Введение к работе
Актуальность темы. Многие важные задачи физики, техники, экономики, социологии и т.д. представляют собой так называемые обратные задачи. Математически обратные задачи чаще всего выражаются с помощью интегральных или интегродифференциальных уравнений в свертках. Ярким примером является задача гравиразведки, математическая модель которой описывается нелинейными интегральными уравнениями в свертках первого рода.
Главная сложность в решении обратных задач, описываемых интегральными уравнениями в свертках первого рода, заключается в том, что они в подавляющем большинстве являются некорректными задачами,
в отличие от прямых задач. Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений. Поэтому многие классические вычислительные методы неприменимы к этим задачам.
С другой стороны, теория искусственных нейронных сетей (ИНС), возникшая в середине прошлого столетия, изначально позиционировала себя как средство решения неформализуемых или трудноформализуемых задач, к которым относят задачи распознавания образов, классификации и кластеризации, оптимального управления и т.д. ИНС являются перспективными средствами решения вышеуказанных задач. Поэтому представляет интерес применение ИНС к решению интегральных уравнений в свертках.
В последнее время значительно возрос интерес к численным алгоритмам решения задач математической физики на ИНС. В общем случае алгоритмы численного моделирования обратных задач сводятся к задачам аппроксимации и итерационным методам решения операторных уравнений.
Тем не менее в настоящее время отсутствуют работы, посвященные решению интегральных уравнений первого (некорректная задача) и второго рода на ИНС. Практически отсутствуют методы и алгоритмы решения обратных задач на ИНС.
Перечисленные обстоятельства делают проблему решения обратных задач, и в частности интегральных уравнений первого рода в свертках, на ИНС актуальной. Решению этих вопросов посвящена данная диссертационная работа.
Цель работы состоит в приближенном решении интегральных уравнений в свертках на искусственных нейронных сетях и в применении полученных результатов к задачам гравиразведки.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
– разработать методы приближенного представления функций многих переменных на ИНС;
– разработать численные алгоритмы локализации минимума функции многих переменных (как периодической, так и непериодической) и программную реализацию данных алгоритмов на ИНС;
– построить формулы приближенного вычисления кратных интегралов, допускающих реализацию на ИНС;
– разработать численные алгоритмы решения интегральных уравнений на ИНС с использованием формул приближенного вычисления кратных интегралов и программную реализацию данных алгоритмов;
– построить итерационные формулы решения интегральных уравнений в свертках Фредгольма и Вольтерра;
– провести численное моделирование динамики колебаний чувствительного элемента струнного гравиметра;
– разработать комплексы программ, реализующие разработанные численные алгоритмы.
Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, прикладного функционального анализа, теории аппроксимации, квадратурных формул, теории ИНС, теории линейных интегральных уравнений, интегральных преобразований и численных методов. Достоверность научных положений подтверждается соответствием теоретических результатов с результатами численного эксперимента на тестовых задачах.
Научная новизна работы состоит в следующем:
– предложены алгоритмы представления функций многих переменных на искусственных нейронных сетях;
– разработаны алгоритмы локализации минимума функции многих переменных на ИНС, которые применимы как на классе периодических функций, так и апериодических;
– предложены кубатурные формулы приближенного вычисления кратных интегралов на ИНС с использованием теории сведения функции многих переменных к функции одного переменного и преобразования Фурье;
– построены численные алгоритмы решения интегральных уравнений на ИНС с использованием специальных кубатурных формул вычисления кратных интегралов;
– предложены и обоснованы итерационные формулы решения интегральных уравнений в свертках Фредгольма и Вольтерра, эффективно реализуемые на искусственных нейронных сетях;
– разработаны алгоритмы численного решения обратных задач на ИНС с использованием адаптированных итерационных формул.
Теоретическая ценность заключается в следующем:
– предложены и обоснованы приближенные алгоритмы локализации минимума функции многих переменных на ИНС. Алгоритмы основаны на сведении последних к функциям одной переменной;
– предложены и обоснованы численные алгоритмы решения интегральных уравнений на ИНС, основанные на методе сведения многомерных интегралов к одномерным;
– предложены и обоснованы итерационные алгоритмы решения интегральных уравнений в свертках Фредгольма и Вольтерра на ИНС;
– предложены и обоснованы новые итерационные алгоритмы решений уравнений Вольтерра;
– разработаны численные алгоритмы исследования задач гравиразведки;
– исследована динамика колебаний струнного чувствительного элемента с переменным сечением.
Практическая значимость работы состоит в разработке пакета следующих программ:
- локализация минимума функции многих переменных;
- приближенное решение интегральных уравнений первого рода в свертках и, в частности, задач гравиразведки;
- моделирование динамики колебаний чувствительного элемента струнного гравиметра.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Алгоритмы минимизации функций многих переменных, основанные на их сведении к функциям одной переменной, даны оценки точности нахождения экстремальных значений и дана реализация алгоритмов
на ИНС.
2. Итерационные методы решения интегральных уравнений пер-
вого рода в свертках, разработана методика реализации этих методов
на ИНС.
3. Итерационные методы решения интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма в свертках, разработаны алгоритмы реализации итерационных формул на ИНС.
4. Алгоритмы решения задач гравиразведки на ИНС.
5. Численные алгоритмы решения интегральных уравнений на ИНС
с использованием формул приближенного вычисления кратных интег-ралов.
6. Численный алгоритм моделирования динамики колебаний металлического струнного чувствительного элемента переменного сечения для струнного гравиметра.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ, из них 5 – в изданиях, рекомендованных ВАК.
Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: Первой Всероссийской конференции «Нейросетевые алгоритмы решения задач математической физики» (Москва, 2007); III Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (Пенза, 2008); VIII Всероссийской научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике» (Пенза, 2008); XXVIII Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов «Датчики и системы – 2009» (Пенза, 2009); XXIX Всероссийской научно-практической конференции молодых ученых и специалистов «Датчики
и системы – 2010» (Пенза, 2010).
Пакет прикладных программ «Приближенные методы решения уравнений динамики колебаний металлической струны» используется в производственной деятельности ОАО «НИИФИ» (акт о внедрении прилагается
к диссертации).
Методы, разработанные в данной диссертации, использовались в НИР по проекту «Разработка теории функционирования волоконно-оптических лазерных интерферометрических систем на основе методов идентификации динамических систем с распределенными параметрами» (Рособразование, Рег. № 2.1.2/937; мероприятие 2, раздел 2.1, подраздел 2.1.2,
код ГРНТИ 59.03.05; 59.31.71; 59.45.37); срок выполнения - 2009-2010 гг.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, приложений и изложена на 239 страницах.
