Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Содержательная формулировка исследуемых задач землепользования в контексте 2-уровневого моделирования 23
1.1. Актуальность 2-уровневого моделирования 23
1.1.1. Фундаментальная научная проблема 23
1.1.2. Предлагаемые методы и подходы 24
1.1.3. Современное состояние науки в данной области исследования 26
1.2. Содержательное описание проблемы моделирования задач землепользования 28
1.3. Необходимость многокритериального подхода 30
ГЛАВА 2. Клеточно-автоматная прогнозная модель для нижнего уровня 36
2.1. Необходимость разработки новых методов прогнозирования 36
2.2. Алгоритм R/S-анализа 38
2.3. Содержательная и качественная интерпретация результатов работы алгоритма R/S- анализа 39
2.4. Фрактальный анализ временного ряда озимой пшеницы по КБР за период с 1952 по 2002 г 43
2.5. Инструментарий фазовых портретов для выявления циклов временного ряда и уточнения прогноза 47
2.6. Математический инструментарий линейных клеточных автоматов 53
2.7. Прогнозная модель урожайности на базе клеточных автоматов и нечетких множеств, на примере анализа и прогнозирования урожайности озимой пшеницы по КБР на 2003 год 55
2.7.1. Преобразование числового временного ряда в лингвистический временной ряд 55
2.7.2. Частотный анализ памяти лингвистического временного ряда 59
2.7.3. Получение лингвистических прогнозных значений урожайности, верификация и валидация прогнозной модели 70
2.7.4. Получение числового прогноза, и оценка его точности 74
ГЛАВА 3. Теоретико-графовые модели задач земле пользования с нечеткими данными 78
3.1. Общая постановка дискретной многокритериальной задачи в условиях неопределенности 77
3.2. Математическая постановка векторной задачи покрытия графа 4-циклами (паросочетаниями, звездами) 80
3.3. Анализ арифметических операций и отношения предпочтения для задач с нечеткими данными 82
3.4. Новые определения операции суммирования и сравнения, адекватные математической модели задачи землепользования с нечеткими данными 86
3.4.1. Математическая постановка задачи 86
3.4.2. Новая операция суммирования (+) нечетких весов 88
3.4.3. Операция сравнения нечетких весов 94
ГЛАВА 4. Задачи верхнего уровня. исследование вычисительной сложности, разрешимости с помощью алгоритмов линейной свертки и алгортим с оценками для задач покрытия графа 4-циклами 98
4.1. Формулировка интервальной экстремальной задачи 99
4.2. Аппроксимация интервальной задачи покрытия графа 4-циклами векторной задачей 101
4.3. Исследование разрешимости с помощью алгоритмов линейной свертки критериев задачи с интервальными данными и критесвертки критериев задачи с интервальными данными и критериями вида MAXSUM 103
4.4. Обоснование свойства полноты задачи покрытия графациклами 113
4.5. Исследование вычислительной сложности 116
4.6. Оценки точности приближенных алгоритмов 123
4.7. Приближенный алгоритм покрытия графа 4-циклами 124
4.8. Обоснование достаточных условий статистической эффективности алгоритма а 126
Заключение 132
Литература 134
Приложения
- Содержательное описание проблемы моделирования задач землепользования
- Содержательная и качественная интерпретация результатов работы алгоритма R/S- анализа
- Анализ арифметических операций и отношения предпочтения для задач с нечеткими данными
- Исследование разрешимости с помощью алгоритмов линейной свертки критериев задачи с интервальными данными и критесвертки критериев задачи с интервальными данными и критериями вида MAXSUM
Введение к работе
Актуальность проблемы. Диссертационная работа посвящена разработке методов математического моделирования дискретных слабо структурированных процессов, для которых характерны множественность критериев, стохастичность, интервальность или нечеткость значений исходных данных. Дальнейшее развитие каждого такого процесса существенным образом зависит от его состояния на предыдущих этапах эволюционирования.
Как часть этой проблемы в настоящей работе рассматриваются различные постановки задачи землепользования и предлагается двухуровневый подход к их моделированию. Классический подход к моделированию таких задач оказывается недостаточным по той причине, что представление параметров этих задач четкими числовыми значениями оказывается в принципе неадекватным в силу их слабой структурированности, изменчивости во времени и неопределенности. Например, для выращиваемой в зоне рискового земледелия конкретной культуры можно отнести к неадекватному такое представление ее урожайности, как усреднение ее значения за определенный отрезок времени.
Авторская концепция двухуровневого моделирования задач землепользования состоит в том, что исходные данные для многокритериальных задач верхнего уровня должны базироваться на прогнозных данных, получаемых на нижнем уровне моделирования. В свою очередь исходными данными для нижнего уровня служат временные ряды, отражающие эволюцию основных показателей рассматриваемых процессов. Однако к настоящему времени математическое моделирование на нижнем уровне исходных данных (т.е. численных значений параметров, коэффициентов и т.п.) для классических оптимизационных моделей верхнего уровня находится еще в зачаточном состоянии. Вместе с тем уже появилась ясность того, что наиболее подходящим математическим аппаратом для моделирования задач верхнего уровня является инструментарий теории графов. При этом заслуживает внимания тот факт, что к настоящему времени отсутствуют достаточно эффективные, имеющие полиномиальную трудоемкость, алгоритмы практически для всех дискретных экстремальных задач. Поэтому актуальной является разработка малотрудоемких приближенных алгоритмов, которые всегда или почти всегда гарантируют нахождение приемлемых решений.
Цель и задачи диссертационного исследования. Основной целью настоящей работы является разработка (на содержательном примере задач землепользования) двухуровневого подхода к математическому моделированию дискретных эволюционных процессов, числовые параметры которых являются слабо структурированными. Поставленная цель требует решения следующих задач:
разработка общей структурной схемы двухуровневого моделирования и численных методов его реализации;
разработка в качестве основной составляющей модели нижнего уровня новых методов прогнозирования эволюционных процессов на базе линейных клеточных автоматов, математического аппарата теории нечетких множеств и инструментария теории детерминированного хаоса;
осуществление анализа известных теоретико-множественных определений операции суммирования нечетких множеств и вместе с тем представление нового обоснованного определения операций суммирования и сравнения нечетких весов для исследуемой задачи землепользования;
исследование вычислительной сложности рассматриваемых задач на графах с нечеткими или интервально заданными весами ребер, представляющими урожайность;
исследование разрешимости с помощью классических подходов (в частности, алгоритмов линейной свертки критериев) рассматриваемых экстремальных задач на графах с интервальными весами;
разработка малотрудоемких алгоритмов для экстремальных задач покрытия графа типовыми подграфами (паросочетаниями, звездами, 4-циклами) и обоснование достаточных условий статистической эффективности предлагаемых алгоритмов.
Методы исследования. Для решения поставленных в работе научных задач использованы методы теории алгоритмов с оценками, теории графов, многокритериальной оптимизации, теории вероятностей и математической статистики, теории нечетких множеств и интервального исчисления, методы прогнозирования временных рядов.
Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе теоретических результатов и формулировок обеспечивается корректным применением аппарата теории графов, математического программирования и теории вычислительной сложности алгоритмов, математической статистики,
7 математического аппарата нечеткой и интервальной математики, методов теории детерминированного хаоса. Информационную базу исследования составили аналитические и статистические материалы Госкомстата России, в частности по Ставропольскому краю и Кабардино-Балкарской республике (КБР). Эффективность предложенных методов подтверждается верификацией и валидацией результатов, полученных путем проведения численных расчетов.
На защиту выносятся следующие основные положения:
Концепция двухуровневого моделирования эволюционных дискретных процессов в условиях многокритериальности и неопределенности данных.
Конкретный алгоритм реализации фрактального анализа временных рядов урожайности с целью выявления в них наличия долговременной памяти как предпосылки для построения прогнозной модели.
Построенная для нижнего уровня на базе инструментария клеточных автоматов и теории нечетких множеств математическая модель и метод прогнозирования урожайности основных культур, выращиваемых в зонах рискового земледелия.
Разработанные для верхнего уровня специальные подходы к моделированию задач землепользования с нечеткими весами, включая обоснование операций суммирования и сравнения, адекватных реальному содержанию задач землепользования.
Результаты анализа применимости классических подходов, в частности, алгоритмов линейной свертки критериев к конкретной задаче землепользования, сформулированной как задача покрытия графа 4-циклами с интервальными весами.
Разработанный для верхнего уровня моделирования задачи землепользования алгоритм отыскания оптимального покрытия графа 4-циклами, включая обоснование достаточных условий его статистической эффективности.
Научная новизна. Научную новизну диссертационного исследования содержат следующие положения:
1. Предложен двухуровневый подход к моделированию эволюционных задач землепользования в условиях многокритериальности и неопределенности данных.
На базе R/S-анализа разработан и реализован метод фрактального анализа временных рядов с целью выявления в них долговременной памяти и оценки степени применимости инструментария клеточных автоматов и нечетких множеств для построения прогнозной модели.
В качестве реализации модели нижнего уровня построена прогнозная модель на базе клеточных автоматов, а также разработаны алгоритмы прогнозирования, валидации и вычисления оценки погрешности результатов.
С учетом принципиальной нечеткости исходных данных, получаемых на нижнем уровне, оценена степень пригодности известных теоретико-множественных определений арифметических операций для нечетких множеств и предложены новые способы операций сложения и сравнения, отвечающие содержательному смыслу рассматриваемых задач землепользования.
В качестве математической модели для верхнего уровня сформулирована и исследована векторная задача покрытия графа 4-циклами и па-росочетаниями. Первая из этих задач исследована для случая интервальных данных: осуществлено ее сведение к 2-критериальной задаче и установлена ее неразрешимость с помощью алгоритмов линейной свертки критериев (АЛСК).
В качестве базы для использования АЛСК разработан малотрудоемкий оптимизационный алгоритм покрытия графа 4-циклами и доказаны достаточные условия, при которых он является статистически эффективным.
Практическая ценность полученных результатов и их реализация. Практическая значимость результатов исследования заключается в том, что предложенные подходы, математические модели и алгоритмы универсальны и позволяют решать широкий круг агроэкономических задач. Построенные на базе клеточных автоматов модель и метод прогнозирования временных рядов урожайности могут быть использованы всюду, где поведение рассматриваемого эволюционного процесса с памятью не подчиняется нормальному закону.
Предложенные методы, методики и алгоритмы моделирования на нижнем уровне были погружены в модельные и реальные экономические процессы и оправдали себя. Их корректность подтверждается расчетами на кон-
9 кретных материалах прогнозирования; оценки точности прогнозирования вычислены в процессе валидации по заказу Министерства сельского хозяйства Ставропольского края; прогнозное значение урожайности озимой пшеницы за период с 1952 г. по 2002 год уклонялось от реального временного ряда в среднем не более, чем на 10%.
Разработанная модель и математический аппарат их количественного анализа и прогнозирования включены в лекционные курсы следующих дисциплин: «Теория рисков», «Дискретное программирование с нечеткими данными», читаемых на факультете прикладной математики и информатики КЧГТА, а также использованы при выполнении курсовых и дипломных проектов.
Апробация работы. Результаты исследования и основные его положения докладывались и обсуждались на заседаниях научно-методического семинара кафедры прикладной математики (КЧГТА, г. Черкесск, 2001-2003 гг.) и получили положительную оценку на следующих конференциях и симпозиумах, проводимых различными академическими учреждениями и высшими учебными заведениями России:
на IV Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2001);
на Северо-Кавказской региональной научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Перспектива-2001» (Нальчик, 2001);
на II Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик, 2001);
на IV научно-практической конференции аспирантов и студентов «Региональная экономика управления и права» (Черкесск, 2002);
на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, база отдыха Ростовского госуниверситета «Ли-манчик», 2002);
- на X Международной научно-технической конференции «Математиче
ские методы и информационные технологии в экономике, социологии и
образовании» (Пенза, Приволжский Дом знаний, 2002);
- на III Международной конференции «Новые технологии в управлении,
бизнесе и праве» (Невинномысск, 2003г.);
10 - на VIII Международной конференции серии «Нелинейный мир» (Астрахань, 2003).
Теоретические и практические результаты диссертационной работы использованы при выполнении НИР по гранту РФФИ, проект № 00-01-00652 «Математическое моделирование структуры слабо формализованных систем в условиях неопределенности».
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 4 научных статьях (из них 2 - в рецензируемых журналах) и в 11 тезисах докладов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырехглав, заключения, приложений и списка литературы, содержащего 92 наименования. Содержание работы изложено на 142 страницах.
Во введении обосновывается актуальность темы диссертационного исследования, сформулирована цель работы, описана структура и дан краткий обзор работы, изложены основные научные результаты, выносимые на защиту, раскрыта новизна и практическая значимость полученных результатов.
В главе 1 дано содержательное описание предложенного двухуровневого подхода к моделированию эволюционных агроэкономических процессов, показатели которых не подчиняются нормальному закону распределения.
Математическая модель верхнего уровня - это модель теории оптимизации, на базе которой строится и обосновывается наиболее целесообразное управление рассматриваемым процессом. На нижнем уровне осуществляется моделирование исходных данных для модели верхнего уровня.
На верхнем уровне формируются теоретико-графовые модели задач землепользования. В качестве таких постановок рассмотрены задачи покрытия графа 4-циклами, звездами и ребрами. Если задача формулируется на графе G=(V,E), то ее допустимое решение представляет собой такой остов-
ный подграф х=\у,Ех)> Ех czE, в котором каждая компонента связности является соответственно 4-циклом, звездой или ребром. Эти задачи являются многокритериальными, т.е. на множестве допустимых решений (МДР) X = {х} определена векторная целевая функция (ВЦФ)
состоящая из критериев вида MAXSUM
Fv(*)=wX*)->niax, у = ЇД*, NiuN
и критериев вида MAXMIN
F (х) = min w (е) -> max, v = N, + 1, Л'',
leEj
где w„(e)- веса, приписанные ребрам ееЕ данного графа. Критерии вида MAXSUM представляют собой обычно экономические показатели, а критерии вида MAXMIN - агроэкологические показатели, например, процентное содержание гумуса в почве. ВЦФ F(x) определяет в МДР X паретовское
множество (ПМ) X. Искомым решением векторной N- критериальной задачи является полное множество альтернатив (ПМА) А"0. Термин ПМА означает подмножество Х сХ, удовлетворяющее двум условиям: 1. Мощность Lv|- минимальна;
2. р{х)=р{х),где F(x')={F{x):xeX'} VX'cX,
В главе 2 предлагаются инструментальные и математические методы моделирования временных рядов, которые обладают долговременной памятью и вместе с тем в характере их поведения проявляется хаотичность. Наличие такой памяти исключает независимость наблюдаемых значений элементов временных рядов, что, в свою очередь является причиной неподчинения этих рядов нормальному закону распределения. Этот факт подтверждается также такими результатами статистического анализа, как аномально большие значения коэффициентов эксцесса и асимметрии. С учетом выявленных ситуаций становится неправомерным использование классических методов прогнозирования, которые базируются на вычислении скользящей средней и авторегрессии.
В главе осуществлено построение прогнозной модели для нижнего
уровня на базе аппарата нечетких множеств и клеточных автоматов. Разработаны и представлены методы и алгоритмы для выявления фундаментальных качественных и системных свойств, а именно: глубина долговременной памяти и ее оценка, мера хаотичности или, наоборот, трендоустойчивости, квазицикличность, самоподобие.
Предлагаемая новая прогнозная модель для временного ряда с памятью состоит из следующих пяти этапов, т.е. отдельных алгоритмов или процедур.
Этап 1. Оценка степени прогнозируем ости данного семейства временных рядов осуществляется на базе фрактального анализа некоторой выборки из этого семейства. На выходе вычислительного алгоритма фрактального анализа получаются оценки следующих характеристик для рассматриваемых рядов: признаки наличия трендоустойчивости и долговременной памяти, оценка ее глубины; цвет шума, достаточно удаленный от зоны белого шума.
Этап 2. Преобразование данного (исходного) числового временного ряда (ВР) в лингвистический временной ряд (ЛВР) с целью создания базиса памяти клеточного автомата. Для выполнения этапа 2 разработан «алгоритм преобразования ВР в ЛВР». На начальном этапе этого алгоритма формируется терм-множество и = Щ характерных состояний исходного ВР, в частности трехэлементное множество U = \Н,С,В}: и = Н— низкая урожайность, и = С- средняя урожайность, и = В - высокая урожайность. Алгоритм преобразования ВР в ЛВР является вполне детерминированным, за исключением процедуры принятия решения о мощности \и\ формируемого терм-множества
(экспертная оценка).
Этап 3. Алгоритм формирования оперативной памяти клеточного автомата. Эта память может иметь комбинаторное или теоретико-графовое представление. В последнем случае она строится в виде множества 2-дольных ориентированных графов, в каждом из которых вершины правой доли взаимнооднозначно представляют собой элементы терм-множества а, а вершины левой доли - фиксированные /- конфигурации; значения I = 1,2,..., L, где L- глубина памяти ЛВР. Дугам этих орграфов приписаны веса, означающие собой частости переходов заданной конфигурации в соответствующие состояния из U = {u).
Этап 4. Алгоритм формирования прогноза для данного ЛВР и,-, / = 1,2,..,п. Алгоритм вычисляет и представляет прогнозируемый элемент ий+1
в виде нечеткого множества (НМ) Un^{^i)= {(ну,//у)}, где Mj — значение функции принадлежности элемента us є t/, j = 1,2,..., m, m-[t/j. Поскольку перечень элементов и j є U является известным, то формирование прогноза в
виде НМ сводится к вычислению значений Mj, j-hfft путем суммирования
и нормирования весов соответствующих дуг в последовательности орграфов, затребованных из оперативной памяти. По своему содержательному определению эти веса отражают долговременную память о поведении рассматриваемого ЛВР, а затребованная последовательность орграфов определяется завершающим отрезком длины L в рассматриваемом ЛВР.
Этап 5. Алгоритм трансформации полученного прогноза в виде нечеткого терм-множества в числовой прогноз. В качестве подходящих числовых значений элементов и}, где uj є U, j = 1,2,...,m, выбираются в ВР ближайшие
к ним низкие, средние и высокие урожайности, которые затем усредняются. Применяя к полученному нечеткому множеству операцию дефазификации имеем прогнозное значение урожайности в обычном числовом виде.
Для проведения валидации, т.е. проверки соответствия полученных на основе модели данных реальному процессу, последовательно рассматриваем лингвистические временные ряды
w,,/ = 1,2,...,т, т = п-г, г = 1,п-к,
которые получаются путем последовательного удаления из ЛВР последних г его членов. Для каждого фиксированного индекса т строим прогноз терма «т+|, представляемого в виде HTM Umt] ={(Н;^и),(С;/іс),(В;мв)}-
Пусть, в полученном HTM Um+\, среди чисел Ми'^с^1в максимальным является то число //Д,Д є {Я,С,В}, у которого индекс Д совпадает с термом нм(| рассматриваемого ряда. Тогда, говорим, что для рассматриваемого индекса т прогнозная нечеткая модель привела к непротиворечивому прогнозу. В противном случае, говорим о противоречивом прогнозе для терма ит+].
Валидация результатов прогнозирования осуществлена на примере временных рядов урожайности озимой пшеницы по Ставропольскому краю и КБР. Для числового прогноза отклонение от реальных значений в среднем не превысила 10%.
В главе 3 сформулирована задача верхнего уровня моделирования, которая представляет собой теоретико-графовую модель задачи землепользования с нечеткими данными.
14 Для математической постановки задачи землепользования введены следующие обозначения. Считается заданным п -вершинный граф, в котором: к = 1,2,...,m - индекс, которым занумерованы выращиваемые в хозяйстве культуры; / = 1,2,..., п- индекс, которым занумерованы засеваемые этими культурами поля; ск- стоимость единицы к -ой культуры; s,- площадь /-го поля; dk - директивное ограничение на минимальный объем выхода культуры к; G = {yvV2,E)- двудольный граф, в котором вершины первой доли Vj = {vt,...,vk,...,vm} перенумерованы индексами культур к = \,2,-,т, а вершины второй доли Уг = {v|,...,v,,...,vM} перенумерованы индексами полей / = 1,2,...,и; Е = {е}- множество ребер графа G, которое содержит ребро e = {vt,vt) тогда и только тогда, когда в прогнозируемом году разрешается засевать культуру к на пахотные угодья поля /. Каждому ребру ее, приписан вес WkJ, представляющий собой нечеткое множество Це)=^и ={(^н^;/^)(^(^/Л* Д^^/4)} и являющееся результатом моделирования на нижнем уровне. Элемент-носитель W„J = ct-s,-Utl' (W(".J = ck-s,-Uk/, WkJ =ск -s, /') содержательно означает ожидаемый объем выхода продукции в рублях культуры к с поля і в случае низкого (среднего, высокого) прогнозируемого урожая /*/' (Ус',і/g''J. В общем случае единицей измерения каждого веса И7/', Ае{н,С,в} могут быть рубли, протеиновые единицы и
Др.
Теоретико-графовая постановка сформулированной выше задачи представляет собой задачу покрытия 2-дольного графа G = (v]tV2,E) звездами. Допустимое решение представляет собой такой его остовныи подграф х = (г,,Г2,.,), ЕхсЕ,в котором каждая компонента связности представляет
собой звезду хк = ({у*}, V2k ,Екх), vk
является всякое такое решение x = (yltV2tEx)t Ех = [_)*, для которого выпол-
15 няются неравенства ^wfejirf,, к = йт; X = X(g) = {x} - множество всех до-
пустимых решений на графе G. Если целевой функцией (ЦФ) F{x) является экономический эффект, то она определяется на МДР X следующим образом:
Задача состоит в том, чтобы найти максимизирующее значение ЦФ (1)
решение, т.е. построить и обосновать достаточно эффективный алгоритм на
хождения указанного оптимума. При верификации модели возникла пробле
ма адекватного суммирования нечетких весов. Анализ известных теоретико-
множественных операций суммирования нечетких множеств показал их не
соответствие содержательному смыслу суммирования НВ в ЦФ (1). Этот
факт обусловил приведение нового способа суммирования «(+)» нечетких ве
сов, основанный на принципе частичной дефазификации. Суть этого сумми
рования состоит в следующем. Если конкретное допустимое решение
0 xgX(G) состоит из звезд 2* =(vk,Ek), vkeVt, к = \,т, то НВ м\гк) одной
звезды і определяется выражением:
w{zk)=(+)W(e)^{(wu{zk);Mi):AeWl (2)
где значение wA(z*j элементов-носителей определяется скалярным суммированием НВ ребер рассматриваемой звезды wA\zk)= X^W, AeW,
k = \tm, а функция принадлежности /;* вычисляется операцией дефазифика-
& ции. Причем, терм-множество WQ является одинаковым для всех звезд, хотя
в общем случае не обязательно должно иметь вид
Для определения операции суммирования НВ, относящихся к различным культурам к},кг рассматриваются две звезды z, = z ' и z2 = zk%, для которых вычислены их НВ согласно принципа частичной дефазификации (2). результирующая сумма (+) нечетких весов этих двух культур представляется в виде нечеткого множества
^)(+)^)=1((^(^)+^(^)^(^(^)+^(^)))^6^0}. (3)
^ где функция принадлежности при этом определяется выражением:
&А*М+)ъМ=%№, (4)
NAZX'z2l
в котором iA(^l,z2) = wA(z1).^(zl)+w4(z2)-//A(z2),
Математическая постановка рассматриваемой задачи завершается определением бинарной операции сравнения. Практически все известные методы сравнения оперируют исключительно только функциями принадлежности, без учета численных значений элементов-носителей сравниваемых НВ. Такой способ сравнения не соответствует содержательному смыслу задачи землепользования. Предлагаемый в настоящей главе метод упорядочения НВ по предпочтительности базируется на процедуре полной дефазификации. Прежде, чем приводить описание этой процедуры, отмечаются условия, при которых операция сравнения считается определенной. Рассматриваются два допустимых решения xt,x2 є X, на которых ЦФ (1) принимает значения в виде двух НВ
^)=1^(^)^())). Ає{н,с,в}, 7 = 1,2. (5)
Тогда, рассматривая величины wu\Xj) и ад(*,) в качестве максимизируемых показателей, можно утверждать, что вариант х1 предпочтительнее варианта х2, если выполняются следующие неравенства
и>д(*,)и>д(х2), //A(*,)>/^(*2), Дє{#,С,г}, (6)
среди которых хотя бы одно является строгим.
В случае невыполнения условия (6) предлагается применить новый способ сравнения двух НВ. Для этого сначала вычисляются величины:
40= Х"лЫ-^(*,)> *Ф,)= 5>Л*Д *(*,)= 5>4(хД 7 = 1,2,
sew" леи'" йей"1
а затем и соответствующие им носители и степени принадлежности:
w(Xj}=L{Xj)/M(Xj), Д*,)=іУМ*,)- (7)
Пару (wf*,);/^)) условимся называть сверткой нечетких весов. Для
упорядочения вариантов xJt 7* = 1*2 по предпочтительности осуществляется
операция сравнения интервалов [Д^Ц*/]], 7 = Ь2. При этом границы этих
интервалов рассматриваются в качестве максимизируемых показателей.
17 Определение 1. Вариант хх предпочтительнее варианта х2 (эквивалентен варианту х2), или в другой терминологии, х2 доминируется вариантом я:, (х, ух2), если выполняются неравенства f4.x\)-Дх2), и(х,)> wfa), среди которых хотя бы одно является строгим (равенства ^x1)~/j(x2)1 w(xl) = w(x2)). Эквивалентность этих вариантов обозначаем через д:, ~ х2.
Определение 2. Варианты х, и х2 являются несравнимыми (х{ <г+х2), если в паре интервалов [//(дт, \ w(xj )j, / = 1,2, один из них является строгим
включением другого.
В главе 4 исследуется разрешимость интервальной задачи покрытия графа 4-циклами с помощью алгоритмов линейной свертки критериев (АЛСК). Предлагается малотрудоемкий алгоритм покрытия графа 4-циклами с оценкой его эффективности.
Следует отметить, что интервальные задачи являются крайним случаем неопределенности, т.к. возникают в условиях неточных данных параметров задачи. Вопрос разрешимости интервальной задачи покрытия графа 4-циклами с помощью АЛСК до настоящего времени оставался открытым. В главе 4 обосновывается сведение интервальной задачи покрытия графа 4-циклами к 2-критериальной и доказывается ее неразрешимость с помощью АЛСК, следовательно, и соответствующей ей интервальной задачи.
Алгоритмы линейной свертки критериев являются традиционными методами нахождения парето-оптимальных решений многокритериальных задач. На сегодняшний день построение эффективных АЛСК для многокритериальных задач остается одной из основных проблем оптимизации.
Утверждение 1. Для любого вектора
ЯєАд, =^ = (^,^2,...^^):^^^ =1, Xv >0, v = l,2,..JVl элемент х , мак-
симизирующий наМДР X линейную свертку критериев FA(x) = 1dA,t,Fv(x) це-
левых функций Fv(x), v = \,2,...,N, является ПО.
Заметим, что АЛСК не всегда гарантируют нахождение всех ПО хеХ. Если ПМ X индивидуальной интервальной задачи и 2-критериальной задачи содержит такой элемент х , на котором не достигает максимума значение свертки Fx(x) ни при каком Я є Л 2, то эти задачи неразрешимые
18 помощью АЛСК. Из неразрешимости хотя бы одной индивидуальной задачи вытекает неразрешимость с помощью АЛСК соответствующей массовой задачи.
В качестве частного случая задачи на графах с НВ сформулируем интервальную экстремальную задачу на графах. В заданном «- вершинном графе G = {V,E) каждое ребро еєЕ взвешено интервалом w{e), т.е. отрезком w(e)=[wl(e),w2(e)],rji,e w(ex)
w{x) = ^w(e) -> max (8)
или ИЦФ
w(x) = min w(e) -» max. (9)
eeE,
Значение этих ИЦФ можно получить из свойств операций сложения интервалов и сравнения интервалов, представляющих значение ИЦФ w(x) =^,(^),-^2(я)], где w,(x)= ^w,(x), / = 1,2. Под решением интервальной
задачи понимается такой элемент х ех, на котором значение ИЦФ 8) или (9) достигает требуемого экстремума.
В случае интервальных весов нахождение оптимума наталкивается на проблему выбора наиболее целесообразного решения из множества несравнимых альтернатив. В связи с этим необходимо ввести отношения предпочтения, эквивалентности и несравнимости.
Определение 3. Из двух решений х, и x2i х,,х2 є X, х, предпочтительнее решеНИЯ -^(^1 ^Хг)> если Wi\Xi)-WAX2J> ' = 1Д, при этом хотя бы
одно неравенство является строгим. Решения х{ и х2 несравнимы (х, <-»х2), когда имеет место строгое вложение интервалов w(x,)c w(x2)> либо w{x2) с: vv(x,). Эти решения эквивалентны (х, — х2), если совпадают соответствующие им интервалы w(x,) = w(x2).
Отношения предпочтения и несравнимости порождают на МДР X па-
ретовское множество (ПМ) ^cj, состоящее из паретовских оптимумов (ПО).
19 Определение 4. Для задачи с ИЦФ (8) решение X Є X называется ПО,
если не существует х' еХ такого, что х Ух.
В качестве искомого решения сформулированной задачи можно рассматривать как ПМ X, так и используемое в многокритериальной оптимизации понятие ПМА Х.
Определение 5. ПМА есть подмножество Jci минимальной мощности, содержащее по одному представителю на каждое значение w(x), х є X , где w(x) есть значение ИЦФ (8).
Теорема 1. Для всякого «-вершинного графа G (л кратно 4), интервальная задача покрытия графа 4-циклами с критериями вида MAXSUM неразрешима с помощью АЛСК.
В качестве базы для реализации АЛСК предлагается приближенный алгоритм покрытия графа 4-циклами и произведено обоснование его статистической эффективности. Необходимость разработки такого алгоритма обусловлена тем обстоятельством, что для решения рассматриваемых задач верхнего уровня неприменимы какие-либо известные алгоритмы, в том числе и алгоритмы линейного или целочисленного программирования. Указанная неприменимость, в свою очередь, обусловлена тем фактом, что представленное в главе 1 МДР X ~ \х\ невозможно определить системой линейных равенств и неравенств, т.е. невозможно представить в виде многогранника в соответствующем пространстве.
Разработанный алгоритм а состоит из подготовительного этапа, четырех вычислительных этапов и заключительного этапа формирования результатов.
Подготовительный этап заключается в разбиении в данном п- вершинном графе G = (V,E) множества V на четыре равномощных подмножества F,
мощности |F,j = m = -,^ = U. в случае, когда п кратно 4 (ребрам еєЕ приписаны веса и(е)є{і,2,....,#}). Далее, для двух пар vx,V2 и v^v, строятся два двудольных графа Gsl = (vs,V„Ej, \
Второй этап состоит из двух вычислительных подэтапов. Работа этих подэтапов заключается в том, что в каждом из двудольных графов Gl2 и G2i осуществляется нахождение оптимальных совершенных паросочетаний, которые обозначим соответственно через Мп и М23. Для нахождения каждого из таких паросочетаний Msl = {е} можно воспользоваться каким-либо известным алгоритмом (например, венгерским методом или алгоритмом Лоулера).
Объединяя паросочетания Мхг и Л/23, получаем т пар пересекающихся рёбер вида e' = (v,,v:), e* = (v2,v3). Такие пары рёбер объединяем в 3-вершинные цепи вида с = [v,, v2, v3 ], множество этих цепей обозначим С ~{с}.
Третий этап состоит в построении специального двудольного графа > = (К4,Я,9г) с равномощными долями мощности |K4[ = ]Z?j = m. Доля B = {b] состоит из вершин be В, которые поставлены во взаимнооднозначное соответствие цепям сеС. Если ребро pQ =(v0,b) содержится в 9Ї, то оно определяется следующим образом: ребро р0 = (v0ib) включается в состав М тогда и только тогда, когда в исходном графе G = (V, Е) множество Е содержит пару рёбер е', следующего вида:
e' = (v0,v,), e' = (vQtv3\ (10)
где vt и v3 являются висячими вершинами цепи
c = [v,,v2,v3], (11)
поставленной в соответствие вершине Ъ. При этом ребру р0 приписывается вес w(pg) = w(e')+w(e"). Если же пара рёбер е\ е", удовлетворяющая указанным условиям (10) и (11) отсутствует в данном графе G, то соответственно ребро р0 не включается во множество 9Ї.
Четвертый вычислительный этап состоит в том, что с помощью соответствующего алгоритма в двудольном графе ) = (K,5,9t) выделяется оптимальное паросочетание М4 = {р}, затем для каждого ребра р, принадлежащего выделенному паросочетанию МАі в графе G выделяется соответствующая ему пара рёбер є' и е", которая замыкает соответствующую цепь
С = [v,, V,, V3 ] В 4-ВЄрШИННЬІЙ ЦИКЛ С = [v,, V0, Vj, v2 ].
Работа алгоритма завершается проверкой, все ли вершины исходного графа G оказались покрытыми выделенными 4-циклами. В случае положи-
тельного исхода множество выделенных циклов представляется в виде допустимого решения задачи о покрытии графа 4-циклами.
Пусть р = р(и)- сколь угодно медленно растущая функция от и,
#)(и)-»0. 3(л,R) = {g}- множество всех п - вершинных графов G = (v,e),b каждом из которых всякому ребру еєЕ, приписан вес w(e)e {1,2,3,...,Д}; R = R(n). Для всякого п обозначим через 3(»,Я) подмножество таких графов Ge^5{n,R), для каждого из которых определенный алгоритм а находит оп-
, т- „ Ьа(п,ЯІ
тимальное покрытие 4-циклами. Если отношение мощностей J—-—1 -> і при
|ЗМ)|
и-» со, то алгоритм а называется статистически эффективным. Достаточное
условие статистической эффективности предложенного выше алгоритма а
представляет
Теорема 2. При выполнении неравенства д1 < " алгоритм а явля-
4\пп + <р
ется статистически эффективным.
В процессе своей работы алгоритм а рассматривает каждое ребро данного графа G = (V,R) не более нескольких раз, откуда вычислительная сложность его первых трех этапов составляет 0(Щ) < 0{пг). Отсюда вычислительную сложность алгоритма а можно оценить через вычислительную сложность четвертого этапа (нахождения совершенного паросочетания): т{а)<0(п2) + 0{п*) = о{п3).
Основные результаты, полученные в ходе исследований можно представить в виде следующего перечня:
Сформулирована авторская концепция двухуровневого моделирования задач землепользования: математическая модель верхнего уровня - это модель теории оптимизации, на базе которой строится и обосновывается наиболее целесообразное управление рассматриваемым процессом; на нижнем уровне осуществляется моделирование исходных данных для модели верхнего уровня; исходными данными для нижнего уровня служат временные ряды, отражающие эволюцию основных показателей рассматриваемых эволюционных процессов; изложена необходимость многокритериального подхода и суть его реализации.
На базе инструментария фрактального анализа выявлены такие свойства временных рядов, как долговременная память с оценкой ее глубины,
22 трендоустойчивость, квазицикличность; для выявления этих свойств разработан метод фазового анализа временных рядов; на базе инструментария линейных клеточных автоматов и нечетких множеств разработана новая прогнозная модель, включая алгоритмы ее валидации и вычисления оценок точности прогнозирования.
В качестве конкретной реализации двухуровневого моделирования представлена математическая постановка экстремальных задач покрытия графа 4-циклами (паросочетаниями, звездами); показана неприменимость известных в научной литературе определений операций сложения и сравнения нечетких весов; представлено новое определение операций суммирования и сравнения нечетких весов, которые адекватны рассматриваемым задачам землепользования.
Исследована разрешимость с помощью алгоритмов линейной свертки критериев векторная задача покрытия графа 4-циклами с интервальными весами; осуществлено ее сведение к 2-критериальной задаче и установлена ее неразрешимость.
В качестве базы для использования алгоритма линейной свертки разработан малотрудоемкий алгоритм покрытия графа 4-циклами и доказаны достаточные условия, при которых он является статистически эффективным.
Пользуясь возможностью, автор выражает глубокую благодарность
своему научному руководителю заведующему кафедрой прикладной математики Карачаево-Черкесской государственной технологической академии, д.ф.-м.н., профессору Виталию Афанасьевичу Перепелице, а также к.ф.-м.н., доценту этой кафедры Тебуевой Фаризе Биляловне за внимание и поддержку в процессе исследований, посвященных данной тематике.
Содержательное описание проблемы моделирования задач землепользования
В главе 2 предлагаются инструментальные и математические методы моделирования временных рядов, которые обладают долговременной памятью и вместе с тем в характере их поведения проявляется хаотичность. Наличие такой памяти исключает независимость наблюдаемых значений элементов временных рядов, что, в свою очередь является причиной неподчинения этих рядов нормальному закону распределения. Этот факт подтверждается также такими результатами статистического анализа, как аномально большие значения коэффициентов эксцесса и асимметрии. С учетом выявленных ситуаций становится неправомерным использование классических методов прогнозирования, которые базируются на вычислении скользящей средней и авторегрессии.
В главе осуществлено построение прогнозной модели для нижнего уровня на базе аппарата нечетких множеств и клеточных автоматов. Разработаны и представлены методы и алгоритмы для выявления фундаментальных качественных и системных свойств, а именно: глубина долговременной памяти и ее оценка, мера хаотичности или, наоборот, трендоустойчивости, квазицикличность, самоподобие. Предлагаемая новая прогнозная модель для временного ряда с памятью состоит из следующих пяти этапов, т.е. отдельных алгоритмов или процедур. Этап 1. Оценка степени прогнозируем ости данного семейства временных рядов осуществляется на базе фрактального анализа некоторой выборки из этого семейства. На выходе вычислительного алгоритма фрактального анализа получаются оценки следующих характеристик для рассматриваемых рядов: признаки наличия трендоустойчивости и долговременной памяти, оценка ее глубины; цвет шума, достаточно удаленный от зоны белого шума. Этап 2. Преобразование данного (исходного) числового временного ряда (ВР) в лингвистический временной ряд (ЛВР) с целью создания базиса памяти клеточного автомата. Для выполнения этапа 2 разработан «алгоритм преобразования ВР в ЛВР». На начальном этапе этого алгоритма формируется терм-множество и = Щ характерных состояний исходного ВР, в частности трехэлементное множество U = \Н,С,В}: и = Н— низкая урожайность, и = С- средняя урожайность, и = В - высокая урожайность. Алгоритм преобразования ВР в ЛВР является вполне детерминированным, за исключением процедуры принятия решения о мощности \и\ формируемого терм-множества (экспертная оценка). Этап 3. Алгоритм формирования оперативной памяти клеточного автомата. Эта память может иметь комбинаторное или теоретико-графовое представление. В последнем случае она строится в виде множества 2-дольных ориентированных графов, в каждом из которых вершины правой доли взаимнооднозначно представляют собой элементы терм-множества а, а вершины левой доли - фиксированные /- конфигурации; значения I = 1,2,..., L, где L- глубина памяти ЛВР. Дугам этих орграфов приписаны веса, означающие собой частости переходов заданной конфигурации в соответствующие состояния из U = {u). Этап 4. Алгоритм формирования прогноза для данного ЛВР и,-, / = 1,2,..,п. Алгоритм вычисляет и представляет прогнозируемый элемент ий+1 в виде нечеткого множества (НМ) Un { i)= {(ну,//у)}, где Mj — значение функции принадлежности элемента us є t/, j = 1,2,..., m, m-[t/j. Поскольку перечень элементов и j є U является известным, то формирование прогноза в виде НМ сводится к вычислению значений Mj, j-hfft путем суммирования и нормирования весов соответствующих дуг в последовательности орграфов, затребованных из оперативной памяти. По своему содержательному определению эти веса отражают долговременную память о поведении рассматриваемого ЛВР, а затребованная последовательность орграфов определяется завершающим отрезком длины L в рассматриваемом ЛВР. Этап 5. Алгоритм трансформации полученного прогноза в виде нечеткого терм-множества в числовой прогноз. В качестве подходящих числовых значений элементов и}, где uj є U, j = 1,2,...,m, выбираются в ВР ближайшие к ним низкие, средние и высокие урожайности, которые затем усредняются. Применяя к полученному нечеткому множеству операцию дефазификации имеем прогнозное значение урожайности в обычном числовом виде. Для проведения валидации, т.е. проверки соответствия полученных на основе модели данных реальному процессу, последовательно рассматриваем лингвистические временные ряды которые получаются путем последовательного удаления из ЛВР последних г его членов. Для каждого фиксированного индекса т строим прогноз терма «т+, представляемого в виде HTM Пусть, в полученном HTM Um+\, среди чисел Ми с 1в максимальным является то число //Д,Д є {Я,С,В}, у которого индекс Д совпадает с термом нм( рассматриваемого ряда. Тогда, говорим, что для рассматриваемого индекса т прогнозная нечеткая модель привела к непротиворечивому прогнозу. В противном случае, говорим о противоречивом прогнозе для терма ит+]. Валидация результатов прогнозирования осуществлена на примере временных рядов урожайности озимой пшеницы по Ставропольскому краю и КБР. Для числового прогноза отклонение от реальных значений в среднем не превысила 10%. В главе 3 сформулирована задача верхнего уровня моделирования, которая представляет собой теоретико-графовую модель задачи землепользования с нечеткими данными.
Для математической постановки задачи землепользования введены следующие обозначения. Считается заданным п -вершинный граф, в котором: к = 1,2,...,m - индекс, которым занумерованы выращиваемые в хозяйстве культуры; / = 1,2,..., п- индекс, которым занумерованы засеваемые этими культурами поля; ск- стоимость единицы к -ой культуры; s,- площадь /-го поля; dk - директивное ограничение на минимальный объем выхода культуры к; G = {yvV2,E)- двудольный граф, в котором вершины первой доли Vj = {vt,...,vk,...,vm} перенумерованы индексами культур к = \,2,-,т, а вершины второй доли Уг = {v,...,v,,...,vM} перенумерованы индексами полей / = 1,2,...,и; Е = {е}- множество ребер графа G, которое содержит ребро e = {vt,vt) тогда и только тогда, когда в прогнозируемом году разрешается засевать культуру к на пахотные угодья поля /. Каждому ребру ее, приписан вес WkJ, представляющий собой нечеткое множество Це)= и ={( н ;/ )( ( /Л Д /4)} и являющееся результатом моделирования на нижнем уровне. Элемент-носитель W„J = ct-s,-Utl (W(".J = ck-s,-Uk/, WkJ =ск -s, / ) содержательно означает ожидаемый объем выхода продукции в рублях культуры к с поля і в случае низкого (среднего, высокого).
Содержательная и качественная интерпретация результатов работы алгоритма R/S- анализа
Диссертационная работа посвящена математическому моделированию дискретных процессов, дальнейшее развитие которых существенным образом зависит от состояния процесса на предыдущем этапе эволюционирования. Возможно, наиболее актуальные проблемы такого рода возникают в процессе моделирования агро-эколого-экономических систем, когда принятие решений на очередном этапе землепользования кардинальным образом отражается на последующих состояниях моделируемой системы. Можно считать общепризнанным тот факт, что экологический кризис конца двадцатого века сделал, как никогда, актуальными вопросы взаимоотношения человека с окружающей средой. Динамическое ухудшение экологической обстановки, истощение природных ресурсов оказывают самое негативное влияние на организацию сельского хозяйства. На пахотных почвах большинства регионов России происходит устойчивая убыль гумуса, а также катастрофически растет площадь земель, подверженных эрозии [13]. Одной из причин этого состояния является «исчерпанность» развития сложившихся современных систем земледелия. Характерными особенностями последних являются: - распространение однообразия экологических систем; - нарастание специализации, т.е. стремление к монокультуре; - упрощение севооборотов, отчуждение с урожаем одних и тех же микроэлементов, т.е. истощение почвы в одностороннем порядке; - увеличение засоренности посевов по причине узкой специализации; - нарастание токсикологической нагрузки агросистемы. В свете этих обстоятельств возник социальный заказ на разработку математических моделей агро-эколого-экономических задач землепользования, которые базируются на адекватном отражении взаимоувязанного эффекта, получаемого от агрохимических мероприятий с одной стороны и от ротации (плодосмена) культур на полях с другой стороны. Однако к настоящему времени математическое моделирование такого рода систем находится еще в зачаточном состоянии, хотя уже появилась ясность того, что наиболее подходящим математическим аппаратом для этой цели является инструментарий теории графов [21,43].
Вместе с тем к настоящему времени отсутствуют достаточно эффективные (т.е. имеющие полиномиальную трудоемкость) алгоритмы, практически для всех задач на графах. Поэтому актуальным является разработка малотрудоемких приближенных алгоритмов, которые всегда или почти всегда гарантируют нахождение приемлемых решений. Среди таких приближенных методов особый интерес представляют так называемые статистически эффективные и асимптотически точные алгоритмы. К первым относятся алгоритмы, которые при определенных условиях почти всегда находят асимптотически оптимальные решения.
Авторская концепция 2- уровневого моделирования задач землепользования состоит в том, что возникающие экономико-математические задачи должны базироваться на прогнозных данных [73,43], получаемых на нижнем уровне моделирования. При этом целью работы является не только получение возможно более точного прогноза ожидаемой урожайности, но и обеспечение возможно более адекватного отражения хаотической природы моделируемого процесса [64].
Предлагаемая автором прогнозная модель ориентирована на задачу назначения (задача покрытия 2-дольного графа звездами) выращиваемых в конкретном хозяйстве культур на конкретные поля. При определении такого назначения преследуется цель - снижение агро-экономического риска за счет возможно более точного прогноза урожайностей следующего года [83]. В сложившихся подходах к прогнозированию урожайности [83] основную суть комплекса мероприятий по снижению агро-экономического риска [50], обусловленного погодно-климатическими колебаниями представляют мероприятия: - варьирование различных культур и их сортов с учетом ожидаемых в следующем году климатических условий, имея в виду использование в неблагоприятном году наиболее устойчивых, неприхотливых сортов; - использование так называемой асинхронности урожаев различных культур, имея в виду возможность расширять посевы культуры, для которой прогноз благоприятный, за счет уменьшения площади посева культуры с не благоприятным прогнозом урожая; - планирование форвардных и фьючерсных операций межрегионально го сотрудничества, заключение торговых соглашений с учетом прогноза урожайности и ожидаемой конъюнктуры рынка. Перечень этих мероприятий по существу определяет собой ситуационный базис для управления агро-экономическим риском. Вместе с тем очевидным является то, что это управление базируется в первую очередь на результатах прогнозной модели. Создание такой модели является актуальной задачей, так как все известные классические методы прогнозирования [73,85] оказываются несостоятельными применительно к прогнозированию сельскохозяйственных культур в зоне рискового земледелия [83]. Построение адекватной прогнозной модели является основной задачей, которая рассматривается в настоящей диссертации при моделировании на нижнем уровне.
Анализ арифметических операций и отношения предпочтения для задач с нечеткими данными
Любые ситуации, требующие принятия решений, содержат, как правило, большое количество неопределенностей. Их принято разделять на три класса. Прежде всего, это - «неопределенности природы» - факторы нам просто не известные. Затем - «неопределенность противника»- Человек всегда существует в условиях, при которых результаты его решений не строго однозначны, они зависят от действий других лиц (партнеров, противников), действия которых он не может полностью учесть или предсказать- И, наконец, существуют так называемые «неопределенности целей». В самом деле, перед исследователем всегда стоит несколько целей- Описать их одним показателем (критерием) невозможно. Конструктору самолета, например, необходимо обеспечить не только безопасность пассажиров, но и минимальную стоимость перелета. Экономисту нужно построить такой план, чтобы с «минимумом затрат добиться максимума выпуска продукции» и т.п., причем эти требования, как мы видим, часто противоречат друг другу.
Легко понять, что свести подобные задачи с неопределенностями к точно поставленным математическим задачам нельзя в принципе - для этого надо тем или иным образом «снять» неопределенности, те, ввести какие-то гипотезы. В конечном счете, никогда никакой математический анализ не может дать строгого точного результата выбора альтернатив в условиях неопределенности,
Именно с этих позиций надо оценивать и попытку одного из известных современных специалистов в прикладной математике Л.Заде [92,95], который предложил отказаться от какого-либо четкого описания в задачах принятия решений.
В основе теории Л-Заде лежит достаточно очевидный факт - субъективньте представления о цели всегда нечетки. Но он делает и следующий шаг - он полагает, что и все оценки субъекта и ограничения, с которыми он работает, также, как правило, нечетки, а иногда и вообще лишены в своем начальном виде количественных характеристик. Так он приходит к понятию лингвистической переменной - красное, не очень красное, совсем не красное и т.п. — а затем вводит некоторую функцию принадлежности, как способ формализации субъективного смысла этих качественных показателей. В свою очередь, лингвистическая переменная может иметь численное представление в виде нечеткого множества.
Техника, развиваемая Л.Заде, основывается на использовании функции принадлежности. Эти функции всегда являются гипотезами. Они дают субъективное или прогнозное представление эксперта (исследователя) об особенностях исследуемой операции, о характере ограничений и целей исследования. Это всего лишь новая форма утверждения гипотез, но она открывает и новые возможности для упомянутой выше «неопределенности природы». Имея в своем распоряжении функции принадлежности, исследователь получает в свои руки и определенный аппарат, позволяющий строить числовые оценки для альтернатив. Л.Заде показал, каким образом нечеткую, качественного характера информацию можно использовать в формализованных процедурах численного анализа. По существу, он предложил такое расширение языка математики, которое позволяет учитывать нечеткость исходной информации в математических моделях.
Выше упомянутая неопределенность целей в процессе моделирования трансформируется в адекватную постановку дискретной многокритериальной задачи. Последняя состоит из описания условий, определяющих конечное или счетное множество допустимых решений X = {х), и заданной на X векторной целевой функции (ВЦФ) (1.1)-(1.2). Если фиксированы все параметры ВЦФ (1.1) и система условий, определяющих МДР X, то принято говорить об индивидуальной задаче [17].
Под математическим решением индивидуальной задачи дискретной многокритериальной оптимизации следует понимать нахождение того или иного множества альтернатив (МА). Из найденного МА впоследствии с помощью методов многокритериальнотх) выбора [35] осуществляется выбор и принятие решения.
Перечислим наиболее известные типы МА: а) X - множество всех допустимых решений (МДР), которое рассматривается в качестве МА в случае, когда критерий выбора и принятия решения является очень сложным; б) X -паретовское множество (ПМ)? состоящее из всех паретовских оптимумов (наряду с определениями 1.1 и 1-2 мы приведем ниже их аналоги определения несравнимых альтернатив в задачах с нечеткими данными); в) Х- полное множество альтернатив (ПМА), которое формально определяется как подмножество ХаХ минимальной мощности \х\ такое, что F(X) = F(X),
ПМА является обобщением определенного для 1-критериальных задач понятия «оптимум». Для всякой индивидуальной задачи представленные выше МА образуют иерархически упорядоченную цепочку включений XVicA ,
Исследуя какую-либо задачу, в качестве основной проблемы рассматривается построение достаточно эффективного алгоритма нахождения требуемого МА этой задачи. Отметим, что в классических оптимизационных (те. однокритериальных) задачах с четкими числовыми данными ПМА образуется одним оптимальным решением х є Л\
Для общей постановки исследуемых задач в условиях многокритериальное введем ряд терминов и обозначений. Пусть G = (V,E)- п-вершинный граф [22], в котором каждому ребру еєЕ приписаны N весов, т.е. чисел wk(tf) 0, v = \9N. Циклом называется замкнутая цепь, у которой начало и конец совмещены в одной и той же вершине. Длиной цикла / называется число ребер в цикле. Цикл длины / будем называть /- циклом, 2 й 1-й п. Паросочетанием называется произвольное подмножество попарно непересекающихся ребер графа. Звездой называется связный двудольный граф в первой доле, которого содержится одна вершина, смежная с множеством вершин второй доли. Допустимым покрытием графа G будет являться всякий его остовный подграф х = (у,Ех), Ех с Е9 у которого каждая компонента связности для задачи покрытия графа 4-циклами представляет собой 4-цикл; для задачи покрытия графа паро сочетаниями - ребро; в задачах покрытия графа звездами каждая компонента связности в х представляет собой звезду с определенным числом вершин. В области дискретной оптимизации допустимое покрытие принято называть термином «допустимое решение».
Исследование разрешимости с помощью алгоритмов линейной свертки критериев задачи с интервальными данными и критесвертки критериев задачи с интервальными данными и критериями вида MAXSUM
В предыдущей главе рассматривалась проблема получения прогнозных значений урожайностей. Эта проблема относится к нижнему уровню общей 2-уровневой модели землепользования пахотными угодьями. Полученные в виде нечетких или скалярных значений результаты прогнозирования, выполненные на нижнем уровне, представляют собой исходные данные для экстре- мальных задач на графах, рассматриваемых на верхнем уровне моделирования. Такого рода задачи рассматривались в многочисленных публикациях, относящихся к проблематике дискретной оптимизации. Вместе с тем следует отметить, что практически во всех таких публикациях рассматриваемые задачи формулируются в предположении, что в данном графе весами ребер являются обычные числа или в условиях многокритериальности ребра взвешены векторами чисел. Экстремальные задачи на графах с нечеткими весами для ребер до настоящего времени фактически не исследовались. Поэтому для таких задач остаются открытыми все вопросы, касающиеся таких фундаментальных характеристик, как оценки вычислительной сложности, разрешимость с помощью алгоритмов линейной свертки критериев (АЛСК), приближенные методы с априорными оценками точности и трудоемкости и т.д.
В качестве конкретного исследования главы 4 выбрана задача покрытия 4- циклами графа с нечеткими либо интервальными весами в силу ряда причин: во-первых, эта задача остается неисследованной даже для случая, когда весами ребер являются обычные числа; во-вторых в прикладном отношении эта задача является актуальной в силу наметившейся в землепользовании тенденций культивирования так называемых коротких (3-польных, 4-польиых) севооборотов; в-третьих, методологическая проблема, обусловленная нечеткими весами, в равной мере присуща всем задачам покрытия графа типовыми подграфами.
В [86,87] представлена статья, посвященная взаимосвязи между интервальной математикой и теорией нечетких множеств. Связь между интервальной математикой и теорией НМ очевидна в общем случае, а также в арифметике, логике и в исследованиях математических неопределенностей Многие исследователи по сегодняшний день используют интервальную математику в теории нечетких множеств. Влияние нечеткой теории на интервальную математику не совсем очевидно, но вместе с тем результаты, полученные в области нечеткого множества используют в исследованиях, относящиеся к области интервальной математики. Кажущиеся различия между ними возникли в силу того, что основные направления интервальной математики и теории нечеткого множества развивались параллельно, практически не пересекаясь. Теория приближений независимо развилась из того, что было известно в обобщенном интервальном анализе, и вместе с тем, она может быть использована в обобщенной теории нечетких множеств.
Одно из направлений интервальной математики привело к валидациои-ному анализу. Сравнимый аналог этого анализа можно использовать в нечетких множествах. Интервальный анализ - это метод моделирования неопределенностей, возникающих в результате компьютерных вычислений. Таким образом, интервальный анализ - это часть математического моделирования в поле теории нечетких множеств»
Появились публикации [2,87], посвященные применению интервальных методов в теории нечетких множеств. Можно также утверждать, что эти области являются взаимодополняющими. Кроме того, сегодня уже есть достаточно много работ, посвященных методам оптимизации как в области интервального анализа, так и в теории нечетких множеств. Эти работы усханавли-вают взаимосвязь между интервальной и нечеткой оптимизациями.
Интервальные задачи возникают в условиях неточных данных ее параметров [1,14,68]. В математических моделях землепользования интервальный вес может, например, представлять урожайность культуры, прогнозируемое значение которой в принципе не может быть задано в виде однозначно определенного числа [47].
Сформулируем интервальную экстремальную задачу на графах. В заданном и-вершинном графе G = (vtE) каждое ребро ееЕ взвешено интервалом w(e), т.е. отрезком представляет собой допустимое решение рассматриваемой задачи. Обозначим через X = {х} МДР рассматриваемой задачи, на котором определена интервальная целевая функция (ИЦФ)
В случае интервальных весов нахождение оптимума наталкивается на проблему выбора наиболее целесообразного решения из множества несравнимых альтернатив, В связи с этим необходимо ввести отношения предпочтения, эквивалентности и несравнимости [14,27],
Бинарное отношение (БО) предпочтительности условимся обозначать символом -, БО несравнимости - символом н , БО эквивалентности - символом - . Из двух решений х} и х2, х[9х2еХ9 хг предпочтительнее решения хг(хг ъ х2\ если w,(x,)b№,( ;), / = 1,2, при этом хотя бы одно неравенство является строгим. Решения х} и х2 несравнимы (х, н х2), когда имеет место строгое вложение интервалов w( ,)c Мх2)9 либо w{x2) z wfo). Эти решения эквивалентны (х, х2)9 если совпадают соответствующие им интервалы w(xt)=u{x2).
