Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Построение математической модели на основе теории рассеяния Ми 15
1.1. Уравнения Максвелла 15
1.2. Общее решение волнового уравнения 18
1.3. Разложение электромагнитного поля по мультиполям 25
1.4. Разложение плоской волны по мультиполям 28
1.5. Строгое решение волнового уравнения 33
1.6. Дальняя зона электромагнитного излучения 40
1.7. Энергетические характеристики электромагнитного поля, поляризация 44
1.8. Математическая модель 51
1.9. Выводы к первой главе 58
Глава 2. Определение оптических данных аэрозолей на основе многоволнового лидарного зондирования 61
2.1. Основное лидарное уравнение 61
2.2. Наклонный метод 64
2.3. Метод Клетта 66
2.4. Метод Ковалёва 70
2.5. Метод Рамана 77
2.6. Сравнение методов решения уравнения лазерной локации при лидарных измерениях 81
2.7. Выводы ко второй главе 84
Глава 3. Восстановление параметров аэрозолей по оптическим данным 86
3.1. Постановка задачи 87
3.2. Анализ обратной задачи. Выбор метода решения 89
3.3. Построение регуляризирующего алгоритма 92
3.4. Сходимость метода регуляризации. Устойчивость 97
3.5. Определение параметра регуляризации 101
3.6. Принцип отбора решений. Усреднение 103
3.7. Численная реализация регуляризирующего алгоритма 106
3.8. Численный эксперимент 109
3.8.1. Принцип минимальной невязки 110
3.8.2. Усреднение решений 113
3.8.3. Восстановление показателя преломления 115
3.8.4. Точность восстановления 117
3.8.5. Тестовая задача 119
3.9. Применение метода регуляризации при обработке экспериментальных данных 121
3.10. Выводы к третьей главе 126
Заключение 129
Библиографический список используемой литературы 132
Приложение 139
- Разложение электромагнитного поля по мультиполям
- Энергетические характеристики электромагнитного поля, поляризация
- Сравнение методов решения уравнения лазерной локации при лидарных измерениях
- Применение метода регуляризации при обработке экспериментальных данных
Введение к работе
Актуальность темы. Аэрозоли являются одной из составляющих атмосферы, влияющих на климат и радиационный бюджет Земли. Воздействие атмосферных аэрозолей на указанные факторы обусловлено двумя причинами. Во-первых, аэрозоли рассеивают и поглощают падающее излучение, влияя таким образом на радиационный поток, достигающий поверхности Земли - прямое воздействие. Во-вторых, аэрозоли приводят к модификации свойств облаков и изменению содержания газовых примесей вследствие химических реакций - косвенное воздействие [67].
Прямое воздействие аэрозоля на радиационный баланс земли противоположно воздействию парникового эффекта. В то время, как парниковые газы уменьшают радиационную эмиссию Земли, вызывая общее потепление, аэрозольное рассеяние наоборот ведёт к охлаждению поверхности. Прямое воздействие аэрозолей зависит, в частности, от его высотного распределения. Например, аэрозоли, содержащие сажу, сильно поглощают солнечное излучение. Как следствие, охлаждение на поверхности земли сопровождается нагреванием верхних слоев атмосферы. Этот эффект сокращает температурный градиент атмосферы, влияя на процесс испарения и формирования облаков. Таким образом, информация о вертикальном распределении аэрозолей и альбедо однократного рассеяния (соотношение рассеяния и поглощения) является необходимой при моделировании подобных процессов.
Аэрозоли оказывают воздействие на водный цикл планеты путем модификации микрофизических параметров облаков. В загрязнённых районах мелкие аэрозоли выступают в качестве ядер конденсации, сокращая размер капель в облаках на 20-30%, что в свою очередь увеличивает рассеяние солнечного излучения и соответственно охлаждает поверхность [43]. Подавление процесса коалесценции, вызванное аэрозолями, может влиять на формирование кристаллов льда в облаках, что также ведет к модификации их оптических свойств.
Существующие на сегодняшний день климатологические модели характеризуются значительной неопределенностью предсказаний, что связано, в том числе, с отсутствием надежной информации о вертикальном распределении микрофизических параметров аэрозолей и о процессах модификации облаков под воздействием внешней среды. Последний отчёт Межправительственной Комиссии по Изменению Климата [46] определяет воздействия аэрозолей на радиационный баланс планеты как наиболее серьёзный источник погрешностей при моделировании изменений климата. Для уменьшения этой неопределённости необходима долговременная достоверная количественная информация о временных и пространственных вариациях параметров аэрозолей.
Одним из направлений решения этой проблемы является развитие дистанционных методов зондирования. Дистанционные методы, в отличие от локальных измерений, дают возможность получать глобальную информацию о параметрах аэрозолей и облаков. Подобные измерения могут проводиться как с земли, так и из космоса. Подробный обзор спутниковых систем мониторинга аэрозолей можно найти в недавней публикации [22]. Хотя системы наземного базирования уступают спутниковым по глобальности предоставляемой информации, они являются более простыми в обслуживании и способны поставлять достоверные данные о параметрах аэрозолей в выбранном районе. Измерение параметров аэрозолей с земли проводится, например, в рамках программы AERONET (Aerosol Robotic Network) [41]. Эта сеть солнечных радиометров насчитывает уже более 100 станций по всему миру. Она позволяет получать информацию об интегральных по высоте параметрах аэрозолей, таких как оптическая толщина, распределение по размерам, комплексный показатель преломления и альбедо однократного рассеяния на основе анализа спектра рассеянного излучения [41, 50, 64]. Однако солнечные радиометры не дают информации о вертикальном распределении аэрозолей, что является их существенным недостатком. Кроме того, солнечные радиометры могут быть использованы только в дневное время и в отсутствии облаков.
Инструментом, способным заполнить этот информационный пробел, является многоволновой лидар. Термин LIDAR происходит от английского выражения: light identification, detecting and ranging. Преимущество использования
6 лидара состоит в том, что он позволяет получать измерения с высоким разрешением по высоте, и может быть использован как в дневное, так и ночное время суток. Обзор существующих типов лидаров и подробное рассмотрение области их применения приведены в монографии Межериса [20]. Отметим, что в России лидарные исследования проводятся в ряде научных центров, таких как Институт Оптики Атмосферы (Томск), Институт Общей Физики, Центральное Аэрологическое Управлении, НПО «Тайфун», Институт Космического Приборостроения, Центр Физического Приборостроения ИОФРАН [8-11, 16, 22]. В последнее десятилетие были предприняты многочисленные попытки определения параметров аэрозолей по данным многоволнового лидарного зондирования. Эта задача обычно разделяется на две независимые: вычисление оптических данных аэрозолей в виде коэффициентов ослабления а и обратного рассеяния /? из результатов лидарных измерений, и затем восстановление распределения аэрозолей по размерам/(г), используя эти оптические данные.
Восстановление физических параметров аэрозолей по оптическим данным, измеренным в широком спектральном диапазоне, интенсивно применяется в различных пассивных методиках дистанционного мониторинга атмосферы. Успехи в реализации этих методов в значительной степени стимулировали попытки переноса опыта, аккумулированного в процессе разработки пассивных систем, на случай лидарного зондирования [75]. Вместе с тем следует отметить, что задача восстановления параметров аэрозолей по данным лидарного зондирования имеет ряд особенностей. Во-первых, оптические данные, полученные лидарными методами, характеризуются высокими погрешностями измерения. А во-вторых, при зондировании используется лишь относительно небольшое количество длин волн.
Среди существующих подходов оценки параметров аэрозолей наиболее простыми являются прямые методы. К ним относятся аппроксимация методом наименьших квадратов, графический метод, метод максимума правдоподобия и др. [33, 42, 55, 65, 72]. Они основаны на использовании целого ряда априорных предположений о типе распределения аэрозолей по размерам Дг) и величине комплексного показателя преломления т. Располагая данной информацией, можно сравнить измеренные оптические данные и оптические данные, полученные по известному распределению. В результате находятся оптимальные параметры распределения (средний размер и дисперсия), при которых оба набора оптических данных согласуются наилучшим образом. Однако такого рода априорная информация доступна лишь для ограниченного круга задач, например, при исследовании стратосферного аэрозоля. В то же время основная часть аэрозолей содержится в тропосфере и характеризуется значительными вариациями физических параметров.
Количество требуемой априорной информации существенно уменьшается при рассмотрении задачи восстановления распределения аэрозолей по размерам как обратной. В общем виде обратная задача может быть записана в виде A /(г) = \К{т9 Л, r)f(r)dr = и{Л), о где А - обозначение интегрального оператора с ядром К(т,Л,г), связывающего пространства физических и оптических свойств аэрозолей; и(Л) — оптические данные на длине волны Л; г — радиус частиц. Предполагая, что показатель преломления т известен, распределение аэрозолей по размерам fr) можно выразить через исходную информацию в виде оптических данных и(Л), используя преобразование, обратное оператору Л.
В зависимости от способа построения обратного оператора А'1 использовались различные методы восстановления распределения аэрозолей по размерам^) на основе оптических данных и(Х). В методе наименьших квадратов [45] обратное преобразование находится из условия минимума квадрата невяз-ки р = \\А/{г)-и(Л)\\ ->min. Широкое распространение получил метод декомпозиции [37, 40, 73, 74]. В этом методе модифицируется структура оператора Л путём разложения искомого распределения fr) специальным образом в конечный ряд по базисным функциям в виде ядра К(т,Л{,г), і = 1, 2..., JV, где N- количество длин волн зондирования. В результате такого представления задача восстановления распределения аэрозолей по размерам Дг) сводится к нахожде- нию коэффициентов разложения в ряд по функциям K(m,Zhr). Достоинством метода декомпозиции является то, что он позволяет получить не только решение обратной задачи, но и оценить его точность. Обзор этих методов приведён в монографии Тоуми [66].
Однако упомянутые методы инверсии всё же требуют знания комплексного показателя преломления га. К числу методов решения рассматриваемой обратной задачи в отсутствии информации и о виде распределения аэрозолей по размерам Хг) и о показателе преломления т относится метод регуляризации А.Н. Тихонова. Суть этого метода состоит в том, что обратный оператор А'1 находится из условия минимума специально построенного функционала М, представляющего собой суперпозицию квадрата невязки /З2 и стабилизирующего члена Г, а именно
М=\\АЛг)-и(Л)\\2 + уГ-+тт, в котором степень стабилизации регуляризируется параметром у.
Метод регуляризации использовался в работах [34, 39, 50, 61, 63, 68]. Однако препятствием для получения надёжных и физически значимых результатов в этих работах являлась высокая погрешность измерения лидарных данных. Кроме того, недостатком обычного подхода, предложенного Тихоновым, является то, что он требует знания величины о погрешности измерения оптических данных и(Л). В этом случае параметр регуляризации у удаётся оценить, например, с помощью метода невязки [24]. При лидарном зондировании такая информация отсутствует, что также накладывает ограничения на использование методов в указанных работах.
Следует подчеркнуть, что Иванов и др. [48] предложили использовать в качестве критерия выбора параметра регуляризации у вместо обычного принципа невязки такое ограничение, при котором решение fir), описывающее физические свойства частиц, является неотрицательным. Проведённый анализ показал, что использование ограничения, требующего только неотрицательность пространства решений, не обеспечивает необходимую точность восстановления.
Ситуация изменилась с созданием рамановского лидара, или лидара комбинационного рассеяния, который способен независимо измерять оптические данные аэрозолей и(Я) в виде коэффициентов обратного рассеяния ДА) и ослабления а(Я) с точностью около 10 % [28, 55]. Использование многоволнового рамановского лидара в Институте Тропосферных Исследований (ИТИ), Лейпциг, позволило впервые оценивать распределение аэрозолей по размерам J[r) и показатель преломления т по шести коэффициентам обратного рассеяния ДА) на длинах волн Л = 355, 400, 532, 710, 800, 1064 нм и двум коэффициентам ослабления а(Я) при Я = 355, 532 нм. Как результат, появилась возможность определять альбедо однократного рассеяния [31,57], являющееся важным параметром в изучении климата.
Алгоритм, предлагаемый ИТИ, основан на методе регуляризации [56-58]. В этом алгоритме для оценки параметра регуляризации у в отсутствие информации о погрешности измерения оптических данных w(A) было использовано т.н. обобщённое утверждение [44].
Вместе с тем, ряд проблем остаётся нерешёнными. Несмотря на впечатляющие возможности, многоволновой лидар ИТИ является очень дорогим и сложным в эксплуатации. Было бы желательно оценивать параметры аэрозолей, используя упрощенную версию лидарной системы на основе Nd:YAG лазера с генератором третьей гармоники [60, 69]. Такой лидар позволяет измерять коэффициенты обратного рассеяния ДА) на длинах волн Я = 355,532, 1064 нм и ослабления а(Я) при Я = 355, 532 нм. Измеряемое количество оптических данных в принципе должно позволить решить рассматриваемую задачу. Следует отметить, что число длин волн может быть увеличено, при использовании преобразователей вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР) на основе водорода и дейтерия.
Требование глобальности мониторинга атмосферы делает необходимым объединение лидаров в сеть. Первая такая попытка была предпринята в Европе в 2000-2001 годах в рамках программы EARLINET [36] - европейская лидарная сеть по исследованию аэрозолей, объединяющая более 20 европейских лидар-ных групп; Почти все эти группы используют Nd: YAG лазеры, и относительно недорогая модернизация существующих лидарных систем позволила бы качественно увеличить объём получаемой информации.
Одним из результатов исследований в ИТИ стала стабилизация решения обратной задачи при использовании комбинации коэффициентов а(Л) и ДА). Вопрос об их соотношении, тем не менее, требует дополнительной проработки.
Кроме того, восстановленное распределение аэрозолей по размеру J{r) в ряде случаев характеризуется значительными осцилляциями, что приводит к существенной погрешности в оценке концентрации частиц [57, 59]. Нестабильность работы алгоритма ИТИ может быть обусловлена неоптимальным выбором параметра регуляризации у на основе обобщённого утверждения. Стабилизация работы алгоритма становится критичной при использовании ограниченного набора оптических данных а(Х) и ДА). Наконец, неисследованным остаётся вопрос о диапазоне размеров, в котором параметры аэрозолей могут быть восстановлены с приемлемой точностью при заданном наборе длин волн А/.
Целью настоящего исследования является разработка алгоритма определения параметров атмосферных аэрозолей на основе многоволнового лидарного зондирования, не требующего априорной информации о характере распределения частиц по размерам и их физических свойствах, а также обеспечивающего устойчивое решение задачи в условиях ограниченного набора оптических данных и высокой погрешности их измерения.
В соответствии с этой целью решаются следующие задачи: модификация математической модели рассеяния лазерного излучения на ансамбле аэрозолей произвольного распределения; расчёт коэффициентов обратного рассеяния и ослабления ансамбля аэрозолей для различных длин волн, показателей преломления и параметров заданного закона распределения частиц по размерам; сравнительное исследование точности различных методов восстановления коэффициентов обратного рассеяния и ослабления аэрозолей по данным
11 лидарного зондирования; выбор метода решения обратной задачи восстановления параметров аэрозолей по оптическим данным и его обоснование; оценка точности восстановления параметров аэрозолей для выбранного алгоритма и реальных погрешностей лидарных измерений.
При проведении научного исследования были реализованы такие методы, как математическое моделирование, в результате которого была оценена устойчивость предлагаемого алгоритма к погрешности оптических данных; дистанционное измерение оптических коэффициентов атмосферных аэрозолей с помощью многоволнового рамановского лидара; локальный забор проб на борту самолёта для контроля точности восстановления параметров аэрозолей дистанционным методом.
При реализации алгоритма предполагается ряд допущений.
Допущение 1. Аэрозоли являются сферическими однородными частицами.
Допущение 2. Комплексный показатель преломления не зависит от размеров частиц.
Допущение 3. Расстояние между аэрозолями много больше длины падающей волны.
Допущение 4. Рассеяние на аэрозолях является однократным.
Указанные допущения не накладывают жёстких ограничений на использование алгоритма в обычных условиях. Обоснуем это утверждение.
В земной атмосфере частицы, образовавшиеся из газов, и кристаллические обводнённые частицы в основном имеют сферическую форму. Кроме того, существуют многочисленные исследования, начиная с работы Хюлста [47], в которых, рассматривая частицы различной формы, авторы приходят к выводу, что оптические свойства ансамбля таких частиц могут быть представлены как оптические свойства хорошо изученных сферических аэрозолей некоторых эффективных размеров. Теоретические расчёты интенсивности рассеяния света на неоднородных частицах, приведенные Туоми, показали, что неоднородные сферы с размерами оптически активных частиц могут быть аппроксимированы с помощью однородных сфер со средним показателем преломления, которые подчиняются классической теории Ми.
В результате лидарных измерений оцениваются также такие параметры, как оптическая толщина т = \a{z)dz и деполяризация г] возвращаемого сигна- ла. При т < 0,8 рассеяние является однократным. Это же условие обеспечивает достаточное расстояние между рассеивающими частицами. Таким образом, в стандартных условиях с высокой степенью уверенности можно считать, что мы всегда будем оставаться в рамках установленных допущений. Кроме того, результаты анализа деполяризации возвращаемого сигнала позволяет сделать вывод как о наличии несферических частиц, так и об эффектах многократного рассеяния.
Научная новизна диссертационного сследования заключается в достижении следующих результатов: разработан алгоритм восстановления параметров аэрозолей для использования в условиях ограниченного количества оптических данных и значительной погрешности их измерения (до 20 %); проведено численное моделирование для определения точности восстановления параметров аэрозолей в диапазоне размеров частиц 0,05 -
5,00 мкм; определено оптимальное число длин волн лидара, а также количественное соотношение между коэффициентами обратного рассеяния и ослабления, обеспечивающих максимальную стабильность алгоритма; показано, что использование рамановского лидара на основе Nd:YAG лазера с генератором третьей гармоники, измеряющего коэффициенты обратного рассеяния на длинах волн 355, 532, 1064 нм и ослабления на 355 и 532 нм, позволяет оценить параметры аэрозолей с точностью, достаточной для климатологических исследований;
5) проведено моделирование использования разработанного алгоритма для восстановления различных типов атмосферных аэрозолей, характеризуе мых бимодальным распределением частиц по размерам; представлена возможность оценки комплексного показателя преломления аэрозолей по данным лидарного зондирования; проведено сравнение результатов обработки лидарных данных, выполненной с помощью разработанного алгоритма, и результатов локального забора проб с борта самолёта; продемонстрировано, что параметры аэрозолей восстанавливаются с точностью, установленной при численном моделировании;
8) произведено сравнение разработанного программного комплекса с программами, используемыми в ряде зарубежных научных центров, таких как Институт Тропосферных Исследований (ИТИ), Лейпциг, и Институт Матема тики (ИМ), Потсдам. Показано, что разработанный алгоритм является более стабильным и обеспечивает более высокую точность.
Основные положения, выносимые на защиту: использование критерия минимума модифицированной невязки в методе регуляризации Тихонова, позволяющего оценить оптимальное значение параметра регуляризации без априорной информации об ошибке измерения оптических данных; усреднение решений с модифицированной невязкой в окрестности минимального значения; выбор оптимального набора оптических данных для восстановления параметров аэрозолей на основе лидарных измерений, характеризуемых значительными погрешностями, в условиях отсутствия априорной информации о комплексном показателе преломления; определение точности алгоритма восстановления параметров аэрозолей для типичных погрешностей данных лидарного зондирования и при неизвестном показателе преломления; сравнение результатов восстановления параметров аэрозолей лидар-ным методом с результатами локальных измерений с борта самолёта, а также с результатами, полученными при использовании алгоритмов ИТИ и ИМ.
Практическая значимость исследования состоит в разработке программного комплекса, который позволяет автоматизировано проводить все этапы вычислений, начиная от обработки лидарного сигнала и заканчивая восстановлением физических свойств аэрозолей (см. общую блок-схему в приложении 3). Разработанный программный комплекс превосходит существующие зарубежные аналоги, характеризуется высокой скоростью обработки данных и удобством в использовании.
Реализация результатов. В настоящее время разработанный программный комплекс используется в ряде отечественных и зарубежных научных центров, таких как ЦФП ИОФАН (Россия), ИТИ (Германия), NASA (США).
Апробация работы. Выносимые на защиту результаты опубликованы в ведущих международных научных журналах и представлены на двух конференциях: 20th и 21st International Laser Radar Conference, в 2000 и 2002 г. Ведущими научными организациями как отечественными, так и зарубежными, представлены положительные отзывы, подтверждающие эффективность предлагаемого алгоритма (см. приложение 2).
Структура и объём диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы из 75 наименований и 3 приложений. Общий объём диссертации 150 стр., включая 7 табл. и 19 рис.
Разложение электромагнитного поля по мультиполям
Согласно параграфу 1.1 электромагнитные вектора удовлетворяют векторному уравнению Гельмгольца. В параграфе 1.2 мы нашли общее решение для каждой декартовой составляющей векторов В и Е в виде (1.45). Объединяя эти выражения, приходим к векторному решению где A/w произвольные постоянные вектора. Выражение (1.46) представляет собой разложение по мультиполям. Определим смысл векторов А/т. Векторные коэффициенты Кіт не вполне произвольны, так как должно выполняться условие div Е = 0. Поскольку радиальные функции линейно независимы, то условие div Е = 0 должно порознь выполняться для обеих сумм в (1.46), откуда Введём векторный дифференциальный оператор Основные свойства введённого оператора можно найти, например, в [49]. Выделим некоторые из них где индексы х, у означают проекции на соответствующую декартову ось, a s -любая из проекций. Оператор (1.48) позволяет провести следующие преобразования. Заменяя в выражении (1.47) оператор div оператором (1.51), придём к условию Полученное условие возможно, если Условие (1.57), означающее поперечность поля относительно радиус-вектора, в сочетании с уравнением (1.58) позволяет однозначно определить системы векторных угловых функций порядка / для каждого заданного значения т. Эти функции непосредственно находятся из условий (1.57) и (1.58) с учётом общих свойств функций Y\m. Однако нетрудно заметить, что угловое решение можно представить в виде Действительно, оно, во-первых, удовлетворяет условию поперечности поля (1.57), что мгновенно следует из формулы (1.49).
Во-вторых, при таком представлении решения выполняется условие (1.58), это следует из формул (1.50) и (1.49). Наконец, то, что функции gi(r) LF/W удовлетворяют волновому уравнению Гельмгольца, следует из коммутативного свойства проекции векторного оператора (1.48) на любую орту s декартовой системы координат и оператора Лапласа - формула (1.55). Итак, принимая условие (1.57), мы приходим к следующей системе частных решений, или электромагнитных мультипольных полей: Любая линейная комбинация этих полей с различными индексами / и т удовлетворяет системе уравнений (1.10). Характерной особенностью полученных решений является ортогональность вектора напряжённости радиус-вектору (г-Е/от= 0), поэтому подобные волны не представляют общего решения (1.10). Это так называемые поперечные электрические ТЕ-волны. Если исходить из системы уравнений (1.11), а не (1.10), то мы придём к другой системе мультипольных полей, в которой радиусу-вектору ортогонален вектор В: называемые поперечные магнитные ТМ-волны. Именно две системы полученных мультипольных полей (1.60) и (1.62) образуют полную систему векторных решений уравнений Максвелла (1.9). В Литературе также можно встретить такие названия этих мультиполей, как магнитные и электрические, соответственно.
На их основе вводится такое фундаментальное понятие, как векторные сферические гармоники, которые описываются нормированными функциями с условием ортогональности где Q - телесный угол. Таким образом, комбинируя оба типа полей, можно написать общее решение уравнений Максвелла (1.9) в виде где коэффициенты а 1,т) и а 1,т) определяют амплитуды электрических и магнитных полей, соответствующих индексам (/, т). Как отмечалось, радиальные функции fkr) и gfckr) имеют вид (1.61). Значения коэффициентов a ljri) и ajJJ,m), также как и амплитуды (16), определяются источниками и граничными условиями. Решение (1.65) представляет собой разложение электромагнитных полей по мультиполям с помощью векторных сферических гармоник. Такое представление оказывается удобным во многих практических приложениях, в частности, при решении краевых задач. На практике часто приходится оперировать электромагнитными полями, представляющими собой плоские волны. В частности, пучок лазерного света, используемый при дистанционном зондировании, является плоской волной. При исследовании рассеяния электромагнитного излучения сферическими телами или вообще ограниченной системой необходимо иметь разложение плоской электромагнитной волны по сферическим гармоникам. Другими словами, требуется найти в разложении (1.65) коэффициенты a l rri) и aJJ,m) для векторов Е и В, которые описывают плоскую волну. Плоская волна может быть представлена в виде [19] е кг \ где k = ks — волновой вектор (s — единичный вектор, указывающий направление распространения волны), поскольку поверхность равных фаз, описываемая уравнением k г = const, есть ничто иное, как плоскость. Замечательным свойством таких волн является то, что вектор Е (В) в любой момент времени / лежит в одной плоскости.
Если, при этом, он совершает круговое вращение, возникает круговая поляризация, а при изменении вдоль какого-либо направления в данной Плоскости — линейная.
Энергетические характеристики электромагнитного поля, поляризация
В предыдущем пункте было описано, в частности, поле в дальней зоне при рассеянии линейно поляризованной волны сферической частицей. Однако в практических приложениях при измерениях приходится оперировать не со значениями векторов Е и В, однозначно описывающих произвольное электромагнитное поле в какой-либо точке пространства, а с энергетическими характеристиками, такими как яркость, интенсивность, сечения рассеяния, ослабления и т. п. [54]. Другими словами, измерительные приборы, например при дистанционном зондировании, регистрируют просто-напросто мощность сигнала, или энергии, переносимой электромагнитными волнами. Поэтому необходимо знать, кроме пары (Е, В) рассматриваемого поля, также энергию, которая ему соответствует.
Как известно [2, 17], количество энергии, протекающее в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную к направлениям Е и Н, определяется вектором Пойнтинга
Для гармонического поля среднее значение вектора Пойнтинга имеет вид где, как обычно, значок « » означает комплексное сопряжение. Поскольку нас интересуют только гармонические волны, в дальнейшем знак () будем опускать, подразумевая, что мы имеем дело с усреднёнными по времени величинами.
Рассмотрим поток энергии, возникающий при дифракции линейно поляризованной волны на сфере в диэлектрической среде. В терминах параграфа 1.5 [в котором вектор В легко может быть заменён на вектор Н согласно уравнению (1.7)] это означает, что мы должны определить вектор Пойнтинга для поля (Е2, В2). В соответствии с формулами (1.147) и (1.96) имеем где Sinc, Ssca — потоки энергии падающего и рассеянного полей соответственно, а вектор Sexf=—Re(E,„cxH sca + EscaxH ) определяет ослабление электромагнит-8л ного поля, смысл которого станет ясен ниже. Найдём полный поток энергии (1.148), выходящий через произвольную сферическую поверхность с элементом da, равноудаленную от рассеивающего центра. Полный поток в единицу времени в этом случае равен поверхностному интегралу II рода [26], взятому по замкнутой поверхности с нормалью а = еп Обозначив
Величина (—Wabs) означает, что для частицы, поглощающей часть падающей энергии, суммарный поток через поверхность некоторой сферы совпадает по величине со скоростью, с которой происходит поглощение. Иная ситуация складывается для среды, окружающей рассеивающую частицу. Поскольку она является непоглощающей, то полный поток через произвольную замкнутую поверхность Wi„c = 0, откуда из последнего равенства следует соотношение
Из этого соотношения видно, что полный поток вектора Sext представляет собой скорость диссипации энергии, или скорость потерь на тепло и рассеяние, откуда и термин «ослабление».
Нам потребуется сечение экстинкции частицы, равное отношению скорости диссипации энергии (Wabs + Wsca) к количеству энергии, падающей в единицу времени на единичную площадку в сечении тела, Finc где Finc = S;nc также имеет название «энергетическая освещённость» и согласно определению (1.147) в дальней зоне с учётом формул (1.7), (1.95) и (1.138) может быть представлена следующим образом Аналогичным образом вводятся сечения рассеяния и поглощения
Здесь нужно отметить, что приведённые энергетические характеристики, описывающие рассеивающую поверхность, такие как (1.150) и (1.152), как уже отмечалось, характеризуют энергию, распространенную во всех направлениях, однако при реальных измерениях это достаточно сложная задача. На практике интерес вызывают характеристики в каком-либо определённом направлении. К таким характеристикам относится дифференциальное сечение рассеяния. Оно отличается от «полного» сечения (1.152) тем, что нормируется интенсивностью падающего поля не усреднённый поток энергии по всем направлениям в единицу времени Wscei, а лишь его плотность в нужном направлении, то есть
Другими словами, дифференциальное сечение рассеяния - это отношение энергии, излучаемой в единицу телесного угла в единицу времени, к потоку энергии падающей волны, через единичную площадку за единицу времени. Представим его через компоненты векторов Е1са и Hsca, используя выражения (1.147) и(1.151) тогда в дальней зоне
Это более наглядное представление рассматриваемой энергетической характеристики поля, выражаемое через интенсивность света I, так как хорошо известен факт, что интенсивность распространяющейся волны пропорциональна квадрату её амплитуды.
Прежде, чем искать энергетические характеристики поля плоской линейно поляризованной волны, рассеянной на сфере, исследуем его поляризацию [23]. Определим плоскость наблюдения как плоскость, в которой лежат направление распространения падающего света и направление (0, ф) наблюдения. Очевидно, данная плоскость совпадает с плоскостью рисунка 1, если точка наблюдения Р находится в плоскости (х, z). В соответствии с системой (1.95) и сферической системой координат (1.13) ф представляет собой угол между этой плоскостью и направлением колебания электрического вектора падающей волны. На основании системы (1.145) либо (Esca)Q, либо (Д ф равно нулю, когда ф=л/2 или ф=0; поэтому рассеянный свет линейно поляризован, если плоскость наблюдения параллельна или перпендикулярна первичным колебаниям. Поскольку отношение (SCaV(sca)q комплексно, в любом другом направлении (9, ф) свет в общем случае поляризован эллиптически.
Пусть плоскость наблюдения совпадает с плоскостью (у, z). Разложим свет, рассеянный частицей под произвольным углом наблюдения 0, по двум компонентам, имеющим интенсивности /j_(0) = \(Ехса)о\2 и /ц(9) = \(Esca\\2, поляризованным перпендикулярно и параллельно плоскости наблюдения соответственно. Интенсивности могут быть выражены через энергетическую освещённость
Сравнение методов решения уравнения лазерной локации при лидарных измерениях
Целью данного параграфа является практическое применение методов Клетта, Ковалева, Рамана и наклонного метода, а также их сравнения при реальных измерениях, проводимых на лидарной установке, созданной в Центре Физического Приборостроения ИОФ РАН. Измерения проводились в ноябре 1999 года.
На рис. 2.1а представлена зависимость мощности возвращаемого сигнала от высоты при различных длинах волн, удовлетворяющая уравнению (2.1) [или первому уравнению системы (2.39)] в случае упругого рассеяния и второму уравнению системы (2.39) в случае рамановского рассеяния. В целом зависимость мощности сигнала от высоты является убывающей функцией, так как она обратно пропорциональна квадрату расстояния. Однако на высоте от 900 до 1 200 м чётко выражен пик, обусловленный наличием облака. Слой на этой высоте характеризуется достаточно резким изменением оптических свойств атмосферы по сравнению с прилегающими областями и представляет особый интерес с точки зрения оценки физико-химического состава.
Проведём анализ решений, полученных на основе описанных методов, при обработке лидарных данных. Результаты применения этих методов проиллюстрированы на рис. 2.1. Прежде мы использовали метод Рамана для нахож дения оптических данных (рис. 2.1в и 2.1г), чтобы оценить профиль лидарного отношения — рис 2.16. Затем мы определили коэффициенты ослабления с помощью трёх других методов. На рисунке 2.1 г можно сравнить профили коэффициента ослабления, найденные различными методами. Профили, полученные методом Клетта, показаны для различных значений лидарного отношения типа (2.12). Профиль, определённый методом Ковалёва, представлен только при ли-дарном отношении Р" = 15 ср. Многочисленные результаты показывают, что оба метода (Клетта и Ковалёва) дают, обычно, близкие решения, как это видно из рисунка 2.1 г при Р = 15 ср. Кроме того, мы продемонстрировали наклонный метод, который может быть применён только в однородной атмосфере. Поскольку это условие выполняется на небольших высотах, профиль коэффициента ослабления определён наклонным методом лишь до высоты 800 м. В этом случае можно наблюдать результаты, аналогичные тем, которые получены методом Рамана, если провести усреднение профиля на высотах от 400 до 800 м. Метод Клетта также даёт решение близкое к решению методом Рамана при значении лидарного отношения Р" = 50 ср. Однако результаты решения лидарного уравнения методом Клетта сильно зависят его значения. Как видно из рис. 2.16, лидарное отношение меняется с высотой от 40 до 100 ср, причём максимальное изменение наблюдается в наиболее интересуемой нас области ярко выраженных оптических свойств. Вследствие чего использование метода Клетта (также как и Ковалёва) с постоянной величиной лидарного отношения может приводить к значительной ошибке. Данный пример очень хорошо иллюстрирует сложности, возникающие при обработке лидарного сигнала и ключевую роль метода Рамана в достижении приемлемой точности определения оптических данных.
Аналогичный анализ проводится на всех длинах волн, на которых получен лидарный сигнал. После того, как определены профили коэффициентов обратного рассеяния и ослабления, набор оптических данных, соответствующий определённому высотному слою, может быть использован для оценки параметров аэрозолей. Исследованию этой задачи посвящена следующая глава.
При реальных измерениях для определения оптических данных используется уравнение лазерной локации. Данное уравнение содержит две неизвестные функции: коэффициент обратного рассеяния и ослабления. В связи с этим требуется дополнительная информация для возможности его разрешения.
В качестве дополнительной информации может выступать знание о свойствах атмосферы. Если атмосфера является однородной, то возможно применение наклонного метода для нахождения оптических данных. С высокой степенью точности атмосфера считается однородной при исследовании небольших высот или при зондировании атмосферы в горизонтальном направлении. Как правило, наклонный метод используется для вспомогательной оценки оптических свойств, поскольку в общем случае атмосфера неоднородна.
Другим видом дополнительной информации является лидарное отношение. Использование лидарного отношения позволяет связать коэффициенты обратного рассеяния и ослабления и свести лидарное уравнение к уравнению с одним неизвестным. На использовании такого рода информации основаны методы Клетта и Ковалёва. Эти методы позволяют решать уравнение лазерной локации в общем случае и дают разумные результаты. Аналогичный вид дополнительной информации обеспечивает близкие решения лидарного уравнения методами Ковалёва и Клетта. Однако эти методы дают всё ещё большую ошибку определения коэффициентов обратного рассеяния и ослабления, так как, обычно, лидарное отношение также неизвестно при измерениях.
Применение метода регуляризации при обработке экспериментальных данных
Разработанный алгоритм был применён при обработке шести волновых лидарных данных, полученных в рамках Экспедиции по Характеристике Аэрозолей в Линденберге 98, ЭХАЛ 98. Он был проведён в Метеорологической Обсерватории в Линденберге (52,2с.ш., 14,1 в.д.) в июле и августе 1998 года. Несколько дополнительных наземных и воздушных лидарных систем вместе с платформой для характеристики свойств аэрозолей на борту самолёта позволили получить данные высокого качества. Эти данные использовались для проверки двух других методов решения задачи (3.1). Первый метод был разработан Институтом Тропосферных Исследований, ИТИ [56], а второй - Институтом Математики (ИМ) при Университете в Потсдаме [34], Германия. Все лидарные измерения выполнялись ночью. Подробное описание результатов ЭХАЛ 98 даётся [32].
Для проверки мы использовали два типа исходных данных. Первый тип описывает измерения от 9.08.98. При этом наблюдался тропосферный слой на высоте 3-6 км. Он возник в результате интенсивного горения биомассы на северо-западе Канады за шесть дней до лидарных измерений. Мы выбрали два диапазона высот рассматриваемого слоя от 4 200 до 5 400 м и от 3 500 до 4 000 м. Последний получен от центра загрязнённого облака. Второй тип исходных данных описывает измерения, проводимые вечером 11.08.98. В этом случае наблюдался загрязнённый слой в результате адвекции континентальных воздушных масс Европы. Для обоих типов исходных данных результаты обработки могли быть проверены бортовыми измерениями свойств частиц с места, так как 9.08.98 и 11.08.98 в воздухе находился самолёт с необходимым для этого оборудованием. Исследуем лидарные измерения, полученные в диапазоне высот от 3 500 до 4 000 м 9.08.98. Алгоритмы ИТИ и ИМ проверялись при полных наборах оптических данных 2а + 6J3. Кроме того, проверка алгоритма ИТИ проводилась при минимальном наборе 2а + ЗД результаты которой подробно описаны [60].
Рисунок П. 1.16 приложения 1 показывает распределение аэрозолей по размеру, восстановленное предлагаемым алгоритмом. Результаты восстановления приведены в таблице 4. Рис. П. 1.17 приложения 1 иллюстрирует оценку параметров аэрозолей. Эффективный радиус, количественная, поверхностная и объёмная концентрации частиц изображены в зависимости от невязки ртег. Для набора 2а + 6/3 минимальная невязка Pmin- 1,2 %, а наибольшая плотность экстремалей находится на отрезке [1,2 %, 8,0 %]. Минимальна невязка для набора 2а + Ъ/3 равна Pmin 1 2 %. На отрезке усреднения радиус reff варьируется от 0,27 до 0,35 мкм, поэтому он определён как среднее значение с ошибкой, покрывающей его минимальный и максимальный пределы изменения гед = 0,31±0,04 мкм. Количественная концентрация равна nt= 160 ± 80 см"3. Как видно, ошибка восстановления находится в пределах, установленных при моделировании (см. таблицу 3) для данного диапазона размеров частиц. Поверхностная концентрация меняется от 117 до 125 мкм см" . Этот параметр наиболее стабилен в восстановлении. Объёмная концентрация лежит в пределах от 10,5 до 14,5 мкм3см"3. Действительная часть показателя преломления варьируется от 1,61 до 1,48, а мнимая часть приблизительно равна 0,03. Инверсия набора Ър±2а ведёт к близким результатом. Восстановленные параметры аэрозолей разумно согласуются с результатами ИТИ и ИМ так же, как и с измерениями с места, хотя предлагаемый подход даёт более низкие значения количественной концентрации.
На основе замечания, сделанного в пункте 3.8.2, можно сделать вывод, что ошибка оптических данных при лидарных измерениях меньше 10 %, так как интервал усреднения принят при Ртег= 8 %. Результаты, полученные по уменьшенному набору оптических данных (3/?+ 2а) при использовании нашего алгоритма и ИТИ, существенно не отличаются от тех, которые соответствуют полному набору {вр + 2а). Однако мы заметили слабое увеличение ошибки восстановленных параметров в каждом случае. С одной стороны, результаты обработки экспериментальных данных ещё раз подтверждают, что использование рамановского лидара только на основе лазера типа Nd:YAG может быть достаточно, чтобы обеспечить определение важных параметров аэрозолей. С другой стороны, увеличение уровня ошибки требует дальнейшего исследования общей применимости алгоритма при уменьшенном наборе оптических данных.
