Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблема исследования переходных процессов в нелинейных динамических системах .
1.1 Анализ современного состояния проблемы исследования переходных процессов 14
1.2 Численный анализ исследуемой математической модели и постановка решаемых задач 19
Глава 2. Математическая модель невозмущенного движения нелинейной динамической системы
2.1 фазовая плоскость движения системы 28
2.2 Решение для углового параметра 41
2.3 Аналитическое выражение для интеграла действия на сепаратрисах 51
Глава 3. Математические модели переходных процессов в нелинейной динамической системе
3.1 Модель переходных процессов с учетом медленного изменения моментной характеристики 65
3.2 Модель переходных процессов с учетом диссипации 71
3.3 Модель переходных процессов с учетом диссипации и крутящего момента 75
Глава 4. Математические модели переходных режимов движения космического аппарата при входе в атмосферу
4.1 Математическая модель движения космического аппарата при входе в атмосферу 80
4.2 Численный и аналитический анализ движения космического аппарата в атмосфере 88
Глава 5. Комплекс программ 102
Заключение 113
Список использованных источников 115
Приложения 121
- Численный анализ исследуемой математической модели и постановка решаемых задач
- Аналитическое выражение для интеграла действия на сепаратрисах
- Модель переходных процессов с учетом диссипации и крутящего момента
- Численный и аналитический анализ движения космического аппарата в атмосфере
Введение к работе
Большое количество задач, рассматриваемых в интересах развития науки и техники, сводятся к исследованию математических моделей нелинейных динамических систем второго порядка. Задачи такого рода возникают в механике, радиотехнике, теории управления, динамике космических аппаратов и других разделах современной науки. Важной проблемой является разработка качественных и приближенных аналитических методов математического моделирования переходных процессов, происходящих в системе под действием медленно меняющихся параметров, когда происходит изменение характера движения: вращательное движение переходит в колебательное, скачкообразно изменяются характеристики колебательного движения и т.д.
Системой такого вида описывается движение ряда механических задач, например, в частных случаях движение искусственных спутников на орбите Земли, спуск космического аппарата в атмосферу. Невозмущенная система (є = 0) описывает движение маятника на вращающейся платформе, со смещенной точкой подвеса относительно оси вращения платформы, а также влияние светового потока на движение электрона. Общее решение рассматриваемого нелинейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами получить не представляется возможным. При численном же интегрировании уравнения, во-первых, остаются скрытыми причины, обуславливающие тот или иной характер процесса, во-вторых, для установления закономерностей процесса требуется значительное число расчетов, а это даже с использованием современных быстродействующих ЭВМ приводит к большим затратам времени из-за наличия быстро осциллирующих функций. При этом даже эффективные численные алгоритмы решения, экономные с точки зрения машинного времени, всегда должны использовать информацию об аналитической природе задачи. Поэтому поиск приближенных аналитических решений и разработка методов исследования, позволяющих существенно ускорить расчет, установить закономерности, свойственные данному процессу, а также получить новые знания о нелинейных системах, является актуальной задачей.
Известно решение исследуемой невозмущенной системы, когда моментная характеристика представлена в виде синусоидальной или бигармонических гармоник. В данной работе найдено решение невозмущенной системы для случая, когда моментная характеристика описывается рядом Фурье с двумя первыми синусоидальными и первым косинусоидальным членами.
В возмущенном движении системы происходит эволюция фазовых " траекторий, в результате которой они могут пересекать сепаратрисы, попадая в различные области фазового портрета. Вопросы перехода между областями фазового портрета, разделенными сепаратрисами, в нелинейных системах с медленно меняющимися параметрами рассматриваются в работах Арнольда В.И., Нейштадта А.И., Ярошевского В.А. и др. Исследование эволюции фазовых траекторий проводится на основе анализа поведения интеграла действия. Получены- формулы в интегральной форме для определения вероятностей попадания в ту или иную область движения, расчеты по которым позволяют исключить статистическое моделирование. Преобразование исходной модели к математической модели на основе интеграла действия ведет к существенному сокращению численных расчетов.
В прикладной задаче о входе неуправляемого твердого тела в атмосферу планеты Кузмаком Г.Е. исследованы переходные режимы движения тела, обусловленные медленным изменением во времени коэффициента синусоидальной моментной характеристики и диссипацией. В работах Асланова B.C. и Тимбая И.А. исследованы переходные режимы движения систем с бигармонической моментной характеристикой, обусловленные медленным изменением во времени коэффициентов моментной характеристики. В работах Ярошевского В.А. исследуются условия возникновения плоской авторотации - длительного вращательного движения тела без перехода в колебательное, когда моментная характеристика представлена рядом Фурье. Получены в интегральном виде формулы для определения критического значения скорости, при которой реализуется плоская авторотация.
В диссертационной работе исследуются переходные процессы в нелинейной динамической системе, моментная характеристика которой представлена в виде суммы двух первых синусоидальных гармоник и первой косинусоидальной, с учетом медленного изменения во времени " коэффициентов моментной характеристики, а также наличием и медленным изменением коэффициентов диссипации и крутящего момента. Косинусоидальная компонента моментной характеристики, например, применительно к спуску космического аппарата, обусловлена его малой асимметрией. На основе полученных аналитических формул для интеграла действия, для определения времен перехода через сепаратрису, для критической угловой скорости вращения, для определения вероятностей попадания в ту или иную колебательную область движения разработан метод аналитического исследования переходных процессов без численного интегрирования и в некоторых случаях без статистического моделирования. Разработан также метод аналитического исследования переходных процессов в прикладной задаче о входе неуправляемого тела в атмосферу. Цель работы. Целью настоящей работы является разработка качественных и приближенных аналитических методов исследования переходных процессов в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися параметрами, когда моментная характеристика представлена в виде суммы двух первых синусоидальных гармоник и первой косинусоидалъной, с учетом медленного изменения во времени коэффициентов моментной характеристики, а также наличием и медленным изменением коэффициентов диссипации и крутящего момента.
Для достижения данной цели в работ,е решаются следующие задачи:
1) оценка современного состояния проблемы разработки методов исследования переходных процессов в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися коэффициентами;
2) разработка качественных и аналитических методов исследования модели невозмущенного движения нелинейной динамической системы:
а) исследование свойств модели в случае бифуркации особых точек на фазовом портрете движения рассматриваемой системы;
б) нахождение аналитических решений для углового параметра в невозмущенном движении исследуемой системы;
с) получение аналитических формул для вычисления интеграла действия на сепаратрисах, разделяющих вращательную и колебательные области фазового портрета системы;
3) разработка методов аналитического исследования модели возмущенного движения нелинейной динамической системы с медленно меняющимися параметрами с учетом диссипации и крутящего момента:
а) получение формул для определения времен переходов, возникающих при движении системы с учетом малых возмущений, на основе аналитических формул для интеграла действия;
б) исследование случаев возникновения плоской авторотации;
в) получение формул для определения вероятностей попадания в различные колебательные области фазового портрета;
4) разработка аналитических методов исследования переходных процессов в прикладной задаче спуска космического аппарата в атмосфере;
5) проверка адекватности расчетов по аналитическим формулам и результатов численного интегрирования;
6) разработка алгоритмов и комплекса программ, позволяющих эффективно исследовать переходные процессы в нелинейной динамической системе второго порядка с медленно меняющимися параметрами.
Численный анализ исследуемой математической модели и постановка решаемых задач
Рассматриваемую в данной работе нелинейную динамическую систему можно представить в виде: a + a(z)sina + b(z)sm2a + c(z)cosa = &u(z)a + z,(z), (1.1) і = гФ(г), где a(z), b(z), c(z) - коэффициенты моментной характеристики, o(z), ,( z) - коэффициенты диссипации и крутящего момента. Примем закон изменения этих коэффициентов в виде: a(z) = a z, b(z) = bQz, c(z) = c0z, a(z) = a0z, (z) = 0z, где #0J 60, c0, CTOJ 0- некоторые числовые коэффициенты. Для определенности примем закон изменения вектора медленных переменных в виде z = exp($(t0)) (Р - положительный коэффициент порядка малости е), такой закон характерен для движения системы в средах с экспоненциально возрастающей плотностью, например, в атмосфере. В общем случае решение рассматриваемого нелинейного дифференциального уравнения (1.1) с переменными коэффициентами получить не представляется возможным. Рассмотрим некоторые характерные случаи движения исследуемой нелинейной системы, полученные численным интегрированием методом Рунге-Кутты 4-го порядка с переменным шагом интегрирования уравнения движения (1.1) со следующими параметрами: я0 =0.002 с"2, 2 0= 0.002 Г2, с0 =0.0005 Г\ 3 = 0.05с1. Характер движения зависит от начальных условий, таких как скорость и начальное значение углового параметра, а также от параметров самой системы. В зависимости от начальных условий движения и параметров система может участвовать в различных типах движения. При небольших изменениях начальных параметров система может менять тип своего движения. Так на рис. 1.1 представлены результаты движения системы (зависимость углового параметра от времени и фазовые портреты) с параметрами крутящего .момента и диссипации и начальными условиями по угловой скорости: 0 = 0.00005 с \ с0 =-0.000005 с"1, d0 =30град/с.
Толстая линия отражает движение системы при а0 =30град, а тонкая при а0 =-120град. Как видно, в начальный момент времени система совершает вращательное движение до момента перехода в колебательное. Затем колебательное движение продолжается около двух особых точек. В первом случае колебания происходят в окрестности особой точки 356 град (50.2 рад), во втором около точки-196 град (47.4 рад). Таким образом, система в зависимости от начальных условий и параметров может иметь несколько особых точек, и возможны движения Б окрестностях этих точек. Рассмотрим как на систему влияет начальная угловая скорость углового параметра. Для этого система была проинтегрирована со следующими данными:- - ..... На рис. 1.2 представлено движение системы в случае, когда &0 =\5град/с - толстая линия и а0 = 30 град /с - тонкая линия. Как видно из рис. 1.2 при возрастании начальной скорости переход вращательного движения в колебательное происходит позднее. В первом случае он происходит при t = 74 с, во втором при t, = 97 с. При дальнейшем увеличении начальной скорости имеет место длительное вращательное движение.
Рассмотрим влияние диссипации на процесс движения системы. Для этого система была проинтегрирована со следующими данными; „ =0.00005 с 2, аа=30град, а0=30град/с. На рис. 1.3 представлено движение системы в случае, когда аа =-0.000005 с"1 - толстая линия и ст0 =-0.0005 с 1 - тонкая линия. Как видно из рисунка увеличение диссипации ведет к сокращению времени вращательного движения системы. Для изучения влияния крутящего момента интегрирование проводилось при следующих данных: а0 =-0.0005 с-1, а0 =30град, &0 = Ъ0град/с. На рис. 1.4 представлено движение системы в случае, когда 0 = 0.00005 с"2 - толстая линия и 0 = 0.0008 с 2 - тонкая линия. Как видно из рисунка увеличение величины крутящего момента ведет к увеличению времени вращательного движения. При превышении некоторой величины крутящего момента имеем длительное вращательное движение, возникает плоская авторотация. На рис. 1.5 показан случай такого движения при данных: о- Ос"1, 0= 0.00008с \ ай=30град, а,=30град/с.
Для данных параметров такой случай движения имеет место при 0.0000769 с \ Как видно, при непосредственно численном интегрировании остаются скрытыми причины, обуславливающие тот или иной характер процесса. Для установления закономерностей процесса требуется значительное число расчетов, при этом даже эффективные численные алгоритмы решения, экономные с точки зрения машинного времени, всегда должны использовать информацию об аналитической природе задачи. В работе проводится поиск аналитических решений, и ведется разработка математических моделей и методов исследования, позволяющих существенно ускорить расчет и установить закономерности, свойственные данному процессу. Для случая движения нелинейной динамической системы (1.1) с медленно меняющимися параметрами, когда моментная характеристика представлена в виде суммы двух первых синусоидальных гармоник и первой косинусоидальной в работе решаются следующие задачи:
Аналитическое выражение для интеграла действия на сепаратрисах
Рассмотрим случай движения нелинейной динамической системы (1.1) под действием изменяющейся моментной характеристики, без учета влияния крутящего момента и диссипации. В этом случае систему (1.1) можно записать в виде где a - угловой параметр; a(z), b(z), c(z) - коэффициенты моментной характеристики; z - медленно меняющийся параметр, переменность . которого связана с медленным изменением условий в процессе движения.
Рассмотрим случаи, при которых в процессе движения происходит изменение характера движения: вращательное движение переходит в колебательное, колебательное движение скачкообразно переходит в колебательное движение с другими амплитудными характеристиками. В /39/ исследован случай углового движения системы с синусоидальной моментной характеристикой, в /10/ - с бигармонической. Здесь рассмотрим движение системы, моментная характеристика которой представлена в виде суммы двух первых синусоидальных гармоник и первой ко синусоидальной.
В 2.1 были рассмотрены фазовые портреты невозмущенного движения такой системы (рис. 2.2, 2.3). В возмущенном движении с изменением коэффициентов а, Ъ, с в процессе движения происходит эволюция, фазовых траекторий, в результате которой они могут пересекать сепаратрисы, попадая в различные области фазового портрета, что сопровождается качественными изменениями характера движения. Величина углового параметра на границе перехода от одного типа движения к другому в общем случае зависит от начальных условий движения (от законов распределения начальных углов а0 и угловых скоростей а0), а также от скорости изменения коэффициентов а,Ъ,с. Здесь рассмотрим случай, когда коэффициенты а, Ь, с медленно изменяются во времени.
Предлагается следующий метод исследования переходных процессов движения системы .„без интегрирования уравнений движения, используя только аналитические выражения для интеграла действия. В этом случае интеграл действия для системы (3.1) с медленно меняющимися переменными a(z), b(z), c(z) остается постоянной величиной, т. е. является адиабатическим инвариантом /23/
Здесь величина а определяется из интеграла энергии системы (3.1) при фиксированных значениях медленных параметров (а, Ь, с-const) из выражения
Для системы (3.1) равенство Ig = const справедливо для большинства начальных условий с точностью О(єЬє) на временах порядка І/є /44/, где є малый параметр, характеризующий скорость изменения параметра z. Исключительное множество начальных условий, для которых эта оценка несправедлива, имеют меру 0(гп), где и 1 - любое наперед заданное число. Режимы движения, соответствующие данным начальным условиям, когда фазовая траектория заканчивается в седловой точке, и период движения обращается в бесконечность, называются режимами зависания в окрестности неустойчивого положения равновесия, они подробно исследованы в /51/ и в настоящей работе не рассматриваются.
Исходя из постоянства интеграла действия, приравнивая выражение интеграла действия, вычисленного вдоль сепаратрис, значению интеграла действия, вычисленного по начальным условиям движения, определяется величина параметра z в момент времени t = t.M, соответствующий переходу из одной области фазового портрета в другую.
В случаях, когда при пересечении сепаратрис фазовая точка может попадать в различные колебательные области, возникает задача выбора области продолжения движения. Предположим, что фазовый портрет системы имеет четыре особые точки. Пусть сепаратрисы 1Х и /2 отделяют внутренние области движения Ал, Аг от внешней Аъ (см. рис. 2.2), а начальные условия соответствуют движению из области А3 в колебательные области А{, А2. Для выбора области продолжения движения Ау или А2 используется понятие вероятности Р\ь г 1,2, захвата в каждую из них. Будем обозначать вероятность попадания в область Ау через Р1 а вероятность попадания в области А2 через Р2. В соответствии с /42/ эта вероятность определяется как доля фазового объёма малой окрестности начальной точки движения, "захватываемая" в рассматриваемую область в пределе, когда малый параметр є - 0 и размер окрестности о -» 0, s « 5 (сначала предел берется по є потом по 8 ), причем Рг + Р2 = 1.
Модель переходных процессов с учетом диссипации и крутящего момента
В отличие от аналогичных формул для критической скорости, приведенных в /52/в интегральном виде, в формулах (3.33) и (3.34) параметр D выражен через элементарные функции (2.55). Формулы (3.33), (3.34) дают практически точный результат, когда справедливо уравнение для изменения интеграла действия (3.23). Случаи, соответствующие длительному зависанию системы в окрестности неустойчивого положения равновесия, подробно рассмотрены в работе /52/, и в данной работе не рассматриваются.
Следует отметить, что все вышеизложенные математические модели применимы и для исследования переходных процессов в нелинейных динамических системах вида (3.22), моментная характеристика которых представлена в виде первой синусоидальной гармоники (синусоидальная моментная характеристика) или в виде суммы двух первых синусоидальных гармоник (бигармоническая моментная характеристика).
Для случая движения нелинейной динамической системы с бигармонической моментной характеристикой выражение для параметра D, вычисленного вдоль сепаратрисы, разделяющей вращательную и колебательную область, в зависимости от параметров а, Ъ имеет следующий вид/10/
Таким образом, в данной главе исследованы переходные процессы в нелинейной динамической системе с учетом медленного изменения коэффициентов моментной характеристики, наличием и медленным изменением коэффициентов диссипации и крутящего момента. Для случая движения нелинейной системы с учетом медленного изменения коэффициентов моментной характеристики найдены времена переходов фазовой точки из вращательной области в колебательную, а также из колебательной в колебательную. Определена вероятность попадания фазовой точки в различные колебательные области фазового портрета. Для случая движения нелинейной системы с учетом медленного изменения коэффициентов моментной характеристики, наличием и медленным изменением коэффициентов диссипации, найдены времена переходов фазовой точки из вращательной области в колебательную, а также из колебательной в колебательную. Для случая движения нелинейной системы с учетом медленного изменения коэффициентов моментной характеристики, наличием и медленным изменением коэффициентов диссипации и крутящего момента, найдены времена переходов фазовой точки из вращательной области в колебательную, а также определены критические скорости, при превышении которых реализуется плоская авторотация (длительное вращательное движение без перехода в колебательное).
В главе исследуется модель переходных режимов движения относительно центра масс космического аппарата с малой асимметрией, восстанавливающий аэродинамический момент которого описывается рядом Фурье по углу атаки с двумя первыми синусоидальными и первым ко синусоидальным членами. Исследуется переход плоского вращательного движения аппарата к колебательному, обусловленный медленным изменением коэффициентов моментной характеристики, а также наличием и медленным изменением коэффициентов малой асимметрии и демпфирования. Проводится численный и аналитический анализ движения космического аппарата в атмосфере.
Численный и аналитический анализ движения космического аппарата в атмосфере
Движение КА в атмосфере как твердого тела описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, общее решение которой получить не представляется возможным. При численном же интегрировании уравнений движения, во-первых, остаются скрытыми причины, обуславливающие тот или иной характер движения, во-вторых, для установления закономерностей движения требуется значительное число расчетов, а это даже с использованием современных быстродействующих ЭВМ приводит к большим затратам времени из-за наличия в правых частях уравнений быстро осциллирующих функций. Поэтому поиск приближенных аналитических решений и разработка математических моделей и методов исследования, позволяющих существенно ускорить процесс расчета и установить закономерности, свойственные движению КА, является актуальной задачей.
В работе рассматриваются переходные режимы движения осесимметричных КА, возникающие на верхнем участке траектории спуска в атмосферу.
Рассмотрим в общих чертах движение КА на внеатмосферном участке траектории, а затем при снижении в плотные слои атмосферы. При отделении от носителя космический аппарат, предназначенный для спуска на Землю, получает некоторый импульс и приобретает начальный кинетический момент. При движении на внеатмосферном участке траектории можно пренебречь внешними моментами, вследствие чего движение КА определяется законами движения твердого тела в случае Эйлера, а характер его движения - величиной и направлением начального кинетического момента. Если начальный кинетический момент направлен так, что движение оказывается плоским, то при движении вне атмосферы КА вращается с постоянной скоростью около поперечной оси (кувыркается). В данной работе уделяется особое внимание именно такому типу движения. В случае такого движения углы атаки К А при подходе к атмосфере могут иметь какое угодно значение. Можно сказать, что наличие больших углов атаки является одной из основных особенностей задачи о входе в атмосферу.
После прохождения внеатмосферного участка траектории КА начинает снижаться и по мере возрастания плотности все в большей и большей степени начинает испытывать стабилизирующее действие атмосферы (жесткость системы увеличивается на несколько порядков). Указанный эффект переменности параметров в системе является основным фактором, определяющим затухание колебаний. Влияние переменности параметров в системе является такой же важной особенностью рассматриваемой задачи, как и наличие больших углов атаки. В целях выполнения функциональных требований, предъявляемых к космическим аппаратам, на некоторые их- инерционные и геометрические характеристики накладывается ряд ограничений. Как правило, при проектировании и изготовлении таких аппаратов стремятся обеспечить динамическую симметрию, а также осесимметричную форму внешней поверхности. Последнее обстоятельство приводит к тому, что основным компонентом внешнего аэродинамического момента, действующего на аппарат, является так называемый восстанавливающий момент, плоскость действия которого совпадает с плоскостью угла атаки (углом между продольной осью аппарата и вектором скорости центра масс), а значение зависит от величины этого угла.
Аналогичная с точки зрения механики ситуация имеет место в классическом случае Лагранжа движения тяжелого твердого тела, когда единственный внешний момент, создаваемый силой тяжести, действует в вертикальной плоскости и по величине пропорционален синусу угла атаки. Однако существует и важное отличие, состоящее в том, что характер зависимости восстанавливающего аэродинамического момента от угла атаки, определяемой геометрической конфигурацией аппарата и режимами полета, может быть достаточно. сложным и отличаться от синусоидального. Кроме того, форма этой зависимости обычно изменяется вдоль траектории полета в соответствии с параметрами набегающего потока.
Для аппаратов, близких по форме к телам вращения, аэродинамические характеристики зависят в основном от величины угла атаки. При сложной геометрической конфигурации аппарата его аэродинамические характеристики задаются в табличной форме. Однако, для проведения аналитических исследований движения КА относительно центра масс необходимо аналитическое представление аэродинамических коэффициентов, В связи с этим часто прибегают к аппроксимации аэродинамических характеристик степенными или тригонометрическими рядами. Если аэродинамические характеристики задаются на всем интервале возможных значений угла атаки [0,тт], то целесообразнее использовать тригонометрические ряды. Поскольку коэффициент восстанавливающего момента является нечетной функцией угла атаки, то для аппарата произвольной конфигурации моментная характеристика Ма (отношение восстанавливающего момента к поперечному моменту инерции аппарата) может быть представлена в виде /51/ где п - количество гармоник разложения аэродинамических характеристик, - с,- коэффициенты разложения, q - скоростной напор.
Если аппарат имеет форму сферы или тонкого конуса, то его моментная характеристика описывается синусоидальной зависимостью от угла атаки
Для аппаратов сегментально-конической, затупленно-конической форм (спускаемые модули Союз, Марс, спускаемая капсула YES2 проекта Европейского космического агентства «The Second Young Engineer s Satellite» и др. (Второй, спутник молодых инженеров)) возможно наличие трех балансировочных положений по углу атаки. Очевидно, что в этом случае для удовлетворительной аппроксимации зависимости моментной характеристики от угла атаки необходимо удерживать не менее двух гармоник тригонометрического ряда в разложении
