Содержание к диссертации
Введение
1 Функция Грина для слоистой NIM-системы 15
1.1 Сведение модели к одномерному представлению 15
1.1.1 Уравнения Максвелла 15
1.1.2 Слоистая NIM-система 18
1.1.3 Скалярная функция Грина 19
1.1.4 Краевые условия 22
1.1.5 Краевые условия для случая p-поляризации 23
1.1.6 Краевые условия для случая s-поляризации 24
1.1.7 Функция Грина системы (случай p-поляризации) 26
1.1.8 Функция Грина системы (случай s-поляризации) 29
1.2 Рекуррентные соотношения 30
1.2.1 Решение рекуррентных соотношений 32
1.2.2 Метод производящих функций в общем случае 34
1.2.3 NIM-ситуация 36
1.2.4 Метод производящих функций в условиях NIM-ситуации 37
1.2.5 Асимптотики решений 38
1.3 Функция Грина в условиях NIM-ситуации 40
1.3.1 Случай p-поляризации 40
1.3.2 Случай s-поляризации 41
1.3.3 Электрическая функция Грина 43
1.4 Выводы 44
2 Частные случаи слоистой NIM-системы 46
2.1 NIM-слой в вакууме 46
2.1.1 Модель 46
2.1.2 Функция Грина (случай p-поляризации) 48
2.1.3 Функция Грина (случай s-поляризации) 52
2.1.4 NIM-ситуация 54
2.2 Слоистая NIM-система с внешним источником 57
2.3 Выводы 60
3 Зонная структура спектра слоистой системы 62
3.1 Модель одномерного фотонного кристалла 62
3.1.1 Уравнения Максвелла 62
3.1.2 Одномерный фотонный кристалл 64
3.1.3 TE и TM случаи поляризации 67
3.1.4 Краевые условия 68
3.1.5 Условия периодичности 70
3.1.6 Решения 72
3.2 Зонная структура спектра фотонного кристалла 74
3.2.1 Сравнение зонной структуры спектра для NIM- и PIM-системы 74
3.2.2 Изменение параметров электрической и магнитной проницаемостей 80
3.2.3 Изменение параметров слоев 87
3.3 Выводы 94
Заключение 96
Благодарности 97
Список сокращений и условных обозначений
- Краевые условия для случая p-поляризации
- Решение рекуррентных соотношений
- Функция Грина (случай s-поляризации)
- Зонная структура спектра фотонного кристалла
Краевые условия для случая p-поляризации
Рассмотрим уравнение (1.44) (случай -поляризации). Заметим, что в каждом слое рассматриваемой системы общее решение этого уравнения известно [102]. В связи с этим построение скалярной -поляризованной составляющей функции Грина сводится к поиску коэффициентов Q, G2 в представлении общего решения уравнения (1.44) через фундаментальную систему решений где C,=C,(Z,K) вычисляется в соответствующем слое. Коэффициенты G1=G1(y,z,K) и G2 = G2(y,z,/c) , вообще говоря, являются функциями переменных у, z и к, но здесь и далее мы будем записывать их просто как G1, G2 (то же будет касаться других вводимых величин, зависящих от переменных у, z и к). Данные коэффициенты удовлетворяют системе уравнений, получаемых из краевых условий (1.60)-(1.61) на всех границах раздела слоев. Формально, решение такой системы выписывается в общем виде (хотя бы по формулам Крамера [103]). Однако такое представление решения не позволяет его эффективно анализировать. В этом отношении гораздо более удобным оказывается другой подход, связанный с построением рекуррентных соотношений между коэффициентами при переходе от слоя к слою (физически это означает учет последовательных переотражений). Он очевиден в использовании благодаря зависимости решений в соседних слоях друг от друга, а также удобен при сравнении получающихся решений. Именно этот подход и используется в данной работе.
Таким образом, на каждой границе слоя краевые условия учитываются дважды - для волн, распространяющихся в положительном и отрицательном направлениях оси х. В итоге, скалярная / -поляризованная составляющая функции Грина в к-ом слое (исключая нулевой слой с источником) записывается в виде: где Ак и Dk - коэффициенты волн, прошедших внутрь к-го слоя через левую и правую границу соответственно, Вк и Ск - коэффициенты волн, отраженных внутри к-го слоя от левой и правой границы соответственно.
В нулевом слое в точке с координатой у находится источник. Решения уравнения (1.44), соответствующие нулевому слою - это «бегущие» соответственно влево I_e i0X и вправо 1+егС0х от источника волны. Таким образом, в нулевом слое слева от источника
С помощью рассуждений, подобных описанным выше, может быть получено выражение, аналогичное (1.88), для скалярной -поляризованной составляющей G(x,y,z,K) функции Грина. Однако имеются различия. Первое наблюдается в равенствах (1.74) и (1.75) для падающей Е0, отраженной Е1 и прошедшей Е2 волн
Скалярная -поляризованная составляющая функции Грина в к-ом слое (1.79) связана со своими значениями в (–1)-ом и (+1)-ом слоях при помощи краевых условий (1.74)-(1.78). Последовательный учет краевых условий для каждого слоя системы приводит к выражениям для коэффициентов скалярной р-поляризованной составляющей функции Грина [74]. При k =
Таким образом, задача поиска скалярной p-поляризованной составляющей функции Грина для рассматриваемой системы сводится к задаче решения рекуррентных соотношений (1.100)-(1.103) и вычислению коэффициента An (1.105).
Заметим, что уравнения (1.100) и (1.102) имеют одинаковую структуру, но разные начальные условия. Аналогично для уравнений (1.101) и (1.103). Исходя из этого, достаточно найти общее решение для уравнений (1.100), (1.101) и далее использовать соответствующие начальные условия. Из уравнений (1.100), (1.101) выразим величину Д. и получим равенство
Решение рекуррентных соотношений
Была решена задача поиска электрической функции Грина. Для произвольной частоты со мы описали способ ее нахождения. В ММ-ситуации мы получили выражения для Фурье образа электрической Функции Грина, который входит в разложение (1.32). При помощи разложения (1.32) и функции, задающей распределение электрического поля в начальный момент времени, можно получить значение электрического поля для ММ-частоты. Магнитное поле может быть получено путем, аналогичным представленному. Полученные формулы симметричны относительно расположения точечного источника, что соответствует физическим представлениям о распространении электромагнитных волн в системе, состоящей из однородных изотропных слоев. Также при ММ-частоте наблюдается эффект отсутствия отражения.
При рассмотрении ММ-системы, на нее были наложены некоторые несущественные ограничения: число слоев нечетно и может быть равно 7, 11, 15 и т.д.; точечный источник расположен в ММ-слое; число слоев, расположенных слева (справа) от источника нечетно и может быть больше или равно трем - таким образом, систему образует, по меньшей мере, семь слоев. Все эти ограничения могут быть легко сняты при рассмотрении каждого из них и получении формул описанным в данной Главе путем.
Рассмотренная система может состоять, в принципе, из любого конечного числа слоев. Это позволяет широко применять данную модель при создании реальных объектов: от системы суперлинз до многослойных ММ-покрытий. Наблюдаемый эффект отсутствия отражения открывает интересные перспективы для исследований и практического применения. Глава 2
Частные случаи слоистой NIM-системы
В Главе 1 мы рассмотрели систему, помещенную в вакуум и состоящую, в принципе, из неограниченного числа параллельных слоев. Слои состоят из ММ и вакуума и расположены в порядке чередования. Интересным для изучения частным случаем такой системы являются система, состоящая из одного NIM-слоя, помещенного в вакуум. Другой интересный частный случай представляет собой систему, подобную с уже рассмотренной с источником, находящимся за пределами слоистой системы - в вакууме. Полученные в Главе 1 результаты не описывают эти частные случаи в виду некоторых принятых ограничений, поэтому требуются дополнительные исследования представленных систем.
В данной Главе мы ставим задачу получить выражения для электрической функции Грина в предложенных частных случаях для ММ-системы, которая была рассмотрена в Главе 1.
NIM-система, состоящая из одного NIM-слоя (серого цвета), помещенного в вакуум (белого цвета). Точечный источник располагается в вакууме слева от NIM-слоя в точке с координатой y.
В главе 1 были рассмотрены уравнения Максвелла (1.1)-(1.4) с материальными уравнениями (1.5)-(1.6) и краевые условия в общем виде (1.45)-(1.48). Была введена функция Грина (1.23). При помощи преобразования Лапласа по времени (1.8) и преобразования Фурье по координатам (1.28)-(1.29) для слоистой ММ-системы модель была сведена к одномерной. Были получены дифференциальные уравнения для скалярных s- и p-поляризованных составляющих функции Грина (1.43) и (1.44) соответственно, а также краевые условия (1.69)-(1.70) и (1.60)-(1.61) соответственно. На основании представленных формул мы можем решить поставленную задачу для рассматриваемой ММ-системы, состоящей из одного ММ-слоя в вакууме [74].
Функция Грина (случай s-поляризации)
В параграфе 2.1 была рассмотрена система, состоящая из NIM-слоя, помещенного в вакуум, с источником, расположенным вне NIM-слоя - в вакууме. Электрическая и магнитная проницаемости NIM-слоев были приняты равными и состоящими из единичного вклада Лоренца. Была решена задача поиска электрической функции Грина. Для произвольной частоты со были получены выражения для s- и p-поляризованных составляющих электрической функции Грина в общем виде, которые имеют большое сходство между собой при равных электрической и магнитной проницаемостях. Была рассмотрена NIM-ситуация. Для NIM-частоты были получены точные выражения и асимптотики s- и p-поляризованных составляющих электрической функции Грина. Выражение для электрической функции Грина для любой частоты со (и в частности, для NIM-частоты) может быть получено из формулы обратного преобразования Фурье по координатам (1.31). Выражение для электрического поля получается при помощи разложения (1.32). Магнитное поле может быть получено путем, аналогичным представленному выше.
В NIM-слое наблюдается направленность скорости волны в сторону, противоположную направлению ее распространения. Это наблюдение является нормальным для материалов с отрицательным коэффициентом преломления.
Также при определенных условиях для NIM-частоты в системе наблюдается эффект отсутствия отражения. Данный эффект был отмечен в Главе 1 при исследовании слоистой системы, а также в исследовании системы, состоящей из двух полупространств NIM и вакуума [75].
В параграфе 2.2 был рассмотрен другой частный случай слоистой NIM-системы. Была исследована система, подобная уже рассмотренной в Главе 1, с точечным источником, находящимся вне системы - в вакууме. Пользуясь результатами, полученными в Главе 1, мы получили выражения для Фурье образа электрической функции Грина в NIM-ситуации. Для NIM-частоты при помощи формулы (1.31) может быть получено выражение для электрической функции Грина, а при помощи разложения (1.32) – выражение для электрического поля. Магнитное поле может быть получено путем, аналогичным описанному в Главе 1. Для NIM-частоты в рассмотренной системе также наблюдается эффект отсутствия отражения. Глава 3
В данной Главе мы рассматриваем систему, подобную той, которая была рассмотрена в Главе 1, но состоящую из бесконечного числа параллельных слоев. Иными словами, одномерный фотонный кристалл. Нас интересует зонная структура его спектра. Так как электрическую и магнитную проницаемости мы определяем при помощи единственного вклада Лоренца, то метаматериал в слоях для одних частот ведет себя как материал с положительным показателем преломления, а для других – как материал с отрицательным показателем преломления. Таким образом, для рассматриваемой модели мы имеем возможность сравнить зонные структуры спектра в случаях, когда метаматериал ведет себя как NIM и как PIM. Также мы интересуемся, как зависит зонная структура спектра от параметров системы. где вектор х лежит в базисе ДПСК {е1,е }, V - оператор Гамильтона, х символ векторного произведения, - символ скалярного произведения (а также матричного произведения). Также мы рассматриваем материальные уравнения, представленные в следующей форме: электрическая и магнитная постоянные соответственно (є0/л0 = 1/ с2, где с - скорость света в вакууме), xe(V), Xm( ,) - тензоры электрической и магнитной восприимчивостей среды. По аналогии с исследованием, представленным в Главе 1, мы используем условие причинности
Также мы используем условие причинности, согласно которому электромагнитная энергия (1.9) является невозрастающей функцией времени. Как уже было отмечено, это обеспечивает правильную эволюцию системы. Если функция, описывающее начальное распределение поля, квадратично интегрируема, то с течением времени она сохраняет это свойство.
В отличие от исследования, представленного в Главе 1, в котором мы использовали преобразование Лапласа по времени (1.8), теперь нам потребуется преобразование Фурье по времени
В Главе 1 мы исследовали систему, состоящую из конечного числа параллельных слоев. Теперь мы рассматриваем аналогичную систему, но состоящую уже из бесконечного числа параллельных слоев. Орты е1, е2 образуют плоскость поверхности слоев. Орт е3 направлен вдоль оси х. Мы предполагаем трансляционную инвариантность вдоль поверхности слоев. В системе имеется два типа слоев. Первый тип - слой метаматериала шириной Д1, второй тип - слой вакуума шириной А2. Слои расположены в порядке чередования. Поэтому А1 + А2 - период системы. Таким образом, рассматриваемая система представляет собой 1DPC, и для исследования системы достаточно рассматривать два любых соседних слоя. Например, слой метаматериала, расположенный между границами с координатами х = О и х = А1 (пусть его номер будет 7 = 1), и слой вакуума, лежащий между границами с координатами х = А1 и х = А1 + А2 (пусть его номер будет 7 = 2).
Рисунок 3.1 - NIM-система, состоящая из бесконечного числа параллельных чередующихся слоев метаматериала шириной 1 (серого цвета) и слоев вакуума шириной 2 (белого цвета).
По аналогии с исследованием, представленным в Главе 1, мы предполагаем, что метаматериал в слоях изотропный и однородный. Следовательно, электрическая и магнитная проницаемости являются скалярными функциями лишь частоты со, то есть Е(Х,СО) = s(co)V и
Зонная структура спектра фотонного кристалла
Электрическая и магнитная проницаемости были определены при помощи единичного вклада Лоренца. Были сделаны предположения об их равенстве как функций частоты, что привело к совпадению зонных структур спектра в ТЕ и ТМ случаях.
Мы рассмотрели комбинации излучательного и затухающего режимов в слоях метаматериала и вакуума. Мы установили, что при излучательном режиме в метаматериале и при обоих режимах в вакууме наблюдается множество запрещенных и разрешенных зон, которые сужаются при изменении частоты в сторону значения а 0 - параметра единичного вклада Лоренца. Для интервалов частот, для которых метаматериал ведет себя как ММ и как PIM, наблюдается различие между зонными структурами спектра. При ММ частоте в системе наблюдается эффект полного отсутствия отражения. Этот факт обсуждался ранее в Главах 1 и 2, а также в [74, 75, 81]. С ростом параметра единичного вклада Лоренца наблюдается увеличение интервала частот, для которых метаматериал ведет себя как ММ. Зонная структура спектра уплотняется. С ростом параметра а 0 наблюдается увеличение интервала частот, для которого метаматериал ведет себя как PIM, и сужение интервала частот, для которого метаматериал ведет себя как ММ. Зонная структура спектра расширяется вдоль оси к.
С ростом ширины слоя метаматериала зонная структура спектра сгущается. С ростом ширины слоя вакуума разрешенные зоны смещаются в область, для которой в метаматериале и вакууме одновременно наблюдается излучательный режим. Для других областей разрешенные зоны сужаются до изогнутых линий. В обоих случаях - при росте ширины слоев как метаматериала, так и вакуума -разрешенная зона, содержащая ММ-частоту, расщепляется на две полосы. Таким образом, пропадает эффект отсутствия отражения для ММ-частоты, который наблюдался ранее в Главах 1 и 2, а также в [74, 75, 81]. Заключение
Основные результаты работы заключаются в следующем.
1. Решена задача поиска электрической функции Грина для слоистой NIM-системы, состоящей из произвольного конечного числа параллельных слоев NIM и вакуума. Для произвольной частоты описан способ нахождения аналитической формулы для электрической функции Грина. В NIM-ситуации получены выражения для Фурье образа электрической Функции Грина. Cделано наблюдение об отсутствии отражения в рассматриваемой системе для NIM-частоты.
2. Решена задача поиска электрической функции Грина для частных случаев слоистой NIM-системы. Для системы, состоящей из NIM-слоя, помещенного в вакуум, с источником, расположенным вне NIM-слоя, при произвольной частоте получены выражения для s- и p-поляризованных составляющих электрической функции Грина в общем виде. В NIM-ситуации найдены точные выражения и асимптотики s- и p-поляризованных составляющих электрической функции Грина. Показано, что при некоторых условиях в рассматриваемой системе отсутствует отражение. Для системы с конечным числом слоев с точечным источником, находящимся вне системы (в вакууме), получены выражения для Фурье образа электрической функции Грина в NIM-ситуации. Показано отсутствие отражения в рассматриваемой системе для NIM-частоты.
3. Получено дисперсионное уравнение для бесконечной периодической системы слоев. Численно решена задача построения зонной структуры спектра. Разработан комплекс программ в пакете MathCAD. Численно изучена зависимость зонной структуры спектра от параметров системы. Благодарности
Автор диссертации выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю, профессору, доктору физико-математических наук И.Ю. Попову за внимание, полезные обсуждения и большую помощь в работе. Автор благодарит профессора, доктора физико-математических наук Г.П. Мирошниченко за ценные советы и помощь в исследованиях. Также автор признателен кандидату физико-математических наук А.И. Трифанову и кандидату физико-математических наук Е.С. Трифановой за понимание и постоянную поддержку.
