Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Во многих задачах науки и техники спользуются случайные величины и вероятностные методы исследования , шрокое применение получило статистическое моделирование с спользованием ЭВМ. При:!этом большой удачей для исследователя вляется знание хотя бы приближенно закона распределения ассматриваемых случайных величин. Представление о распределении для еальных выборочных значений случайной величины можно получить с :омощью критериев согласия , сравнивая эмпирическое распределение с :екоторым теоретическим . Однако установить класс распределений или онкретное распределение возможно , основываясь на "механизме лучайности" с помощью подходящей модели этого "механизма", арактеризующей распределение. Характеризационные задачи , спользуюшие различные свойства случайных величин , функций или гатистик , представляют собой важный раздел теории вероятностей и іатематической статистики , у истоков которого стояли Г. Пойа , Ш.Бернштейн , И.Марцинкевич и другие известные математики. Одно из сновных мест в задачах характеризации занимают модели , основанные а регрессионных свойствах статистик и , в частности , на условии остоянства регрессии . В связи с этим следует отметить работы Э.В.Линника, Е.Лукача, С.Р.Рао, Б.Рамачандрана, Р.Лаги, С.Г.Кхатри, l.M.Кагана, А.А.Зингера. Например, с помощью модели постоянства егрессии полиномиальных статистик на линейную форму получены арактеризационные условия для достаточно большого круга аспределений : нормального, пуассоновского, гамма-распределения и екоторых других. И все же , несмотря на обилие результатов , поле еятельности в развитии данного направления достаточно обширно.
Вплотную к задачам характеризации примыкает актуальнейшая, но :алоисследованная задача практического применения полученных езультатов, разработка соответствующих численных методов.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью данной работы является потребность, во-ервых, дополнить имеющиеся характеризации новыми моделями; во-торых, пересмотреть некоторые результаты, предполагая исправление еточностей, упрощение, а также возможное обобщение; в-третьих, для аждого полученного распределения представить соответствующую егрессионную модель, выразив коэффициенты полиномиальных гатистик не некими соотношениями, а выписав их конкретные значения; -четвёртых, для некоторых классов статистик провести полное сследование всех возможных случаев, включая случаи вырожденного и гсучаи отсутствия каких бы то ни было распределений.
Дальнейшая проблема работы - применение полученных егрессионных моделей для решения практических задач, в частности для адачи распознавания вероятностных распределений. То есть целью анной работы является разработка алгоритмов для построения
соответствующих регрессионных моделей гауссовского типа и алгоритмов для отбора наиболее подходящей модели.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ. Статистическое моделирование случайности при исследовании вероятностных законов, использующее модель постоянства регрессии полиномиальных статистик на линейную форму приводит к исследованию и решению в характеристических функциях дифференциальных уравнений соответствующих порядков.
В случае получения нестандартных решений найденные функции исследуются на свойство положительной определённости.
Для построения регрессионных моделей гауссовского типа используются методы регрессионного анализа.
Поведение полученных моделей исследуется на ЭВМ, разработаны"
соответствующие алгоритмы.' '
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Пересмотрены резюмирующие теоремы в случае' модели постоянства регрессии однородной квадратичной статистики на линейную"' статистику: получены : характеризации распределений типа биномиального и типа отрицательного биномиального, не найденные в этой задаче ранее, а также получена характеризацйя и исследовано новое распределение, названное распределением типа гиперболического косинуса с характеристической функцией
Л0=(сп—t + i-sh-^-t) , m<0, ц=Е(х), V m р m J
\х, m, Р - действительные параметры, і = 4-І .
Исправлены случаи, при которых невыполнимо условие постоянства
регрессии.
Получено упрощение результата Лукача, использовавшего для характеризации некоторых распределений статистику четвёртого порядка. Показано, что тот же результат получается при статистике второго порядка, причём можно использовать больший произвол на коэффициенты, т.е. речь идёт и об обобщений известного результата.
Указана связь между статистикой второго порядка и статистикой Лукача.
При использовании в моделях статистики третьего порядка с определёнными коэффициентами получены не встречавшиеся ранее распределения типа свёртки двух экспоненциальных распределений и, в частности, распределения Лапласа и Эрланга.
Впервые реализована попытка применить регрессионные модели гауссовского типа в задачах распознавания вероятностных распределений по выборочным данным. При этом в отличие от других методов допускается в качестве данных использовать не сами выборочные
значения, а выборки первых моментов. Разработаны соответствующие численные методы и алгоритмы, реализованные в компьютерные программы.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В теоретическом плане работа дополняет известные результаты характеризации вероятностных распределений, представляет новое не известное ранее распределение и вносит определённый вклад в изучение и моделирование законов распределения регрессионными методами.
Полученные результаты могут найти применение во многих приложениях, где используются регрессионные методы, а также в задачах распознавания вероятностных распределений при достаточно большом количестве наблюдений (п>30). Использование выборочных моментов вместо выборочных значений позволяет существенно уменьшить объём данных при неизменной информации, что немаловажно при хранении информации в памяти компьютера.
Разработан комплекс программ, нашедших практическое применение в ряде научных разработок.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались в течение ряда лет на семинарах кафедр высшей и прикладной математики НовГУ, на ежегодных Новгородских областных научно-технических конференциях, на Всероссийском симпозиуме "Статистическое моделирование (методы и средства)" (1991 г.), на семинаре кафедры ЭВМ Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева.
Рассматриваемые в диссертации методы построения статистических моделей используются в учебном процессе в виде курсовых работ на кафедре прикладной математики НовГУ, а также на кафедре ЭВМ КГТУ им. А.Н.Туполева в научных разработках и учебном процессе в курсе "Моделирование".
ПУБЛИКАЦИИ. По материалам диссертации опубликованы девять статей [1-9].
СТРУКТУРА И ОБЪЁМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трёх разделов, заключения, списка литературы, включающего 73 наименования, и приложения на 4? страницах. Общий объём диссертации составляет lis- страниц машинописного текста.
