Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Постановка задачи 18
1.1 Техника тепловидении 18
1.2 Математическая модель 24
1.3 Постановка обратной задачи и ее связь с обратной задачей потенциала . 33
1.4 Решение обратной задачи в рамках концепции аналитического продолжения гармонического стационарного температурного поля 41
Глава 2 Построение устойчивого приближенного решения обратной задачи термографии как смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа 46
2.1 Задача Коши для уравнения Лапласа. Методы решения 46
2.2 Постановка смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа. Схема построения точного решения в случае данных Коши на поверхности произвольного вида GO
2.3 Построение устойчивого решения в случае неточных данных на точно заданной границе 64
2.4 Приближенно заданная поверхность. Вычисление нормали 66
2.5 Устойчивое приближенное решение в случае неточных данных на приближенно заданной границе 72
2.С Решение задачи продолжения температурного поля как смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа 79
Глава 3 Вычислительные алгоритмы 83
3.1 Использование дискретных рядов Фурье для решения задачи 83
3.2 Дискретизация задачи и ее обоснование для точных данных - функций /,5 й поверхности S 85
3.3 Вычисление коэффициентов Фурье функции Ф 89
3.4 Численные алгоритмы вычисления нормали к поверхности, заданной приближенно 92
3.5 Дискретизация задачи при неточно заданных входных данных и поверхности 96
3.6 Схема численного решения задачи (2.2.4) 104
3.7 Вычислительные алгоритмы решения модельных задач . 107
3.7.1 Вычисление потенциала для решения модельной задачи продолжения потенциала 107
3.7.2 Моделирование прямой задачи для формирования температурного поля 109
Глава 4 Вычислительный эксперимент. 113
4.1 Численное решение задачи смешанной краевой задачи в случае продолжения потенциала 113
4.1.1 Случай плоской границы 114
4.1.2 Случай неплоской границы 120
4.2 Приближенно заданная поверхность. Вычисление нормали к поверхности 125
4.3 Решение прямой модельной задачи термографии 126
4.4 Численное продолжение заданного температурного поля с неточной поверхности 127
4.5 Обработка термографических изображений 128
Заключение 131
Литература
- Постановка обратной задачи и ее связь с обратной задачей потенциала
- Построение устойчивого решения в случае неточных данных на точно заданной границе
- Дискретизация задачи и ее обоснование для точных данных - функций /,5 й поверхности
- Приближенно заданная поверхность. Вычисление нормали к поверхности
Введение к работе
Применение вычислительной техники к решению прикладных задач привело к формированию по существу нового инструмента научного исследования - вычислительного эксперимента, - что в свою очередь привело к формированию нового направления в научных исследованиях революция в вычислительной технике позволила перейти на качественно новый уровень сложности решаемых задач и, что не менее важно - уровень представления результатов. Вместе с тем возрастает значение квалифицированного проведения вычислительного эксперимента с обоснованным выбором модели и алгоритмов и их коррекции. Потенциал современной вычислительной техники позволяют говорить о возможности все более глубокой обработки результатов измерений в рамках все более усложняющихся физических и математических моделей. В частности, это относится к исследованиям структуры и состояния объектов по косвенной (измеряемой) информации. Проблема обработки данных с такой целью математически как правило формулируется в виде обратных задач математической физики [38,68], которые ставятся в рамках той или иной физической модели. Характерный пример задач такого рода - обратные задачи геофизики [37,104,123,133,139] - задачи определения структуры земной коры по измеряемым физическим поля, связанным с этой структурой.
Состоятельность задачи в смысле реальной возможности ее решения, то есть в конечном счете - возможности вычисления и представления результата определяется понятием корректности [62,69,151]. Особенность обратных задач состоит в том, что они, как правило, некорректно поставлены [37,70,75,151] в естественных классах. Вместе с тем в ряде случаев для таких задач удается найти более узкие классы - единственности и устойчивости - определяемые некоторыми условиями. Существование таких классов позволяет отнести некорректную задачу к числу условно корректных [70]. Конструктивный учет дополнительных условий в применении к решению таких задач приводит к получению регуляризирующих алгоритмов их решения [151], не выводящих решения за пределы указанных классов.
Определенный круг обратных задач составляют задачи восстановления структуры объектов по косвенным данным. Такие задачи возникают в тех случаях, когда внутренняя структура объекта по тем или иным причинам недоступна прямому исследованию, в то время как косвенная информация о структуре объекта может быть получена в виде порождаемых этой структурой пространственного распределения физических полей, собственных или полученных как отклик на внешнее воздействие, которые могут быть измерены. Среди таких задач разнообразные задачи теплообмена [3], задачи электрокардиографии [174], электроэнцефалографии [52], томографии [155] и другие. С 80-х годов внимание исследователей привлекли собственные физические поля биологических объектов [41-43,159,165,170].
В диссертационной работе в прикладном плане рассматриваются обратные задачи, возникающие в термографии [51,95].
При тепловизиопиых исследованиях нагретых теплопроводящих объектов, излучающих в инфракрасном диапазоне, «снимок» температурного поля с поверхности объекта как правило служит материалом для непосредственной интерпретации с целью идентификации внутренней структуры (или ее аномалий). При этом воспроизведение внутренней структуры тер-мограммой искажено как за счет ее относительной удаленности от поверхности тела, так и за счет неровностей поверхности. Коррекция изображения возможна на основе метода продолжения стационарного температурного поля с поверхности в область, близкую к структурным неодиородностям. Это продолжение осуществляется решением задачи (или аналогичной)
Аи(М) = 0, Me D\D0i «ІМ> = /, (0.0.1) = h(U0 - /) где Do содержит структурные неоднородности и источники. Термограмма, полученная в результате такого продолжения как след температурного поля на некоторой поверхности вблизи структуры, может рассматриваться как результат математической обработки исходной термограммы. Отметим, что всякий способ визуализации температурного поля, формирующий термограмму, является сам по себе математической обработкой значений температурного поля. Таким образом, разработанный в диссертации метод может рассматриваться как математическая обработка термограмм мето- дом аналитического продолжения стационарного температурного поля.
Целью диссертационной работы является разработка эффективных численных методов математической обработки данных в термографии на основе аналитического продолжения гармонической функции с целью восстановления внутренней структуры объектов по косвенным данным. Достижение цели осуществляется решением следующих задач:
Выбор и анализ математической модели, допускающей решение обратной задачи термографии о восстановлении внутренней структуры объекта по измеренному температурному полю на поверхности в рамках концепции аналитического продолжения как смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа
Постановка, обоснование и численное исследование задачи вычисления нормали к приближенно заданной поверхности в приложении к смешанной краевой задаче для уравнения Лапласа
Построение и исследование устойчивого приближенного решения смешанной краевой задачи с данными Коши па поверхности произвольного вида, заданной приближенно
Разработка эффективных численных алгоритмов решения смешанной задачи для уравнения Лапласа с данными на поверхностях общего вида методом дискретного ряда Фурье
Применение разработанных алгоритмов к решению модельных и практических задач термографии методом аналитического продол-
9 жепия температурного поля Научная новизна и значимость.
Впервые дано устойчивое решение задачи построения нормали к поверхности, заданной приближенно
Разработан новый эффективный метод устойчивого численного решения некорректной смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с данными на поверхности общего вида, в том числе заданной приближенно
Разработана новая методика математической обработки термографических данных на основе аналитического продолжения стационарных гармонических температурных полей, учитывающий форму поверхности измерений
Практическая ценность.
Разработанные алгоритмы продолжения температурного поля применяются для обработки термограмм - термографических (тепловизиониых) изображений или термографических данных, полученных другими измерительными средствами, с целью повышения разрешающей способности термографических изображений и повышения их интерпретационных возможностей.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 25 рисунков, список цитированной литературы содержит 181 наименование. Объем диссертации - 156 страниц машинописного текста.
10 Основное содержание диссертации
Во введении обосновывается актуальность тематики диссертации, формулируются цели исследования, излагается краткое содержание каждой главы диссертации.
Первая глава посвящена выбору математической модели задачи аналитического продолжения стационарного температурного поля. В первом параграфе описывается техника тепловидения, ее физические основы, принцип работы тепловизора, схема получения термографических изображений исследуемых объектов. Во втором параграфе мотивируется выбор математической модели в виде смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона, являющейся основой для построения обратной задачи. Рассматривается стационарное температурное поле и в однородном теплопроводя-щем теле, имеющем форму цилиндра прямоугольного сечения, ограниченного поверхностью S и содержащем источники тепла плотности р, не зависящей от времени. Предполагается, что па боковых гранях поддерживается постоянная температура (для простоты равная нулю), а на поверхности S имеет место конвективный теплообмен с внешней средой нулевой температуры, описываемый законом Ньютона и приводящий к условию третьего рода. Для моделирования эталонных решений прямой модельной задачи проведена ее редукция к интегральному уравнению первого рода для его последующего численного решения. Приведено решение прямой модельной задачи в явном виде в случае, когда поверхность S, па которой ставятся условия третьего рода, является плоскостью. В третьем параграфе в рам- ках сформулированной модельной задачи ставится обратная задача.
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА. Пусть в рамках прямой модельной задачи задано граничное значение и = f\g на поверхности S. Требуется определить неизвестную плотность р. При этом мы будем считать, что как функция /, так и поверхность S, на практике представляющие собой результаты измерений, заданы приближенно.
Показана связь поставленной обратной задачи с обратной задачей потенциала. Отмечены трудности на пути решения обратной задачи потенциала - обсуждается проблема единственности решения и проблема его устойчивости, указывается на относительную узость классов единственности, в которых может быть построено решение обратной задачи потенциала. Дан обзор литературы по этой теме. Вместе с тем отмечается, что в ряде случаев для практических целей бывает достаточно иметь неполную информацию об исследуемом объекте, например, характерные параметры формы носителя плотности р, распределение особенностей решения, или же, в случае, когда уже есть некоторая априорная информация о структуре объекта, исследовать аномалии в этой структуре. В четвертом параграфе показано, что в смысле неполного решения задача восстановления плотности может быть решена в рамках концепции продолжения гармонической функции в область вне источников. Дается обзор методов аналитического продолжения. В заключение параграфа задача продолжения в рамках прямой модельной задачи формулируется в виде смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в области, не содержащей источники, имеющей форму цилиндра прямоугольного сечения, ограниченного поверхностью S и плоскостью z — II, S
Во второй главе построено устойчивое приближенное решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с данными Коши на приближенно заданной поверхности общего вида. В первом параграфе приведен обзор методов решения задачи Коши для уравнения Лапласа, отмечено, что существующие методы разработаны, как правило, для довольно простых областей (и преимущественно двумерных), допускающих разделение переменных, для более общих постановок, в том числе трехмерных, предлагается использовать, например, аппарат функций Карлемана, которые в общем случае могут иметь сложный вид, существенно затрудняющий вычисления, в то время как практические исследования требуют наличия эффективных численных методов решения трехмерных задач, при этом необходимо учитывать, что входные данные для таких задач, включая данные о поверхности, представляют собой результаты измерений, то есть, являются приближенными. Во втором параграфе в явном виде приведено точное решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в общей постановке, основанное на приведении ее к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Отмечена проблема неустойчивости этого решения. В третьем параграфе на основе метода регуляризации Тихонова с использованием схемы, описанной во втором параграфе, приведена схема построения приближенного решения, устойчивого к погрешностям в данных Коши, получено приближенное устойчивое решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа, особенностью которой являются приближенно заданные данные Коши. Сформулирована теорема о равномерной сходимости приближенного решения к точному. В четвертом параграфе - имея в виду приложения рассматриваемой задачи и полагая, что поверхность S, на которой ставятся данные Коши, задается на основе измерений, то есть, приближенно, ставится задача вычисления нормали к такой поверхности. Эта задача появляется в ходе решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа при вычислении интеграла по поверхности S, содержащего нормаль к этой поверхности. Задача вычисления нормали некорректно поставлена как задача дифференцирования неточно заданной функции. Построено приближенное устойчивое решение этой задачи, основанное на подходе В.А.Морозова к задаче вычисления значений неограниченного оператора. Доказана теорема о сходимости приближенного решения к точному. Пятый параграф объединяет результаты предыдущих двух параграфов. В нем в явном виде построено приближенное устойчивое решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в случае неточных данных на приближенно заданной границе. В общем виде сформулирована и доказана - с учетом неточных данных на неточной границе -сформулированная в третьем параграфе теорема о равномерной сходимости приближенного устойчивого решения к точному. В шестом параграфе получено приближенное устойчивое решение задачи продолжения темпе- ратурного поля как смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа, приближенное устойчивое решение которой было построено в пятом параграфе. Доказана теорема о равномерной сходимости приближенного устойчивого решения задачи продолжения температурного поля к точному.
В третьей главе разработаны и обоснованы вычислительные алгоритмы решения прямых и обратных задач, рассматриваемых в диссертации. В первом параграфе указывается на необходимость дискретизации задачи для ее численного решения, вводится равномерная сетка, интегралы заменяются интегральными суммами, ряды Фурье, которые использовались во второй главе при решении смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа, заменяются конечными рядами Фурье, что позволяет пользоваться аппаратом дискретных рядов Фурье. Во втором параграфе проведена дискретизация смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа при условии использования точных входных данных, сделан переход к конечным рядам, получены оценки дискретизации задачи. В третьем параграфе предложен и обоснован экономичный метод вычисления коэффициентов Фурье решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа. В четвертом параграфе проведена дискретизация задачи вычисления нормали к поверхности, заданной приближенно, получены оценки разности приближенной и точной нормали, доказана сходимость приближенного решения к точному. В пятом параграфе проведена дискретизация смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа при условии использования приближенно заданной поверхности и данных Коши на ней, получено приближенное устойчивое ее решение. Сформулирована теорема о равномерной сходимости дискретного приближенного решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа к точному. В шестом параграфе полученные результаты использованы для построения вычислительных алгоритмов решения задачи продолжения стационарного температурного поля. В седьмом параграфе приведены вычислительные алгоритмы решения прямых модельных задач, приведены дискретные формулы для моделирования потенциала и его нормальной производной, получены дискретные формулы для решения прямой модельной задачи для формирования температурного поля на плоской поверхности, для случая неплоской поверхности предложен алгоритм построения численного решения. Эти решения используются в четвертой главе в качестве исходных данных при решении задачи продолжения стационарного температурного поля.
В четвертой главе приведены результаты вычислительного эксперимента. На основе расчетных формул, полученных в третьей главе, проведен вычислительный эксперимент на модельных примерах, приведен пример обработки реальных данных - термограммы, полученной при тспловизи-онном исследовании. В первом и втором параграфах описан вычислительный эксперимент решения смешанной краевой задачи с использованием в качестве данных Коши потенциала и его нормальной производной от четырех точечных источников. Демонстрируется эффективность разработанных регуляризирующих алгоритмов визуальным разделением источников при продолжении как с плоской, так и неплоской поверхности, пеплоская поверхность в этом случае предполагается неточно заданной. В третьем параграфе приведены результаты численного решения прямых модельных задач термографии, которые в четвертом параграфе используются в качестве данных для численного решения задачи продолжения температурного поля. При решении задачи продолжения в данные о поверхности, на которой ставятся условия Коши, и в сами условия Коши предварительно вносится погрешность. Сравнение с решением прямой задачи вблизи источников показывает эффективность алгоритмов, разработанных в третьей главе. В пятом параграфе приведены результаты обработки реальных данных. Все расчеты, описанные в четвертой главе, сопровождаются рисунками.
Все расчеты, проведенные в четвертой главе, сопровождаются рисунками.
В заключении перечислены основные оригинальные результаты, содержащиеся в диссертации.
Полученные в диссертации результаты опубликованы в 7 работах [83-87,98,99] и докладывались на XXXVIII, XXXIX и XLI Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин, Российский университет дружбы народов (Москва, 2002, 2003, 2005), V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002), Международной конференции «Вычислительные методы в прикладной математике» (Минск, 2003), семинаре под руководством профессора Е.П.Жидкова и профессора Л.А.Севастьянова в РУДН, семинаре кафедры дифференци- альных уравнений и функционального анализа в РУДН, семинаре профессора Е.П.Жидкова в ЛИТ(ЛВТА) ОИЯИ, семинаре кафедры прикладной математики МИФИ, семинаре НИВЦ МГУ по обратным задачам математической физики под руководством профессора А.Г.Яголы, профессора А.Б.Бакушинского, профессора А.В.Тихонравова.
Постановка обратной задачи и ее связь с обратной задачей потенциала
В рамках модели (1.2.4) по известной функции р мы можем найти температуру в любой точке области D(F, оо), в частности, след u\s — f на поверхности S. Пусть теперь функция f = u\s (1.3.34) известна, и необходимо найти функцию р (или получить максимум возможной информации о пей). Теперь сформулируем обратную задачу. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА. Пусть в рамках модели (1.2.4) задано граничное значение u = f\s (1.3.35)
Требуется определить неизвестную плотность. При этом мы будем считать, что как функция /, так и поверхность 5, на практике представляющие собой результаты измерений, заданы приближенно. Отмстим, что в рамках модели (1.2.4) оказывается известной и нормальная производная gs = -Vs. (1.3.36) Покажем, что эта задача сводится к обратной задаче потенциала [114].
Вопрос существования решения обратной задачи - функции р - будем связывать с существованием решения соответствующей прямой задачи в том смысле, что мы рассматриваем при постановке обратной задачи только те функции /, которые являются следами (существующих) решений соответствующих прямых задач.
Обратные задачи имеют вообще говоря неединственное и неустойчивое решение. Тем не менее существуют классы единственности и устойчивости для этих задач, которые можно получить, установив их связь с обратной задачей потенциала ОЗП [114].
Применяя формулу Грина к решению и(Р) задачи (1.2.4) и функции источника ip(M,P) вида (1.2.14) в области D(F, оо), поместив точку М в области D{—oo,F) в обозначениях (1.2.2-1.2.3), получим f С ди д J &и(РММ, P)dVP = J [—(РЫМ, Р) - и(Р)— р(М, P)\daP D dD Учитывая граничные условия функций и и tp, а также условия на бесконечности, получим С С ди д I Аи(Р)р(М: P)dVP = J [—(РЫМ, Р) - и(Р)— р(М, P)]daP D S Так как Ди = —ітгр в D(—оо, F) и l f ди s то -4тг J Р(Р) р(М, P)dVP = J[-hf(P)ip(M, P) - f{P)- p(M, P)]daP, D ИЛИ 4тг f р(РЫм,р)ЛУг = ЦМ), Af (-oo,F), (1.3.37) D где функция Ф(М) = j\hftp(M,P) + f(P) ip(MiP)]daP, MeD(- x ,F) (1.3.38) и гармоническая, и аналитическая, т.к. функция (р(М, Р) - гармоническая. Так как функция Ф аналитически продолжается единственным образом в область D0C\Suppp как f pip, согласно (1.3.37), то, погружая Suppp в область Т Є 0е0 с поверхностью Ляпунова, применим формулу Грина [154] к функциям Ф и -Ц М Є Я?\Т, г MP [АФ(Р)— 1УР= Л (Р)—-Ф(Р)-?--Ц Р, МЕН3 J гмр J дпР гмг дпргмр или, так как ДФ = Д J р р — —Arcp в )00 D С Я Ті 1 Я 3 опр гмт дпргмр ОТ Атг f p(P)—dVP = /[ (F)J_-$(P)JLJ_]dffp„ МЄЛ5 У гМР У dnP гМр дпргмр Т ОТ (1.3.39) то есть обратная задача (1.3.37) сводится к задаче (1.3,39) — обратной задаче потенциала для плотности р. Так как всякое решение обратной задачи (03) (1.3.37) является и решением соответствующей ОЗП, то классы единственности ОЗП являются и классами единственности обратной задачи (1.3.37).
Пусть теперь рх и р2 - плотности из класса единственности для обратной задачи (1.3.37). Это означает, что в рамках модели (1.2.4) решения, соответствующие несовпадающим плотностям рх и р2 имеют различные следы на dD. Пусть рассматриваемый класс плотностей не является классом единственности для ОЗП. Тогда потенциал VQ С плотностью р2 — р\ может быть равен нулю в В? \ D, а в силу аналитичности - и в D \ (Supppi U Suppp2). При этом мы рассматриваем лишь плотности, замкнутые носители которых лежат в D.
Построение устойчивого решения в случае неточных данных на точно заданной границе
Пусть теперь в постановке задачи (2.2.4) функции fug заданы с погрешностью, т.е. вместо / и д заданы функции f5 и Д такие, что -/HL2(S) 5, \\д - 9\\L Const В этом случае функция Ф вида (2.2.9) вычисляется приближенно Ф5(М) = - J[g5(PMM,P) - f(p) -(M,P)}daP. (2.3.19) s
В качестве приближенного решения уравнения (2.2.1G) возьмем экстремаль функционала Тихонова [151] с условным стабилизатором [38] - wda + Ф \\Іта)) + aMI W» (2-3-20) S которая является решением уравнения Эйлера для функционала (2.3.20) / ВС f ВС П(о) П(Я) __ f ді /ВС —(м, 5)Ф (м) М) — (M,Q)d jM J - (M,P)w(P)daP + aw(Q) П(а) или, в коэффициентах Фурье функции ш, -2 №+#{Н-а) _ _ rlf+ftH-a) где ;х , , 4 f хя . 7тпхм . ктум , nm(a) = JT / Ф sin—-—sin—-—dxMdyM tx y J X Ly 11(a) - коэффициенты Фурье функции Ф6 вида (2.3.19). Решая уравнение относительно коэффициентов Фурье экстремали гу„, получим -.5 \ а)пт Фёпт(а)е V - » 1 + ае V 1У
Подставляя экстремаль w вместо уц в (2.2.13), с учетом разложения (2.2.14), найдем приближение v5a к функции v в области G(H, —оо): 00 Ф „)/Wf . 7ГПХМ . КГПУм /n ooi\ _ sin —— sin — . (2.3.21) 1 + СЇЄ v lx ly
В соответствии с обозначениями, введенными выше, величина а выбирается так, чтобы а min Fix,у)
Приближенное решение задачи (2.2.4), следуя (2.2.11), получим в виде и6а(М) = v5a(M) - Ф (М), М Є G(H, F). (2.3.22) Теорема 2.3.1. [81J Пусть решение задачи (2.2.4) существует в области D(H,F). Тогда для любого а = а(ё) такого, что а{5) — 0 и 6/у/а(8) — 0 при 5 — 0 функция иа вида (2.3.22) равномерно сходится к точному решению в D{H—E, F—e), где є 0 - некоторое фиксированное сколь угодно малое число.
В параграфе 2.5 эта теорема будет доказана в более общей формулировке. Имея в виду приложения рассматриваемых задач, естественно считать, что поверхность 5 - часть границы области - задается па основе измерений, то есть приближенно. Если поверхность S задана с погрешностью, то вычисление интеграла (2.2.9) затруднено необходимостью вы числения нормали к такой поверхности. Задача вычисления нормали к поверхности, другими словами, градиента функции, заданной приближенно -некорректно поставлена как задача численного дифференцирования. Здесь построено се устойчивое решение, основанное на подходе В.А.Морозова к задаче вычисления значений неограниченного оператора [97].
Перепишем (2.2.9) в виде интеграла по прямоугольнику П(0): Ф(М) = = - J [д(РЫМ,Р) - f(P)(VP p(M,P),n(P))}ni(P)dxpdyP, (2.4.23) П(0) где П! = {F x, F; -1} = \F X + j - k, n = . (2.4.24) Til Отсюда получаем Ф(М) = / д(РММ,Р)щ(Р) - f(P)(Vp p(M,P):nl(P))\dxPdyp. (2.4.25) П(0)
Таким образом, для вычисления функции Ф - правой части (2.2.9) уравнения (2.2.16) - необходимо вычислить вектор-функцию ііі вида (2.4.24).
Вектор-функция щ нормали к поверхности S представляет собой градиент функции F — 0, т.е. щ = grad (F(x, у) - z) = VxyF - k. В том случае, когда функция F известна с некоторой погрешностью, задача вычисления градиента этой функции - некорректно поставлена. Для получения се устойчивого решения воспользуемся постановкой [80,97], то есть рассмотрим задачу вычисления градиента как задачу восстановления значений неограниченного оператора. Будем считать, что поверхность -задастся с некоторой погрешностью, а именно: вместо точной функции F задана функция F такая, что № Пь(Щ0)) Р (2.4.26) В качестве приближения к функции VF, вычисляемого по известной функции Fft, связанной с F условием (2.4.26), рассмотрим градиент от экстремали функционала NP[W] = W-F ь2(ща)) + /5 VW І2(П(0)) (2.4.27) Будем рассматривать такие поверхности S, для которых F\x=Q,lx = F\y=Q,ly = 0.
Это условие, в частности, имеет место в случае, когда S можно рассматривать как возмущение основной плоскости z = 0. Тогда экстремаль функционала (2.4.27) удовлетворяет уравнению Эйлера [151]
Дискретизация задачи и ее обоснование для точных данных - функций /,5 й поверхности
Перейдем теперь к более детальному рассмотрению и обоснованию применения дискретных конечных алгоритмов при численном решении задачи (2.2.4).
Основой алгоритма решения задачи (2.2.4), рассмотренного во второй главе, является вычисление «дискретных» коэффициентов Фурье (3.1.4) непрерывной функции Ф вида Ф(М) = - J \д(Р) р(М,Р)т(Р) П(0) - f{P)(VPiP(M,P),n1(P))\dxpdyP, PeS. (3.2.5)
Отметим, что при М Є И(а),а mmF(x,y) и Р Є S ряд (2.2.8) сходится fay) равномерно, так как мажорируется сходящимся числовым рядом 2 є Vlx 1У » "КІЛ 1 , т2 х у n,m=l \/ W и его можно почленно интегрировать и дифференцировать, в частности, gradpy?(M,P)pes = I s— e У y . тгпхм . ътум v /n2 і Tfj » n,m=l \J il Ц = — 2_ 1 2 2 -sin—j—sin—-—х ґ, п imxp тгтур шт irnxp -ктур x (і— cos —-— sin — h j— sin —-— cos lx tx Ly ly lx I У + kjf7 sin si„ ). (3.2.6) lx ly lx Ly
Прежде всего, в формуле для вычисления функции Ф заменим функцию ip, представимуго в виде ряда (2.2.8), конечной суммой — функцией Nx-lNv-l - A/f+ f \гм-гр\ 7г/ / у п=1 т=\ . тгпхд/ . тгтт/м . ъпхр . ттгпур . . х sin —-— sin —-— sin —-— sm —-—. (3.2.7) lX ly Ig iy
Нетрудно видеть, что ряд (3.2.7) формально сопоставим с дискретным рядом Фурье вида (3.1.2), хотя и не интерполирует функцию р, так как коэффициенты в конечной сумме пс являются результатом суммирования по формуле (3.1.4).
Нетрудно получить равномерную оценку разности функций ср и ipN на прямоугольнике П(а), на котором формируется функция Фг=я, оценивая тригонометрические функции единицей:
Мы здесь учли тот факт, что непрерывная подынтегральная функция обращается в нуль на границе П(0).
Воспользуемся оценкой кратного численного интегрирования [11] ФЛТ(М) - V(M)\\uenla) % + % h, Сз = const, (3.2.13) причем константы зависят от производных подынтегральных функций. При этом заметим, что в силу оценок, аналогичных (3.2.9), оценки производных функции Ф , зависящих от Nx и Ny, можно заменить оценками с константами, не зависящими от Nx и Ny. Например, \VtpN\ - \Vp\ V /4 - Vy V - V p\ Const \V pN\ \Vip\ + Const Const. Объединяя оценки (3.2.11) и (3.2.13) , получим
Вычисление коэффициентов Фурье функции Ф Как уже говорилось, основой алгоритма решения задачи (2.2.4), рассмотренного во второй главе, является вычисление «дискретных» коэффи 90 циентов Фурье (3.1.4) непрерывной функции Ф г вида (3.2.12). ф«т(о) = Г L 2_. Ф (я,-,%-,а)ип — sin-y- , n = 1,..., -1, m= 1,..., iVy-1. (3.3.15)
Для вычисления -/Vx-ZVy значений функции Ф, каждое из которых есть интеграл, вычисляемый как сумма NxNy слагаемых, требуется количество операций, пропорциональное (NxNy)z, так как значения подынтегральной функции содержат двойной ряд Фурье, вычисляемый как дискретный ряд Фурье, дающий NxNy операций при каждой фиксированной паре М и Р. Это является определяющим фактором, так как вычисление коэффициентов Фурье по вычисленным значениям функции, как уже говорилось в параграфе 3.1, требует количества операций, пропорционального (NxNy)2.
Объем вычислительной работы может быть существенно сокращен, если коэффициенты Фурье вычислять как интегралы lx 1у №) - 7Г fdx f Ф У вш вш , (3-3.16) 1 ХІ"Ц J J ЬХ by 0 0 и интегрирование в (3.3.16) провести под знаком сумм в (3.2.12) и затем проинтегрировать конечные ряды функции (pN и ее производных почленно.
Из формулы (3.3.17) следует, что коэффициенты Фурье Ф (а) представляются в виде линейной комбинации «коэффициентов Фурье» различных «функций» по разным тригонометрическим системам .{ J n,m=l \ \ 00 ґ \ 00 ттх 7гту I I . тгпх 7гту tr (.у І I (, ly j „ _i і J n,ra—l со cos —:— sm —;— , sm —— cos 7ГПХ тгтї/ sm — sin lx by n,m=l Особенностью этих «коэффициентов Фурье» является то, что они вычисляются от функций, которые сами зависят от параметров Фурье пит, то есть каждый следующий «коэффициент Фурье», определяемый параметрами п и т по функциям тригонометрической системы, вычисляется, строго говоря, от другой функции, определяемой зависимостью от параметров пит. Заметим теперь, что в отличие от формул (2.2.9), (3.1.3) для вычисления коэффициентов Фурье по формуле (3.3.17) при переходе к дискретным и конечным численным процедурам потребуется количество операций, пропорциональное (NxNy)2. Отметим и то, что несмотря на зависимость функций, от которых вычисляются «коэффициенты Фурье», от параметров пят, экономичный алгоритм [79,162] применим и в этом случае.
Приближенно заданная поверхность. Вычисление нормали к поверхности
В вычислительном эксперименте по продолжению потенциала в случае неточно заданной неплоской поверхности мы сталкиваемся с необходимостью вычисления нормали к такой поверхности. Данный параграф демонстрирует необходимость использования регуляризирующих алгоритмов в случае численного дифференцирования приближенно заданных функций.
На рисунке (4.2.13) представлен модуль аналитически вычисленной нормали к аналитически заданной поверхности S вида (4.1.8). Этот рисунок выступает в качестве эталона. Поверхность S задаем формулой (4.1.4), производные Fx и Fy вычисляем аналитически. На рисунке (4.2.14) представлен модуль нормали к возмущенной по формуле (4.1.2) поверхности S вида (4.1.8), вычисленный без регуляризации. Относительная погрешность при возмущении поверхности S принималась равной 1%. Видим, что нормаль, показанная на этом рисунке, не имеет четких контуров, размы та, «размазана» по всей площади, и, очевидно, вычисления с использованием такой нормали приведут к неудовлетворительїїьш результатам. На рисунке (4,2.15) представлен модуль нормали к возмущенной поверхности S вида (4.1.8), вычисленный с регуляризацией. При вычислении регуля-ризовашюго модуля нормали использовалась формула (3.4.21). Параметр регуляризации /? определялся по невязке, то есть из условия Щ(х,у)-Р\х,у)\\ = W$(x,y) - функция вида (2.4.29).
Особо отметим, что существенной особенностью приближенного задания поверхности будем считать отсутствие возможности аналитического задания поверхности, позволяющее вычислять нормаль непосредственным дифференцированием. В этом параграфе аналитическое задание поверхности с последующим внесением погрешности использовалось только в демонстрационных целях.
Для того, чтобы решить модельную задачу продолжения температурного поля (1.4.41), необходимо сформировать на поверхности S вида (4.1.8) начальные данные, а именно - температурное поле (1.3.35). Нормальную производную при этом можем получить из соотношения (1.3.36), или же непосредственным вычислением. Температурное поле на поверхности S получим как след решения прямой модельной задачи термографии (1.2.4) на поверхности S.
На рисунке (4.3.16) представлен след решения задачи (1.2.4) на этой плоской поверхности S, рассчитанный по формуле (3.7.58). В случае, если поверхность S не является плоскостью, след решения задачи (1.2.4) на этой поверхности вычисляется в соответствии со схемой 3.7.2. На рисунке представлена нормальная производная s решения задачи (1.2.4) на поверхности S.
На рисунке (4.4.18) представлено численное решение задачи продолжения приближенно заданного температурного поля (4.3.16) с неточной поверхности S на уровень z = Н.
Поверхность S моделировалась формулой (4.1.4). Значения параметров при этом выбираем такими же, как и в эксперименте с продолжением
128
Приближенное решение задачи (ЗКУЛ) на уровне z = Н потенциала: lx=30, /у=30, Nx=Ny=91. Погрешность в данных Коши задаем в 1%, погрешность в задании поверхности S - тоже 1%.
В этом параграфе представлены результаты математической обработки реальных данных - термограмм, полученных при помощи тепло-визиошюй камеры ТВ—ОЗК. На рисунке (4.5.19) показана термограмма части живота пациента, страдающего острым простатитом, или, в терминах задачи аналитического продолжения поля значение функции и на поверхности S. При остром простатите в проекции предстательной железы появляется гипертермия. Снимок (4.5.19) представляет собой матрицу 176x176 точек, где каждой точке в соответствии с заданной шкалой температур присваивается определенный цвет, а после оцифровки представляется в виде функции /, которую предполагается обработать методом гармонического продолжения. Часть живота, изображенная на снимке, имеет размеры 20x20 см. Минимальное значение температуры на этом снимке равно 34.9С, максимальное - 35ЛС.
