Содержание к диссертации
Введение
1 Некоторые задачи термографии и геофизики, приводящие к обратной задаче потенциала и задаче для уравнения Лапласа 16
1.1 Обратная задача термографии. Сведение к обратной задаче потенциала. Концепция аналитического продолжения 16
1.1.1 Проблема обработки ж интерпретации термографических изображений 16
1.1.2 Физическая и математическая модель. Постановка обратных задач 18
1.1.3. Связь обратных задач термографии с обратной задачей потенциала (ОЗП). Некорректность обратных задач термографии 21
1.1.4 Концепция аналитического продолжения. Сведение обратных задач термографии к задачам Коши для уравнения Лапласа , 30
1.2 Задача продолжения потенциального поля 35
1.2.1 О постановках периодических задач продолжения потенциального поля с данными на произвольной поверхности и их связь с задачей Коши для уравнения Лапласа 35
1.2.2 О погрешности периодической модели в задаче продолжения потенциального поля 53
1.2.3 Связь с обратной задачей потенциала 64
1.2.4 Линейная обратная задача потенциала (связь поля с характеристической функцией носителя плотности источников поля) , 65
2 Задача Коши для уравнения Лапласа с данными на поверхностях общего вида 69
2.1 Некоторые постановки задач Коши для уравнения Лапласа с данными произвольной поверхности. Некорректность 69
2.2 Задала Коши для уравнения Лапласа. Устойчивые методы решения . 74
2.3 Задача Коши для уравнения Лапласа. Точное решение 83
2.3.1 ЗКУЛ как смешанная задача в цилиндрической области с граничными условиями первого рода 83
2.3.2 ЗКУЛ как смешанная задача в цилиндрической области с граничными условиями второго рода 86
2.3.3 ЗКУЛ с данными Коттга на замкнутой поверхности 87
2.4 Задача Коши для уравнения Лапласа. Устойчивое решение 88
2.4.1 Устойчивое решение ЗКУЛ как смешанной задачи в цилиндрической области с граничными условиями первого рода 88
2.4.2 Устойчивое решение ЗКУЛ как смешанной задачи в цилиндрической области с граничными условиями второго рода 91
2.4.3 Устойчивое решение ЗКУЛ с данными Коши на замкнутой поверхности 92
2.5 Об усточивом решениии ЗКУЛ с приближенно заданной границей , 92
2.6 Функция Карлемана-Лаврентьева 102
Устойчивое решение задачи продолжения температурного поля 107
3.1 Устойчивое продолжение температурного поля в цилиндрическую область прямоугольного сечения 107
3.1.1 Продолжение температурного поля в случае граничных условий первого рода 107
3.1.2 Продолжение температурного поля в случае граничных условий второго рода 111
3.2 Продолжение температурного поля с замкнутой поверхности 112
3.2.1 Определение начала сферической системы координат как центра масс источников тепла 112
3.2.2 Обработка термограмм продолжением температурного поля с замкнутой поверхности 114
Устойчивое решение задачи продолжения потенциального поля 116
4.1 Устойчивое решение задачи продолжения «вертикальной» составляющей потенциального поля 116
4.2 Устойчивое продолжение потенциального поля с учетом погрептности периодической модели 123
4.3 Двумерный аналог преобразования Гильберта в задаче продолжения потенциального поля 137
4.4 Об устойчивом продолжении негармонических потенциальных полей 149
4.5 О равномерном устойчивом приближении решения задачи продолжения потенциального поля 158
4.6. Сходимость устойчивого приближенного решения задачи продолжения потенциального поля по мере 163
4.7 Метод Рунге-Ричардсона уточнения продолженного поля по расширяющимся областям 164
Вычислительные алгоритмы 166
5.1 Об особенностях применения метода Фурье при численном решении задачи продолжения потенциального поля 168
5.1.1 Постановка задачи и ее точное рептение 169
5.1.2 Вычисление коэффициентов Фурье решения смешанной краевой задачи 171
5.1.3 Оценка погрешности при дискретизации задачи 175
5.1.4 Построение и оценка погрешности устойчивого приближенного решения задачи в случае неточно заданных граничных значений 177
5.2 Вычислительные алгоритмы для задачи термографин 180
5.2.1 Продолжение температурного поля в цилиндрическую область прямоугольного сечения 180
5.2.2 Продолжение температурного поля с замкнутой поверхности 181
Вычислительный эксперимент 182
6.1 Обработка термографических изображений методом гармонического продолжения 182
6.1.1 Обработка модельных термографических изображений продолжением в цилинрическую область 182
6.1.2 Численное продолжение температурного поля с замкнутой поверхности 185
6.1.3 Обработка реальных термографических данных 190
6.2 Численное продолжение потенциального поля 192
6.2.1 Численное продолжение поля в «горизонтальной» плоскостях на модельных примерах 192
6.2.2 Восстановление формы неоднородности в плане и сходимость продолженного поля по мере 194
6.2.3 Уточнение продолженного поля методом Рунге-Ричардсона 195
Заключение 197
Литература 200
- Связь обратных задач термографии с обратной задачей потенциала (ОЗП). Некорректность обратных задач термографии
- ЗКУЛ как смешанная задача в цилиндрической области с граничными условиями первого рода
- Продолжение температурного поля в случае граничных условий первого рода
- Двумерный аналог преобразования Гильберта в задаче продолжения потенциального поля
Введение к работе
Применение вычислительной техники к решению прикладных задач привело к формированию по-существу нового инструмента научного исследования - вычислительного эксперимента, - что в свою очередь привело к формированию нового направления в научных исследованиях - математического моделирования [149]. В 80-х годах революция в вычислительной технике позволила перейти на качественно новый уровень сложности решаемых задач и, что не менее важно - уровень представления результатов. Вместе с тем возрастает значение квалифицированного проведения вычислительного эксперимента с обоснованным выбором модели и алгоритмов и их коррекции. Потенциал современной вычислительной техники позволяют говорить о возможности все более глубокой обработки результатов измерений в рамках все более усложняющихся физических и математических моделей. В частности, это относится к исследованиям структуры и состояния объектов по косвенной (измеряемой) информации. Проблема обработки данных с такой целью математически как правило формулируется в виде обратных задач математической физики [39, 70], которые ставятся в рамках той или иной физической модели. Характерный пример задач такого рода - обратные задачи геофизики [38,156,129,166,173] - задачи определения структуры земной коры по измеряемым физическим поля, связанным с этой структурой. Состоятельность задачи в смысле реальной возможности ее решения, то есть в конечном счете - возможности вычиления и представления результата определяется понятием корректности [63, 71,192]. Особенность обратных задач состоит в том, что они, как правило, некорректно поставлены [38, 78, 72, 192] в естественных классах. Вместе с тем в ряде случаев для таких задач удается найти более узкие классы - единственности и устойчивости - определяемые некоторыми условиями. Существование
таких классов позволяет отнести некорректную задачу к числу условно корректных [72]. Конструктивный учет дополнительных условий в применении к решению таких задач приводит к получению регуляризирующих алгоритмов их решения [192], не выводящих решения за пределы указанных классов.
Определенный круг обратных задач составляют задачи восстановления структуры объектов по клсвенным данным. Такие задачи возникают в тех случаях, когда внутренняя структура объекта по тем или иным причинам недоступна прямому исследованию, в то время как косвенная информация о структуре объекта может быть получена в виде порождаемых этой структурой пространственного распределения физических полей, собственных или полученных как отклик на внешнее воздействие, которые могут быть измерены. Среди таких задач разнообразные геофизические задачи [38, 156, 151], обратные задачи газовой динамики [33], теплообмена [3], задачи электрокардиографии [216], электроэнцефалографии [53], томографии [196] и другие. С 80-х годов внимание исследователей привлекли собственные физические поля биологических объектов [42]-[44], [201, 207, 212].
В диссерционной работе в прикладном плане рассматриваются обратные задачи, возникающие в термографии [52, 122] и геофизики (гравиразведки) [173].
При тепловизионных исследованиях нагретых тенлопроводящих объектов, излучающих в инфракрасном диапазоне, «снимок» температурного поля с поверхности объекта как правило служит материалом для непосредственной интерпретации с целью идентификации внутренней структуры (или ее аномалий). При этом воспроизведение внутренней структуры термограммой искажено как за счет ее относительной удаленности от поверхности тела, так и за счет неровностей поверхности. Коррекция изображения возможна на основе метода продолжения стационарного температурного поля с поверхности в область, близкую к структурным неоднородностям. Это продолжение осуществляется решением задачи (или аналогичной)
Аи(М) =0, М D\DQ,
u\dD = f, (1)
й = *<%"/) ,
un dD SD
где .Do содержит структурные неоднородности и источники. Термограмма, получен-
ная в результате такого продолжения как след температурного поля на некоторой поверхности вблизи структуры, может рассматриваться как результат математиче-ской обработки исходной термограммы. Отметим, что всякий способ визуализации температурного поля, формирующий термограмму, является сам по себе математической обработкой значений температурного поля. Таким образом, разработанный в диссертации метод может рассматриваться как математическая обработка термограмм методом аналитического продолжения стационарного температурного поля.
Другой круг задач связан с проблемой обработки данных гравиразведки. Анализ имеющихся методов, в большинстве своем связанных с концепцией аналитического продолжения [173] позволяет говорить о том, что задача аналитического продолжи ния потенциального поля с неплоской ограниченной поверхности в трехмерном случае остается до конца нерешенной и актуальной. Несмотря на то, что теория продолжения потенциального поля с неллоской неограниченной поверхности разработана достаточно полно [50], переход от интегралов Фурье к рядам Фурье при численной реализации методов продолжения, а также при задании поля в реальной ситуации на ограниченной поверхности использование формул [50] недостаточно обосновано и изучено.
В диссертации предлагается концепция продолжения потенциального поля с неплоской тговерхности в исходным образом ограниченной модели, например:
го*Е(М) = 0, М D{F,H) = {(x,yyz):0
divB{M) =0, Q
E|S = E, 3 = {(х,Уіг):д<х<Іх,0<у<1Уіг = Г{х:у)}} (2)
[n,E]UuT = 0, kEJUo^O, F є СОДО)),
Ti{z) = {(я, у, г) : 0 < х < ^,0 < у < tytz = const].
сводящейся к задаче Коши для уравнения Лапласа
АЕг{М) = 0, MeD{F,H),
Ez\s = El
дЕ _ \ д& дЩ (3)
Состоятельность модели обосновывается оценками по геометрическим параметрам области. Ограниченность области позволяет решать задачу разложением в ряд Фурье. Кроме того, обосновывается дискретизация задачи и переход к дискретным рядам Фурье. Известную замкнутость концепции продолжения потенциального поля в ограниченной области придает опирающееся на полученные оценки уточнение Рунге-Ричардсона.
Целью диссертационной работы является решение фундаментальной научной проблемы - разработка эффективных методов математической обработки данных в термографии и гравиразведке и других прикладных областях на основе концепции аналитического продолжения гармонических функций с целью восстановления внутренней структуры объектов по косвенным данным. Достижение цели осуществляется решением следующих задач:
Выбор математических моделей, постановка и исследование обратных задач термографии о восстановлении внутренней структуры объекта по измеренному температурному полю на поверхности, постановка задач продолжения температурного поля в виде задач Копта для уравнения Лапласа и смешанных задач.
Выбор математических моделей для аналитического продолжения векторных потенциальных полей с неплоских ограниченнных поверхностей. Обоснование модели получением оценок по параметрам области по отношению к модели во всем пространстве. Сведение краевых векторных задач продолжения потенциальных полей в цилиндрических областях к смешанным краевым задачам для уравнения Лапласа.
Построение точного и устойчивого приближенного решения Задачи Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач с данными Коти на поверхности произвольного вида. Имея в виду, что поверхности могут быть заданы в результате измерений или приближенного моделирования, требуется построение устойчивого приближенного решения в случае приближенного задания поверхности.
Разработка эффективных алгоритмов задач продолжения гармонических функций как задач Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач с данными на поверхностях общего вида методом Фурье.
Обоснование дискретизации задач, получение оценок дискретизация и оценок устойчивости приближенного решения по параметрам дискретизации задачи.
Проведение вычислительного эксперимент по применению разработанных алгоритмов к модельным задачам термографии и геофизики.
Применение разработанных алгоритмов к к решению практических задач термографии и геофизики.
Научная новизна и значимость
Предложен новый метод точного и устойчивого приближенного решения задач Коши для уравнения Лапласа и структурно близких ей смешанных краевых задач с данными на поверхности общего вида, в том числе заданной приближенно.
Предложен новый метод обработки термографических данных на основе аналитического продолжения стационарных гармонических температурных полей, учитывающий форму ПОВерХНОСТИ ИЗМереНИЙ.
Разработаны новые алгоритмы продолжения векторных потенциальных полей с неплоской ограниченной поверхности, в том числе заданной приближенно.
Впервые дано обоснование сходимости регуляризовавного метода устойчивого решения задачи продолжения по параметрам области при ее расширении до всего пространства.
Впервые для уточнения результата аналитического продолжения применен метод Рунге-Ричардсона по параметрам области при ее расширении до всего пространства.
Впервые доказаны теоремы сходимости по мере для решения линейной обратной задачи потенциала в трехмерном случае и критерий сходимости по мере применен для численного решения задачи продолжения потенциального ПОЛЯ.
Практическая ценность.
Разработанные алгоритмы продолжения температурного поля применяются для обработки термограмм - термографических (тепловиэионных) изображений или термографических данных, полученных другими измерительными средствами, с целью повышения разрешающей способности термографических изображений и повышения их интерпретационных возможностей.
Разработанные алгоритмы продолжения потенциальных пешей применяются для обработки гравиметрических данных и последующей интерпретации продолженного поля с целью выявления гравитационных аномалий, а также - оконтуриванвя место-
рождений полезных ископаемых.
Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения, содержит 24 рисунка, список цитированной литературы содержит 222 наименования. Объем диссертации 220 страниц машинописного текста.
Основное содержание диссертации
Первая глава посвящена постановке и анализу задач, имеющих различное содержание в прикладном аспекте, математическое содержание которых - продолжение гармонических функций с криволинейных поверхностей до носителя функции плотности источников (или особенностей) этих функций с целью получения максимума информации о структуре функции плотности распределения источников. В параграфах 1.1.1, 1.1.2 ставится проблема обработки термографических изображений как задача восстановления внутренней структуры объекта как функции распределения источников тепла или неоднородности коэффициента теплопроводности. Рассматриваются стационарные математические модели в вариантах замкнутой поверхности с условием третьего рода а цилиндрических областей с прямоугольным сечением как краевых задач для гармонических функций со смешанными граничными условиями. В рамках выбранных моделей ставятся обратные задачи восстановления функции плотности распределения источников по измеренному температурному полю на поверхности. В параграфе 1.1.3 прослеживается связь обратных задач термографии с обратной задачей потенциала и обсуждаются вопросы корректности их постановок. Дан обзор классов единственности и устойчивости ОЗП как классов единственности и устойчивости обратной задачи термографии, В связи с относительной узостью известных классов единственности в параграфе 1.1.4 рассматривается концепция продолжения гармонических функций в рамках моделей, рассмотренных в предыдущих параграфах, как задача частичного решения обратной задачи термографии. Дан обзор известных методов аналитического продолжения. Задачи аналитического продолжения стационарного температурного ноля сформулированы как задачи Коши и смешанные краевые задачи для уравнения Лапласа с данными на поверхности достаточно общего вида. К аналогичным приводят задачи продолжения векторных потенциальных полей, широко используемых в геофизике, в цилиндрических областях прямоугольного сечения, позволяющих эффективно строить решения методом
Фурье. В параграфе 1.2.1 рассматриваются соответствующие задачи. В параграфе 1.2.2 приводятся оценки погрешности модели в цилиндрической области по отношению к модели во всем пространстве по параметрам области. Эти оценки вместе с результатами четвертой главы являются обоснованием использования моделей в цилиндрических областях. В праграфе 1.2.3 устанавливается связь обратной задачи восстановления плотности источников по заданному полю в рамках периодической модели с обратной задачей потенциала. В праграфе 1.2.4 рассматривается вариант линейной обратной задачи потенциала, позволяющий связать аналитическое продолжение гармонической функции с задачей восстановления формы носителя функции плотности распределения источников, соответствующей бесконечно тонкому телу.
Во второй главе построены устойчивые решения задачи Копш для уравнения Лапласа (ЗКУЛ) в некоторых постановках с произвольными данными на части границы достаточно общего вида. Эти постановки характерны тем, что допускают построение точного решения с использованием метода Фурье с разложением в ряд по хорошо известным ортогональным системам, хотя в исходной области переменные вообще говоря не делятся. В первом параграфе приведены соответствующие постановки ЗКУЛ, обсуждается вопрос их корректности, приведены примеры неустойчивости для рассматриваемых задач. Обзор известных методов решения, в том числе численного приведен во втором параграфе. В третьем параграфе построены точные решения ЗКУЛ па основе оригинального метода автора, сводящего задачу к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Этот же метод позволяет применить схему регуляризации А.Н.Тихонова для построения устойчивого решения, это построение приведено и обосновано соответствующими теоремами сходимости в четвертом параграфе. В пятом параграфе рассмотрены ЗКУЛ, в которых граница и данные Коши на ней заданы приближенно. В связи с этим рассматривается задача о вычислении нормали к поверхности, заданной приближенно. Вычисление нормали необходимо для формирования правой части основного интегрального уравнения, представленной поверхностными интегралами - потенциалами простого и двойного слоя. Завершается глава шестым параграфом, в котором из приближенного устойчивого решения выделяется конструкция, являющаяся по смыслу функцией Карлемана/Лаврентьева. Доказывается, что эта контструкция удовлетворяет определению функции Карлемана-
Лаврентьева [71].
В третьей главе устойчивые методы решения ЗКУЛ> разработанные во второй главе, применены к решению задачи продолжения гармонического температурного поля как основы для обработки термографических изображений. В первом параграфе рассматривается вариант обработки термограммы (температурного поля на поверхности объекта) гармоническим продолжением в цилиндрическую область и использованием разложения решения в двойной тригонометрический ряд. Во втором параграфе рассматривается вариант продолжения стационарного температурного поля с замкнутой поверхности в ряд по многочленам Лежандра в сферической системе координат. Для определения центра системы координат получена формула, использующая только заданное температурное поле на поверхности и устойчивая к погрешностям в задании этого температурного поля,
В четвертой главе методы решения ЗКУЛ как смешанной задачи использованы для решения задачи продолжения потенциального поля. В первом параграфе решается базовая задача о продолжениии «вертикальной» составляющей гармонического потенциального поля по полному полю3 заданному на неплоской поверхности. Доказана теорема сходимости приближенного решения к точному при уменьшении погрешности в данных согласованно с параметром регуляризации. Во втором параграфе та же задача решается в случае, когда в качестве погрешности в данных взята погрешность модели, полученная во втором параграфе первой главы. Особенность доказательства сходимости приближенного решения к точному состоит в том, что константы в оценках, полученных в первом параграфе] зависят от параметров области и при расширении области до Я3 эта зависимость должна быть раскрыта и учтена при предельном переходе. В третьем параграфе приведено полное решение векторной задачи с использованием преобразования Гильберта «вертикальной» компоненты поля в «горизонтальные^. Доказана сходимость полного векторного приближенного решения к точному решению векторной задачи. В четвертом параграфе разработанная схема решения задачи продолжения потенциального поля применяется для случая продолжения в область с известной плотностью источников с целью восстановления поля вблизи носителя неизвестной функции плотности источников. В пятом параграфе получено равномерное приближение поля вплоть до границы об-
ласти за счет представления поля в виде суперпозиции равномерных приближений полей от источников, расположенных по разные стороны от границы. В шестом параграфе предлагается критерий качества приближенного продолжения поля - оценка сходимости по мере. Оценивается мера симметрической разности областей> в которых приближенное и точное решение соответсвенно превышают определенное значение, такой критерий эффективен в том случае, когда ноле - решение совпадает с точностью до множителя с характеристической функцией носителя плотности источников. В седьмом параграфе на основе оценок погрешности по параметрам области, полученным во втором параграфе первой главы, реализован вариант уточнения приближения поля в периодической модели по методу Рунге-Ричардсона,
В пятой главе приведены основные вычислительные алгоритмы решения задачи аналитического продолжения гармонических функций и дано их обоснование. В первом параграфе приводится вычислительная схема решения задачи продолжения потенциального поля. Показана, что коэффициенты Фурье потенциала источников на вспомогательной поверхности, с которой осуществляется продолжение в сторону источников, могут вычисляться но экономичным схемам, существенно сокращающим количество элементарных вычислительных операций. Получены оценки приближения при дискретизации задачи, а также оценки устойчивости регуляризован-ного решения по отношению к погрешности дискретизации. Аналогичные экономичные алгоритмы, а также оценки дискретизации и устойчивости получены во втором параграфе для задачи продолжения температурного поля в цилиндре. Приведены алгоритмы решения задачи при продолжении температурного поля с замкнутой поверхности.
В шестой главе приведены результаты вычислительного эксперимента на модельных примерах, а также примеры обработки реальных данных.
В заключении перечислены основные оригинальные результаты содержащиеся в диссертации.
Полученные в диссертации результаты опубликованы в 33 работах [64], [82] -[113] и докладывались на Всесоюзной школе семинаре по некорректным задачам (пСаратов, 1985), Всесоюзных конференциях «Вычислительная физика и математическое моделирование»( г.Волгоград, 1988 и 1989 гг.), Международном совещании по
программированию и математическим методам решения физических задач (Дубна, 1993), Международной конференции «Компьютерное моделирование и компьютерные методы в физике» (Дубна, 1996). Международных конференциях «Актуальные проблемы вычислительной физики» (Дубна,-1998, 2000 гп), VIII Белорусской международной математической конференции (Минск, 2000), V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002), Международной конференции «Вычислительные методы в прикладной математике» (Минск, 2003), семинаре В,Б.Гласко на физическом факультете МГУ, семинаре по уравнениям в частных производных В.Н.Масленниковой в РУДН, семинарах Е.П.Жидкова в ЛИТ(ЛВТА) ОИЯИ,
Связь обратных задач термографии с обратной задачей потенциала (ОЗП). Некорректность обратных задач термографии
Во второй главе построены устойчивые решения задачи Копш для уравнения Лапласа (ЗКУЛ) в некоторых постановках с произвольными данными на части границы достаточно общего вида. Эти постановки характерны тем, что допускают построение точного решения с использованием метода Фурье с разложением в ряд по хорошо известным ортогональным системам, хотя в исходной области переменные вообще говоря не делятся. В первом параграфе приведены соответствующие постановки ЗКУЛ, обсуждается вопрос их корректности, приведены примеры неустойчивости для рассматриваемых задач. Обзор известных методов решения, в том числе численного приведен во втором параграфе. В третьем параграфе построены точные решения ЗКУЛ па основе оригинального метода автора, сводящего задачу к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Этот же метод позволяет применить схему регуляризации А.Н.Тихонова для построения устойчивого решения, это построение приведено и обосновано соответствующими теоремами сходимости в четвертом параграфе. В пятом параграфе рассмотрены ЗКУЛ, в которых граница и данные Коши на ней заданы приближенно. В связи с этим рассматривается задача о вычислении нормали к поверхности, заданной приближенно. Вычисление нормали необходимо для формирования правой части основного интегрального уравнения, представленной поверхностными интегралами - потенциалами простого и двойного слоя. Завершается глава шестым параграфом, в котором из приближенного устойчивого решения выделяется конструкция, являющаяся по смыслу функцией Карлемана/Лаврентьева. Доказывается, что эта контструкция удовлетворяет определению функции Карлемана-Лаврентьева [71].
В третьей главе устойчивые методы решения ЗКУЛ разработанные во второй главе, применены к решению задачи продолжения гармонического температурного поля как основы для обработки термографических изображений. В первом параграфе рассматривается вариант обработки термограммы (температурного поля на поверхности объекта) гармоническим продолжением в цилиндрическую область и использованием разложения решения в двойной тригонометрический ряд. Во втором параграфе рассматривается вариант продолжения стационарного температурного поля с замкнутой поверхности в ряд по многочленам Лежандра в сферической системе координат. Для определения центра системы координат получена формула, использующая только заданное температурное поле на поверхности и устойчивая к погрешностям в задании этого температурного поля,
В четвертой главе методы решения ЗКУЛ как смешанной задачи использованы для решения задачи продолжения потенциального поля. В первом параграфе решается базовая задача о продолжениии «вертикальной» составляющей гармонического потенциального поля по полному полю3 заданному на неплоской поверхности. Доказана теорема сходимости приближенного решения к точному при уменьшении погрешности в данных согласованно с параметром регуляризации. Во втором параграфе та же задача решается в случае, когда в качестве погрешности в данных взята погрешность модели, полученная во втором параграфе первой главы. Особенность доказательства сходимости приближенного решения к точному состоит в том, что константы в оценках, полученных в первом параграфе] зависят от параметров области и при расширении области до Я3 эта зависимость должна быть раскрыта и учтена при предельном переходе. В третьем параграфе приведено полное решение векторной задачи с использованием преобразования Гильберта «вертикальной» компоненты поля в «горизонтальные . Доказана сходимость полного векторного приближенного решения к точному решению векторной задачи. В четвертом параграфе разработанная схема решения задачи продолжения потенциального поля применяется для случая продолжения в область с известной плотностью источников с целью восстановления поля вблизи носителя неизвестной функции плотности источников. В пятом параграфе получено равномерное приближение поля вплоть до границы области за счет представления поля в виде суперпозиции равномерных приближений полей от источников, расположенных по разные стороны от границы. В шестом параграфе предлагается критерий качества приближенного продолжения поля - оценка сходимости по мере. Оценивается мера симметрической разности областей в которых приближенное и точное решение соответсвенно превышают определенное значение, такой критерий эффективен в том случае, когда ноле - решение совпадает с точностью до множителя с характеристической функцией носителя плотности источников. В седьмом параграфе на основе оценок погрешности по параметрам области, полученным во втором параграфе первой главы, реализован вариант уточнения приближения поля в периодической модели по методу Рунге-Ричардсона,
В пятой главе приведены основные вычислительные алгоритмы решения задачи аналитического продолжения гармонических функций и дано их обоснование. В первом параграфе приводится вычислительная схема решения задачи продолжения потенциального поля. Показана, что коэффициенты Фурье потенциала источников на вспомогательной поверхности, с которой осуществляется продолжение в сторону источников, могут вычисляться но экономичным схемам, существенно сокращающим количество элементарных вычислительных операций. Получены оценки приближения при дискретизации задачи, а также оценки устойчивости регуляризован-ного решения по отношению к погрешности дискретизации. Аналогичные экономичные алгоритмы, а также оценки дискретизации и устойчивости получены во втором параграфе для задачи продолжения температурного поля в цилиндре. Приведены алгоритмы решения задачи при продолжении температурного поля с замкнутой поверхности. В шестой главе приведены результаты вычислительного эксперимента на модельных примерах, а также примеры обработки реальных данных. В заключении перечислены основные оригинальные результаты содержащиеся в диссертации.
Полученные в диссертации результаты опубликованы в 33 работах [64], [82] -[113] и докладывались на Всесоюзной школе семинаре по некорректным задачам (пСаратов, 1985), Всесоюзных конференциях «Вычислительная физика и математическое моделирование»( г.Волгоград, 1988 и 1989 гг.), Международном совещании по программированию и математическим методам решения физических задач (Дубна, 1993), Международной конференции «Компьютерное моделирование и компьютерные методы в физике» (Дубна, 1996). Международных конференциях «Актуальные проблемы вычислительной физики» (Дубна,-1998, 2000 гп), VIII Белорусской международной математической конференции (Минск, 2000), V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002), Международной конференции «Вычислительные методы в прикладной математике» (Минск, 2003), семинаре В,Б.Гласко на физическом факультете МГУ, семинаре по уравнениям в частных производных В.Н.Масленниковой в РУДН, семинарах Е.П.Жидкова в ЛИТ(ЛВТА) ОИЯИ.
ЗКУЛ как смешанная задача в цилиндрической области с граничными условиями первого рода
В работе П,С.Новикова [131] 1938 г. доказана единственность ОЗП в классе звездных тел положительной плотности, вариации которой не превосходит минимума функции плотности. Это условие выполняется, в частности, для постоянной плотности. Л.Н.Сретенским [153] в 1954 г. единственность доказана для ограниченных однородных тел тел, имеющих общую секущую плоскости такую, что всякая перпендикулярная к ней прямая пересекает тело не более, чем в двух точках, лежащих по разные стороны этой плоскости. Дальнейшие обобщения получены для классов звездных плоских тел с переменной положительной плотностью [150, 209], для тел со звездным пересечением [200], для измеримых тел (с нежордановой границей) [58, 67] и других 66,138,139,140,141]. Б конце 80-х был найден принципиально новый класс единственности: класс многогранников с аналитической плотностью [15, 16, 157]. В заключение обзора отметим, что потенциалы, создаваемые группой объектов, каждый из которых локализован в некоторой вмещающей области и эти области не пересекаются, могут быть разделены [126, 127]. В этом случае обратная задача потенциала решается единственным образом для группы тел из различных классов единственности- Аналогичная процедура проведена при получении обратных задач (1.14), (1.20) из обратных задач для периодического распределения источников.
Необходимость решения практических задач геофизики привела к формированию отдельног направления исследования ОЗП - контактных ОЗП, содержание которых состоит в определении границ геологических сред различной плотности. Простейший вариат - определение локального возмущения известной прямолинейной границы, имеющего вид функции на прямой. Для аналитического контура единственность установлена А.А,Заморевьш [51], В трехмерном случае единственность соответствующего варианта контактной ОЗП обеспечивается упоминавшейся выше теоремой Л.Н.Сретенского. Дальнейшее усложнение задачи включает единственность определения глубины контакта [133,140], восстановления нескольких контактов [162], неизвестной плотности [65, 134, 142], обобщение на класс контуров контакта, включающий нелокальные возмущения границы [48? 165]- Контактные обратные задачи имеют широкую область приложений в задачах геофизики [166].
Отметим также направление исследований ОЗП для тел, близких кданному, начало которым положено в работах Л.НХретенского [154] и В.К.Иванова [54]. Развитие этого направления продолжалось в работах А.И.Прилепко [136, 137]. В задачах этого круга единственность определения формы тела по потенциалу имеет место для тела близкого к известному эталону, потенциал которого близок к потенциалу искомого тела. Результаты этих исследований можно рассматривать как обоснование метода подбора при известном, достаточно хорошем начальном приближении.
В заключении обзора классов единственности ОЗП отметим, что они относительно узки и их использовал не существенно ограничивает круг решаемых практических задач.
Вне классов единственности - известных или еще не найденных - вопрос об устойчивости ОЗП (а, следовательно, и задач І-ІП) не имеет смысла, В пределах классов единственности проблема устойчивости задач ЫИ решается, очевидно, как проблема устойчивости ОЗП в силу тождественности классов единственности для этих задач. Нетрудно видеть, что в классах единственности ОЗП не устойчива. В самом деле, возьмем однородное звездное тело (например, шар), задаваемое в сферической системе координат уравнением г = F(8, р), с непрерывным выступом е(в, tp) таким: что sc, тогда при \\s\}i% — 0 потенциал тела, задаваемого уравнением г = F{d, f) -4-є, равномерно сходится к потенциалу исходного тела вне сферы достаточно большого радиуса, но функция F Л-є не сходится к F в равномерной норме,
В [148] предложены условия устойчивости ОЗП, использующие гладкость звездной поверхности. В [189] А.Н,Тихоновым сформулировано общее условие устойчивости обратных задач, заключающееся в требовании компактности класса единственности. В частности, для ОЗП компактный класс выделяется из класса звездных тел как класс тел с гладкой границами, производные которых ограничены общей для класса константой. Другие условия выделяющие компактные классы, приведены в [57,67,210].
Необходимость и достаточность введения дополнительных условий для обеспечения существования, единственности и устойчивости ОЗП. позволяет отнести ее к классу условно-корректных обратных задач математической физики [63, 71, 192, 72],
Первые попытки решения (по-сущ.еству аналитического) ОЗП в постановке П.С. Новикова были предприняты в [147, 55, 59, 167], для контактных задач - в [51, 118, 117, 206], Развитие вычислительной техники с 60-х годов XX века позволило эффективно находить решения ОЗП как решения интегральных уравнений первого рода, в том числе нелинейных, для задачи П.С.Новикова [60, 34] и для контактной границы [190]. Наиболее эффективные алгоритмы численного решения ОЗП на остове решения нелинейных уравнений [8, 34, 115] и [35, 36, 37] используют метод регуляризации А ЛІ, Тихонова [38, 193] или близкие ему итерационные методы регуляризации. При достаточно полной априорной информации можно использовать метод подбора [128, 155].
Приводя работы последнего времени в тех1 же классах [1, 9, 10, 158,159, 160, 161], отметим, что ОЗП более или менее Эффективно решается для достаточно узкого класса плотностей, далеко не исчерпывающего всего многообразия функций плотности потенциала, характерного для прикладных задач. Вместе с тем, в ряде случаев достаточно для практических выводов в предметной области получить неполную информацию: распределение особенностей, храктерные параметры формы носителя функции плотности источников и т.д. Возможны также, ситуации, когда исследователя интересуют аномалии в известной тепловыделяющей структуре, при этом требовать от алгоритмов восстановления дублирования априорной информации может оказаться нецелесообразным и усложняющим задачу. Б таком смысле неполного решения задача восстановления плотности может быть решена в рамках концепции аналитического продолжения гармонических функций. Обзор существующих методов дан п следующем параграфе.
Потенциалы, обратные задачи для которых рассматриваются ъ предыдущем параграфе, представляют собой гармонические функции вне носителей их плотности. В свою очередь гармонические функции функции - функции аналитические [28]. Благодаря этому свойству гармонические потенциалы можно продолжать из областей, в которых они заданы, в области, непосредственно примыкающие к носителю плотности потенциала, В непосредственной близости от носителя плотности потенциалы (или) градиенты этих потенциалов несут более полную информацию о плотности с точки зрения возможности их непосредственной интерпретации с целью частичного решения 003.
Продолжение температурного поля в случае граничных условий первого рода
Цель диссертационной работы заявленная как решение фундаментальной научной проблемы - разработка эффективных методов математической обработки данных в термографии и гравиразведке и других прикладных областях на осново концепции аналитического продолжения гармонических функций для восстановления внутренней структуры обьектов по косвенным данным, достигнута решением следующих задач:
Выбраны математические модели, в рамках которых поставлены и исследованы обратные задачи термографии восстановления внутренней структуры объекта по измеренному температурному полю на поверхности, поставлены задачи продолжения температурного поля в виде задач Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач. 2. Обоснован выбор математических моделей для аналитического продолжения векторных потенциальных полей с неплоских ограниченнных поверхностей получением оценок по параметрам области по отношению к модели во всем пространстве. Выбор моделей мотивируется необходимостью обоснованного применения рядов Фурье. 3. Построены точное и устойчивое приближенное решения задачи Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач с данными Копти на поверхности произвольного вида. Устойчивое приближенное решение построено в случае, когда и данные Конти и поверхность заданы приближенно. 4. Полученные результаты применены к решению соответствующих задач термографии как задач продолжения температурного поля с целью локализации источников и восстановления их пространственной структур 5. Полученные результаты применены также к решению соответствующих задач продолжения векторных потенциальных полей с целью локализапии источников поля и восстановления их пространственной структуры. Краевые векторные задачи продолжения потенциальных полей в цилиндрических областях сведены к смешанным краевым задачам для уравнения Лапласа для базовой компоненты, при этом остальные компоненты получены преобразованием Гильберта. 6. Разработаны эффективные алгоритмы решения задач продолжения гармонических функций как задач Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач с данными на при ближенно заданных поверхностях обшего вида методом Фурье. 7. Обоснована дискретизация задач, получены оценки дискретизации и оценки устойчивости приближенного решения по параметрам дискретизации задачи. 8. Проведен вычислительный эксперимент по применению разработанных алгоритмов к модельным задачам термографии и геофизики. 9. Разработанные алгоритмы применены к решению практических задач термографии и геофизики. На защиту выносятся следующие 1. Построены точное и устойчивое приближенное решения задачи Коши для уравнения Лапласа и примыкающих к ней смешанных задач с данными Коши на поверхности произвольного вида. Устойчивое приближенное решение построено в случае, когда данные Коши и поверхность заданы приближенно. Доказана сходимость приближенного решения задач к точному. Из устойчивого решения выделена функция Карлемана-Лаврентьева - аналог фукции Грина для рассматриваемого круга задач. 2. На базе устойчивого решения задачи Коши для уравнения Лапласа построено решение обратной задачи термографии как задачи продолжения температурного поля с целью локализации ИСТОЧНИКОВ И восстановления их пространственной структуры. Для оценки области гармоничности получены устойчивые формулы для определения «центра масс» источников тепла. Метод аналитического продолжения применен для математической обработки термограмм - тепловизионных изображений с целью уточнения формы температурных неоднородностей, связанных с внутренней структурой исследуемого объекта 3. Получены устойчивые решения задач продолжения векторных потенциальных полей в цилиндрических областях сведением к смешанным краевым задачам для уравнения Далласа для базовой компоненты, при этом остальные компоненты получены преобразованием Гильберта. Обоснован выбор ограниченных математических моделей для аналитического продолжения векторных потенциальных полей с неплоских ограниченных поверхностей получением оценок по параметрам области по отношению к модели поля во всем пространстве. Доказана усгочивость приближенного решения задачи продолжения при применении разработанных методов продолжения по отношению к погрешности ограниченной модели. На основании полученных оценок разработан метод уточнения решения задачи продолжения в ограниченной модели с использованием метода Рунге-Ричардсона на вложенных областях. Предложен и обоснован метод оценки качества приближенного решения задачи продолжения поля сходимостью по мере областей, ограниченных линиями уровня решения. Тем самым обоснована возможность «оконтуриванияэ плотностных неоднородностей при продолжении поля. 4. Обоснована дискретизация задач гармонического продолжения, получены оценки дискретизации и оценки устойчивости приближенного решения по параметрам дискретизации задачи, 5. Разработаны эффективные алгоритмы задач продолжения гармонических функций как задач Копш для уравнения Лапласа и смешанных задач с данными на приближенно заданных поверхностях общего вида методом дискретного ряда Фурье. 6. Показана эффективность разработанных методов и алгоритмов методом вы числительного эксперимента, примененного к модельным задачам термографии и геофизики, а также - применением к обработке реальных данных. Автор благодарен проф. Е.П.Жидкову за внимание к работе и плодотворное обсуждение результатов, а также проф.Л. А.Севастьянову за поддержку.
Двумерный аналог преобразования Гильберта в задаче продолжения потенциального поля
Научная новизна и значимость 1. Предложен новый метод точного и устойчивого приближенного решения задач Коши для уравнения Лапласа и структурно близких ей смешанных краевых задач с данными на поверхности общего вида, в том числе заданной приближенно. 2. Предложен новый метод обработки термографических данных на основе аналитического продолжения стационарных гармонических температурных полей, учитывающий форму ПОВерХНОСТИ ИЗМереНИЙ. 3. Разработаны новые алгоритмы продолжения векторных потенциальных полей с неплоской ограниченной поверхности, в том числе заданной приближенно. 4. Впервые дано обоснование сходимости регуляризовавного метода устойчивого решения задачи продолжения по параметрам области при ее расширении до всего пространства. 5. Впервые для уточнения результата аналитического продолжения применен метод Рунге-Ричардсона по параметрам области при ее расширении до всего пространства. 6. Впервые доказаны теоремы сходимости по мере для решения линейной обратной задачи потенциала в трехмерном случае и критерий сходимости по мере применен для численного решения задачи продолжения потенциального ПОЛЯ. Практическая ценность. Разработанные алгоритмы продолжения температурного поля применяются для обработки термограмм - термографических (тепловиэионных) изображений или термографических данных, полученных другими измерительными средствами, с целью повышения разрешающей способности термографических изображений и повышения их интерпретационных возможностей. Разработанные алгоритмы продолжения потенциальных пешей применяются для обработки гравиметрических данных и последующей интерпретации продолженного поля с целью выявления гравитационных аномалий, а также - оконтуриванвя месторождений полезных ископаемых. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения, содержит 24 рисунка, список цитированной литературы содержит 222 наименования. Объем диссертации 220 страниц машинописного текста. Основное содержание диссертации Первая глава посвящена постановке и анализу задач, имеющих различное содержание в прикладном аспекте, математическое содержание которых - продолжение гармонических функций с криволинейных поверхностей до носителя функции плотности источников (или особенностей) этих функций с целью получения максимума информации о структуре функции плотности распределения источников. В параграфах 1.1.1, 1.1.2 ставится проблема обработки термографических изображений как задача восстановления внутренней структуры объекта как функции распределения источников тепла или неоднородности коэффициента теплопроводности. Рассматриваются стационарные математические модели в вариантах замкнутой поверхности с условием третьего рода а цилиндрических областей с прямоугольным сечением как краевых задач для гармонических функций со смешанными граничными условиями. В рамках выбранных моделей ставятся обратные задачи восстановления функции плотности распределения источников по измеренному температурному полю на поверхности. В параграфе 1.1.3 прослеживается связь обратных задач термографии с обратной задачей потенциала и обсуждаются вопросы корректности их постановок. Дан обзор классов единственности и устойчивости ОЗП как классов единственности и устойчивости обратной задачи термографии, В связи с относительной узостью известных классов единственности в параграфе 1.1.4 рассматривается концепция продолжения гармонических функций в рамках моделей, рассмотренных в предыдущих параграфах, как задача частичного решения обратной задачи термографии. Дан обзор известных методов аналитического продолжения. Задачи аналитического продолжения стационарного температурного ноля сформулированы как задачи Коши и смешанные краевые задачи для уравнения Лапласа с данными на поверхности достаточно общего вида. К аналогичным приводят задачи продолжения векторных потенциальных полей, широко используемых в геофизике, в цилиндрических областях прямоугольного сечения, позволяющих эффективно строить решения методом Фурье. В параграфе 1.2.1 рассматриваются соответствующие задачи. В параграфе 1.2.2 приводятся оценки погрешности модели в цилиндрической области по отношению к модели во всем пространстве по параметрам области. Эти оценки вместе с результатами четвертой главы являются обоснованием использования моделей в цилиндрических областях. В праграфе 1.2.3 устанавливается связь обратной задачи восстановления плотности источников по заданному полю в рамках периодической модели с обратной задачей потенциала. В праграфе 1.2.4 рассматривается вариант линейной обратной задачи потенциала, позволяющий связать аналитическое продолжение гармонической функции с задачей восстановления формы носителя функции плотности распределения источников, соответствующей бесконечно тонкому телу.
Во второй главе построены устойчивые решения задачи Копш для уравнения Лапласа (ЗКУЛ) в некоторых постановках с произвольными данными на части границы достаточно общего вида. Эти постановки характерны тем, что допускают построение точного решения с использованием метода Фурье с разложением в ряд по хорошо известным ортогональным системам, хотя в исходной области переменные вообще говоря не делятся. В первом параграфе приведены соответствующие постановки ЗКУЛ, обсуждается вопрос их корректности, приведены примеры неустойчивости для рассматриваемых задач. Обзор известных методов решения, в том числе численного приведен во втором параграфе. В третьем параграфе построены точные решения ЗКУЛ па основе оригинального метода автора, сводящего задачу к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Этот же метод позволяет применить схему регуляризации А.Н.Тихонова для построения устойчивого решения, это построение приведено и обосновано соответствующими теоремами сходимости в четвертом параграфе. В пятом параграфе рассмотрены ЗКУЛ, в которых граница и данные Коши на ней заданы приближенно. В связи с этим рассматривается задача о вычислении нормали к поверхности, заданной приближенно. Вычисление нормали необходимо для формирования правой части основного интегрального уравнения, представленной поверхностными интегралами - потенциалами простого и двойного слоя. Завершается глава шестым параграфом, в котором из приближенного устойчивого решения выделяется конструкция, являющаяся по смыслу функцией Карлемана/Лаврентьева.
