Содержание к диссертации
Введение
1 Вспомогательные утверждения 14
1.1 Предварительные сведения 14
1.2 Некоторые свойства одной числовой последовательности . 20
1.3 Некоторые замкнутые множества 24
2 Обратные спектральные задачи для возмущенного оператора Лапласа и его степеней 28
2.1 Основные спектральные тождества для дискретного дифференциального оператора 30
2.2 Степень оператора Лапласа с потенциалом на TV-мерном параллелепипеде 36
2.2.1 Задача Дирихле ' 36
2.2.2 Задача Неймана 45
2.3 Возмущенный оператор Лапласа с неядерной резольвентой на iV-мерном параллелепипеде 49
2.4 Степень оператора Лапласа с потенциалом на равнобедрен ном прямоугольном треугольнике 55
3 Приближенное решение обратной спектральной задачи для оператора Лапласа 63
3.1 Алгоритм численного решения 63
3.2 Программа 66
3.3 Пример 68
Список литературы
- Некоторые свойства одной числовой последовательности .
- Некоторые замкнутые множества
- Степень оператора Лапласа с потенциалом на TV-мерном параллелепипеде
- Степень оператора Лапласа с потенциалом на равнобедрен ном прямоугольном треугольнике
Введение к работе
Постановка задач. Обратные задачи спектрального анализа заключаются в определении операторов по некоторым их спектральным характеристикам, к которым можно отнести спектр, спектральную функцию, данные рассеяния и т.д. Данная диссертация посвящена исследованию обратных спектральных задач следующего вида.
Пусть дана последовательность комплексных чисел {6}^1; близкая к спектру невозмуиі,енного оператора Т. При различных степенях оператора Т требуется доказать существование оператора Р такого, что спектр а(Т + Р) возмущенного оператора совпадает в смысле средних с последовательностью {t}t^i-
Подобные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют множество приложений в естествознании. Например, в квантовой механике движение свободной частицы в потенциальном поле U описывается оператором
H = -—A + U(x,y,z).
Обратная задача состоит в определении потенциала U по известным спектральным данным оператора Н. Решение этой и подобных обратных спектральных задач в квантовой механике позволяет определить: внутриатомные силы по известным уровням энергии (т.е. спектру); каким потенциальным возмущением можно устранить из дискретного спектра произвольный уровень, не трогая остальных; как породить на заданном месте новый уровень энергии; как сдвигать локализацию отдельных состояний в пространстве и на энергетической шкале; как изменять скорости распадов
отдельных квазистационарных состояний (резонансов) и квантовые переходы между дискретными состояниями; как управлять прозрачностью квантовых систем, туннелированием.
Решение перечисленных обратных физических задач позволяет, в свою очередь, создавать технологии перестройки систем в микроэлектронике, квантовой оптике, тонких квантовых проводников и др. [33]. Кроме того, обратные задачи широко используются в радиоэлектронике при синтезе параметров неоднородных линий передач с заданными техническими характеристиками [48], [55], в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний [89], в геофизических моделях земного шара [92], [95], космологии [33] и т. д.
В настоящее время наиболее активно исследуются модели с целыми степенями операторов, в частности, с оператором Лапласа и би-Лапласа. Однако, в последнее время в приложениях [84] возникают математические модели с дробными степенями оператора Лапласа. Это связано с тем, что для плотных газов, жидкостей, твердых тел потоки неравновесных импульсов и энергий формируются не за счет диффузионного переноса массы, а за счет сил взаимодействия "соседних" частиц.
В данной диссертации дается качественное и численное исследование задачи (03) в случае, когда оператор Лапласа, заданный на iV-мерном параллелепипеде краевыми условиями Дирихле или Неймана, имеет кратный спектр и степень (З Є Ш+. А именно, целью данной-работы данной работы является исследование существования и единственности решения и восстановление потенциала в обратных спектральных задач для математических моделей с возмущенной степенью оператора Лапласа с кратным спектром. Для достижения этой цели необходимо было решить следующие
задачи:
Доказать существование решения обратных спектральных задач для возмущенной степени оператора Лапласа с ядерной и неядерной резольвентой.
Разработать алгоритм, позволяющий восстанавливать потенциал в обратных спектральных задачах с дробной степенью оператора Лапласа.
Создать программу в среде Maple 6 для реализации предложенного алгоритма
Актуальность темы диссертации. Наиболее полно изучены обратные спектральные задачи для оператора Штурма-Лиувилля
Ty = -y" + q{x)y. (0.0.1)
Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Амбарцумя-ну [91]. Он доказал следующую теорему:
Пусть До < Ai < А2 < ... — собственные значения задачи Штурма-Лиувилля
-у" + q(x)y = At/, у'(0) = у'{тг) = 0,
где q — действительная непрерывная функция. Если Хп — п2, п = 0,1,..., то q = 0.
Однако, результат В.А. Амбарцумяна является скорее исключением, и одного спектра, вообще говоря, недостаточно для однозначного восстановления оператора (0.0.1). В связи с этим, в дальнейших исследованиях по решению обратных задач спектрального анализа помрімо спектра задавались еще и дополнительные спектральные характеристики;. Обычно
используют спектральные данные (числа) {Ате, ап}п>о, где Ап — собственные числа, ап = f у?2(, Xn)dx — нормргровочные (весовые) числа, ip(x, Ап)
— собственные функции краевой задачи. Вместо спектральных данных часто задают спектральную функцию, функцию Вейля или ее обобщение — матрицу Вейля. Опишем основные методы, использующие эти спектральные данные.
Один из методов решения обратных задач носит имя шведского математика Г. Борга. В своей работе [93] Г. Борг предложил следующую постановку обратной задачи: найти потенциал по известным спектрам двух краевых задач с общим дифференциальным оператором и одним общим краевым условием. В методе Борга обратная задача сводится к нелинейному интегральному уравнению, которое может быть решено локально. Для вывода и исследования нелинейного уравнения Борга используется полнота или базисность по Риссу произведения собственных функций рассмотренных краевых задач. Хотя для операторов Штурма-Лиувилля метод Борга слабее, чем возникший позднее метод спектральных отображений, он оказывается полезным, когда другие методы не работают, как, например, в работах [65], [78].
Важную роль в спектральной теории операторов сыграл метод операторов преобразования. Первым оператор преобразования к решению обратных задач применил В.А. Марченко [51], [52]. В дальнейшем этот метод был применен ив теории обобщенного сдвига [41]. Операторы преобразования для произвольных уравнений Штурма-Лиувилля были построены А.Я. Повзнером [57] и использовались при решении обратных задач И.М. Гельфандом [16], Б.М. Левитаном [40], В.А. Марченко [53] и др.
Для дифференциальных операторов высших порядков с интегрируемыми коэффициентами
п-2
обратная задача более сложна для изучения по сравнению с оператором Штурма-Лиувилля. В частности, операторы преобразования при п > 2 имеют гораздо более сложную структуру, чем при п — 2, что затрудняет использование метода оператора преобразования в данном случае. Однако, в случае аналитических коэффициентов Pj(x) операторы преобразования имеют такой же "треугольный" вид, как и для оператора Штурма-Лиувилля [79], [69]. В частности, М.Г. Гасымов [13], И.Г. Хачатрян [81] исследовали обратную задачу восстановления самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по спектральной функции, а также обратную задачу рассеяния с помощью "треугольного" оператора преобразования.
Более универсальным методом в теории обратных задач является метод спектральных отображений, связанный с идеями метода контурного интеграла. Идеи метода контурного интеграла к исследованию обратных задач для случая оператора Штурма-Лиувилля первым применил Н. Ле-винсон [96]. Дальнейшее развитие метод получил в работах З.Л. Лейбензо-на [43] - [45], В.А. Юрко [86]- [87] и др. Метод спектральных отображений позволяет эффективно исследовать обширный класс обратных задач для дифференциальных операторов произвольных порядков, дифференциальных операторов с особенностями и точками поворота, пучков дифференциальных операторов и многих других.
В методе эталонных моделей, разработанном В.А. Юрко [88], строит-ся последовательность модельных операторов, которые, в определенном смысле, приближают искомый оператор и позволяют строить потенциал "шагами". Метод дает эффективный алгоритм решения обратной задачи и работает для многих важных классов обратных задач, в то время как другие методы оказываются неприменимыми. В частности, в работе [88]
исследованы так называемые неполные обратные задачи для дифференциальных операторов высших порядков, когда только некоторая часть спектральной информации доступна для измерения, но имеется априорная информация об операторе или его спектре.
Исследованы обратные задачи для дискретных операторов, для дифференциальных операторов с запаздыванием, для нелинейных дифференциальных уравнений, для матричных операторов Штурма-Лиувилля, для дифференциальных операторов на графах и др. [90].
Важным классом обратных задач являются обратные задачи спектрального анализа для уравнений в частных производных. Обратная спектральная задача для оператора Лапласа с потенциалом была впервые поставлена Ю.М. Березанским в работах [4], [5]. В работе [5] было доказано, что в уравнении, заданном в некоторой конечной или бесконечной области G трехмерного пространства,
—Аи + с(р)и = Ли, Im с(р) = 0
с граничным условием
- + *&>)« = о,
где сг(р) — непрерывная вещественная функция точки р на границе Г области G, спектральная функция р(р, q, А) (р, q Я, —оо < Л < со) однозначно определяет коэффициент с(р) в классе кусочно-аналитических коэффициентов, а также граничное условие на некоторой части границы Г, т. е. функцию <т(р). Таким образом, Ю.М. Березанский связывает решение многомерной обратной задачи с ее спектральной функцией. В этой же работе Ю.М. Березанский отмечает, что, к сожалению, так и не найден "эффективный" метод восстановления потенциала.
Дальнейшее развитие теория обратных задач для оператора Лапласа
с потенциалом получила в работах В.А. Садовничего, В.В. Дубровского и их учеников [10], [25]—[31], [65] [66], [70]. В работе [65] доказана теорема единственности решения обратной задачи только по одному спектру для абстрактных операторов при условии "малости" возмущающего оператора. Результаты применяются к степени оператора Лапласа, заданного на прямоугольнике П с потенциалом из 1^(11). К этой работе по своей тематике и методам примыкает статья [26]. Здесь сформулированы условия, при которых может быть восстановлен потенциал в классе ограниченных функций. В работах [28], [29] доказана единственность потенциала и разработан метод его восстановления.
В работе [30] исследуется устойчивость решений обратных задач, полученных в [28] - [29]. Дальнейшие исследования обратных задач для оператора Лапласа были продолжены в работах А.И. Седова и В.В.Дубровского (мл.). Так, была решена обратная задача для возмущенной степени (3 > 3/2 оператора Лапласа с ядерной резольвентой, заданного на прямоугольнике краевыми условиями Дирихле [62]. Решена обратная задача для возмущенного оператора Лапласа с неядерной резольвентой, заданного на прямоугольнике краевыми условиями Дирихле или краевыми условиями Неймана [63]. При /3 > N/2 решена обратная задача для степени возмущенного оператора Лапласа с неядерной резольвентой, заданного на N—мерном параллелепипеде краевыми условиями Дирихле или краевыми условиями Неймана [32]. Необходимо отметить, что все отмеченные результаты относились к оператору Лапласа с однократным спектром. Поэтому поставленные в данной диссертации задачи следует признать актуальными.
Методы исследования. Основным в работе является так называемый резольвентный метод, предложенный В.А. Садовничим и В.В. Дуб-
ровским. Используются методы теории возмущений, принцип сжимающего оператора и методы вычислительной математики. ,
Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих десять параграфов и списка литературы. Во введении приводится постановка задачи, формулируются цели диссертации, описываются методы исследования и дается обзор работ, относящихся к теме диссертации. Список литературы содержит 112 названий работ отечественных и зарубежных авторов, использованных при написании диссертации, а также работы диссертанта.
Первая глава посвящена доказательству некоторых вспомогательных утверждений, полученных диссертантом, и состоит из трех параграфов. В параграфе 1.1 приводятся необходимые сведения из теории симметрично-нормированных идеалов компактных операторов. В параграфе 1.2 получена оценка суммы некоторых числовых рядов. В параграфе 1.3 доказывается замкнутость множеств функций со специальными свойствами.
Вторая глава посвящена обратным спектральным задачам для возмущенного оператора Лапласа и его степеней на iV-мерном параллелепипеде и равнобедренном прямоугольном треугольнике. В параграфе 2.1 доказаны основные спектральные тождества для дискретного дифференциального оператора, используемые в дальнейшем. Параграф 2.2 посвящен обратным спектральным задачам для степени оператора Лапласа с ядерной резольвентой. В п. 2.2.1 параграфа 2.2 рассматривается степень оператора Лапласа на iV-мерном параллелепипеде, определенного краевой задачей Дирихле. Приводятся условия, налагаемые на последовательность комплексных чисел, при выполнении которых существует решение обратной спектральной задачи. В п. 2.2.2 параграфа 2.2 рассматривается степень оператора Лапласа на JV-мерном параллелепипеде, определенно-
го краевой задачей Неймана. Доказана теорема существования решения обратной спектральной задачи. В параграфе 2.3 рассматривается возмущенный оператор Лапласа с неядерной резольвентой на JV-мерном параллелепипеде, определенный краевыми задачами Дирихле и Неймана. Для понижения степени оператора Лапласа вместо последовательности {Ctjt^i использованы значения дополнительно введенных аналитических функций gt в точках {6}^і- В результате доказана теорема существования решения обратной задачи. В параграфе 2.4 рассматривается возмущенная степень оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике.
Третья глава посвящена приближенному решению исследованных во второй главе обратных задач. В параграфе 3.1 формулы, использованные для доказательства теорем существования, преобразованы в более удобный для построения алгорима вид. Предложен алгоритм численного нахождения приближенного решения нелинейного функционально-операторного уравнения. В параграфе 3.2 приведено описание программы, созданной в среде Maple 6, реализующий предложенный алгоритм. Параграф 3.3 посвящен численному эксперименту по демонстрации разработанного алгоритма.
Теоретическая ценность диссертации состоит в доказательстве теорем существования решения поставленных обратных задач. Практическая ценность заключается в том, что предложенный алгоритм решения обратных спектральных задач может быть применен для восстановления потенциала в математических моделях с оператором Лапласа. Создана программа численной реализации данного алгоритма.
Основные результаты, выносимые на защиту.
Доказаны теоремы существования решения обратных спектральных задач для возмущенной степени оператора Лапласа с ядерной и неядерной резольвентой, заданного краевой задачей Дирихле либо Неймана на JV-мерном параллелепипеде, а также для оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике.
Разработан алгоритм, позволяющий восстанавливать потенциал в обратных спектральных задачах с дробной степенью оператора Лапласа.
Создана программа в среде Maple 6. для реализации предложенного алгоритма.
Апробация результатов.
По теме диссертации опубликовано 12 работ. Результаты диссертации докладывались на Воронежской весенней математической школе "Понтря-гинские чтения — XVIII"(г. Воронеж, ВГУ, 2007 г.), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа (г. Новосибирск, 2007 г.), на 14-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"(г. Саратов, СГУ, 2008 г.), на Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения — XIX"(г. Воронеж, ВГУ, 2008 г.), на Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (г. Стерлитамак, СГПА, 2008 г.), на Международной конференции по математической физике и ее приложениям (г. Самара, 2008 г.), на региональных научно-практических конференциях в Магнитогорском государственном университете (Магнитогорск, 2003 — 2008 г.г.), на научно-исследовательском семинаре под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Свиридюка Г.А. в Южно-Уральском государственном уни-
верситете, на научно-исследовательском семинаре под руководством кандидата физ.-мат. наук, доцента Седова А.И. в Магнитогорском государственном университете, на научно-исследовательском семинаре под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Фазуллина З.Ю. в Башкирском государственном университете.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [101], [103], [107], [ПО].
Благодарности. Автор выражает искреннюю и глубокую признательность научному руководителю Андрею Ивановичу Седову за постановку задачи и чуткое руководство; заведующей кафедрой математического анализа профессору Татьяне Константиновне Плышевской за ценные советы и конструктивные замечания. Кроме того, автор считает своим приятным долгом поблагодарить коллективы кафедры прикладной математики и вычислительной техники и кафедры алгебры и геометрии за ряд полезных пожеланий, способствовавших усовершенствованию работы; ректорат Магнитогорского государственного университета и лично Уметбаева Зай-нитдина Мухитдиновича за проявленное участие. Особую благодарность автор выражает своей маме Фанузе Гайсовне за терпение и моральную поддержку.
Некоторые свойства одной числовой последовательности .
В данном параграфе рассматриваются множества функций, обладающих рядом свойств. Доказывается замкнутость этих множеств. Далее П — заданный iV-мерный параллелепипед со сторонами сц О, r2N тх _ f2irmjxj , т і = l,iV, и объемом V. Функции (fm(x) = \/TTTTCOS ( " (ті,..., ШЛГ), rrij Є N, ортонормированы в L2(H). Рассмотрим множество комплекснозначных функций р Є L2(H), обладающих следующими свойствами: р(аг -xi,x2,..., xN) p(xi, а2-х2,..., xN) =... =р(жь x2,...,aN xN) = = p(xi,x2,..., хм) для почти всех (#i, х2,..., я;я) Є П, (1.3.1) N (р, Ут) = 0, при Д mj =0, т = 0,1,..., (1.3.2) 1Иъ у- (1-3.3)
Обозначим через М множество функций из L2(Tl), обладающих свойствами (1.3.1) - (1.3.3), а через М — множество функций из Ь2(ТГ), обладающих свойствами (1.3.1), (1.3.3) и свойством: / / p(xi, х2,.. , XN) dxidx2 dxjsf = 0. (1.3.4) Лемма 1.3.1. Множества М и М замкнуты в 1 (11). Доказательство. Рассмотрим в L2(П) ортогональную систему функций {Ы = {l.« (- ). =06 (-—),..., СОВ (——). . /2irmxi\ . f2imiX2\ . /2тттхы\Л00 sml J, sm( ,...,sin \
В силу свойства (1.3.1) функции р(жі,Ж2, , /v) четны относительно середин сторон параллелепипеда П, тогда / / р(а?і, х2, ., а?лг) sinf \dx1dx2 dx — О, / / р(Жі,Ж2, .. , iv)sinf 1б?ЖіС?Ж2 - . . dXjv = 0, . . . / f / \ /27rmX]Sf\ 7 , , Следовательно L\ I I . /27rmx2\ I I sml 00 r n 00 r r\ /Іптхм ( . f2irmx1\\ f . /2тгтх2\\ Г / pf i, 2, , iv)sml \dx1dx2 аж TV = 0. in \ aN / m=i v V aN J J m_i OO /- о i OO Из (1.3.2) следует, что p± cos ( ) , p± cos ( ), ,. I V ai yjm=1 I V a2 J)m==1 ( /27ггаж/у\\ pj_ cos , p_Ll. Обозначим через ML замкнутую лиріейную оболочку системы функций {Хт}т=і- М-1 является подпространством пространства L2(II). Значит, множество М является ортогональным дополнением подпространства М1. Следовательно, множество М замкнуто в 2(П). Аналогично доказывается замкнутость множества М в 1-2(11). D Обозначим через М множество функций р Є Дэо (П), обладающих свойствами (1.3.1),(1.3.2) и свойством: ІІРІІоо . (1.3.5) Лемма 1.3.2. Множество М замкнуто в Дх,(П).
Доказательство, а) Рассмотрим множество Мі = {р Є оо(П) : p(xi,x2}... ,xN) =p{a1-x1,x2,...:xN)} и докажем, что оно замкнуто в (П). Введем линейный оператор Вг : АхДП) — оо(П), Bip(x1}x2 ..., xN) := р{аг - х1} х2, .., xN) - р{хъ х2, . , xN), тогда кетВг -Мь Докажем, что оператор Вг непрерывен. Пусть Vpi,p2 Є 1 (П). Справедливы соотношения iPi-ip2oo = ess sup \pi(a1-xljx2,...,xN)-pi(xi,x2,...,xN) (xi,x2,...,xN)eU -(Рг(аі - жі, Ж2,, TV) - р2(жі, ж2, , xN))\ ess sup fpi(ai - xi,X2, ,XN) (xi,X2,...,xN)Tl -р2(аг - 1,12,... ,жлг) + рі(жі,ж2, ...,жлг) -P2( i, 2,---, jv))j ess sup Ірхіаг - x1,x2}... ,xN) -p2(a- xi,x2,... ,xN)\ + -fess sup \pi(xi,x2:...,xN) -p2(x1,x2,... ,XN))\ = {Xx,X2,...,XN)U = \\Pi(a-i xux2,... ,xN) -p2(ai - x1)x2}... ,a;jv)oo + + \\p1{xux2,..., ajjv) - P2{xi,x2, : aijv)oo = = 211 01,0 ,...,0 ) -р2(жі,о:2,..., Аг)оо 2 := , Тогда для Ує 0 36 = - : р! - р2оо 5 ЦБ і - Вір2оо є, т. е. JBI — непрерывный оператор, и его ядро замкнуто. Значит, множество Mi замкнуто в Loo(n). Следуя этой схеме, легко доказать замкнутость следующих множеств в Дх,(П): Ми = {ре оо(П) : р(хи ж2,..., xN) - р(хи а2 - xN)}:..., MiN = {р Ьоо(П) : р(жь ж2, . , xN) = р(ж!, ж2,...,а - iv)} .
Некоторые замкнутые множества
В этом параграфе рассмотрим математическую модель с возмущенной степенью оператора Лапласа, определенного краевой задачей Дирихле. Далее 11 = {х = (х1,х2,-.. ,xN) : 0 Xj a3J = 1,... ,N}, CLJ 0, (2.2.1) n \\аз объем параллелепипеда.
В пространстве 1/2(П) рассмотрим оператор Лапласа То, порожденный краевой задачей Дирихле (2.0.2). Оператор То — дискретный, самосопряженный, положительный. Т — степень оператора То, введенная / v- 7Г т \ по правилу (2.0.4). Собственным числам лт — I у — — ) операто pa Т соответствуют ортонормированные в 1/2 (П) собственные функции J2N Ґ7гт-х\ Vm{x) — А/тгТТ sm \ ) Известна [73, с. 206] асимптотика соб У V Jl \ aj J ственных чисел оператора Т: Аг Cit2/3/N, Сі = const 0, поэтому при /3 — ряд \J — сходится, а значит для любого А Є р{Т) резольвента 2 — At R0{\) = (Т - ХЕ)-1 Є ві.
Пусть далее Р — оператор умножения на функцию р Є (П), называемую потенциалом, вещественность р не предполагается. Обозначим через рт собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания действительных частей с учетом алгебраической кратности, а через ит — соответствующие ортонормированные в 2(П) собственные функции. Поставим следующую задачу: для произвольной комплекснозначной последовательности {6}Si близкой к спектру оператора Т, доказать су ществование оператора Р такого, что спектр а(Т 4- Р) возмущенного one ратора совпадает в смысле средних с данной последовательностью.
Можно показать, что при (3 —— ряд I y rt2(max ЦДо(А)І2 ) сходится, обозначим его сумму через s. Пусть далее г Є (0, minjro, —7=1) sv2N Основным результатом данного параграфа является Теорема 2.2.1. Пусть /3 . Если для комплексной последователь ности {tfc} выполняется неравенство: / ОО Щ \ 2 \t=i k \ J где LO = y2Nsr 1, то существует потенциал p Є Ь2(П) такой, что для любого t Є N # = (2.2.2) k l fc=l где{/і?} = (т(Т + Р). ОО Очевидно, что при (3 N сходится ряд У rt max і?0( )І2- Обозначим tt ЛЄ7г 1 его сумму через 5оо- Пусть г Є (0,min{r0, — v7}) Теорема 2.2.2. Пусть /3 N. Если для комплексной последовательности { } выполняется неравенство: оо vt Г 2wEEif«-A«i ?(1-w). t=\ k=i где UJ = 2NsOQr} то существует потенциал р Є Дэо(П), такой, что для любого Є N выполняется Е«? = 1 , (2-2-3) А=1 fc=l где {/1 } = 7(Г + Р). Перед доказательством основных результатов остановимся на некоторых дополнительных утверждениях. Лемма 2.2.1. Если Р,- г/2, 0 г rQ, j = 1, 2, то КМ -at(p2)\ rrtPi -P2 max До(А)І2 rt АЄ7
Доказательство. Введем обозначение Rj(X) = (Т + Pj — ХЕ) 1, j — 1,2. Умножая ряд (2.1.2) на (PjP0(A))2, получим oo Я(А)(Р,Я0(А))2 = (-1) Ло(А)(Р,-До(А)) , А є О. А:=2 Обозначив через сц k-ю поправку а[к)(р) 2т 7rt 2-кік ASp [R0{X)(PRo(X))k] dX = { oj j Sp[PR0(X)}kdX, lrt OO из (2.1.4) получим ott(p) = /. at (p) k=2 Оценим разности к-х поправок, к 2. (fc), » аГ(Рі)-«Г(Р2)І = 2тгк f Sp [(PiP0(A))fc - (P2Po(A))fc] dX — max к АЄТг — max к \ejrt П — max к \eirt fc-i \(P1MX))k (P2R0(X))% X №i2o(A))-(Pi - P2)Po(A)(PiP0(A)) s-1 s=0 fc-1 fc-2 ЕіІРі- (0 1Ло(А) Ло(А) ,s=0 r.llA - Ы (j)" 1 max (ЦЛо(А)ЦЇ P„(A)fc-2) t Далее оценим модуль разности: оо , Mft) -a.(ft) г(Л - АЦ тахЦЛоСА)!! (і) "тахЛо(А)Ґ 2/ A 7rt А;=0 2 АЄ7; тР1-Р2тахЛо(Л)і Введем в рассмотрение следующую систему функций: N где m = (mi,... ,mjv), rrij Є {0} UN, 5 —число ненулевых индексов в мультииндексе га. При rrij Є N эту систему будем нумеровать нижним и верхним индексами так же как и систему {fm}, т.е. в соответствии с нумерацией собственных чисел Af.
Теперь перейдем к доказательству теоремы (2.2.1) Доказательство. В пространстве L (П) рассмотрим уравнение относительно р: р = а0-а(р), (2.2.4) где оо vt «о = (-lfVWV 2 te -A,Vf, (2.2.5) t=l k=l а(р) = (-1) . (2.2.6) t = l fc=l Из вида уравнения следует, что решение удовлетворяет свойствам (1.3.1) и (1.3.2). Введем оператор A : Li(П) —» / (П), определяемый равенством: Ар- а0 -а(р). Так как WML, IKII + \Ш\\ tt - ") + 5Ш = І то оператор А отображает замкнутый шар [/(0, ) в себя. Можно показать, что пересечение данного шара с множеством функций, удовлетворяющих свойствам (1.3.1) и (1.3.2), есть замкнутое множество. Используя лемму (2.2.1) покажем, что оператор А сжимающий в этом подпространстве. \\АР1 - АР2\\и = ц«ы - «ыц = vw (ЕЕЫР)7 Ы1Т2 \=1 к=1 Ь / V2 rs\\Pl - р2\\ь2 = w\\pi - Р2І\ь2 По принципу С.Банаха уравнение (2.2.4) имеет единственное решение р.
Определим оператор Р, действующий в Ьг(П), следующим образом: Pv{x) = p(x)v(x), где р — решение уравнения (2.2.4). Оператор Т + Р дискретный, и его собственные числа цт также можно занумеровать одним нижним и одним верхним натуральными индексами.-Покажем, что решение р и есть искомый потенциал.
Степень оператора Лапласа с потенциалом на TV-мерном параллелепипеде
В пространстве L2(ЇЇ), где П — заданный iV-мерный параллелепипед с объемом V, рассмотрим оператор Лапласа То, определенный краевой задачей Дирихле (2.0.2). Оператор То — дискретный, самосопряженный, положительный. Как и в предыдущем параграфе Т— степень оператора Тд, введенная по правилу (2.0.4). Собственным числам Хт — IV о 2\ У, —2 1 оператора Т соответствуют ортонормированные в 1/2 (П) соб 1 а7 .,7=1 J 2N т-r . /nmjXj ственные функции vm(x) — д/— TTsni ( 3 ) : гДе т мультииндекс N т — (mi,... , га#), 7тг - Є N, У = ТТаг Известна [73, с. 206] асимптотичні ка собственных чисел оператора Т: Xt C\t2$lN , Сі = con i 0, поэтому при /? — ряд J 2 сходится, а значит для любого Л Є р(Т) резольвента t Ro{\) = {Т - ХЕ)-1 Є Є2. Пусть функции ft : С — С таковы, что Л(АП) = in, где Jtn — символ Кронекера, и пусть / = sup (Л2 / (А)) оо. Введем функции gt(X) = ReA 0 / ft(z)dz. Jo Можно показать, что функции где нормирующие множители At выбраны из условия ft{Xt) — 1, t Є N, удовлетворяют указанным выше условиям.
Как и прежде, Р — оператор умножения на функцию р Є 1/оо(П), называемую потенциалом, вещественность р не предполагается. Обозначим через ат собственные числа оператора Т + Р, занумерованные в порядке возрастания действительных частей с учетом алгебраической кратности, а через иш — соответствующие ортонормированные в Д,о(П) собственные функции. Поставим следующую задачу: для произвольной комплексно-значной последовательности { t} i, близкой к спектру оператора Т, доказать существование оператора Р такого, что спектр а(Т+Р) возмущенного оператора совпадает в смысле средних с данной последовательностью. Основным результатом данного параграфа является Теорема 2.3.1. Если для комплексной последовательности {$} существует подпоследовательность {ct} С {at} такая, что выполняются следующие неравенства:
В пространстве L00(II) рассмотрим уравнение относительно р: р = а0- а(р), (2.3.1) где оо щ s а0 = (-ifV V Ev Е Ы ?) -9А)), (2-3.2) t=l s=l Aj ct fc=l а(Р) = (-і) V2 v J] Е —rf- (2-3-3) t=i fc=i Из вида уравнения следует, что решение удовлетворяет свойствам (1.3.1) и (1.3.2). Введем оператор A : L — L , определяемый равенством Ар = а0 - а(р). Так как \\M\L IKII + \НР)\\ у (і - ") + 7" = у. то оператор А отображает замкнутый шар (7(0, —) в себя. Можно показать, что пересечение данного шара с множеством функций, удовлетворяющих свойствам (1.3.1) и (1.3.2), есть замкнутое множество. С помощью леммы 2.3.1 покажем, что оператор А сжимающий в этом подпространстве сю \\М - Ap2\\L \\а(Р1) - а(Р2)\\ = V2 vYA t(pi) Ы t=l R 2 0тахЯ„(А) Рі -ЙІІ =ИІРі -Pall АєП z— Су t=l ґ По принципу С.Банаха уравнение (2.3.1) имеет единственное решение p.
Определим оператор Р, действующий в 1 (11), следующим образом: Pv{x) = р(;с)г (:г), гдер — решение уравнения (2.3.1). В силу леммы (2.1.1) оператор Т + Р дискретный, и его собственные числа \im также можно занумеровать одним нижним и одним верхним натуральными индексами. Покажем, что решение р и есть искомый потенциал.
Пусть К = {(х,у) : 0 х у 7г}. В пространстве 1 (- 0 рассмотрим дискретный самосопряженный полуограниченный снизу оператор То, определенный краевой задачей Дирихле (2.0.2).
Введем оператор Т = / X dE(X), где Е(\) — спектральное разложено ние единицы, (3 1, А 0 при А 0. Нетрудно показать, что собственным числам Хтп = (т2 + n2Y оператора Т соответствуют собственные функции vmn = л/1(sinmxsinпу — sinпжshim?/), m n 0, образующие ортонормированный базис в L 2{K).
Как и прежде, Р — оператор умножения на функцию р Є L0O(K ), называемую потенциалом, вещественность р не предполагается. Обозначим через /ІТО собственные числа оператора Т + Р) занумерованные в порядке возрастания действительных частей с учетом алгебраической кратности, а через ит — соответствующие ортонормированные в L K) собственные функции. Поставим следующую задачу: для произвольной комплекс-нозначной последовательности {)- , близкой к спектру оператора Т, доказать существование оператора Р такого, что спектр а(Т + Р) возмущенного оператора "совпадает" с данной последовательностью.
Степень оператора Лапласа с потенциалом на равнобедрен ном прямоугольном треугольнике
В данном параграфе предложен алгоритм приближенного восстановления потенциала в обратной спектральной задаче, рассмотренной в параграфе 2.2. Как было показано, уравнение р = а0 -а(р), со щ оо v t к ч(р) гдеа„ = (-l)Nv V 5:( -A ) 1a(P) = (-l)A,V2 7 7 t=\ k = l t=l k=l CO « (?) = Л / А8р[Л(Л)(РЛо(Л))2] Л = 2 / Sp [JT R0(X)(PRo(X))k}dX7 имеет единственное решение p. Найти его можно методом последовательных приближений. Пусть ро = 0, тогда р1 = а0 - а(р0) = а0, Р2 = «о - OL(PI) = а0 - ск(ог0), р3 = е о - а(р2), , Ит pt = р. Найдем приближенное решение р. р = а0 - 5?(о;о)5 (3.1.1) где оо а(р) = at(p)y t ai(p) = - / ASp lRQ(X)(PR0(X))2]dX. t=i Z7Tl hn Оценим: \at(p) - 5t(a0)\ =- - [ XSp[R(X)(PRoW)2 RoW(PiRoW)2}dX 27Г hrt -27гг4тахЛ(Л)(Р7?о(А))2-Яо(Л)(Р1Яо(Л))2]1. здесь Pi — оператор умножения на pi, то есть на а0. Я(А)(РД0(А))2 - Д0(А)(Р1Л0(А))2і Л(А)(РЯ0(А))21 + НДоСАХР-хДоСА))2!)! Д(А) РДо(А) + До(А) РіЛо(А)Щ 2До(А) Р2 Ло(А)? + Ло(А) ЦАЦ2 Яо(А)2 = = Ло(А) Л6(А)НГ (2Яа + Л2) M.I.№(A)3. 4 rt Таким образом, коэффициенты разложения приближенного р оцениваются из неравенства К(р)-а,(а0) -тахР0(Л)2. 4 ЛЄ7г( Искать приближенное решение по формуле (3.1.1) неудобно. Вычислим at(aQ). at(a0) = т . f XSp[Ro(X)(P1RQ(X))2]dX = 2тгг Jlrt 2--/2- \к _ \к 2- Ґ 2 i i =1 Е зфЬ к A?-A ?& - ) Таким образом, получим более удобную для построения алгоритма формулу t зфі =і v г J/ 3.2 Программа Функциональное назначение программы, область ее применения
На практике часто возникает необходимость в управлении потенциалами с помощью спектральных параметров. При этом возникает проблема даже при самом определении потенциала. Трудность решения этой задачи заключается в отсутствии каких-бы то ни было алгоритмов и методов. Теоремы, полученные во второй главе диссертации очевидно позволяют разработать вычислительный алгоритм, позволяющий восстанавливать потенциал по спектру. На основе полученных теоретических результатов в пакете Maple 6.0 разработана программа, которая по заданной последовательности собственных чисел определяет возмущение.
Программа позволяет:
1. Проверить вводимую последовательность чисел на близость к спек тру невозмущенного оператора.
2. Определить в явном виде приближенный потенциал, такой, что спектр возмущенного оператора будет совпадать в смысле средних с дан ной последовательностью.
Программа может быть полезна при исследовании математических моделей с оператором Лапласа. Область применения продукта достаточно широка — от квантовой механики до космологии. Кроме того, программа может быть использована студентами ВУЗов при изучении специальных курсов и дисциплин, связанных с исследованием обратных задач.
Используемые технические средства
Для реализации вычислительных алгоритмов использовались встроенные функции и стандартные операторы программного пакета Maple 6. Автором программы созданы четыре М-файла, два из которых — функции, реализующие различные этапы вычислительного процесса программы, остальные реализуют графический интерфейс программы и диалог с пользователем.
