Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Задачи антенного моделирования. постановка задач и вывод основных уравнений, результаты численных расчетов 21
1. Классическая модель излучения 21
1.1 Численный метод решения задачи электродинамики в тонко проволочном приближении 29
1.2 Результаты численных расчетов 34
2. Антенная задача, как задача о рассеянии электромагнитного поля на сложной ферменной металлоконструкции 41
ГЛАВА 2. Полуортогональные сплайновые веивлеты на конечном отрезке 54
3. Построение и простейшие свойства сплайновых вейвлет на конечном отрезке 54
3.1 Элементы теории сплайнов. Определение сплайнов 54
3.2 В-сплайны 56
3.3 Теоремы К. де Бора о сплайновых аппроксимациях 63
3.4 Построение вейвлет-базиса 64
3.5 Алгоритм построения вейвлет-базиса и их графики 72
4. Аппроксимационные свойства функций с ограниченной и переменной гладкостью 84
4.1 Аппроксимационные свойства на функциях с ограниченной 1-й производной 84
4.2 Аппроксимационные свойства на функция переменной гладкости 85
ГЛАВА 3. Метод вейвлет-галеркина для интегральных уравнений фредгольма. свойства матриц 87
5. Оценки элементов прямой и обратной матрицы 87
6. Метод вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма 103
7. Оценки элементов LU и (^/^-факторизации ПО
ГЛАВА 4. Разреженные аппроксимации матриц системы линейных алгебраических уравнений и быстрые алгоритмы их решения 117
8. Прямое и обратное быстрое вейвлет-преобразование 117
8.1 Построение дискретных вейвлет-функций 117
8.2 Быстрое дискретное вейвлет-преобразование 118
9. Разреженные аппроксимации и предобусловленные градиентные методы 124
Заключение 127
Список литературы
- Численный метод решения задачи электродинамики в тонко проволочном приближении
- Антенная задача, как задача о рассеянии электромагнитного поля на сложной ферменной металлоконструкции
- Теоремы К. де Бора о сплайновых аппроксимациях
- Метод вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма
Введение к работе
Актуальность темы. Прогресс современной вычислительной техники дал новый толчок развитию целого ряда разделов математической физики и вычислительной математики в различных областях науки и техники, в частности антенного моделирования. В этой области был достигнут ряд успехов: расширился класс задач, поддающихся расчету, и изменился сам подход к их решению. Однако существует и ряд препятствий, которые возникают при реализации данных методов. В современных условиях актуальной является проблема снижения издержек на разработку, уменьшение объемов экспериментальных работ по настройке изделий, а также постоянный рост требований к техническим характеристикам антенно-фидерных устройств.
В настоящее время существует ряд проблем, связанных с антенным моделированием. Во-первых, для получения хороших антенных характеристик необходимо усложнять объект электродинамического анализа, что не позволяет использовать известные классические алгоритмы. Во-вторых, мы сталкиваемся со значительными вычислительными затратами, связанными с построением устойчивых алгоритмов, обеспечивающих получение достоверных решений, при увеличении антенной конструкции. В свою очередь, повышение точности невозможно без обеспечения универсальности расчетных методик. Все это требует разработки новых высокоэффективных численных методов.
Таким образом, в настоящее время существует актуальная научно-техническая проблема развития и внедрения эффективных расчетных методик и алгоритмов, решения задач электродинамического анализа теории антенн.
Важным классом математических моделей, основанных на интегральных уравнениях, являются задачи относительно осевых источников. Это направление представляет собой большую группу методов, основанных на тонко-проволочном приближении с использованием интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Этот подход является исторически первым и получившим широкое распространение. Данный подход освещался в работах Е.
Галлена, Р.Ф. Харрингтона, Дж.Х. Ричмонда и многих других ученых и имеет серьезный недостаток связанный с некорректностью задачи по Адамару, хотя отличается простотой алгоритмизации и сравнительно небольшой потребностью в вычислительных ресурсах в случае простых антенных структур.
Для разрешения данной некорректности в рамках осевого приближения используется регуляризация и рассматривается в работах А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина и других работах. Также разработаны методы, учитывающие физическую специфику задачи, в работах А.Л. Бузова, В.В. Юдина и др.
Но непосредственное применение метода интегральных уравнений не всегда возможно, т.к. ограничивается объемом памяти и быстродействием современной вычислительной техники. Если рассматривать интегральное уравнение в задачах электродинамики на контуре небольшой длины, то его можно решить любым методом, но что делать если контур, например, имеет вид мачты с большим числом звеньев? Традиционные численные методы приводят к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с заполненными матрицами высоких порядков. Это связано с огромными объемами вычислений, особенно в задачах моделирования двумерных структур, либо проводящих контуров большой совокупной длины.
Для решения таких задач целесообразно использовать вейвлет-системы, которые представляют собой ортогональные системы функций, появившиеся сравнительно недавно, и завоевавшие популярность в связи с рядом преимуществ, которые они имеют для широкого круга задач перед классическими ортогональными системами функций. Математическая теория вейвлет-систем была создана в работах И. Добеши, С. Малла, Й. Мейера, П.Ж. Лемарье, Ч. Чуй, И.Я. Новикова и др.
В настоящее время имеется ряд монографий, в которых достаточно полно изложены математические основы теории вейвлет, а также их приложения к информационным технологиям, вместе с тем, отметим отсутствие доступной русскоязычной литературы по применению вейвлет к вычислительной
математике. Многие важные для вычислений темы: квадратурные формулы высокой точности для интегралов от вейвлет-функций, простые в вычислительном плане алгоритмы для вейвлет-систем на конечном отрезке разработаны недостаточно. Имеющиеся работы либо носят ознакомительно-обзорный характер, либо являются теоретико-функциональными исследованиями, весьма далекими от потребностей вычислений.
Вместе с тем несомненные достоинства вейвлет-анализа требуют разработки простых алгоритмов построения вейвлет-систем, адаптированных к конкретным классам прикладных задач, вместе с соответствующим математическим обеспечением: алгоритмами прямого и обратного вейвлет-преобразований, квадратурными формулами, вычислительными методами линейной алгебры.
Особо следует отметить применение вейвлет-систем к численному решению интегральных уравнений. Сочетание финитности и ортогональности вейвлет-функций приводит к тому, что матрицы СЛАУ, возникающие в методах Бубнова-Галеркина, коллокаций и т.п. оказываются псевдоразреженными, т.е., вообще говоря, не имея ни одного нулевого элемента, хорошо аппроксимируются по норме разреженными матрицами. Это обстоятельство отмечалось в работах В. Дамена, X. Харбрехта, Р. Шнайдера, Т. Петерсдорфа и др. Однако авторы данных работ ограничивались констатацией факта псевдоразреженности, либо разработкой на ее основе быстрых алгоритмов умножения соответствующей матрицы на вектор.
Отметим, что основы общей теории псевдоразреженных матриц (ПРМ) и ее применение к вычислительным методам линейной алгебры были разработаны И.А. Благовым. В работах И.А. Блатова показано, что для построения и обоснования эффективных методов решения СЛАУ с ПРМ необходимо помимо оценок элементов самих матриц иметь аналогичные оценки обратных матриц, а также, в зависимости от выбора метода, оценки их треугольных и ортогональных факторизации. Для некоторых классов матриц эти вопросы изучались в работах А.Г. Баскакова, Т.Д. Азарновой, И.А. Колесникова. Но для
матриц, возникающих при применении вейвлет-функций в численном анализе, эти вопросы в настоящее время совершенно не изучены. В связи с этим актуальной является задача разработки численных методов решения интегральных уравнений на основе вейвлет-функций и теории ПРМ и применению их к антенному моделированию.
Цель работы - разработка и исследование новых высокоэффективных вычислительных алгоритмов для систем тонких кругоцилиндрических проводников, сводящихся к решению интегральных уравнений Фредгольма. Достижения поставленной цели осуществляется решением следующих задач:
Разработка и обоснование вычислительных алгоритмов построения вейвлет-функций на базе полиномиальных сплайнов дефекта 1 произвольной степени.
Разработка и оценка трудоемкости алгоритмов быстрого прямого и обратного преобразований для построенных вейвлет.
Изучение аппроксимационных свойств сплайновых вейвлет на различных классах функций.
Изучение возможностей применения разреженных технологий, в частности оценки элементов прямой и обратной матрицы, и элементов lv и qr факторизации.
Создание комплекса программ и проведение численных экспериментов для нахождения функции тока и диаграммы направленности (ДН) для системы тонких кругоцилиндрических проводников.
Методы исследования. Работа выполнена на основе методов математического моделирования, теории функций, теории сплайнов, функционального анализа, вычислительной линейной алгебры. Численные результаты получены с использованием вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ на языке C++.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1) Построена система полу ортогональных сплайновых вейвлет на конечном отрезке.
Для построенной системы разработаны алгоритмы прямого и обратного быстрого вейвлет-преобразования, в том числе, быстрого вычисления кратных интегралов, являющихся элементами матриц СЛАУ в методе вейвлет-Галеркина.
Получены асимптотически точные оценки элементов матриц СЛАУ в методе вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма.
Получены асимптотически точные оценки элементов обратных матриц, iu и qr факторизации в случае интегральных уравнений Фредгольма
второго рода.
Доказаны теоремы о разрешимости задач метода Галеркина и сходимости приближенных решений, в случае моделей, основанных на уравнениях Фредгольма первого и второго рода.
Разработаны алгоритмы и создан комплекс программ для расчета тонкопроволочных антенных устройств.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют теоретическую и практическую направленность. Развитые в ней методы могут быть использованы для разработки и строгого математического обоснования новых быстрых алгоритмов решения задач вычислительной математики с применением вейвлет-систем и совершенствования известных методов на базе псевдоразреженных предобуславливателей. Разработанные вычислительные алгоритмы являются основой эффективного численного моделирования сложных антенных устройств. На защиту выносятся:
Комплекс алгоритмов и результаты численного моделирования тонкопроволочных антенных устройств.
Новая система полу ортогональных сплайновых вейвлет на конечном отрезке и комплекс вычислительных алгоритмов, связанных с этими вейвлетами.
Оценки элементов матриц СЛАУ в методе вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма.
Оценки элементов обратных матриц, ш и ^-факторизации в методе вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
5. Теоремы о разрешимости задач метода Галеркина и сходимости
приближенных решений, в случае моделей, основанных на уравнениях
Фредгольма первого и второго рода.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах и научных конференциях Самарского государственного университета, Самарского политехнического университета, международной конференции КВМ-2007 (Новосибирск), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIX", а также на научном семинаре кафедры высшей математики и ежегодных научных конференциях Поволжской государственной академии телекоммуникации и информатики.
Публикации. Автором диссертационных исследований (лично и в соавторстве) опубликовано 15 работ, из которых работы [2], [3], [4], [5], [6], [7]. [15] выполнены без соавторства. В совместных работах [1], [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14] научному руководителю принадлежат постановки задач. Работы [1], [15] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, изложенных на 138 страницах, и списка литературы, содержащего 104 наименования. Работа содержит 47 рисунков и 6 таблиц.
Численный метод решения задачи электродинамики в тонко проволочном приближении
Совокупность условии (1.19) - (1.20) представляет собой СЛАУ относительно коэффициентов d.Qj,Cij с квадратной псевдоразреженной матрицей порядка 2к + т — 1, элементы которой имеют вид: L L j f K(x,y)4 jino(y)4 linoWdxdy, (1.21) х=0у-0 L L J J К(х,у)ф] По(у)\р1іП(х)(іх(Іу, (1.22) х=0у=0 L І J J K(x,y)\pjin(y)il)lin(x)dxdy. (1.23) х=0у=0
Для решения системы необходимо вычислить элементы ее матрицы. Матрица системы состоит из сплайнового, вейвлетно-сплайновых и вейвлетных блоков.
Интегралы будем вычислять разбиением всего контура на 2к отрезков и применением формулы Гаусса с р узлами на каждом отрезке. Согласно результатам главы 3 большинство элементов матрицы пренебрежимо малы по модулю. Поэтому заполнять матрицу мы будем следующим образом: элемент матрицы будем считать нулевым, если он по модулю меньше заданного барьера 0 є « 1. Такие элементы мы хранить -і просто не будем.
Матрицу мы вычисляем целиком, применяя быстрое вейвлет-преобразование (FWT). Идея его состоит в том, что все сплайны и вейвлеты уровня (п — 1) представляются в виде линейной комбинации сплайнов предыдущего уровня (п). Поэтому мы можем вычислять интегралы по самому мелкому разбиению со сплайнами самого верхнего уровня к. Затем, интегралы с вейвлетам и уровня к, мы находим как линейную комбинацию вычисленных интегралов, и таким же образом (со сплайновыми коэффициентами), находим интегралы со сплайнами уровня к — 1. И т.д., таким образом, мы получаем быстрый алгоритм для вычисления всех элементов матрицы (с учётом, конечно, что интегралы на уровне к уже посчитаны).
Естественно, надо учитывать, что алгоритм FWT весьма прост в одномерном случае, а в двумерном использование его напрямую приведёт к большим затратам памяти (больше, чем уйдёт на хранение самой матрицы). Поэтому в каждой точке разбиения отрезка [О, L] х-ь мы считаем все интегралы / _0 (Xi,y)i/ (y)dy ( ), где \р — обозначает все вейвлеты уровней щ + 1... к и сплайны уровня п0, указанным выше способом. При этом в памяти храним последние незаконченные (т.е. недосчитанные) т сплайнов каждого уровня щ ...к и Зт — 2 вейвлет каждого уровня щ + 1... к и прибавляем к сплайнам посчитанные интегралы ( ), а досчитанные сплайны добавляем к вейвлетам и сплайнам следующих уровней, и т.д. Законченные вейвлетные и сплайновые элементы уровня 7i0 мы добавляем в матрицу, если они больше заданного барьера. После заполнения матрицы мы вычисляем вектор правой части: 17 = 1 Г Е(х) \j){x)dx \ . (1.24) " Получаем СЛАУ Ах = Ь. (1.25)
В качестве метода решения СЛАУ (1.25) рассматривается предобусловленный метод бисопряженных градиентов с предобуславливателем типа неполной ////-факторизации (Bi-CGStab) [88]. В настоящее время, этот метод является одним из наиболее быстродействующих по времени и количеству итераций. Он относиться к семейству методов вариационно-итерационного типа и применим для решения знаконеопределенных СЛАУ с несимметричной матрицей в общем случае матрицей, для которой неизвестны спектральные свойства. Решение связано с построением системы сопряженных векторов и каждое следующее приближение ищется в направлении нового полученного вектора из условия минимума функционала в этом направлении. Как указывается в [88] метод Bi-CGStab можно считать прямым методом, поскольку при точной арифметике он сойдется к точному решению за конечное число итераций. Для ускорения процесса сходимости и уменьшения числа итераций в данной работе используется процедура преобуславливания по методу неполной факторизации L //-разложения. В частности, если брать точное LU-разложение то метод сходиться за одну итерацию.
На основе формул (1.15) и (1.16) был проведен ряд численных экспериментов для антенны Уда-Яги и панельного излучателя вертикальной поляризации.
Вычислительный эксперимент проводился на системе Уда-Яги с пятью проводниками одинакового радиуса. Длина волны - 4 метра. Вертикальные размеры проводников (слева направо): 2 м: 2 м; 1,8 м; 1,72 м; 1,64 м. Абсциссы проводников: 0,4 м: 1 м, 1,8 м; 2,8 м: 3,7 м. Радиусы проводников 0,01 м. Второй проводник слева - активный вибратор с зазором 0.04 м.
Антенная задача, как задача о рассеянии электромагнитного поля на сложной ферменной металлоконструкции
Имеется ферменная опора, и требуется выяснить, в какой мере она будет оказывать затеняющее действие на расположенную вблизи нее вибраторную антенну, работающую при длине волны 0,88 м [19, 27]. Т.е. нам необходимо выяснить рассеяние электромагнитных волн на данной конструкции. Опора схематично показана на рис. 17 (в задаче учитывается не вся опора, а только ее нижняя часть с вертикальным размером 12,5 м.). В таблице 1 представлены все необходимые данные по геометрии объекта. Последний представляется в виде совокупности прямолинейных кругоцилиндрических проводников. Каждому проводнику соответствуют две строчки таблицы 1: в первой строке записаны 4 числа - абсцисса, ордината и аппликата начала проводника, а также его радиус; во второй строке записаны 3 числа - абсцисса, ордината и аппликата конца проводника. Вибратор в данном случае выноситься отдельно, как внешнее воздействие на ферменную опору.
Рассмотренная задача является по существу и по форме модели более простой из-за того, что радиусы граней, поясов и вибратора имеют одинаковые значения. Что дает симметрию задачи, которая используется для расчетов элементов матрицы.
В настоящем разделе мы изложим элементы теории сплайнов, необходимые для построения сплайновых вейвлет. Известные факты, опубликованные в доступной отечественной литературе, приводятся с соответствующими ссылками без доказательств. Вместе с тем получен ряд новых свойств, необходимых для обоснования последующих построений.
1.1. Разделенные разности. Пусть на вещественной оси (—оо, оо) заданы узлы x0,xv ...,хп (xt Ф Xj), в которых определена функция /( ) Разделенными разностями первого порядка называют числа ff ,_/( i)-/( o) gf , _ Я 2) - Я і) Т\хо хі) - j\.xltx2) — _ і ..., J \xn-l/xnJ v _ v xn xn-l По разделенным разностям первого порядка определяются разделенные разности второго порядка J{.XQ,X1,X2J — ТК.х1,х2,х3) — f{xlt х2) — f(x0) ха) х2 х0 f(x2)x3) — f(x1,x2) Х3 Х1 Аналогично определяются разделенные разности третьего порядка ff Л — /С ! Х2 хз) f(xo xi хг) J\XQ,X1 X2,X3) — - х3 х0 и т.д. В курсе методов вычислений [11] доказывается, что 1) Для га раз непрерывно-дифференцируемых функций где - некоторая средняя точка промежутка [x0,xm]. 2) Операция взятия разделенной разности любого порядка линейна, т.е. если F(x) — а f(x) + р - д(х), то F(xk, —,хк+т) = а f(xk, .-,хк+гп) + /? д(хк, ...,хк+т). Пусть Щ(х) = (х - хк) О - хк+1) --(х- хк+т). 3) Справедливо представление к+т f(xk,..., хк+т) — у ґ_ у (3-1) )= у IW 1.2. Усеченная степенная функция дт(х,t). Пусть т — произвольное натуральное число. Через є будем обозначать следующую функцию {рТП р «v. с , с О, 0. Введем в рассмотрение функцию дт(х, t) = (х — t)+ 1. Очевидно, что m-i v t " =Т 0 x t 1.3. Полиномиальные сплайны. Пусть на промежутке [а, Ь] задана сетка Ап: а = х0 хг хп хп+1 = Ь. (3.2)
Функцию Sm = Smk(x) называют полиномиальным сплайном (или просто сплайном) степени т дефекта к (1 к т) с узлами (3.2) если: 1. на каждом отрезке [ХІ,ХІ+1] (0 і ri),Sm(x) является полиномом степени т; 2. на всем промежутке [а,Ь] функция Sm(x) (т — к) раз непрерывно дифференцируема. Другими словами, сплайны склеены из полиномов на элементарных отрезках [ХІ, ХІ+1] так, чтобы в узлах была обеспечена нужная гладкость.
Под SQ1(x) будем понимать кусочно-постоянные функции с точками разрыва xv...,xn, непрерывные справа. Простейшим примером сплайна, определенного на сетке (3.2) является ломаная, узлами которой являются точки xQl xlt..., хп+1. Степень и дефект этого сплайна равны 1. Функция дт(х; t), введенная в п. 1.2. является сплайном степени га — 1 дефекта 1 относительно t; единственный узел этого сплайна - точка х. Образуем для функции дт(х; ) разделенную разность порядка т по узлам хк, xk+ll...,хк+т, (0 к к + m п). Из (3.1) имеем к+гп С А - V 3m(Xpt) д\хк, ...,xk+m;t) — . \= -э) 4-і b)k{Xj) j=k Функция gm{x) t) бесконечно дифференцируема по t при t Ф Xj и, конечно, есть сплайн степени га — 1 дефекта 1 с узлом Xj. Поэтому функция g(t), стоящая в правой части равенства (3.3) также есть сплайн степени in — I дефекта 1, для которого уже узлами будут точки хк,..., хк+тп.
1.4. Размерность пространства сплайнов. Пусть задана сетка (3.2). Обозначим через S(An,m,k) совокупность сплайнов степени m дефекта к, определенных на сетке Лп. Очевидно, что это линейное пространство.
Теорема 1. Размерность пространства 5(ДП, т, /с) равна т + 1 + п к. Доказательство имеется, например, в [35]. 3.2 В-сплайны 2.1. Основные свойства В-сплайнов. Понятие В-сплайна было введено И.Шенбергом. Эти функции нашли широкое применение в численных методах благодаря значительным упрощениям, связанными с финитностью носителей В-сплайнов. Пусть хк хк+1 хк+т (т 1). Определение 1. Функция B-m-lif) — Bm-l\xk — хк+т 0 = т 9т\хк — хк+т Ч (3-4) где дт(хк, ...,хк+т; t) разделенная разность m-го порядка функции дт(х; t), называется В-сплайном степени т — 1 дефекта 1 относительно узлов хк,..., хк+т.
Теоремы К. де Бора о сплайновых аппроксимациях
Пусть [а, Ь] = [ОД] - произвольный отрезок, т - натуральное число и щ - такое целое число, что 2П 2т — 1 2n+1. Рассмотрим семейство Д= {Дп, п = п0,щ + 1,...} разбиений отрезка [ОД] Ап: 0 = х% х х п — 1 с постоянным шагом h = hn = 1/2П. На каждом из разбиений Дп рассмотрим пространство сплайнов Ln = S(An т — 1,1). Тогда для каждого к п0 пространство Lk = S{/\k,m — 1,1) можно представить в виде прямой суммы e no+1e no+2e...M/fc5 где через Wk обозначено ортогональное дополнение пространства Lk-1 до пространства Lk. Искомый вейвлет-базис будем строить как объединение базиса в LUQ и всех базисов в пространствах Wn,n0 + 1 п к.
Вначале построим базис в ортогональном дополнении Wn пространства 1П_! до пространства Ln. Зафиксируем п щ + 1. В случае необходимости будем считать, что каждое из разбиений Дп продолжено с тем же шагом на всю числовую ось узлами xf, — оо і +оо. Нормализованные В-сплайны на разбиении Лп будем обозначать NTn_1jn.
Зафиксируем некоторое целое і О, такое, что і + 2 m — 1 2п 1, т.е. отрезок [я-1,Xi42m-i] целиком содержится в [ОД]. Будем искать функцию Фі,п(х) EWnB виде
Для того, чтобы іріп Є Wn достаточно потребовать, выполнения условий {Фі,п Nm-i,k,n-i) = 0, /с = і — n + 1, і — m + 2,..., і + 2m — 2. (3.27) поскольку остальные условия ортогональности выполняются автоматически в силу дизъюнктности носителей. Подставляя представление (3.26) в (3.27), получим однородную систему Ът — 2 уравнений с Зт — 1 неизвестными, 2І+37П-2 2 ccj (Wm_Un, iVm-i n-i) = 0, к = і - га + 1, і - га + 2,..., і + 2m - 2 y =2i (3.28) которая всегда имеет нетривиальное решение. Находя это нетривиальное решение, получаем искомый набор коэффициентов и функцию ifiiin{x) в виде (3.26).
Из представления (3.26) и свойства (3.5) В-сплайнов вытекает, что supptyin) с [ 2і х2і+4т--2] Т,е- содержит 4т — 2 смежных частичных отрезка. Возникает вопрос, нельзя ли построить вейвлет с меньшей длиной носителя? Следующая теорема показывает, что это не так. Теорема 8. Пусть р т — 1 и функция фііП(х) вида 2+т+2р i,n( )= YJ arNm-i,j,n, (3.29) j=2i удовлетворяет условиям І}РІІП, Nm-i,k,n-i) = 0, к = і — m + 1, і — m + 2,..., і + m + р — 1. (3.30) Тогда ірі п(х) = 0. Доказательство: Очевидно, что теорему достаточно доказать в случае р =Ї m — 2, так как при меньших р функцию всегда можно продолжить нулем на более широкий отрезок. Пусть р = т — 2. Предположим противное: найдется отличная от тождественного нуля функция (3.29), удовлетворяющая (3.30). Тогда для любого сплайнаХ(х) Є S(An 1,m — 1,1) имеем і фііП(х) X(x)dx = 0 (3.31) Интегрируя в (3.31) по частям т — 1 раз и учитывая, что VY/nO i) = ФіІп&гі+іт-О = получим, что ненулевая функция XQ(X) = Щ \х) Є S(An, 0,1), ортогональна на отрезке любому сплайну из 5(АП_1,2т — 2Д). Но размерность пространства сплайнов степени 2т — 2 дефекта 1 на отрезке [xf_1, xl 7l_2] равна 4т — 4 и совпадает с размерностью пространства сплайнов нулевой степени на этом же отрезке с вдвое более мелким разбиением. Поэтому существует ненулевой сплайн ф(х) Є S{An_1 2т — 2,1) ортогональный любой функции из 5(ДП, 0,1) на отрезке [хр/ХЙ т-г]- Но тогда \/+1 S фіп(х)сіх = О,; = 2і,2і + 1, ...,2і + 4m — 5. (3.32) Из (3.32) следует, что внутри каждого отрезка [xj1 1,л:у!ц1], і j і + 2т — 2 функция ф(х) обращается в ноль не менее двух раз. Но тогда в силу известной теоремы о существовании и единственности интерполяционного сплайна [35], функция 0(х) совпадает с интерполяционным сплайном тождественно равной нулю функции по узлам, где она обращается в ноль. Следовательно ф(х) = 0. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана. Следствие 1. Пусть j Є [0, 2п 1], Ylj = [ipin(x)\ suppipin Г) [ " Xy+m-i] = 0). Тогда совокупность сужений функций из П;- на [Л;"-1, X/V" _I], линейно независима на каждом таком отрезке.
Доказательство: Если нетривиальная линейная комбинация функций Пу равна нулю на каком либо из отрезков [xj1-1; #/+лг-і] то получим, что эта линейная комбинация будет отличной от тождественного нуля вейвдет-функцией, носитель которой состоит из двух групп, разделенных отрезком ], каждая из которых не более 2т - 2 смежных частичных интервалов разбиения Лп_і. Но носитель любого В-сплайна из S(An_1 m — 1Д) может иметь непустое пересечение лишь с одной из таких групп. Поэтому отличной от тождественного нуля вейвлет-функцией будет и сужение этой вейвлет-функции на любую из таких групп. Но такой вейвлет-функции не может быть в силу теоремы 8.
Метод вейвлет-Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма
В задачах об излучении электромагнитных волн, связанных с уравнениями Фредгольма первого и второго рода, оказывается особенно удобной схема Галеркина. В соответствии, с которой неизвестная функция тока / ищется в виде разложения /(у)=Ч/п(зО (6.1) п по некоторой полной системе функции. На практике задаваясь некоторой конечной погрешностью аппроксимации, ограничиваемся конечным числом N слагаемых в правой части (6.1). Весьма эффективным для представления / является использование вейвлет-базиса, когда искомая функция ищется в виде суммы сплайнов и вейвлет (1.15). Важным вопросом является разрешимость задачи метода Галеркина для интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода. Рассмотрим несколько теорем связанных с этой проблемой.
Пусть К(х,у) - асимптотически т. - гладкая функция. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода (5.1) с заданной функцией / и неизвестной функцией и. Сложности численного решения уравнений такого вида (особенно многомерных) традиционными численными методами связаны с тем, что матрицы, получающиеся при их дискретизации оказываются заполненными, т.е. состоящими из ненулевых элементов.
Рассмотрим для (5.1) метод Бубнова-Галеркина на базе построенных вейвлет-функций степени т — 1 дефекта 1. Зафиксируем некоторое натуральное к щ и будем искать решение (5.1) в виде 2"o-i к-п0 2n+ -1-m j=-m+l i=l j=-m+l из условий / 2no-l k-n0 2no+i-i-m К(х,у)і оу0У)По(у)+ сигр]іПо+і(у) j=-m+l i=l y=-m+l Pi,n0(x)dxdy = І /(x) piino(x)dx, -i CL -m + 1 J 2n - 1, 2no-i fc-n0 2no+ 1-m b rb J J tf( ,y) jT dO7-0;,no(y)+ 2J X С0 .По+і(У) a a W=-m+l i=l ;=-m+l / ifjln(x)dxdy = /( ) tyi,n(x)dx, -m + l l 2n_1 - m,n0 + 1 n A: (6.3) Совокупность условий (6.3) представляет собой СЛАУ с квадратной матрицей порядка 2к + m — 1, элементы которой имеют вид rb rb rb Pj,n0(x)(j)lino(x)dx+\ K(x,y)(})jino(y)(plino(x)dxdy, J rb rb rb rb I K(x,y)(f)jinQ(y)\l)lin(x)dxdyA /C(x,y)i/;;)n(y)7/;u+s(x)dxdy,5 0. a а Ja a J "b rb rb fc(%W + К(х,у) фііП{у )-ф1іП(х хйу, (6.4) a - a a
Для классических систем функций в методе Галеркина числа (6.4) оказываются, в основном, ненулевыми и недостаточно малыми, чтобы ими можно было пренебречь и рассматривать СЛАУ (6.3), как разреженную. Получим оценки чисел (6.4) в случае вейвлет.
Замечание 11. Здесь и в последующих разделах мы будем рассматривать базисные вейвлет-функции, умноженные на нормирующие сомножители, т.е. сделаем для построенных ранее функций замены хріп 2П/2 ipln, ф1п - 2П/2 ф1п, чтобы эти базисные функции имели L2 [а, Ь] нормы порядка 0 (V).
Из теоремы 13 следует, что матрица системы (6.4) является псевдоразреженной, т.е. в ней очень много малых по модулю элементов. Учитывая, что СЛАУ для интегральных уравнений Фредгольма второго рода хорошо обусловлены, пренебрегая этими малыми элементами, мы получим хорошую разреженную аппроксимацию этой матрицы, для которой можно применять алгоритмы для разреженных систем [53].
Данное свойство делает очень перспективным применение вейвлет-систем для численного решения сингулярных уравнений, моделирования антенных устройств и линий передач.
Приведем оценки ядра для уравнения, моделирующего тонкопроволочные антенны (от I линейно зависит только вертикальная координата радиус-вектора, радиус проводников a(l) = const).
