мпогопроводные линии связи. Первая пара слагаемых в системе (3.2) задаст процесс распространения электромагнитного поля, вторая -взаимодействие между проводниками. Вид граничных условий будет за-висить от составляющих нагружающей цепи. Для многопроводной линии без потерь [12] (R = 0, G — 0) систему (3.2) можно представить: где А и В — матрицы соответствующих коэффициентов при напряжениях и токах, U — вектор-столбец напряжений и токов. А и В — симметричные матрицы, причем матрица А — положительно определенная, тогда систему (3.3) можно привести к каноническому виду с диагональной матрицей М. Данная система распадается на т независимых уравнений для отдельных компанент W{ : В работах [50—51], [100] рассматривается краевая задача, моделирующая процесс теплопереноса в стержне при заданном температурном режиме на концах в рамках гиперболического закона теплопроводности. В явном виде выписаны граничные управления обеспечивающие в рамках рассматриваемой модели нагрев стержня до определенной температуры в заданный промежуток времени. Отдельно рассматривается случай, когда на правом конце стержня поддерживается нулевая температура, т.е. управление на правом конце равно нулю. Системы гиперболического типа возникают и при изучении природы звука, физических и механических основ музыкальных инструментов. Традиционно задача колебаний и динамических нагружеиий натянутой гибкой музыкальной струны сводилась к анализу только поперечных колебаний. Считалось, что основным источником звука, который может восприниматься ухом человека, служат именно колебания частиц струны поперек первоначального направления. Продолные колебания, их вклад в динамику самой струны и присоединено?! к струне деки (корпуса), которая собственно и является генератором звука любого музыкального инструмента, не учитывались. Продольные колебания рассматривались как колебания, которые не оказывают влияния на процесс формирования 108 звука. Возможно, это связано с малостью «невидимых глазу» продольных перемещений струн по сравненрію с поперечными. В работах Ю. А. Демьянова, А. А Малашина [39 — 40] показано, что продольные колебания струны играют такую же роль в рождении звука, как и поперечные. В этих работах установлено, что вынужденные продольные колебания происходят на поперечных частотах. В работе [39] были получены уравнения поперечно-продольных колебаний гибкой предварительно натянутой струны где Ь, а— скорости поперечных и продольных волн, /о — первоначальная деформация струны. Второе уравнение неоднородно, наличие в правой части некоторой функции говорит, что роль вынуждающей силы для продольных колебаний играют поперечные составляющие. Решение второго уравнения представляет собой суперпозицию продольных колебаний на собственных частотах и вынужденных продольных колебаний на частотах поперечных. Аналогичные процессы связывают крутильные и продольные колебания, когда рассматриваются смычковые инструменты. В исследованиях [40] показано, что при изучении игры на смычковых инструментах крутильные и продольные составляющие движения необходимо учитывать наряду с поперечными. Известно [119], что систему гиперболических уравнений второго порядка можно рассматривать в качестве математической модели движения нити. Нитью в данном случае называют материальную линию, которая под действием приложенных сил может принимать любую форму. Начальные и граничные условия определяются состоянием концов ни 109 ти. Начальные условия зависят от формы нити и скоростей се точек в момент времени t = 0.
