Содержание к диссертации
Введение
1. Предельные соотношения системы уравнений, описывающих квазистационарное электромагнитное поле высокочастотного индукционного разряда. Одномерный случай
1.1. Уравнения электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда атмосферного давления 13
1.2. Предельные соотношения системы уравнений электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда 16
1.3. Математически корректный вывод предельных соотношений уравнений электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда 23
2. Структура квазистационарного электромагнитного поля одномерного высокочастотного индукционного разряда вблизи оси плазменного сгустка
2.1. Первое приближение 31
2.2 Второе приближение 33
3. Предельные соотношения системы уравнений электромагнитного поля в двухмерной постановке задачи
3.1. Вывод двухмерных уравнений электромагнитного поля 37
3.2. Предельные соотношения системы уравнений квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины 46
4. Структура электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины в приосевой области плазмоида
4.1. Первое приближение 65
4.2, Второе приближение 86
5. Модель Томсона высокочастотного индукционного разряда конечной длины
5.1. Классическая модель Томсона 95
5.2. Двухмерная модель Томсона высокочастотного индукционного разряда 103
5.3 Теорема о структуре электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины при условии постоянства проводи мости в разряде 114
5.4. Применение метода предельных соотношении к модели Томсона высокочастотного индукционного разряда конечной длины 118
6. Численное решение задачи в одномерном и квазиодномерном случаях
6.1. Решение в одномерном приближении 142
6.2. Структура электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда вблизи плоскости центрального сечения плазмоида 161
7. Двухмерное численное решение задачи и анализ результатов
7.1. Окончательное решение исходной задачи 185
7.2. Особенности коаксиальной структуры высокочастотного индукционного разряда 216
7.3. Парадокс фон Энгеля-Штеенбека в высокочастотном индукционном разряде 219
7.4. Неподвижная точка высокочастотного индукционного разряда 229
7.5. Поверхность» разделяющая прямое и возвратное течения в высокочастотном индукционном разряде 235
Список литературы
- Предельные соотношения системы уравнений электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда
- Предельные соотношения системы уравнений квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины
- Теорема о структуре электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины при условии постоянства проводи мости в разряде
- Особенности коаксиальной структуры высокочастотного индукционного разряда
Введение к работе
Диссертация, написанная по результатам, опубликованным в цикле работ автора [А1-А37], посвящена задаче, представляющей собой один из вариантов обратной задачи электродинамики - задаче восстановления полной картины распределения электромапгитного поля высокочастотного индукционного (ВЧИ) разряда конечной длины (включая и значение электропроводности плазмообразующего газа) по измеренным значениям амплитуды продольной составляющей магнитного поля в разряде.
Выбор темы был определён следующими основными обстоятельствами, В физике газоразрядной плазмы хорошо известен и изучен метод определения электропроводности плазмы ст из экспериментов с каскадной дугой с помощью интегрального закона Ома в виде
I = 2^E{ordr,
где I - ток дуги; Е - напряжённость поля в столбе; R - радиус
стабилизирующего канала (например, [1,2]). При этом использование
интегрального, а не дифференциального закона Ома связано, очевидно, со
сложностями экспериментального определения пространственного
распределения плотности тока и напряжённости электрического поля в одних и тех же точках разряда.
Между тем для ВЧИ разрядов аналогичная данной задача может быть поставлена в рамках гораздо более чёткой и строгой, а главное - с точки зрения физики - и более красивой постановки, суть которой заключается в следующем.
В системе уравнении Максвелла, описывающих электромагнитное поле высокочастотного индукционного разряда, число величин, характеризующих поле, вообще говоря, на единицу больше числа самих уравнений, поскольку к таким величинам относятся как напряжённости электрического Е и магнитного II полей, так и а - электропроводность (или проводимость) в разряде. Или, говоря другими словами, система уравнений Максвелла незамкнута. Поэтому ясно, что, считая заданной одну из величин, характеризующих поле, можно получить на выходе этой системы набор различных комбинаций, состоящих из электромагнитных величин и проводимости в разряде ст. На практике обычно задают именно проводимость (по-видимому, наиболее известным и популярным примером такой постановки задачи является известная модель Дж, Дж, Томсона [3,4] ВЧ индукционного разряда). Можно, однако, поставить задачу и по-другому - задать одну из компонент электромагнитного поля в разряде и попытаться найти все остальные компоненты и проводимость плазмообразующего газа.
При этом следует, однако, учитывать ещё и то обстоятельство, что для решения системы дифференциальных уравнений (какой является система уравнений Максвелла) необходимо также и задание граничных условий для всех электромагнитных величин, составляющих ноле, и поэтому - с точки зрения чисто практической - наиболее удобным является выбор в качестве такой входной величины амплитуды продольной компоненты магнитного поля в разряде - просто потому, что для всех остальных электромагнитных величин (подчеркнём, что именно для всех остальных величин!) эти граничные условия с точки зрения физики заранее очевидны и, таким образом, не нуждаются поэтому в дополнительном экспериментальном определении (вопрос о граничных условиях для характеристик поля подробно обсуждается нами в главах 1 и 3).
Тем самым, используя взятое из эксперимента двухмерное числовое поле амплитуды Hz, можно попытаться путём совместного аналитического и численного решения системы максвелловских уравнений решить задачу восстановления полной пространственной структуры квазистационарного электромагнитного поля и проводимости в разряде а. Этой задаче, которую в дальнейшем мы будем называть обратной задачей электродинамики для высокочастотного индукционного разряда, и посвящена настоящая работа-Основная проблема, с которой приходится сталкиваться в этой постановке задачи, заключается в следующем. Как показано ниже, проводимость в разряде а - эта основная величина, связывающая собой все главные характеристики электромагнитного поля в разряде, - определяется в данном случае вытекающей из максвелловских уравнений формулой
„(г)=-1—jL—, (B.i)
в которой Hz - амплитуда продольной компоненты магнитного поля в разряде, Еф - амплитуда азимутальной компоненты его электрического поля, q>H , фЕ -
фазовые углы этих же компонент соответственно и с - скорость света в пустоте
(в гауссовой системе единиц). Казалось бы, что, аппроксимируя в соответствии со сказанным выше экспериментально полученные значения амплитуды Hz1
например, стандартным кубическим сплайном, и рассчитывая затем по ним в соответствии с некоторой определённой численной процедурой решения уравнений Максвелла все остальные компоненты электромагнитного поля в разряде, мы без труда решим поставленную выше задачу. В действительности, однако, эта задача носит значительно более сложный характер.
Дело в данном случае заключается в том, что проводимость, рассчитанная по формуле (ВЛ) при условии аппроксимации амплитуды
продольного магнитного поля в разряде Hz сглаженным кубическим
сплайном, обнаруживает резкую расходимость вблизи оси плазмоида, начиная с расстояний порядка одной трети радиуса плазменного сгустка. Очевидно, что это явление представляет собой прямое следствие неверной интерполяции Hz(r), вблизи нуля, и значит в данном случае для решения задачи восстановления амплитуды Hz, как непрерывной функции радиальной координаты г, по конечному числу её экспериментально измеренных значений кубическими сплайнами пользоваться уже нельзя.
Основной задачей таким образом становится выяснение истинной картины поведения всех главных характеристик квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда вблизи оси плазмоида при достаточно малых значениях радиальных координат г. Говоря другими словами, нужно проанализировать систему уравнений Максвелла для электромаппітного поля в разряде и попытаться получить если не точное, то хотя бы их приближённое решение вблизи оси г=0.
В настоящей работе предложен новый метод приближённого интегрирования систем дифференциальных уравнений с частными производными, ПОЗВОЛЯЮЩИЙ однозначно (и очень точно) описывать структуру решений этих уравнений в окрестностях точек, в которых выражения для вторичных характеристик описываемого уравнениями процесса (то есть тех или иных комбинаций входящих в исходные уравнения
неизвестных величин) содержат неопределённости типа —. Этому методу,
который можно назвать методом предельных соотношений, посвящены первые четыре главы данного исследования, по в действительности идея предельных соотношений является центральной идеей всей этой работы.
История постановки данной задачи насчитывает более тридцати лет и восходит к работе В. И, Позняка, Е. С- Трехова и Л. Ф, Фоменко "Измерение
высокочастотных электромагнитных полей в стационарном вихревом разряде в воздухе при атмосферном давлении", опубликованной в 1969 году в числе других работ, выполненных в Московском инженерно-физическом институте, в книге [5]_ К сожалению, основная идея этой работы оказалась невостребованной специалистами в области физики и техники ВЧ низкотемпературной плазмы и впоследствии была надолго и прочно забыта, что, очевидно» объясняется невоспроизводим остью представленных в ней результатов в других условиях. Ясно, что этот недостаток был связан именно с отсутствием правильной аппроксимации функции Hz = Hz(r) вблизи оси
плазменного сгустка. Кроме того, эта работа содержит лишь одномерную постановку задачи, вследствие чего, например, не вполне точно записаны уравнения Максвелла для области центрального сечения плазмоида, хотя эта ошибка и не является решающей.
Остановимся кратко на содержании данной работы,
В первой главе вводится центральное для всей работы понятие предельных соотношений системы дифференциальных уравнений, описывающих квазистационарное электромагнитное поле высокочастотного индукционного разряда, и получены явные выражения предельных соотношений для случая одномерного ВЧИ разряда.
Во второй главе на основе идеи предельных соотношений в виде системы формул выявлена структура квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда вблизи оси плазменного сгустка -также для одномерной геометрии разряда,
В третьей главе получены предельные соотношения для плазмоида конечной длины, то есть для системы максвелловских уравнений, записанных в существенно двухмерной постановке задачи.
В четвёртой главе на основе полного набора полученных в главе 3 предельных соотношений выведены формулы, дающие исчерпывающее
аналитическое решение задачи о структуре электромапштного поля ВЧИ разряда вблизи оси плазмоида в двухмерной постановке задачи.
В пятой главе построена двухмерная модель Томсона (модель постоянной проводимости) ВЧИ разряда конечной длины и показано, как метод предельных соотношений работает в комплексной постановке задачи* Здесь также проведено сравнение результатов, полученных различными методами, и показано удовлетворительное их совпадение,
В шестой главе с помощью развитой во второй, четвёртой и пятой главах аналитической модели дано численное решение задачи восстановления структуры квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда (включая и проводимость в разряде) по измеренным значениям Hz в одномерной постановке задачи, а также решён вопрос о
структуре электромагнитного поля ВЧ индукционного разряда конечной длины в плоскости центрального сечения плазмоида (который необходим при постановке граничных условий для полной, то есть двухмерной, постановки задачи).
В седьмой, заключительной, главе данной работы на основе полученных главах 4 и 6 аналитических и численных результатов дано исчерпывающее численное решение основной задачи и тем самым достигнута цель всего исследования, то есть решена задача построения замкнутой двухмерной численной модели расчёта электромагнитных, электрофизических и тепловых характеристик плазмы высокочастотного индукционного разряда конечной длины по множеству меры нуль экспериментально измеренных значений амплитуды продольной компоненты магнитного поля в разряде, а также - как численно, так и аналитически - проанализирован ряд установленных автором новых эффектов, связанных с явлением высокочастотного индукционного разряда, стабилизированного закрученным потоком плазмообразуюшего газа, в числе которых
в виде системы неравенств выявлены особенности кольцевой структуры ВЧИ разряда;
проанализирован парадокс фон Энгеля-Штеенбека применительно к случаю высокочастотного индукционного разряда в потоке газа;
доказано утверждение о том, что внутри плазмоида всегда существует точка, в которой все три компоненты скорости плазмообразующего газа обращаются в нуль, и эта точка соответствует той точке на оси плазмоида, в которой значение его осевой температуры максимально (последний результат назван автором теоремой о неподвижной точке высокочастотного индукционного разряда),
а также
на основе анализа уравнения баланса энергии в высокочастотном
индукционном разряде установлено, что области прямого и
возвратного течений в нем разделены поверхностью, в точках которой
значения температуры плазмообразующего газа при каждом
фиксированном значении радиальной координаты в разряде
максимальны»
И в заключение еще одно замечание- Иногда можно встретить утверждение о том, что с точки зрения теории по-настоящему новую информацию в рассматриваемой области знаний можно получить лишь двумя путями - либо путём приближённого решения точных уравнений , либо путём точного решения приближённых уравнений. В этой связи уместно отметить, что именно этот последний путь и привёл автора к большинству результатов, представленных в настоящей работе.
Предельные соотношения системы уравнений электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда
Идея предельных соотношений системы уравнений, описывающих квазистационарное цилиндрически симметричное электромагнитное поле ВЧ индукционного разряда, является центральной идеей данной работы, поэтому на их выводе мы остановимся более подробно.
Дополним сначала систему уравнений (1.7) - (1-Ю) граничными условиями для амплитуд и фаз ВЧ поля. С точки зрения физики эти условия достаточно очевидны: Еф(г = 0)=0; ФЕ = 0) = 0; Hz(r = 0)= const; ФНг(г = 0) = (2.1) (в таком виде они впервые были сформулированы в статье [5], в англоязычной же научной литературе при этом принято ссылаться на работу [13]). Исключим, далее, проводимость c(r,z) из уравнения (1.10), подставив в него её значение, найденное по формуле (1-9). В этом случае получим Рассмотрим теперь более подробно формулу (2.3) для проводимости а. Очевидно, что значение а(г), как физической величины, нигде не должно иметь разрывов, в том числе и на оси разряда, в тех точках, для которых г = 0. Попробуем поискать предел а(г), как функции радиальной координаты г, при значениях г, стремящихся к нулю. Применяя правило Лопиталя для раскрытия неопределенности 0/0 в соотношении для а(г) (2.3), получим a(0) = Легко видеть, что в знаменателе этой формулы при г=0 первое, третье и четвертое слагаемые обращаются в нуль. Остается член вида Рассмотрим поэтому теперь более подробно поведение фазовых углов Фи (г) и фЕ (г) как функций радиальной координаты г вблизи оси разряда при значениях г, близких к нулю. Для этой цели подставим граничные условия в уравнения (1.2), (1.7) и (2.2) и преобразуем затем возникшие неопределенности вида 0/0 согласно правилу Лопиталя. После выполнения этих операций уравнения (1.8) и (2.2), как нетрудно показать, переходят в систему
Кроме того, из системы уравнений (2.8) следует, что при значениях г, близких к нулю, радиальные производные функций ри и фЕ ведут себя как фн.
Но вернемся опять к соотношению (2.7), С учетом полученных выше формул теперь становится ясно, что второй член в знаменателе формулы (2.7) при г — 0 также стремится к ігулю, а это, в свою очередь, означает, что стремится к нулю и весь знаменатель этого выражения. Отсюда вытекает третье обязательное условие, которое, наряду с условиями (2.4) и (2,6), следует принимать во внимание при анализе поведения амплитуды Hz(r) вблизи пуля: (2.16) Соотношения (2,4), (2.6), (2,12) и (2Л6) мы будем в дальнейшем называть предельными соотношениями системы дифференциальных уравнений, описывающих квазистационарное цилиндрически симметричное электромагнитное поле высокочастотного индукционного разряда (или просто предельными соотношениями высокочастотного индукционного разряда). Их необходимо принимать во внимание при восстановлеЕши амплитуды Hz, как функции радиальной координаты г, по множеству меры пуль её экспериментально измеренных значений.
Предыдущий вывод формулы (2.15), обладая всеми преимуществами физической наглядности, не является, однако, математически вполне корректным по двум нижеследующим причинам- Во-первых, следует точно обосновать справедливость перехода от формулы (2.11) к формуле. Подстаатяя в эти соотношения вместо функций fj(r) и f2(r) их точные выражения, взятые из формул (1.8), (2.2), и проводя в них операцию раскрытия неопределенностей по методу Лопнталя, мы, минуя почти все промежуточные вычисления, сразу же получим отсюда уже знакомую нам систему соотношении (3,3);
Уравнения Максвелла при наличии токов и при отсутствии зарядов, поляризации и намагничивания в телах имеют вид [например, 6] заведомо малыми для ВЧИ разрядов по сравнению с током проводимости j = cE. С точки зрения физики это означает, что частота колебаний ВЧ поля ограничена сверху (на практике — величиной порядка нескольких мегагерц), а скорость плазмообразующего газа v много меньше универсальной скорости с — стандартные условия, при которых наблюдается явление высокочастотного индукционного разряда.
В таком (или почти в таком) виде уравнения (1.7) - (1-Ю) были впервые получены в уже упоминавшейся нами работе [5] (и примыкающей к ней статье [7]), а также, по-видимому, независимо и несколько позже, BOUIOS OM В его известной работе [8]. (использованы в цикле его работ [9] - [12], посвященных решению прямой задачи для ВЧИ разряда). В данном случае мы сочли возможным воспроизвести этот вывод еще раз как для методологической последовательности работы в целом, так и в силу исключительной важности этих уравнений для всего хода дальнейших рассуждений.
К2. Предельные соотношения системы уравнений электромагнитного поля высокочастотного индукционного
разряда
Идея предельных соотношений системы уравнений, описывающих квазистационарное цилиндрически симметричное электромагнитное поле ВЧ индукционного разряда, является центральной идеей данной работы, поэтому на их выводе мы остановимся более подробно.
Дополним сначала систему уравнений (1.7) - (1-Ю) граничными условиями для амплитуд и фаз ВЧ поля. С точки зрения физики эти условия достаточно очевидны: (в таком виде они впервые были сформулированы в статье [5], в англоязычной же научной литературе при этом принято ссылаться на работу [13]).
Исключим, далее, проводимость c(r,z) из уравнения (1.10), подставив в него её значение, найденное по формуле (1-9). В этом случае получим
Рассмотрим теперь более подробно формулу (2.3) для проводимости а. Очевидно, что значение а(г), как физической величины, нигде не должно иметь разрывов, в том числе и на оси разряда, в тех точках, для которых г = 0.
Попробуем поискать предел а(г), как функции радиальной координаты г, при значениях г, стремящихся к нулю. Применяя правило Лопиталя для раскрытия неопределенности 0/0 в соотношении для а(г) (2.3), получим a(0) =
Рассмотрим поэтому теперь более подробно поведение фазовых углов Фи (г) и фЕ (г) как функций радиальной координаты г вблизи оси разряда при
значениях г, близких к нулю. Для этой цели подставим граничные условия в уравнения (1.2), (1.7) и (2.2) и преобразуем затем возникшие неопределенности вида 0/0 согласно правилу Лопиталя. После выполнения этих операций уравнения (1.8) и (2.2), как нетрудно показать, переходят в систему
Но вернемся опять к соотношению (2.7), С учетом полученных выше формул теперь становится ясно, что второй член в знаменателе формулы (2.7) при г — 0 также стремится к ігулю, а это, в свою очередь, означает, что стремится к нулю и весь знаменатель этого выражения. Отсюда вытекает третье обязательное условие, которое, наряду с условиями (2.4) и (2,6), следует принимать во внимание при анализе поведения амплитуды Hz(r) вблизи пуля:
(2.16) Соотношения (2,4), (2.6), (2,12) и (2Л6) мы будем в дальнейшем называть
предельными соотношениями системы дифференциальных уравнений, описывающих квазистационарное цилиндрически симметричное электромагнитное поле высокочастотного индукционного разряда (или просто предельными соотношениями высокочастотного индукционного разряда). Их необходимо принимать во внимание при восстановлеЕши амплитуды Hz, как функции радиальной координаты г, по множеству меры пуль её экспериментально измеренных значений.
Предыдущий вывод формулы (2.15), обладая всеми преимуществами физической наглядности, не является, однако, математически вполне корректным по двум нижеследующим причинам- Во-первых, следует точно обосновать справедливость перехода от формулы носит пока чисто формальный характер, поскольку данный случай относится к разряду тех случаев, для которых справедливость правила Лопиталя пока не доказана. В частности, именно этот случай особо отмечен в известном учебнике Н.Н, Лузина [14] (см. также работу [15] ).
Подстаатяя в эти соотношения вместо функций fj(r) и f2(r) их точные выражения, взятые из формул (1.8), (2.2), и проводя в них операцию раскрытия неопределенностей по методу Лопнталя, мы, минуя почти все промежуточные вычисления, сразу же получим отсюда уже знакомую нам систему соотношении (3,3);
Формулы (3.4)-(3.6), как и (3-7), очевидно, также в свою очередь относятся к классу предельных соотношений системы уравнений, описывающих квазистациопарное электромагнитное поле ВЧ индукционного.
Предельные соотношения системы уравнений квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины
Запишем систему уравнений Максвелла для мгновенных значений компонент цилиндрически симметричного квазистациониого электромагнитного поля ВЧ индукционного разряда конечной длины при атмосферном давлении. Уравнения при этом запишем сразу же в скалярном виде, поскольку их векторная форма в данном случае ничем не будет отличаться от формул (1.1) - ( 1.3) главы 1: д К)=- с а (1-4) В этих уравнениях Hr(r,z,t)- радиальная компонента мапштного поля в разряде. Решение системы (1.1) - (1-4), точно так же, как и в первой главе, мы будем искать в гармоническом виде где Н2,Н ,Еф и Фн Фн ФЕ _ амплитуды и фазы соответствующих электромагнитных величин. Подставляя зависимости (1.5) в уравнения (1.1) -(1.4), получим следующую систему уравнений: (ГЕ )СО5(С0Г + (рЕф)-ЕЧ 5ІпЦ + ФЕф) (здесь и ниже индекс «а» в обозначениях амплитуд уже опущен). Поступая далее точно так же3 как и в главе 1, то есть раскладывая в уравнениях (1.6) синусы и косинусы соответствующих сумм на составляющие и приравнивая затем друг другу члены при Cos(cot) и Sin(o t) в обеих частях полученных уравнений, из системы (1-6) получим в свою очередь уже расщепленную систему уравнений
Умножая далее эти уравнения попарно на синусы и косинусы соответствующих фазовых углов, а затем складывая и вычитая их друг из друга, окончательно получим систему
Система (1.7)-(1.14) представляет собой систему из восьми дифференциальных уравнений с частными производными для шести подлежащих определению неизвестных величин Hz(r?z), Hr(r,z), Еф(г?2), (рн (r,z), фн (r,z) и фЕ (r,z), не являясь, однако, при этом переопределенной системой, поскольку уравнения для Еф и фЕ (1.7) и (1.8), вообще говоря, эквивалентны друг другу- Покажем это.
Для этой цепи разрешим последние четыре уравнения системы (1.7)-(1Л4) относительно производных по z всех входящих в них характеризующих поле магнитных величин Hz, Hr, q H и фи . Тогда после ряда несложных преобразований получим С гі _ Система уравнений (1.15) - (1.18) является обратной (ее можно также назвать эквивалентной) системе уравнений (1.11)-(1.14).
Для доказательства эквивалентности уравнений для Е и фЕ (1.7), (1.8) с одной стороны и (1.9), (1.10) с другой продифференцируем теперь первую пару из них по z , а вторую - по г. В этом случае, очевидно, получим и тем самым эквивалентность этих двух представлений можно считать доказанной. Система дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка(17), (1.8),(1.11) - (1.14) для компонент электромагнитного поля Hz, HrJ Еф, фн 5 срн и фЕ (равно, как и ее эквивалентное представление в виде (1,9), (1-10) и (1.15) - (1-18)) полиостью определяют структуру квазистационарного цилиндрически симметричного электромагнитного поля высокочастотного конечной длины индукционного разряда во всем объеме плазменного сгустка. При этом следует особо подчеркнуть лишь то, что, как будет выяснено в дальнейшем, представление основных полевых уравнений в виде (1.9), (1.18), (Ы5) - (1-18) играет свою необходимую роль в процедуре построения замкнутой численной модели электромагнитного поля ВЧ индукционного разряда конечной длины. 3.2. Предельные соотношения системы уравнении квазистационарного электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины
Рассмотрим уравнение (1.11). Разрешая его относительно проводимости в разряде, получим следующее соотношение для о(г, z):
Очевидно, что последняя формула является прямым аналогом одномерного соотношения (2,3) главы 1. Задача состоит теперь, таким образом, в том, чтобы из соотношения (2.1) получить точный двухмерный аналог набора предельных соотношений, взятого в том виде, в какой он сведен системой формул (1.1) - (1.6) главы 2.
Укажем прежде всего на то, что систему граничных условий для компонент поля приведенную выше, необходимо теперь дополнить еще и граничными условиями для радиальной компоненты магнитного поля Hr(r,z), то есть, во-первых, граничным условием для амплитуды Hr(r,z), и, во-вторых, граничным условием для фазового угла ф1Г (r,z). D данном случае это будут условия точно такое же, как и в одномерном случае.
Будем действовать далее по схеме, выстроенной выше при решении соответствующей одномерной задачи. Именно распишем сейчас первую, вторую и третью радиальные производные числителя без — (обозначим его буквой N ) (2Л). В результате эта процедура даст нам следующий ряд формул: N(r,z) = -
Последнее выражение содержит 51 слагаемое и его можно, очевидно, значительно упростить, приведя подобные члены, но эта операция не является существенной для хода дальнейших рассуждений и поэтому здесь будет опущена.
Заметим, далее, что из уравнения (1Л2), как и в одномерном случае, следует, что на оси плазмоида
Но вернемся снова к формулам (2,4) -(2.6). Поскольку, как видно из соотношения (2.1), знаменатель выражения для a(0,z) имеет совершенно тот же вид, что и в формуле, описывающей поле одномерного ВЧИ разряда (формула (23) главы 1), то отсюда, учитывая связь (2.7), сразу же заключаем, а2н что двухмерными аналогами предельных соотношении дт2 Рассмотрим теперь выражение для д N/5r и найдем его значение на оси г=0. Очевидно, во-первых, что все слагаемые в формуле (2.6), содержащие Sin((pH -(pI{ J, на оси плазмоида будут равны нулю вследствие того, что при я производными 3фн /dz, так как на оси г = 0 фн = —— const. То же, очевидно, относится и ко всем членам, содержащим аксиальные производные dllT /dz. Осталось рассмотреть лишь слагаемые, содержащие разность производных Офл /Зг —Эсрц /dr. Очевидно, что в данном случае вследствие соотношения (2.7) весь вопрос сводится к вопросу о значении производной йфц /Вт при г = 0.
Обратимся к формуле (1.14). Раскрывая в ней неопределенности типа 0/0 согласно правилу Лопиталя, получим откуда, вследствие того, что при г = О
Рассмотрим теперь более подробно знаменатель формулы (2Л), После тройного - в согласии с правилом Лопиталя - дифференцирования по г, точно так же, как и в случае одномерного ВЧИ разряда, единственным ненулевым членом в нем останется слагаемое(2Л2) Задача состоит теперь, таким образом, в том, чтобы пользуясь уравнениями (1.8), (1.12), раскрыть значение разности вида (2.11) для всех точек оси г = 0.
Поступим далее точно так же, как и в одномерном случае, то есть подставим соотношение (2.1) в формулу (1.12).Тогда можно записать следующую систему уравнений для составляющих эту разность величин:
Уравнение (2.ІЗ), очевидно, no форме совпадает со своим одномерным аналогом - уравнением (1.8) главы 1, так что сразу же запишем результат (его «лопитирования»). Это будет
Как видим, выражение в первых квадратных скобках тождественно равно нулю для всех точек оси г = 0, предел же выражения в скобках фигурных нам уже известен, поскольку он (с точностью до коэффициента с/4я) совпадает с соответствующим пределом соотношения (2.1) для c(r,z). Учитывая вышеуказанную связь формул, а также принимая во внимание соотношения (2.13), (2.13а) главы 1, запишем сразу следующую формулу для 1іт32 Рн /2 при г = 0 в двухмерной постановке задачи:
В заключении этого параграфа для полноты картины остановимся ещё кратко на вопросе о значении второй производной фазового угла второй компоненты магнитного поля в разряде на оси плазменного сгустка. Для этого нам нужно обратиться еще раз к соотношениям (1.14) и (1.13). Действуя по предложенной выше схеме, мы получим (учитывая при этом, что на оси разряда при r = 0 dliz/dz=0) Последнее же выражение на оси г = 0 даёт нуль, поскольку при этом равны нулю все четыре слагаемых в его правой часта, причем Пт(фп -ф1Г ]=0 вследствие того, что при г = 0 фп Выведенные в настоящем параграфе соотношения (2.9), (2.17)-(2.20) и (2.22) являются прямыми аналогами введённых выше (глава 1) одномерных предельных соотношений уравнений электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда. При этом нужно только заметить, что соотношение (2,22) имеет смысл лишь для плазмоида конечной длины, поскольку в одномерном случае
Теорема о структуре электромагнитного поля высокочастотного индукционного разряда конечной длины при условии постоянства проводи мости в разряде
Оставаясь в рамках томсоновской модели высокочастотного индукционного разряда, можно получить три принципиальных результата, касающихся вопроса о структуре квазистационарного электромагнитного поля ВЧ индукционного разряда конечной длины. Как было показано выше, магнитное и электрическое поля в индукторе нагруженного ВЧП плазмотрона при условии r(r,z) = const во всём объбмс плазмоида можно описать следующими комплексными формулами:
Напомним, что в этих соотношениях константа расщепления Ъ -действительное число (которое в классической одномерной томсоновскоЙ модели есть просто нуль), a J0,i - функции Бесселя соответственно нулевого и первого порядков.
Соотношения (ЗЛ) - (3,3) дают возможность выявить ряд любопытных результатов, которые в действительности являются центральными результатами томсоновскоЙ модели ВЧ индукционного разряда конечной длины. Эти результаты удобно представить в виде следующей теоремы.
Теорема. Пусть квазистационарное цилиндрически симметричное электромагнитное поле ВЧИ разряда описывается уравнениями (ЗЛ) - (3,3). Тогда для всего объёма плазмоида справедливы следующие три утверждения: 1) фазовые углы (рп , фн и фЕ всех трёх компонент электромагнитного поля в разряде не зависят от продольной координаты z; 2) разность фаз между фазой радиальной составляющей магнитного поля 3) амплитуды радиального магнитного Нг и азимутального электрического Е полей в разряде связаны соотношениями
Для доказательства этих утверждений достаточно обратиться к формулам (3.1), (3.2) и (3.3). При этом свойство 1 следует из них автоматически. Для доказательства утверждения 2 заметим, что по определению фазовых углов где величины с одной и двумя чертами означают соответственно действительную и мнимую части соответствующих комплексных величин. Из соотношений же (3.2) и (3.3) заключаем, что в данном случае эти величины связаны зависимостью тригонометрических функций (например, [45,46]), И, наконец, соотношения (3,5), равно как и связанная с ними формула со v также с достаточной очевидностью вытекают непосредственно из соотношении.
Интересно также отметить, что из первого из соотношений (3.5) следует, в частности, еще и тот факт, что производная не может принимать значения, равные нулю, нигде вне оси плазмоида, в том числе и в его центральном сечении, хотя в этом сечении само значение амплитуды
Заметим также, что утверждения 1 - 3 (хотя и исходя из других соображений) фактически уже были получены нами выше для области малых значений радиальной координаты г (глава
С точки зрения методологии целесообразным было бы попробовать применить развитый выше метод предельных соотношений непосредственно к уравнениям томсоновской модели (1Л) и (2.1) - (2А) сравнив затем получившийся результат с уже известными нам точными решениями для амплитуд и фазовых характеристик всех компонент электромагнитного поля в разрядах. Можно показать, что в данном случае (то есть в комплексной постановке задачи) метод предельных соотношений также даёт отличный результат,
В самом деле, рассмотрим, например, одномерный случай. Система уравнений одномерной томсоновской модели имеет вид (1.1)
Как видим, метод предельных соотношений в одномерной задаче Томсона даёт правильный результат для трёх величин ри (г),Е (г) и рЕ (г)
из четырех, но содержит отличие в формуле (4 Л а) для Н (г), заключающееся в
завышении в два раза коэффициента при г по сравнению с ранее найденной точной зависимостью (ІЛ0). Ясно, что эта погрешность связана здесь с не учётом в разложении (4Л) членов, содержащих высшую (в данном случае -четвёртую ) степень малости по г, что, в свою очередь, является особенностью применения метода предельных соотношений в комплексной постановке задачи. Для того, чтобы получить правильный результат, в данном случае нужно прибегнуть к использованию второго приближения, в рамках которого мы, как легко видеть, получим в полном соответствии с формулой.
В заключение этого параграфа приведём - без вывода - выражения для компонент электромагнитного поля, полученные применением метода предельных соотношений уже к двухмерной модели Томсона,
Очевидно, что всё сказанное выше относительно формул для H (r,z) одномерной модели остаётся справедливым и по отношению к соотношению (3.12) двухмерной постановки задачи. функций H(r5z),Hra(r,z),E (r,z) n?(r,z),9Hr(r,2) и pEip0\z), для нескольких сечений плазмоида вниз по потоку, построенные как по полученным нами здесь точным решениям (2,10) — (2.12)» так и по найденным методом предельных соотношений приближённым формулам первого приближения (1.36) - (1-41) главы 4 и (4.2) - (4,9) главы 5, Для этих зависимостей нами взяты параметры реального ВЧИ разряда, горящего в кварцевой трубке диаметром 80 мм, полудлина которого L=70MM, а несущая рабочая частота f=l,76 МГц, полученного на стандартной полупромышленной плазменной установке ВЧИ 11-60 при расходе плазмообразующего газа Qj=9 м3/час, при этом полная вкладываемая в разряд мощность составляет приблизительно 30 КВт. Как видим, для реальных технологических плазменных процессов и систем, основанных на принципе ВЧИ нагрева газа, развитый автором метод приближённого интегрирования максвелловских дифференциальных уравнений, описывающих внутреннюю структуру квазистационарных электромагнитных полей этих систем, даёт весьма точные результаты в наиболее интересной с точки зрения возможных приложений приосевой области плазмоида - вплоть до расстояний порядка одной второй диаметра светящейся области плазменного сгустка.
В заключение этой главы заметим, что полученные в пей результаты, кроме всего прочего, ещё и показывают место развиваемого здесь метода предельных соотношений среди других методов приближенного интегрирования систем дифференциальных уравнений с частными производными — он занимает среди них то же самое место, которое занимает псевдоспектральный метод численного интегрирования уравнений типа Бюргерса среди других
Особенности коаксиальной структуры высокочастотного индукционного разряда
Перейдём к анализу полученных нами основных результатов. Одним из наиболее ярких эффектов, установленных в результате построенной нами математической модели, является открытие явления коаксиалыюсти высокочастотного индукционного разряда, которое заключается в следующем. Как легко видеть, из приведённых в таблицах данных следует, что внутри высокочастотного индукционного разряда в каждом поперечном его сечении максимум проводимости а, как функция радиуса, находится ближе к оси разряда, чем максимум плотности вихревого тока j - аЕф, а максимум L (г) расположен ближе к оси, чем максимум вкладываемой в разряд мощности на единицу объёма W = — аЕ„, то есть для каждого поперечного сечения плазмоида выполняется неравенство
Неравенство (2Л) можно обосновать аналитически следующими простыми, но достаточно изящными соображениями.
Пусть a(r,z), L(r,z) = aE и W(r?z) = — оЕф суть функции, которые в каждом фиксированном сечении плазмоида - то есть при всех z = z =, и поэтому в ходе дальнейших рассуждений переменную z для упрощения записи у этих величин мы опустим - достигают своих максимальных значений на отрезке О г й R только один раз. Тогда а это, в соответствии с указанным выше, означает, что точка r2 = r(jmax) находится на нисходящем участке функции ст(г), то есть на отрезке г, г R, и , следовательно г2 г,.
Точно так же в точке r3 - rfW ) имеем то есть гэ г2. В сумме же мы как раз и получаем искомое неравенство (2Л) гз г2 г1 которое н требовалось доказать-Заметим, что с точки зрения физики полученный результат отнюдь не является неожиданным - джоулево тепло, выделяющееся в скин-слое, отводится во внешнюю область разряда всеми возможными механизмами теплообмена, включая как его кондуктивпую, так и конвективную составляющие, в то время как во внутреннюю (по отношению к скин-слою) область разряда - в основном лишь механизмом кондуктивного переноса тепла. Следует далее указать, что, действуя точно таким же образом, мы можем доказать и более общий результат - выполнение неравенства в котором r; =r(aE 1) , і = 1,2,.-.,п, а п-сколь угодЕЮ большое натуральное число. Неравенство же (2.1) при этом является его частным случаем. Таким образом, внутри ВЧИ разряда существует семейство коаксиальных цилиндрически симметричных поверхностей, соответствующих максимумам величин оЕГ , и при этом, например, в условиях ЛТР, принадлежащая семейству поверхностей (2,2) поверхность минимального радиуса Г =г(аша_1(;) в силу однозначной в этом случае связи температуры Т с проводимостью в разряде CJ-CJ(T) является одновременно также и поверхностью, отвечающей максимальной температуре внутри плазмоида Ттах =T(q).
Заметим, что принципиальным в этой связи явилось бы определить закон сгущения точек ri? соответствующих точкам максимумов величии aEjT1, на оси г по направлению к периферии плазмоида, однако, - в силу своей сложности -этот вопрос пока остаётся открытым. Интересно отметить, что эффект коаксиальное высокочастотного индукционного разряда - несмотря на свою кажущуюся простоту - до сих пор не был известен специалистам в области ВЧ низкотемпературной плазмы, несмотря на сейчас уже более, чем сорокалетнюю историю изучения этого физического явления.
Специалистам в области физики и техники низкотемпературной плазмы хорошо известен парадокс фон Энгеля-Штеенбека [69], заключающийся в том, что чем больше мы отбираем тепла из дугового разряда (например, путем его обдува холодным газом), то есть чем больше мы его охлаждаем, чтобы загасить, тем он, наоборот, становится горячее, но тоньше. Иногда можно встретить утверждение о том, что этот эффект связан с тем, что при охлаждении внешних слоев столба дуги электропроводность этих слоев резко падает, и электрический ток начинает протекать в более узком канале, который нагревается до более высокой температуры при прежней силе тока [70]. Однако, по мнению автора, картина этого явления в действительности носит несколько более сложный характер. На наш взгляд, дело заключается в том, что увеличение отбора тепла из дуги приводит, в свою очередь, к увеличению
Интересно рассмотреть, как ведет себя в аналогичной ситуации высокочастотный индукционный разряд, стабилизированный спутным потоком плазмообразугощего газа- Развитый в настоящей работе метод исследования тонкой структуры температурного и электромагнитного полей в ВЧИ разряде позволяет это сделать. На рис IS - 22 приведены графики зависимостей проводимости в разряде с(г), плотности вихревого тока і=аЕф объёмной плотности вкладываемой в разряд мощности w--oh , а также амплитуд напряженностей аксиального магнитного Hz и азимутального электрического Еф полей в трех различных сечениях плазмоида высокочастотного индукционного разряда, начиная от его центрального сечения вниз по потоку, для двух различных расходов плазмообразующего газа Qi=9 м3/час и Qi=13 м3/час. Как и раньше, результаты получены по описанной нами выше методике, применённой к стандартной полупромышленной установке ВЧИ-11/60,
Основное отличие механизма отбора тепла из ВЧИ разряда, обдуваемого потоком холодного газа, от аналогичной ситуации для дугового разряда заключается в зависимости вкладываемой в этом случае в разряд мощности от фиксированной мощности генератора колебаний ВЧ поля, вследствие чего полная вкладываемая в разряд мощность при увеличении обдува не может сильно меняться, что подтверждается и результатами проведённых автором прямых численных расчётов в рамках данной модели (в данном случае эта мощность составляет примерно 30 кВт при обоих расходах плазмообразующего газа). Радиус плазмоида при увеличении обдува уменьшается (см. рис. 18 — 20), так что максимумы проводимости в разряде, плотности тока и вкладываемой в разряд мощности смещаются по направлению его оси, что еще раз показывает, что газ проникает в разряд не через его боковую поверхность, а через торцы плазменного сгустка, вследствие чего большая часть плазмообразующего газа не проникает в разряд, а обтекает его (что соответствует и результатам работ [72 - 75]). При этом падает максимум объёмной плотности вкладываемой в разряд мощности, максимальное значение плотности вихревого тока почти не меняется (хотя напряженность электрического поля Еф и незначительно возрастает) и увеличивается максимум удельной электропроводности (а значит - в условиях ЛТР - и температуры) в центре плазмоида. Изменение температурных профилей ВЧИ-плазмы вниз по потоку для различных сечений плазмоида, рассчитанное, как и выше, исходя из условий локального термодинамического равновесия по электропроводности в разряде, представлено на рис. 23.
Складывается впечатление, что упомянутый выше механизм Грановского в полной мере и реализуется как раз в случае высокочастотного индукционного разряда, в то время как для дуги постоянного тока это явление связано с извлечением дополнительной мощности из источника напряжения и носит поэтому более сложный характер.
Очевидно, что оценкой (3,2) для плотности потока тепла через условную границу то ко проводя щей области в данном случае пользоваться уже нельзя, так как часть тепла будет выноситься из центральной области плазмоида торцевыми (лобовым и кормовым) тороидальными вихрями. При этом, в соответствии со сказанным выше, полная вкладываемая в разряд, а значит (если пренебречь незначительными изменениями длины плазмоида при его обдуве) также и удельная - на единицу его длины - мощности не могут меняться, так что явление фон Энгеля-Штеенбека в высокочастотном индукционном разряде, хотя и имеет место, носит менее яркий характер, чем для дуги постоянного тока.
