Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Трехкритериальная задача формирования оптимальных инвестиционных портфелей 24
1.1. Развитие теории портфельного инвестирования 24
1.2. Модель Марковица и ее модификации 29
1.3. Вероятностная модель распределения капитала между различными направлениями бизнеса 35
1.4. Модель динамического управления портфелем инвестиций 43
1.5. Постановка трехкритериальной задачи 44
1.6. Существование и единственность решения трехкритериальной задачи 46
1.7. Численный метод решения трехкритериальной задачи 51
1.8. Численные результаты и их анализ 56
Основные результаты, представленные в первой главе 61
Глава 2. Прогнозная модель динамического управления портфелем инвестиций 65
2.1. Метод SSA для временных рядов 66
2.2. Алгоритм модифицированного SSA-метода прогнозирования временных рядов цен (доходностей) активов 72
2.3. Оценка средней ожидаемой доходности и ковариационной матрицы эффективностей на основе прогнозной модели 74
2.4. Анализ численных результатов прогнозирования с использованием модифицированного SSA-метода 78
Глава 3. Модели динамического управления портфелем инвестиций, использующие робастные методы 82
3.1. Применение робастных линейных сглаживающих сплайнов для динамического управления инвестиционным портфелем 83
3.2. Оценка оптимального уровня сглаживания с помощью фрактальных методов 87
3.3. Применение робастных ортогональных полиномов для динамического управления инвестиционным портфелем 91
3.4. Анализ численных результатов прогнозирования при использовании робастных методов 93
Основные результаты, представленные в третьей главе 101
Заключение 103
Литература 105
Приложение 1 118
- Вероятностная модель распределения капитала между различными направлениями бизнеса
- Численный метод решения трехкритериальной задачи
- Оценка средней ожидаемой доходности и ковариационной матрицы эффективностей на основе прогнозной модели
- Оценка оптимального уровня сглаживания с помощью фрактальных методов
Введение к работе
Актуальность темы исследования. За последние полтора десятилетия в Российской Федерации произошли существенные изменения, связанные с переходом к рыночной системе. Развиваются не только традиционные для России отрасли экономики, но и отрасли, не получившие развитие в советское время. Формируются банковский сектор и фондовый рынок. Появляются крупные корпоративные и многочисленные индивидуальные инвесторы, растет число участников фондового рынка. Это приводит к увеличению интереса к постановке и решению задач экономики с помощью методов математического моделирования.
Широкий класс задач экономики, решаемых методами математического моделирования, образуют задачи эффективного распределения ресурсов, большую роль среди которых играют задачи оптимизации инвестиционных портфелей.
Математическая теория портфельного инвестирования получила свое развитие в пятидесятые годы двадцатого столетия. Ее основателем считается Гарри Марковиц [129-131], американский математик-экономист. В последние годы теория портфельного инвестирования переросла в строгую математическую теорию и продолжает успешно развиваться в работах как зарубежных, так и российских ученых.
Для портфельного инвестора принятие решения о структуре распределения средств происходит в основном в условиях неопределенности, когда эффективность вложения ресурсов в каждый конкретный объект инвестирования носит случайный характер. Это порождает наличие риска
инвестирования и делает задачу оптимизации портфеля, с точки зрения эффективности, довольно сложной как для постановки, так и для разработки методов и алгоритмов численного решения.
Г. Марковичу принадлежит классическая постановка задачи формирования эффективного инвестиционного портфеля [130]. Тем не менее, наряду с классической постановкой задачи требуется рассмотрение ее модификаций, учитывающих дополнительные условия, связанные, в том числе, с накладываемыми на доли активов в портфеле ограничениями.
Подчеркнем, что при инвестировании на рынке ценных бумаг часто ситуация меняется очень быстро, что требует от инвестора периодического пересмотра портфеля для максимизации эффективности вложений. Таким образом, особую актуальность представляет проблема динамического управления инвестиционным портфелем, для решения которой необходима разработка эффективных методов прогнозирования эффективностей инвестирования (в частности, цен или доходностей активов).
Актуальность проблематики подтверждает также интерес к вопросам теории портфельного инвестирования весьма широкого круга математиков, экономистов и финансистов из разных стран, о чем свидетельствуют публикации в мировой математической и экономической печати.
Цель работы: разработка эффективных численных схем и алгоритмов динамического управления инвестиционными портфелями.
Методика исследований: в работе использованы полученные ранее результаты теории портфельного инвестирования, математические методы сглаживания и прогнозирования временных рядов, робастные методы оценивания, а также методы фрактального анализа временных рядов.
Научная новизна. В рамках достижения поставленной цели в работе получены следующие новые результаты:
Разработана новая схема и алгоритм формирования и реструктуризации эффективных инвестиционных портфелей в трехкритериальнои постановке.
Сконструирована новая прогнозная схема и алгоритм динамического управления портфелями инвестиций с использованием SSA-техники прогнозирования и трехкритериальнои постановки задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей.
Предложены новые схемы и алгоритмы выбора оптимальных значений параметров сглаживания и прогнозирования финансовых временных рядов.
Рис. 1. Структура разработанной схемы динамического управления инвестиционными
портфелями
Сконструированная схема динамического управления портфелями инвестиций структурно представлена на рис. 1. Слева поэтапно показана последовательность шагов, осуществляемых для динамического управления портфелем. Справа перечислены необходимые входные данные и используемые методы для каждого этапа.
Практическая ценность работы. Результаты работы могут быть использованы организациями, осуществляющими инвестиционную деятельность для формирования и реструктуризации краткосрочных и долгосрочных инвестиционных портфелей, прогнозирования, выработки инвестиционной политики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах: XXXVII, XXXVIII, и XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, 2001, 2002, 2003); на международной конференции «Математическое моделирование социальной и экономической динамики» (Москва, 2004); на семинарах в РУДН и МИФИ. Некоторые результаты диссертации внедрены в проектах ООО «Франклин & Грант. Финансы и аналитика».
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 156 наименований и трех приложений. В ней имеется 35 рисунков и 21 таблиц. Общий объем диссертации составляет 149 страниц.
В первой главе обсуждается трехкритериальная задача формирования эффективных инвестиционных портфелей.
В первом параграфе описывается история возникновения и основные этапы развития теории управления портфелями инвестиций, приведены
наиболее значительные результаты каждого из этапов, освещается современное состояние проблемы.
Во втором параграфе рассматривается модель Марковица оптимизации инвестирования и ее модификации.
В математическом смысле портфелем инвестиций называется вектор долей х = (х1,х2,...,хп) , где х, -доля капитала, инвестируемого в /-и объект.
Вектор х удовлетворяет условиям: ^х,. = 1, 0 < х, < 1, / = 1,...,/7 (случай
/=i
короткой продажи (short sale), когда допускается наличие отрицательных
долей вектора инвестиций х, не рассматривается). Под результатом
инвестирования понимается величина эффективности, полученной в течение
заранее определенного периода.
Классическая схема Марковица постановки и решения задачи формирования оптимального портфеля ценных бумаг основана на предположении о случайном характере эффективностей вложения средств. Эффективность инвестирования (рост цены портфеля, доходность) понимается как случайная величина, математическое ожидание которой определяет среднюю ожидаемую эффективность, а стандартное отклонение - риск инвестирования.
В классической постановке математическая модель оптимизации портфеля инвестиций имеет вид:
^ jcf mi = т -> max (0.1)
/=i
п Y,Xj =1, 0
где т = (т1,т2,...,тп) - вектор математических ожиданий случайного вектора эффективностей R = (Я,,R2,...,R„) , W — ковариационная матрица
эффективностей вложения, тр - средняя ожидаемая доходность портфеля,
(7 — рИСК ПОртфеЛЯ.
Наряду с классической постановкой задачи Марковица следует рассматривать также задачу при наличии априорных ограничений, задаваемых в виде групповых неравенств вида:
сс}
где /// - число групп, rtj - число объектов инвестирования, принадлежащих у'-й
. т щ
группе, 2>у <1, /7, >1.
7 = 1 У=1
Задача нахождения множества эффективных портфелей (0.1), (0.2) принадлежит к классу задач квадратичного программирования. Для нее разработаны эффективные численные методы решения.
Параметрами задачи (0.1) являются: средняя ожидаемая доходность всех активов, потенциально участвующих в портфеле, и ковариационная матрица. Модель Марковица, по своей сути, является статичной, то есть формирование портфеля производится в определенный фиксированный момент времени на фиксированный промежуток времени. Однако в реальности ситуация на рынке меняется достаточно быстро, поэтому существует необходимость в постоянной корректировке состава портфеля.
В третьем параграфе представлена вероятностная модель распределения капитала между различными направления бизнеса.
Целью любого бизнеса является приумножение средств, вложенных в этот бизнес. Однако всякая деятельность связана с риском потери собственником своих вложений.
Для собственника бизнеса проблема ' распределения (аллокации) капитала между различными направлениями бизнеса- это проблема распределения финансовых ресурсов.
Для предлагаемой вероятностной модели распределение капитала между объектами будем считать оптимальным, если при максимально возможном уровне совокупной доходности уровень риска с определенной долей вероятности не превышает некоторой пороговой величины.
Пусть в начале периода инвестор направляет в /-й бизнес, / = 1,...,/7, капитал Kt, в конце периода инвестор от этого бизнеса получает капитал i)Kr Назовем величину г. доходностью /-го бизнеса, / = 1,...,/7. В силу наличия неопределенности rt - случайные величины, г =(г,,г2,..., О - случайный
вектор.
Требуется найти такое распределение средств между существующими направлениями бизнеса, чтобы в конце рассматриваемого периода времени совокупный капитал, получаемый инвестором от всех видов бизнеса, был не ниже заранее определенной величины с некоторой долей вероятности.
Предлагаемый подход отличается от подхода Марковица к диверсификации капитала возможностью априорного задания вероятности, с которой собственник бизнеса получит доход заранее определенного уровня.
Риск доходности можно определить как риск больших потерь (отрицательного или низкого дохода) и ограничить его.
Обозначим 5, - совокупный капитал, получаемый в конце периода от
всех видов бизнеса. Очевидно, что 5,(х) = ]Г/;./С, =5-]Г/;л-,., где 5-
>=] /=i
совокупный объем капитала, направляемого во все виды бизнеса в рассматриваемый период времени. 5,(х) -случайная величина.
Для безопасного распределения капитала необходимо выполнение условия,
P{5,(x)>(F)} = z,
где z - априорно заданный уровень вероятности.
#
Вероятностная модель распределения капитала между различными направлениями бизнеса имеет вид
(*) —» max ,
P{Sl(x)>t(x)} = z,
0
соответственно вектор математических ожиданий и ковариационная матрица случайного вектора г .
В тексте приведен алгоритм решения задачи распределения капитала между двумя направлениями бизнеса некоторого холдинга на основе вероятностной модели.
В четвертом параграфе разработана прогнозная модель динамического управления инвестиционными портфелями.
При решении задачи формирования оптимального портфеля инвестиций по схеме Марковица возникают два вопроса:
Как организовать динамическое управление портфелем, корректируя его состав с учетом изменений цен?
Как получить прогнозные оценки средних ожидаемых доходностей активов и ковариационной матрицы?
Пусть в момент времени t0 инвестору необходимо сформировать инвестиционный портфель, который будет эффективным во временном промежутке (/0;/0 + Af]. Пусть т,о+Л, =(wUo+A,,..., w,, ,()+л,)7', ІІ()+ЛІ -
соответственно прогнозные значения средних ожидаемых доходностей и оценка ковариационной матрицы на момент времени /0 + А/.
Модель динамического управления портфелем инвестиций для классической схемы Марковица имеет вид:
0-р = (^о+Д/*,*)-»тіп,
S хі '"/. /0+л/ = тр ->тах> (0-3)
/7
2^,= 1,0^,^1,/ = 1,...,/7, /=1
где /и, e[m„.,,mmaJ, где ^тт =min {wUo+^,...,m„./0+A/},
'"max = таХ Ц.,0+А" -» "W*}'
Решением задачи (0.3) является множество эффективных портфелей на момент времени /0 + At. Таким образом, инвестор в каждый момент времени
tu выбирает из полученного множества эффективный портфель до следующего
момента времени tQ + At.
В пятом параграфе предложена постановка трехкритериальной задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей.
Модель Марковица формирования множества эффективных портфелей в классической постановке является двухкритериальной. Однако инвестору часто не требуется формировать заново оптимальный портфель, а нужно реструктуризировать уже имеющийся портфель, т.е. нужно произвести перераспределение ресурсов с учетом изменения стоимости активов. В этом случае наряду с оптимизацией риска и доходности нового портфеля инвестор также заинтересован в минимизации расходов на пересмотр портфеля.
Задача формирования эффективных инвестиционных портфелей в трехкритериальной постановке имеет вид
J(x) = (Wx, x) -> min,
I!
Y,xi'm,-->max, (0.4)
/=i
p(x) —> min ,
*,. = 1, 0
где p(x) = /?(*, x0) - функция затрат при переходе от имеющегося портфеля х0 к новому портфелю X .
Шестой параграф посвящен вопросам существования и единственности решения трехкритериальной задачи. Здесь сформулированы условия, при которых существует хотя бы одно решение задачи (0.4), а также условия, при которых это решение единственно.
В седьмом параграфе приведен численный метод решения трехкритериальной задачи.
Восьмой параграф содержит анализ численных результатов решения трехкритериальных задач и их сравнение с результатами решения соответствующих задач Марковица.
Во второй главе описывается модель динамического управления портфелем инвестиций с использованием модифицированного SSA-метода.
В первом параграфе приведено описание метода SSA для временных рядов. Для временного ряда метод состоит в формировании матрицы, которая связана с оценкой ковариационной матрицы для финансового временного ряда, исследовании полученной матрицы методом главных компонент и последующем восстановлении исходного временного ряда. При этом часто оказывается возможным выделить отдельные составляющие исходного ряда, такие как медленный тренд произвольного вида, периодические и колебательные компоненты, случайные вариации. Это, в свою очередь,
позволяет прогнозировать как сам временной ряд, так и тенденции развития различных его составляющих.
При анализе и прогнозировании рядов цен (доходностей) активов нас будет интересовать проблема выделения из изучаемого временного ряда информативных компонент и исключения шумов. Метод SSA позволяет решать эти проблемы путем отбрасывания при восстановлении и прогнозировании временного ряда компоненты, соответствующие случайным составляющим ряда, и производить прогноз, учитывая только главные детерминированные компоненты.
Во втором параграфе предложен алгоритм модифицированного SSA-метода прогнозирования временных рядов цен (доходностей) активов, в котором оптимизируются параметры SSA-метода.
Параметрами метода SSA являются: длина исходного ряда N, общее число главных компонент г, количество базовых главных компонент /\ При анализе реальных временных рядов цен (доходностей) активов с помощью описанного метода возникает необходимость выбора этих параметров.
Разработанный алгоритм модифицированного SSA-метода
прогнозирования рядов цен (доходностей) активов состоит в предварительном сглаживании временного ряда путем отбрасывания компонент, соответствующих случайным составляющим ряда и отвечающих нулевым и близким к нулю собственным значениям и последующем прогнозировании ряда. При этом прогноз производится по тем же базовым главным компонентам, что и восстановление ряда. Отметим, что предлагаемый алгоритм является самообучающимся. Написанная на его основе программа сама выбирает оптимальные параметры сглаживания и прогнозирования ряда.
Опишем схему прогнозирования временного ряда с учетом вышесказанного.
Пусть имеется статистический финансовый временной ряд-ряд цен или
доходностей некоторого актива (/*),,,, где количество элементов ряда (N)
достаточно велико. Выберем некоторое натуральное число п, 1 < п < N, разбив тем самым исходный ряд на две части: /j,...,/,;/,+!>>/# ^ рамках предлагаемого алгоритма, ряд /|,..., f„ принимается за исходный, а на отрезке ряда f„+\,---, fN производится «обучение» метода для выбора оптимальных параметров метода SSA для прогнозирования значения fN+].
В предлагаемом варианте работы алгоритма используется прогнозирование с расширением базы на каждом шаге, то есть после
получения прогнозного значения f., i = n+\,...,N, реальное значение /* добавляется в базу для прогнозирования следующего значения //+1.
Описанная выше схема реализуется в следующем алгоритме. Алгоритм модифицированного SSA-мепюда. Имеется статистический ряд цен или доходностей некоторого актива (/),1,.
.1. Выберем натуральное число п, 1 < п < N.
2. Для всех возможных пар значений г и г с помощью метода SSA:
Производится процедура сглаживания ряда (/)"=|, где ряд восстанавливается по первым г главным компонентам.
Рассчитываются прогнозные значения /н+1,..., fN.
3. Находятся значения параметров г0, г0, соответствующие минимуму
невязки (/;-/;).
4. С параметрами г0,г0 вычисляется прогнозное значение fN+r
В третьем параграфе приведена оценка средней ожидаемой доходности и ковариационной матрицы эффективностей на основе прогнозной модели.
При прогнозировании ряда доходностей получаемое в результате
прогнозное значение доходности /w+1 принимается в качестве средней
ожидаемой доходности для рассматриваемого актива, то есть значения й,..,о+Л,
в модели (0.3), где j - номер актива, /0 - текущий момент времени, At -
временной интервал прогнозирования.
Оценку ковариационной матрицы W, А1 получим следующим образом.
Пусть для составления портфеля рассматриваются К различных активов из присутствующих на рынке. Известны статистические данные ежедневных доходностей активов /U),..., f^J), где j=\,...,K - номер актива. С помощью
алгоритма модифицированного SSA-метода получаем прогнозные значения доходностей на следующий период: /^,..., /],. Обозначим А(/' = /{J) - /и),
i = n + 1,..., N, у = 1,..., К,- отклонения прогнозных значений [/(я)/=„+|
«хвоста» ряда от реализованных {/и)1=п- Тогда получаем следующую оценку ковариационной матрицы прогнозных значений доходностей:
где случайная величина У?(/>, j = \,...,K -доходность вложения капитала ву'-й актив."
При прогнозировании ряда цен на акции /U) ,...,/{NJ), где j = \,...,K -
номер актива, с помощью алгоритма модифицированного SSA-метода получаем прогнозные значения цен на следующий период: /,^,---,/^-
Обозначим /?/" =—— '~* , і = п + 1,..., N + 1, j = \,...,K- прогнозные
J;-1
значения доходностей на каждом шаге. При этом 7?^' = Л*' Л ,
J N
j = \,....,K — прогнозные значения доходностей активов на момент времени t0+At, то есть для задачи (0.3) mh,о+д, = Л#+і, j = 1,..., К.
Отклонения прогнозных значений доходностей «хвоста» ряда от
реализованных равны А{/] = RJJ) - RJJ), где RjJ) = — ^-, і = п + I,..., N,
J/-1
j = 1,..., К. Оценка ковариационной матрицы аналогична случаю прогнозирования рядов доходностей.
Полученные прогнозные значения ожидаемой доходности и оценка ковариационной матрицы позволяют вычислить эффективное множество портфелей по схеме Марковица на следующий период. Таким образом, реализуется управление инвестиционным портфелем в динамическом режиме.
Четвертый параграф посвящен анализу численных результатов прогнозирования с использованием модифицированного SSA-метода. Для численных экспериментов использовались реальные исторические данные котировок акций, входящих в индексы Dow Jones и S&P 500.
В модели реализуется «обучение» метода и последующий выбор оптимальных параметров метода SSA. «Обучение» производится на части ряда. Для оценки эффективности прогнозирования использовались доля совпадающих трендов исходного и спрогнозированного с выбранными оптимальными параметрами прогнозной модели ряда, а также погрешность прогноза. Погрешность прогноза оценивалась по формулам
1)4',} =
fU) _ {(
J i+l J /Ч
fU) Л+i
или є)Ц = 2
7U) _ fU)
J )+i ./i+l
irrt-
если Uj ), — временные
ряды цен активов;
2) є\{1 = /м~/м > если \fiU))l=\ ~ временные ряды ежедневных
доходностей. Здесь ffU) - прогнозное, а //(у) - реализованное значение наблюдаемой величины, / = п + \,..., N, j = 1,..., К .
Исследована зависимость процента совпадающих трендов от длины интервала обучения исходного ряда.
При тестировании модели была предусмотрена возможность выбора шага прогнозирования: 1 торговый день, 5 (что соответствует неделе) и 20 (что соответствует 1 месяцу) торговых дней. При прогнозировании на 5 и 20 дней исходный ряд ежедневных доходностей сглаживался методом SSA, затем прореживался с требуемым шагом, и далее осуществлялось прогнозирование полученного ряда последовательно на один шаг вперед.
В табл. 1 приведены результаты прогнозирования рядов цен и доходностей с помощью модифицированного SSA-метода с шагом прогнозирования 1 день.
Таблица 1
При использовании в качестве базы прогнозирования временных рядов цен акций средняя относительная погрешность прогноза цены составила 1,83%.
Третья глава посвящена моделям динамического управления портфелями инвестиций, использующим робастные методы
Напомним, что в схеме прогнозирования цен (доходностей) активов, основанной на модифицированном SSA-методе производилось предварительное сглаживание ряда тем же методом SSA. Однако с учетом наличия существенной случайной составляющей в рассматриваемых временных рядах для предварительного сглаживания ряда целесообразно использовать робастные методы оценивания, позволяющие нейтрализовать большие выбросы.
В первом параграфе излагается модель динамического управления портфелем, схема прогнозирования которой использует робастные линейные сглаживающие сплайны, построенные с помощью робастной функции Тьюки.
Робастные линейные сглаживающие сплайны дают возможность наиболее экономно и в то же время эффективно производить операцию сглаживания дискретной совокупности точек -(х^у,), /=1,...,/7, по сравнению, например, с методом SSA. Линейные сглаживающие сплайны имеют наиболее простую структуру для значений л* є (х,, д:/+1), / = 1,..., п — 1, а
именно - линейную зависимость от х, что и дает возможность сконструировать более простые и эффективные алгоритмы их численного восстановления, в том числе восстановления робастных линейных сглаживающих сплайнов.
Параметрами рассматриваемого метода являются: длина исходного ряда N и мера сглаживания а, а > О.
Во втором параграфе предлагается схема выбора параметра сглаживания а для робастных линейных сглаживающих сплайнов.
Эксперименты показали сильную зависимость эффективности прогнозирования временного ряда доходностей от меры сглаживания а, а>0. Для определения оптимальных значений а предлагается использовать метод нормированного размаха, разработанный Херстом для исследования фрактальных временных рядов.
Исследуется ряд остатков (,)"=I =[f,-f,)ixl, где (f,)"=l - исходный ряд,
/1=1 ~ Ряд' полученный при сглаживании робастными линейными сплайнами с некоторой мерой сглаживания а. () - средний остаток за Я дней, а
X(i, Л) = X \%„ - (^)д} - накопившееся отклонение остатка от среднего ()л.
н=1
Размахом называется разность максимального и минимального накопленного отклонения X : R(X) = max X(i, X) — min X{i, Я).
1
Нормированный размах R/S описывается эмпирическим соотношением
где S - стандартное отклонение, а параметр Н называется показателем
Херста.
Известно, что для белого шума показатель Херста Н равен 0,5. Если показатель Херста Н > 0,5, то ряд обладает свойством персистентности. Если же И < 0,5, то ряд характеризуется антиперсистентностыо.
Поэтому в качестве подходящего уровня сглаживания а, а > 0 можно брать такое значение а, при котором показатель Херста для остаточной хаотической компоненты после сглаживания исходного ряда наиболее близок к 0,5. В тексте также приведены другие критерии выбора параметра а на основе описанного метода с учетом проведенных численных экспериментов.
В третьем параграфе описывается модель динамического управления инвестиционным портфелем, схема прогнозирования которой использует робастныс ортогональные полиномы, построенные с помощью робастной функции Тыоки. Схема прогнозирования временных рядов цен или доходностеи активов для этой модели предполагает предварительное сглаживание исходного ряда, где в качестве функций, сглаживающих совокупность точек (/,,/(0), / = 1,..., N, взяты робастные ортогональные полиномы, и последующий прогноз сглаженного ряда модифицированным SSA-методом.
Четвертый параграф содержит анализ численных результатов работы схем и алгоритмов динамического управления портфелями инвестиций с применением робастных методов. Эффективность прогнозирования временных рядов цен (доходностеи) ценных бумаг оценивалась с точки зрения среднего процента совпадающих трендов исходного и спрогнозированного графиков изменения соответствующего показателя, а также среднего значения погрешности. В качестве иллюстрации приведены графики исходных и спрогнозированных рядов для некоторых активов. Осуществлен
сравнительный анализ эффективности всех разработанных схем прогнозирования.
В табл. 2 приведены результаты прогнозирования рядов цен и доходностей активов с применением робастных линейных сглаживающих сплайнов с учетом выбора оптимального уровня сглаживания.
Таблица 2
В табл. 9 приведены средние погрешности прогноза доходности. При использовании в качестве базы прогнозирования временных рядов цен акций средняя относительная погрешность прогноза цены составила 0,95 %.
В заключении приведены сводный список результатов выполненных исследований и соответствующие выводы работы.
Приложения содержат графики исходных и спрогнозированных цен и доходностей акций, сводные таблицы результатов прогнозирования цен и доходностей акций, полученных с применением разработанных схем с различными значениями длины этапа «обучения» прогнозных моделей и для разных шагов прогнозирования. Приведены графики для множеств эффективных инвестиционных портфелей, полученные при тестировании прогнозных моделей. Представлены результаты численного решения трехкритериальной задачи.
На защиту выносятся следующие результаты:
1. Трехкритериальная постановка задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей, корректность и схемы численного решения задачи.
Алгоритм прогнозирования финансовых временных рядов на основе модифицированного SSA-метода.
Схемы выбора оптимального уровня робастного сглаживания финансовых временных рядов.
Модель динамической реструктуризации инвестиционных портфелей на основе трехкритериальной постановки задачи формирования портфеля и прогнозирования в режиме on-line.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
Жидков Е.П., Крянев Л.В., Фоменко М.В. Постановка и решение задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей с использованием прогнозной модели. М.: Препринт/МИФИ. 002-03, 2003.-20 с.
Жидков Е.П., Крянев А.В., Фоменко М.В. Применение робастной схемы прогнозирования временных рядов для решения задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей. // Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика», 2003, Т. 2, № 2, С. 5-12.
Жидков Е.П., КряневА.В., Фоменко М.В. Формирование эффективных инвестиционных портфелей в динамическом режиме. Вестник РУДН. Серия «Экология», 2003, Т. 2, № 2, С. 25-31.
Крянев А.В., Фоменко М.В. Корректность постановки трехкритериальной задачи формирования эффективных инвестиционных портфелей. // Вестник РУДН. Серия «Прикладная и компьютерная математика», 2004, Т. 3, № 1, С. 14-20.
KryanevA.V., FomenkoM.V. The Problem of Investment Effective Portfolios with Three Criterions. Proceeding of the International Conference
"Mathematical Modelling of Social and Economical Dynamics" (MMSED-2004), June 23-25, Moscow, Russia. - Moscow: RSSU, 2004, p. 121-123.
6. Дорошенко M.B., Крянев А.В. Численное решение задачи оптимизации портфелей инвестиций. XXXVII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин: Тезисы докладов. Физические секции. - М.: Изд-во РУДЫ, 2001. - С. 24.
1. Дорошенко М.В., Крянев А.В. Постановка и численное решение задачи оптимизации инвестиционных портфелей в динамическом режиме. XXXVIII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин: Тезисы докладов. Физические секции. - М.: Изд-во РУДЫ, 2002. -С. 64.
8. Крянев А.В., Фоменко М.В. Прогнозирование доходности активов для динамического управления инвестиционным портфелем. XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин: Тезисы докладов. Физические секции. - М.: Изд-во РУДН, 2003. - С. 56.
Вероятностная модель распределения капитала между различными направлениями бизнеса
Если инвестор стоит перед выбором одного из эффективных портфелей, то оптимальным портфелем будет наиболее предпочтительный из них. Предпочтения инвестора- это приемлемые для него соотношения между риском и ожидаемой доходностью вложений.
Подход Марковица начинается с предположения, что инвестор в настоящий момент времени имеет конкретную сумму денег для инвестирования. Эти деньги будут инвестированы на определенный промежуток времени, который называется периодом владения. В конце периода инвестор продает ценные бумаги, которые были куплены в начале периода, после чего либо использует полученный доход на потребление, либо реинвестирует доход в различные ценные бумаги (либо делает и то и другое одновременно). Таким образом, подход Марковица может быть рассмотрен как дискретный подход.
Главное достижение работ Марковица [129-131]- привнесение им в теорию инвестирования стохастического подхода, в соответствии с которым эффективность инвестирования понимается как случайная величина, математическое ожидание которой определяет ожидаемое значение эффективности, а стандартное отклонение - риск реализации этого значения. Таким образом, впервые в теории инвестирования, начиная с работ Г. Марковица, риск инвестирования получил точное математическое числовое выражение. Это позволило сконструировать математическую модель оптимизации инвестиционного портфеля.
Математическая модель оптимизационной задачи Марковица принадлежит к классу задач квадратичного программирования (минимизация квадратичной формы при линейных ограничениях), теория численного решения которых развивалась именно в 50-60-е годы двадцатого века, в частности, в Rand Corporation, где в те годы проводил свои исследования помощью случайных процессов восходит к работе Л. Башелье [82]. Стохастические модели управления инвестициями в непрерывном времени изложены в работах [75 - 77, 119].
Одновременно с развитием теории портфельного инвестирования на уровне постановки задач и конструирования математических моделей задач оптимизации портфелей [85, 94, 103, 111-118, 120-127, 132-135, 139, 142, 143] исследовались и развивались численные методы решения этих задач [87, 88,95, 152, 156]. В 1981г. Тобину, а в 1990 г. Марковицу, Шарпу и Миллеру были присуждены Нобелевские премии в области экономики. Теория портфельного инвестирования и связанная с ней проблема равновесия рынков ценных бумаг изложены в монографиях [79, 89, 93, 96, 99, 100, 103, 105, 107, ПО, 119, 122, 123, 126, 128, 137, 147]. В последние годы появились работы российских авторов, посвященные постановке и решению задач оптимизации портфелей инвестиций [31, 35, 38, 42,45,48,49,55]. Формированию концепции диссертации также послужило изучение и освоение работ [13,44, 50 - 53, 61, 72 - 77, 83, 84, 108, 119, 154]. Следует отметить, что, несмотря на широкий круг теоретических и прикладных работ в области оптимизации портфелей инвестиций в рамках модели Марковича, в настоящее время существует необходимость создания эффективных динамических моделей управления портфелем в условиях часто меняющейся ситуации на рынке.
Существующие программные продукты (оптимизаторы) предполагают оценку характеристик вектора эффективностей инвестирования R по реализованным значениям вектора R за время, предшествующее текущей дате, на которую и производится формирование оптимального портфеля инвестиций. Поэтому особый интерес представляет проблема создания компонентами случайного вектора эффективностей инвестиций полностью определяются бета коэффициентами.
Таким образом, для оценки ковариационной матрицы Кп достаточно получить оценки только п бета коэффициентов, что делает оценку входных параметров задачи Г. Марковича вполне приемлемой как с точки зрения эффективности оценок, так и их надежности. Различные модификации однофакторной модели представлены в работах [86, 112, 117]. Дальнейшее развитие теория портфельного инвестирования получила в работе Д. Тобина [151], где он рассмотрел случай наличия на рынке инвестиций объекта с нулевым значением риска. Например, на рынке ценных бумаг такими объектами инвестиций являются государственные бумаги с гарантированным уровнем доходности. Тобин показал, что при наличии на рынке инвестиций объекта с нулевым риском в рамках модели оптимизации Марковица портфели, принадлежащие семейству оптимальных портфелей с разным уровнем эффективности, представляют собой линейную комбинацию безрискового объекта инвестирования и рисковой части портфеля с одинаковой для всех оптимальных портфелей структурой рисковой части (Capital Market Line). Этот результат позволил сконструировать знаменитую модель определения цен основных активов в условиях равновесия (Capital Asset Pricing Model - САРМ) [136, 144, 146, 147]. В настоящее время САРМ является основной моделью состояния равновесия рынка и определения цен активов объектов инвестирования в состоянии равновесия [148 - 150]. В то же время, начиная с работ Росса и Ролла [140, 141] и по настоящее время САРМ подвергается критике, и разработаны другие альтернативные модели равновесных состояний рынка, отличные от САРМ [142].
Численный метод решения трехкритериальной задачи
Следующая теорема дает условия существования р -нормального решения задачи (1.16) [10]. Теорема 1.1. Пусть функция р{х) является стабилизатором задачи (1.16) и полунепрерывна снизу на множестве X. Тогда, если множество X непусто, то существует хотя бы одно р -нормальное решение задачи (1.16). Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.3.1. из [10]. Предыдущая теорема дает условия существования р -нормального решения задачи Марковица, которое является решением трехкритериальнои задачи. Для определения условий единственности р -нормального решения задачи (1.16) напомним некоторые свойства выпуклых функций. Множество U называется выпуклым, если для любых u,veU точка иа=аи + {\ a)v принадлежит U при всех а, О а 1 [9]. Функция J(u), определенная на выпуклом множестве U, называется выпуклой на этом множестве, если при всех и,vet/ и всех а, 0 а 1. Если в (1.17) при u v равенство возможно только при а = 0 и а = 1, то функция J{u) называется строго выпуклой на U [9]. Пусть X - выпуклое множество из евклидова пространства R", а функция J(x) определена и выпукла на X. Тогда всякая точка локального минимума J(x) одновременно является точкой ее глобального минимума на X, причем множество выпукло. Если J{x) строго выпукла на X, то X содержит не более одной точки [9]. В рассматриваемой задаче множество выпукло. Выпуклость функции J(x) означает выпуклость квадратичной формы (Wx, х). Известно, что квадратичная форма (Wx, х) является выпуклой функцией в том и только в том случае, когда собственные значения Л,, Я ,..., Лп матрицы W неотрицательны, и строго выпуклой, - если Я,- 0, при всех / = 1,..., п. Поэтому условие единственности р -нормального решения задачи (1.16) дает следующая теорема. Теорема 1.2. Пусть ковариационная матрица W является положительно определенной. Если при этом выполнены все условия существования р-нормального решения хФ задачи (1.16), то такое решение единственно. Действительно, так как ковариационная матрица W является положительно определенной, задача (1.16) имеет единственное решение. То есть, множество X, состоит из одной точки. Каждая точка множества X является р-нормальным решением задачи (1.16). Но поскольку Х =Х пХФ=ХФ, то множество Хр также состоит из одной точки, и р нормальное решение задачи (1.16) единственно. Таким образом, получены условия существования решения задачи (1.14) и условия единственности р -нормального решения задачи (1.16). Если в качестве решения трехкритериальной задачи принимать нормальное решение соответствующей задачи Марковица по стабилизирующей функции р, то можно говорить, что получены условия существования и единственности решения задачи (1.14), а значит, и трехкритериальной задачи (1.11) в силу эквивалентности задач (1.11) и (1.14). Одним из условий является требование X Ф 0, где X - множество решений задачи (1.16) или, иначе, задачи Другим важным условием являются особые свойства, которыми должна обладать функция р(х). Напомним, что в нашей постановке функция выражает сумму затрат на реструктуризацию портфеля, где х0 - фиксированный портфель, х - новый портфель. В качестве функции затрат р(х) могут использоваться, например, следующие Обе приведенные выше функции р(х) являются стабилизирующими для задачи (1.16). Для единственности решения трехкритериальной задачи требуется лишь положительность собственных значений матрицы W. Некорректность задачи (1.14) вызвана вырожденностью или плохой обусловленностью ковариационной матрицы W, что часто встречается при решении практических задач. Предположение о строгой выпуклости квадратичной формы (Wx, х) подразумевает невырожденность матрицы W. Однако матрица может быть достаточно «близкой» к вырожденной, то есть число обусловленности матрицы W может быть достаточно велико. И хотя теоретически в этих случаях трехкритериальная задача будет иметь единственное решение, численное решение задачи не будет обладать свойством устойчивости и, тем самым, требуется регуляризация исходной задачи.
Оценка средней ожидаемой доходности и ковариационной матрицы эффективностей на основе прогнозной модели
В каждом случае средний процент совпадающих трендов графиков исходного и спрогнозированного рядов больше 60%. Однако, для различных активов и в зависимости от шага прогнозирования он колеблется от 48 до 95%. При большем шаге прогнозирования наблюдается больший . процент совпадающих трендов, однако, и большая погрешность прогноза.
Рассмотрен метод сингулярно-спектрального анализа сглаживания и прогнозирования временных рядов - метод SSA (Singular Spectrum Analysis). Приведено описание метода SSA и основанного на нем алгоритма для сглаживания временных рядов, а также алгоритма прогнозирования временных рядов.
Предложен модифицированный алгоритм метода SSA для выбора оптимальных параметров сглаживания и прогнозирования ряда, а также оценки вектора ожидаемых доходностей и ковариационной матрицы эффективностей объектов инвестирования.
Приведены численные результаты использования предложенного алгоритма и проведен их анализ.
Следует отметить, что использование модифицированного SSA-метода для предварительного сглаживания временного ряда с выбором оптимальных параметров для осуществления этой процедуры, во-первых, требует больших затрат машинного времени, во-вторых, может являться причиной недостаточной эффективности последующего прогноза.
В следующей главе будут рассмотрены модели динамического управления портфелями, использующие робастные методы. Робастные методы, а также схемы подбора параметров для этих методов будут использоваться для предварительного сглаживания дискретной совокупности данных финансового временного ряда. В предыдущей главе рассматривается модель прогнозирования финансовых временных рядов с использованием метода SSA. Как уже отмечалось, при анализе и прогнозировании таких рядов можно производить предварительное сглаживание исходного ряда. В модели, изложенной в главе 2, это предварительное сглаживание производилось тем же модифицированным SSA-методом с предварительным обучением метода для определения оптимальных параметров сглаживания и последующего прогнозирования ряда: размерности формируемой матрицы г и количества базовых главных компонент г. Однако для нейтрализации больших выбросов при анализе финансовых временных рядов (рядов цен или доходностей активов) можно также применять робастные методы. Назначение робастных процедур в отличие от ряда классических процедур- исключить влияние больших выбросов.
В настоящей главе рассматриваются варианты прогнозирования временных рядов доходностей активов с использованием двух робастных методов для предварительного сглаживания с целью нейтрализации больших выбросов: 1) робастные линейные сглаживающие сплайны; 2) робастные ортогональные полиномы. Отдельный параграф посвящен описанию схемы выбора оптимального уровня сглаживания при использовании робастных линейных сглаживающих сплайнов, основанной на фрактальном анализе временных рядов. Выбор оптимального уровня сглаживания производится с использованием показателя Херста, связанного с показателем фрактальной размерности. Робастные линейные сглаживающие сплайны позволяют наиболее эффективно и без больших вычислительных затрат производить операцию сглаживания дискретной совокупности точек по сравнению, например, с методом SSA [17], описанным в предыдущей главе. Наиболее простая (линейная) структура линейных сглаживающих сплайнов внутри промежутков х є (xf, х/+1), / = 1,...,«-1 дает возможность разработки простых и эффективных алгоритмов численного восстановления, в том числе и робастных линейных сглаживающих сплайнов. Наиболее полно процедура сглаживания временных рядов с помощью робастных линейных сплайнов описана в работе [41].
Оценка оптимального уровня сглаживания с помощью фрактальных методов
Описанные выше методы сглаживания были реализованы в комплексе программ для прогнозирования финансовых временных рядов, а именно, рядов цен и рядов доходностеи акций. Прогнозирование производилось модифицированным SSA-методом с выбором оптимальных параметров прогнозирования: общего числа главных компонент и количества базовых главных компонент. Соответствующие схемы и алгоритмы описаны в главе 2. При этом предварительное сглаживание ряда производилось одним из трех методов: 1) методом робастных ортогональных полиномов; 2) методом робастных линейных сглаживающих сплайнов при фиксированном значении параметра сглаживания а; 3) методом робастных линейных сглаживающих сплайнов с предварительным выбором оптимального значения параметра сглаживания а, как описано в 3.2; 4) модифицированным SSA-методом с предварительным обучением метода для выбора оптимальных параметров сглаживания и последующего прогнозирования: общего числа главных компонент г и количества базовых главных компонент г.
Критерии оценки результатов прогнозирования: количество совпадающих трендов графиков исходного и спрогнозированного временного ряда, а также оценка погрешности прогноза. Формулы для расчета количества совпадающих трендов и погрешности прогноза приведены в 2.4. табл. 7 приведены результаты в зависимости от числа полиномов т. Длина исходного ряда 60. База прогнозирования - цены. Погрешность рассчитана по формуле (2.7), количество совпадающих трендов - по формуле (2.10). Полученные результаты указывают на наличие неустойчивости при изменении параметра т для временных рядов, соответствующих разным активам. Это говорит о том, что необходимо использовать алгоритмы эффективного выбора оптимального значения порядка сглаживающего полинома для каждого конкретного исследуемого ряда.
Сглаживание с помощью робастных линейных сглаживающих сплайнов. Первоначально модель динамического управления портфелем с использованием робастных линейных сглаживающих сплайнов тестировалась «в лоб», то есть без подбора оптимального значения параметра сглаживания а. Значение параметра сглаживания устанавливалось одинаковым для всех активов. Предварительное сглаживание ряда производилось с помощью робастных линейных сглаживающих сплайнов с фиксированным значением параметра сглаживания а, а прогноз- модифицированным SSA-методом. В табл. 8 приведены средние по разным активам результаты прогнозирования с предварительным сглаживанием робастными линейными сглаживающими сплайнами для разных значений параметра сглаживания а. Тестирование производилось для рядов ежедневных доходностеи на акции.
Применение алгоритма подбора оптимального значения параметра сглаживания а позволило добиться увеличения эффективности прогнозирования. 3. Сглаживание с учетом выбора оптимальной меры сглаживания для робастных линейных сглаживающих сплайнов. В табл. 9 приведены средние результаты прогнозирования рядов цен и доходностеи с учетом выбора оптимального значения уровня сглаживания. В табл. 9 приведены средние погрешности прогноза доходности. При использовании в качестве базы прогнозирования временных рядов цен акций средняя относительная погрешность прогноза цены, рассчитанная по формуле (2.7), составила 0,95%. Отметим также, что использование временных рядов цен в качестве базы прогнозирования, в среднем, дает лучшие результаты, как по доле совпадающих трендов, так и по погрешности прогноза. Для сравнения приведем аналогичные показатели, полученные при тестировании модели, не использующей робастные методы. 4. Сглаживание и прогнозирование модифицированным SSA-методом. В табл. 10 приведены средние результаты прогнозирования рядов цен и доходностей без выбора оптимального значения уровня сглаживания с помощью алгоритма, описанного в главе 2. В табл. 10 приведены средние погрешности прогноза доходности. При использовании в качестве базы прогнозирования временных рядов цен акций средняя относительная погрешность прогноза цены, рассчитанная по формуле (2.7), составила 1,83%. Приведем два графика исходного и спрогнозированного ряда изменения цен на акции корпорации Reebok International, Ltd. Длина исходного ряда равна 60 торговых дней. При этом на части ряда длиной 40 точек производилось «обучение» схемы, основанной на модифицированном SSA-метод е, на графике прогноза эти точки соответствуют сглаженной последовательности, а последние 21 точка - прогнозные значения. На рис. 14 прогноз произведен с использованием предварительного сглаживания робастными линейными сглаживающими сплайнами с выбором оптимального значения параметра сглаживания а (метод 3).
