Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка задачи идентификации линейных дискретных динамических систем, описываемых уравнениями свертки, и обзор методов ее решения 15
1.1. Формулировка задачи 15
1.2. Методы вычисления параметров линейных динамических систем с ошибками во входном и выходном сигналах 18
2. Метод расширенной системы уравнений в регуляризованнои задаче наименьших квадратов 32
2.1. Численная обусловленность расширенной системы уравнений, соответствующей регуляризованнои задаче наименьших квадратов 32
2.2. Прямой проекционный метод для решения регуляризованнои задачи наименьших квадратов 39
2.3. Прямой проекционный метод для решения регуляризованнои задачи наименьших квадратов с применением стратегии выбора ведущего элемента 45
2.4. Численное исследование разработанного алгоритма решения регуляризованнои задачи наименьших квадратов 50
3. Расширенная система уравнений в методе инструментальных переменных 62
3.1. Численная обусловленность расширенной системы уравнений, соответствующей задаче с применением инструментальных переменных -
3 3.2. Прямой проекционный метод для решения задач с применением инструментальных переменных 68
3.3. Прямой проекционный метод для решения задач с применением инструментальных переменных с использованием стратегии выбора ведущего элемента 74
3.4. Численное исследование разработанного алгоритма решения задачи с применением инструментальных переменных 77
Заключение 89
Список литературы
- Методы вычисления параметров линейных динамических систем с ошибками во входном и выходном сигналах
- Прямой проекционный метод для решения регуляризованнои задачи наименьших квадратов
- Численное исследование разработанного алгоритма решения регуляризованнои задачи наименьших квадратов
- Прямой проекционный метод для решения задач с применением инструментальных переменных с использованием стратегии выбора ведущего элемента
Методы вычисления параметров линейных динамических систем с ошибками во входном и выходном сигналах
При выборе а согласно (2.13) число обусловленности матрицы С (а ) будет значительно меньше числа обусловленности матрицы С (а) и матрицы системы (2.3). Даже при выборе а — а = у/]3, мы имеем спектральное число обусловленности матрицы С (а ) cond2C(a5( 5t) которое меньше, чем сопсЬС и cond2(AT 4 + (ЗЕ). На рис. 4 показаны значения чисел обусловленности cond2(ATA + (ЗЕ) и cond2 С(аг) при а = 1, а = а и аг = 2, ат = 1.57-10-4, (3 = 0.0001. 40001 45000 / / 40000- 35000- і 2551 30000-25000- / / 20000- 15000- 10000- 200 5000- / / / У п и і і і і Cond2(ATA+pE) Cond2C(l) Cond2C(0.01) Из рис. 4 видно, что число обусловленности cond2C(a ) = cond2C(0.01) приблизительно в 200 раз меньше cond2(АТA+ f3E) и приблизительно в 130 раз меньше, чем cond2C(l).
Таким образом, использование масштабного множителя а = а в СЛАУ (2.12) позволяет значительно уменьшить ее число обусловленности.
Преобразование регуляризованной задачи наименьших квадратов к расширенной СЛАУ (2.5) приводит к увеличению размерности исходной задачи. Решение этой системы известными методами (ортогональные методы, метод Холесского) при большой размерности исходной задачи связано с трудностями вычислительного характера. Поэтому для решения расширенной СЛАУ регуляризованной задачи наименьших квадратов в диссертационной работе разработана специальная модификация прямого проекционного метода (ППМ).
Рассмотрим систему (2.5) и пусть в ней Рассмотрим теорему, доказательство которой дано в [16]. Теорема 1. Пусть все главные миноры матрицы С отличны от нуля, т.е. detCi O Уг = 1,2,...,р, (2.14) и пусть векторы уі Є Шр и матрицы Р; Є ЕрХр, г = 1,2, .. ., , удовлетворяют системе рекуррентных уравнений Уі+і =Уі + gQiWi+i СІ+1УІ)/ШІ+І, уо = 0, (2.15) -40 Pi+i =Pi 9 і +1Рі/ил+1, Po = E, (2.16) где Рі = [д(?).-.дРі)]є Rpxp, ші+1 = cf g , і = 0,1,. ..,P- 1. Тогда условия (2.14) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы oji+i 0 \/г = 0,1,... ,р — 1. При этом ур = С х 1, т.е. ур является решением системы линейных алгебраических уравнений (2.5).
Учитывая особенности структуры векторов ППМ и матрицы системы (2.5), прямой проекционный метод для решения регуляризо-ванной задачи наименьших квадратов можно представить в компактной форме.
Обозначим vf = (qf,sf)T, УІ = {ГІ, Х{)Т Є Rp, где qf, ТІ Є Г\ sf\ х{ Є НГ, і = 0,1,.. .р - 2, (0) (0) 7 1 О J % = -аЬ sk = еЬ « = l,2,...,m yo = d. Полученный вариант алгоритма ППМ решения регуляризо-ванной задачи наименьших квадратов приводится в следующей теореме. Теорема 2. Пусть векторы Vj, yi удовлетворяют следующей системе рекуррентных уравнений тцегі+1 =af+1q 1-(З, і = 0,1,... ,m - 2, j = г + 2, г + 3,... ,га, Уі+і = У, - У$1г (2.18) где г = 0,1,...,7П — 1. Тогда условия (2.14) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы т +і 0 \/г = 0,1,... , га — 1, при этом хгп = (АТА + (ЗЕт)-1АТЬ. -41 Доказателъство. Рассмотрим уравнение (2.16). Матрицы Pi имеют структуру Pi = (n0i\. ССС{:Р {), (2.19) \ {-/р — І,І -L-Jp — І J гдеСі)Р_іЄ ГХ(РЛ О а и Op-iti - нулевые матрицы соответствующих размерностей, Ep-i - единичная матрица размера (р — і) X (р — г). Первые і столбцов матрицы Pi равны нулю, т.е. ду = О Vj = 1,2,..., г, тогда в матрице Pj+i достаточно вычислять р — г — 2 последних столбцов и, следовательно, формулу (2.16) для р 2 можно записать в виде Г1} = я? тгт-яйі. (2-2) где -г) = c ipj0, j = г + 2, г + 3,... ,р, г = 0,1,... ,р - 2, а = efc - /г-ый столбец единичной матрицы Ер \fk = 1,... ,_р. Так как Cj = J51; для і = 1,... ,гг, то применяя к первым п уравнениям системы (2.5) формулу (2.16) и учитывая (2.19), получа ем, что Из (2.21) видно, что в уравнении (2.20) векторы д\г г = е;+і - столбцы единичной матрицы Ер, і = 0,1,..., п — 1, а 9к+п V ек ) где к = 1,2,..., m, ajc = (aife,..., апк)Т столбцы матрицы А, ёк - столбцы единичной матрицы Em. Представим векторы д в виде -42 где ff] Є Rn и zf є т.
Применяя соотношение (2.20) к последним т уравнениям системы (2.5) и учитывая, что в векторе с[+1 последние га — 1 элементов , і ( ) (О равны нулю, кроме г + 1 элемента, а в векторах дк- и д\+г равны нулю последние р—г—1 элементов, кроме j и г+1 элементов соответственно, получаем Vj — Ci+l9j — ai+l-nJj шг+1 — сі Уі+1 — ai+l-nJi+l Р Т и? где j = і + 2,і + 3,... ,р, і = п,п + 1,.. .,р — 2. Теперь применим формулу (2.15) к первым п уравнениям системы (2.5). Учитывая, что д г = е;+і и, следовательно, а;;+1 = 1, а первые п компонент с[+1 равны нулю, кроме г + 1 компоненты и, следовательно, cf+1yi = 0 для і = 0,1,..., тг — 1, то получаем, что Уі+і =Уі + Ьі+ід і = (Ьі,...Л+і,0,...,0)т и 2/n = {bi, J &n, 0,..., 0)T = d. Так как для системы (2.5) dj = 0 Vj = га, га + 1,... ,_р, то применение соотношения (2.15) к последним га уравнениям приводит к т аі-\-1-пГі (І) /Г) оо\ 2/»+1 =2/» Й+1» (2-22) где г = n, п + 1,... ,р — 1. Полагая гг- = д\г+ T +i = k i+i+n и подставляя в (2.20) и (2.22), получим соответственно реккурентные уравнения (2.17) и (2.18) соответственно. Теорема доказана.
Полученный вариант алгоритма для ППМ решения регуля-ризованной задачи наименьших квадратов требует решения только последних га уравнений, несмотря на то, что расширенная система (2.5) имеет размерность га + п.
Решение СЛАУ (2.5) с помощью полученного алгоритма ППМ требует в общей сложности приблизительно т3 + 2т2 п — т2 арифметических операций, учитывая, что в системе (2.5) решаются только последние т уравнений из р = п + т.
Как показывают численные исследования (см. раздел 2.4), алгоритм, порожденный соотношениями (2.17), (2.18) для решения СЛАУ (2.12) с параметром а = а , по численной устойчивости не уступает алгоритмам, основанным на ортогональных преобразованиях, и требует на реализацию меньшее число арифметических операций.
Сравним численные методы, которые могут быть использованы для решения регуляризованной задачи наименьших квадратов, с ППМ по числу затрачиваемых арифметических операций. Количество арифметических операций, которое зависит от размерности матрицы А Є K.nXm переопределенной системы (2.1) приведено в таблице 1
Прямой проекционный метод для решения регуляризованнои задачи наименьших квадратов
Как отмечалось в главе 1, формирование системы (1.14) в задаче с применением инструментальных переменных ухудшает ее численную устойчивость. Поэтому в диссертационной работе предлагается подход на основе расширенной СЛАУ.
Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений, которая возникает при решении задачи с применением инструментальных переменных (1.14) WTAx = WTb, (3.1) где А Є Mnxm, We MnXm, n m, гапкЛ = т, rankW = m, xe Rm,be Mn.
Систему уравнений (3.1) обычно решают с помощью метода Гаусса [7]. Матрица этой системы несимметричная. Это осложняет решение системы уравнений, которая в большинстве случаев является плохо обусловленной. В случае плохой обусловленности системы используют методы, основанные на ортогональных преобразованиях. Эти методы ведут к значительному увеличению числа арифметических операций.
Поэтому в работе предлагается рассмотреть систему линейных алгебраических уравнений: Г г = Ь — Ах і WTr = О, -63-которую можно записать в матричном виде ( 2)(0-Ю я -А (з-2) Система уравнений (3.1) эквивалентна СЛАУ (3.2). Исследуем число обусловленности расширенной системы уравнений. Найдем спектральное число обусловленности матрицы Н. Пусть 7i т2 ... 7р - сингулярные числа матрицы ііГ, р = п+га. Матрица Н - несимметричная и не всегда является положительно определенной, что позволяет при исследовании численной обусловленности расширенной системы уравнений дать только ее оценку.
Так как модули собственных чисел матрицы заключены между наибольшим и наименьшим сингулярными числами [5], то conc i?) = — max А; / min Aj , где Х{ - собственные значения матрицы Н. Выразим собственные значения матрицы Н через собственные числа матрицы W А. По определению собственного значения матрицы [6] записываем Hz = Xz, где z = (zi,z2)T ф 0 - собственный вектор, состоящий из двух частей зі Є R", z2 Є Rm. Тогда z1 + Az2 = Xzu (3.3) WTZl = Xz2. (3.4) Умножим обе части равенства (3.3) на WT: WTzx + WTAz2 = XWTz1. (3.5) -64 Подставляем W1z\ из (3.4) в (3.5) и получаем, что WTAz2 = (X2-X)z2, где Z2 ф 0, и Л2 — Л - собственное значение матрицы WTA, a z2 соответственно — собственный вектор. ЕСЛИ Z2 = 0, то WTZl = О, где 2і 0. Так как собственные числа матрицы И ТА равны / 1 А 2 т, ТО Л2 - Л = fa. Таким образом, собственными числами матрицы Н будут числа ЛІ = і \±\]\ + = !,..-,т, (3.6) Так как гапк(И/ТЛ) = m п, то Л = 1 имеет алгебраическую кратность п — т. Из (3.6) видно, что i f pA l=i +vi + № min I Аг- = 1, 1 г .р І"Уї + ц" Получаем, что число обусловленности матрицы І7 будет иметь следующую оценку СОПСІ2( ) \ + \\ + VI П1ІП{1 I" yl+Mm [ -65 или + у 4 + А 1 ПРИ Mm 2, При 0 Цт 2. Сопа2(я) I+V/IT Il-S/T+Mml Для получения точной оценки сопс -Н") рассмотрим систему уравнений (aEn A\fa 1r\_ \WT Oj{ x J где a 0 - произвольный варьируемый параметр. Обозначим за ! (3.7) Ы = (Р о) Собственные числа матрицы Н(а) находятся аналогично собственным числам матрицы Н и будут равны а. \i(a) = 1 f ± 4/1- + = 1,...,т, где // - собственные числа матрицы WTА.
Так как r&nk(WTA) = т п, то А = а имеет алгебраическую кратность п — т. Спектральное число обусловленности матрицы Н(а) будет иметь оценку cond2(#(a)) + Mi - + 2 mina 0 a,f- \l + /im I (3.8) где mm a, a a a + r 5+1 При 0 а y/fJLm/2, при а у/Цт/2. Обозначив за ЛИ а. 2 +V + /-І1 а.1 -\/т + Мт л(«) = 5 + v і+ найдем нижнюю границу (3.8): mm а + А/ +М1 mina 0 а, + / г = mm min /i(«), ппп__/2(а) f = a 0 [0 a у/цт/2 cx y/fim/2 1 + \A + 8ff: _ 1 + x/1 + 8cond2( TA) при a; = a V 2 т.е. СОПСІ2 (#(&)) 1 +yT+ c d (3.9) На рис. 20 показана зависимость оценки спектрального числа обусловленности матрицы Н(а) от параметра а при значениях щ = 905.63, fj,m = 0.12.
Из (3.9) видно, что при использовании параметра а = а число обусловленности матрицы Н(а) будет меньше числа обусловленности матрицы Н системы уравнений (3.2) и матрицы WTА системы (3.1). Таким образом, введение параметра а позволяет повысить численную устойчивость задачи. -67 a 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Рис. 20. Зависимость оценки спектрального числа обусловленности матрицы Н (а) от параметра а На рис. 21 показаны значения числа обусловленности cond2(WTA) и оценок cond2#(a) при а = 1 и a = а при значениях i = 905.63, /гт = 0.12. Cond2 (WTA) Cond2 H(l) Cond2 H(a) Из рис. 21 видно, что использование подхода на основе расширенной матрицы позволяет в десятки раз снизить число обусловленности, особенно с использованием масштабного множителя а = а.
Преобразование задачи с применением инструментальных переменных к расширенной СЛАУ (3.2) приводит к увеличению размерности исходной задачи. Использование известных методов для ее решения связано с трудностями вычислительного характера.
Для репіения расширенной СЛАУ, соответствующей задаче с применением инструментальных переменных, в диссертационной работе разработана специальная модификация ППМ, которая позволяет сократить число арифметических операций для получения решения системы уравнений (3.2).
Рассмотрим систему (3.2) где Я Є Шрхр, у Є Шр, de RP, р = п + т. Пусть Я; = ... Є R"", Нр = Я, W/ di - элементы вектора d, d = (di,..., dp)T Є IRP, hf = (hn,..., hip) - строки матрицы H, і = 1,2,...ри /hu ... hu\ Hi = I І Є IK. j H\ = /іц 5 Up = H. \ hu ... ha J -69 Рассмотрим теорему, доказательство которой дано в [16]. Теорема 3. Пусть все главные миноры матрицы Н отличны от нуля, т.е. detНІ ф 0 Уг = 1,2,...,р, (3.10) и пусть векторы уі Є Ш.р и матрицы РІ Є МрХр, і = 1,2,...,р, удовлетворяют системе рекуррентных уравнений Уі+i =Уі + 9i+i(di+i - hf+1yi)/-yi+li уо = 0, (3.11) Pi+i = Pi - g ihf+iPi/ъ+и Ро = Е, (3.12) где РІ = [д[{) . ..дЮ] Є RpXp, Ъ+1 = hj+1g% і = 0,1,... ,р- 1. Тогда условия (3.10) являются необходимыми и достаточными для того, чтобы 7 +1 Ф 0 У« = 0,1,... ,р — 1. Л ш этом Ур = iJ-1c?, т.е. /р является решением системы линейных алгебраических уравнений (3.2).
Учитывая особенности строения векторов ППМ и матрицы системы (3.2), можно получить модификацию ППМ для решения задачи с применением инструментальных переменных, которая позволит сократить число арифметических операций для получения решения СЛАУ (3.2).
Численное исследование разработанного алгоритма решения регуляризованнои задачи наименьших квадратов
Рассмотрим тестовые примеры на которых проводились численные исследования разработанных алгоритмов:
Весовая функция: h(t) =3, t = 0,1,..., гп — 1; т=200 изображена на рис. 24. Значения параметров входного сигнала x(t): а = 4, к = 32. Для рассматриваемого тестового примера при т = 200 максимальное и минимальное сингулярные числа матрицы WTA: IH = 3.09-104; /zm = 2.27-10-5. На рис. 25 приведены числа обусловленности матриц рассматриваемых методов. При заданной весовой функции менялось число ее значений т. На рис. 26 приведена зависимость чисел обусловленности матриц рассматриваемых методов от га. Значения параметров входного сигнала x(t): а = 4, к = 32.
Для рассматриваемого тестового примера при m = 200 максимальное и минимальное сингулярные числа матрицы WTА: ji-i = 2.02 104; /іт = 1-00 Ю-7. На рис. 29 приведены числа обусловленности матриц рассматриваемых методов при пг = 200.
При заданной весовой функции менялось число ее значений т. На рис. 30 приведена зависимость чисел обусловленности матриц рассматриваемых методов от т. На рис. 31 приведена зависимость среднеквадратического отклонения 5h(t) от сг /а 82
Значения параметров входного сигнала x(t): а = 4, к = 32. Для рассматриваемого тестового примера при га = 200 максимальное и минимальное сингулярные числа матрицы WTA: /І! = 6.77-103; /лт = 1.27-10-п. На рис. 33 приведены числа обусловленности матриц рассматриваемых методов при га = 200. При заданной весовой функции менялось число ее значений га. На рис. 34 приведена зависимость чисел обусловленности матриц рассматриваемых методов от га.
Результаты численных экспериментов на приведенных примерах показывают, что наиболее точное решение дают ППМ и QR - метод для решения расширенной СЛАУ (3.7) с применением оптимального множителя а = Метод Гаусса оказался менее устойчивым. Он дает решение СЛАУ (3.1), число обусловленности которой является наибольшим из рассматриваемых. Это видно на рис. 26, 30, 34. Этот метод применительно к СЛАУ (3.7) с расширенной матрицей Н{а) дает погрешность решения немного большую, чем ППМ для решения той же системы уравнений.
Из проведенных численных исследований можно сделать следующие выводы. ППМ для решения СЛАУ (3.7) с оптимальным множителем а = а является универсальным алгоритмом. Среди рассмотренных численных методов решения регуляризованной задачи наименьших квадратов он по точности получаемого решения не уступает QR - методу, который является наиболее численно устойчивым. Также ППМ требует значительно меньшее число арифметических операций.
Проведем численное исследование модификаций ППМ, повышающих его численную устойчивость (использование оптимального масштабного множителя, выбор ведущего элемента), на тестовом примере 1, рассмотренном выше, применительно к СЛАУ (3.7). Сред-неквадратические отклонения 5h(t), полученные при репгении задачи инструментальных переменных различными модификациями ППМ в зависимости от отношения сг /а для тестового примера 1, приведены на рис. 36. Во всех трех случаях использовался оптимальный масштабный множитель.
Из рис. 36 видно, что наименьшее среднеквадратическое отклонение Sh(t) дает ППМ решения СЛАУ (3.7) с оптимальным мас -88 штабным множителем а = а и с использованием новой стратегией выбора ведущего элемента. Из проведенных численных исследований ППМ можно сделать следующие выводы. Любая модификация прямого проекционного метода повышает его численную устойчивость, в особенности, если этот метод применять к СЛАУ (3.7) с оптимальным масштабным множителем и с новым выбором ведущего элемента. Единственный недостаток в том, что на реализацию ППМ с новой стратегией выбора ведущего элемента требуется самое большое число арифметических операций среди всех модификаций. Но это число арифметических операций меньше того числа, которое требовалось для решения СЛАУ ортогональными методами
Прямой проекционный метод для решения задач с применением инструментальных переменных с использованием стратегии выбора ведущего элемента
Результаты численных исследований на приведенных примерах показывают, что наиболее точное решение дает ППМ решения СЛАУ (2.12) с оптимальным множителем (2.13) а = у р- + /3 и QR - метод, применяемый к СЛАУ с расширенной матрицей (1.13).
Метод Холесского дает решение СЛАУ (2.3), число обусловленности которой является наибольшим из рассматриваемых. Метод Холесского и QR - метод применительно к СЛАУ (2.12) с расширенной матрицей С (а ) дают погрешность решения немного большую, чем ППМ для решения той же системы уравнений.
Это подтверждает то, что метод Холесского для СЛАУ (2.3) дает решение, относительная погрешность которого зависит от квадрата числа обусловленности cond A). Подход, использующий QR -разложение, дает решение, относительная погрешность которого за-висит от величины соп І2(Л) + r cond2( ), где г = ЦЛж — 6Ц2 -минимальная невязка.
Таким образом, если г - мала (во всех тестовых примерах это выполняется), a cond2(A) - велико, то метод нормальных уравнений дает решение, как правило, менее точное, чем QR - разложение. Напротив, оба метода дадут примерно в одинаковой степени неточные результаты при применении к плохо обусловленным задачам с большими невязками.
Также из рис. 9, 13, 17 видно, что число обусловленности матрицы АТА + (ЗЕ СЛАУ (2.3) является наибольшим из рассматриваемых, а число обусловленности матрицы С {а ) СЛАУ (2.12) близко к числу обусловленности матрицы А СЛАУ (1.13). Это будет одной из причин того, что ППМ решения системы уравнений (2.12) будет давать близкие по численной устойчивости результаты к QR - методу, применяемому к СЛАУ (1.13).
Из проведенных численных исследований можно сделать следующие выводы. ППМ для решения СЛАУ (2.12) с оптимальным множителем (2.13) а = JЦ - +/3 является универсальным алгоритмом. Среди рассмотренных численных методов решения регуляризованнои задачи наименьших квадратов он по точности получаемого решения не уступает QR - методу, который является наиболее численно устойчивым. Также ППМ требует значительно меньшее число арифметических операций.
Проведем численное исследование модификаций ППМ, повышающих его численную устойчивость (использование оптимального масштабного множителя, выбор ведущего элемента), на тестовом примере 1, рассмотренном выше, применительно к СЛАУ (2.12).
Среднеквадратические отклонения 6h(t), полученные при решении регуляризованнои задачи наименьших квадратов различными модификациями ППМ для тестового примера 1, приведены на рис. 19. Во всех трех модификациях использовался оптимальный масштабный множитель.
Из рис. 19 видно, что наименьшее среднеквадратическое отклонение 8h(t) дает ППМ решения СЛАУ (2.12) с оптимальным масштабным множителем (2.13) и с использованием новой стратегией выбора ведущего элемента.
Численная обусловленность расширенной системы уравнений, соответствующей задаче с применением инструментальных переменных Как отмечалось в главе 1, формирование системы (1.14) в задаче с применением инструментальных переменных ухудшает ее численную устойчивость. Поэтому в диссертационной работе предлагается подход на основе расширенной СЛАУ. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений, которая возникает при решении задачи с применением инструментальных переменных (1.14) WTAx = WTb, (3.1) где А Є Mnxm, We MnXm, n m, гапкЛ = т, rankW = m, xe Rm,be Mn.
Систему уравнений (3.1) обычно решают с помощью метода Гаусса [7]. Матрица этой системы несимметричная. Это осложняет решение системы уравнений, которая в большинстве случаев является плохо обусловленной. В случае плохой обусловленности системы используют методы, основанные на ортогональных преобразованиях. Эти методы ведут к значительному увеличению числа арифметических операций.
Поэтому в работе предлагается рассмотреть систему линейных алгебраических уравнений: Г г = Ь — Ах і WTr = О, -63-которую можно записать в матричном виде ( 2)(0-Ю я -А (з-2) Система уравнений (3.1) эквивалентна СЛАУ (3.2).
Исследуем число обусловленности расширенной системы уравнений. Найдем спектральное число обусловленности матрицы Н. Пусть 7i т2 ... 7р - сингулярные числа матрицы ііГ, р = п+га. Матрица Н - несимметричная и не всегда является положительно определенной, что позволяет при исследовании численной обусловленности расширенной системы уравнений дать только ее оценку
