Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературы.
1, Модель Леонтьева 26
2. Открытая модель Леонтьева 29
3. Конус в пространстве. Положительные операторы 31
4. Модель Леонтьева-Форда, учитывающая экологическое состояние окружающей среды 34
5. Модель, учитывающая возможности утилизации вредных отходов 37
6. Обобщенная модель Леонтьева-Форда 38
Выводы и задачи исследования 42
Глава 2. Пространства с обобщенной метрикой (псевдометрические пространства)
1. Обобщенная метрика
2. Обобщенный принцип Банаха 46
3. Ненакапливаемость погрешности округления 48
4. Теорема об оценке близости для уравнения с линейным оператором 50
Глава 3. Существование неотрицательного решения у модели Леонтьева и Леонтьева-Форда
1. О разрешимости модели Леонтьева
2. Определение числа итераций для достижения заданной точности. 53
3. Необходимость условия разрешимости модели Леонтьева 54
4. Достаточные условия существования неотрицательного решения модели Леонтьева-Форда 57
5. Необходимые условия существования неотрицательного решения у модели Леонтьева-Форда 60
6. Оценки решения модели Леонтьева-Форда 62
7. Признак существования положительного решения у обобщенной модели Леонтьева-Форда 64
Глав 4. Нелинейные модели межотраслевого баланса с дифференцируемыми вогнутыми операторами. Положительная обратимость .
1. Нелинейные модели межотраслевого баланса с вогнутыми операторами. Положительная обратимость
2. Подход Беллмана-Калаба к определенито вогнутого оператора 69
3. Положительно обратимые операторы. Признаки положительной обратимости 71
4. Признаки положительной обратимости для пространств с нетелес ным конусом 74
5, Уравнение с дифференцируемыми вогнутыми операторами. Постановка задачи 78
6. Признак продуктивности модели с вогнутым оператором 80
7. Проблема единственности положительного решения нелинейной модели 82
8. Сходимость последовательных приближений к решению нелинейного уравнения 85
Глава 5. Оценка «близости» решений двух «близких» уравнений
1. Постановка задачи 91
2. Некоторые приложения (оценка точности приближенного решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений). 97
3. О методе редукции для интегрального уравнения с бесконечной
областью интегрирования. Оценка точности 102
Заключение 104
Литература 106
- Модель Леонтьева-Форда, учитывающая экологическое состояние окружающей среды
- Теорема об оценке близости для уравнения с линейным оператором
- Достаточные условия существования неотрицательного решения модели Леонтьева-Форда
- Положительно обратимые операторы. Признаки положительной обратимости
Введение к работе
Актуальность проблемы
Работа посвящена развитию методов исследования уравнений вида
x=F(x) + f (0.1)
с линейным или нелинейным оператором F, действующим в линейном банаховом пространстве, полуупорядоченным конусом К. Рассмотрение уравнений вида (0.1) в пространстве со структурой порядка естественно, особенно в тех случаях, когда для уравнения (0,1) речь идет о существовании решения х , обладающего свойством неотрицательности:
х*>0, (0.2)
о сравнении решений хих2, отвечающих разным значениям f: f - /г и / = f2, связанным неравенством
/І* Л- (о.з)
В частности, вопрос о существовании неотрицательного решения
х важен в первую очередь в тех задачах, когда речь идет о решениях имеющих экономический смысл. Уравнение (0.1) является уравнением межотраслевого баланса, а вектор х - это искомый вектор валового выпуска продукта и по экономическому смыслу вектор х - решение уравнения (0.1) должен быть неотрицательным вектором.
До сих пор в соответствующей математической литературе рассматривались, в основном, уравнения с положительными операторами F(x), т.е. такими, что
F(x)>0
при х > в, обладающими свойством монотонности: при хх >х2 имеет место неравенство: F(xx)>F(x2) [в, 7, 21, 23, 25, 27]. Для построения тео-
рий таких уравнений были развиты соответствующие методы исследования. Однако, в связи с запросами практики, возникла необходимость рассматривать уравнения (0.1) в которых оператор F не обладает либо свойством положительности, либо свойством монотонности, а зачастую не обладает обоими этими свойствами. А между тем, в этой существенно более общей ситуации по-прежнему актуальными остаются вопросы существования неотрицательного решения у такой модели.
Приведем пример. Речь идет о так называемой модели Леонтьева-Форда - модель производства, учитывающая состояние экологического фактора окружающей среды, т.е. о модели, являющейся наиболее актуальной в современных условиях производства, когда дальнейшее развитие производства вступает в антагонистическое противоречие с условиями безопасной жизнедеятельности людей, с чистотой окружающей среды, как основного фактора существования природы, животного мира, человеческого общества.
Впервые математическую модель этой проблемы описали Леонтьев и Форд, в своей совместной статье [31]. Соответствующая модель ниже называется моделью Леонтьева-Форда. Первоначально эта модель имела следующий вид:
х = Аих + Апу_+ьЛ ^4)
у = А1Хх~Ъг J
Здесь х є R", у є R, т.е. неизвестные неотрицательные векторы
в соответствующих конечномерных евклидовых пространствах, обозначающие, х— валовый выпуск полезного продукта, у - объем вредных отходов, подлежащих к уничтожению в окружающей среде, Ьх є R", Ь2 є R
- неотрицательные векторы, обозначающие, соответственно, чистый выпуск полезного продукта и остаточный уровень вредных отходов (эко-
логически допустимый предел их содержания в окружающей среде). Соответственно Апх, Any - обозначают затраты полезного продукта на валовый выпуск х, соответственно, уничтожение вектора у вредных отходов в окружающей среде, А21х- вектор выделяемых вредных отходов при валовом выпуске х полезного продукта.
Уравнение системы (0.4) являются простыми балансовыми уравнениями, их смысл состоит в том, что чистый выпуск 6j полезного продукта
составлен из разности валового выпуска х этого продукта и суммарными затратами {Аих + А!2у) полезного продукта на производственную и природоохранную деятельность, а остаточный уровень Ь2 вредных отходов в окружающей среде равен разности (A2jx -у), т.е. разности между объемом выделяемых вредных отходов и объемом у уничтоженных вредных отходов.
Цель и задачи исследования
Естественно развить модель (0.4) в следующем направлении; вместо второго уравнения системы (0.4) достаточно иметь неравенство вида:
у >А2!х ~Ь2,
т.е. вместо системы уравнений (0.4) будем рассматривать систему, состоящую из одного уравнения и одного неравенства. Однако в этом случае в виду неоднозначности решения соответствующей системы уравнения и неравенства возникает вопрос: что понимать под решением этой системы.
Несмотря на эти замечания можно согласиться с рассмотрением модели (0.4). Вместо (0.4) рассмотрим более естественную и более общую модель:
x = A11x + A12y + b1-_A13y
y = A21x + A22y-b2
x > Є, у > Є
(0.5)
которая фактически предполагает, что часть уничтожаемых вредных отходов A is у утилизируется в полезный продукт, а в процессе природоохранной деятельности возможно создание дополнительных вредных отходов (пример: при сжигании мусорных свалок в атмосферу выделяются различные вредные газообразные примеси).
Понятно, что модель (0.5) это модель производства, включающая природоохранную деятельность и утилизацию вредных отходов, т.е. достаточно интересная модель.
Каждая из моделей (0.4) и (0.5) является моделью с неположительными элементами (в частности, неположительный элемент (~ Ь2)). Однако, для каждой из этих моделей по прежнему актуальна проблема существования неотрицательного решения: х >0,у > 0 при заданных неотрицательных векторах Ьг, Ъг> Отметим одновременно, что оператор в правой части первого из уравнений системы (0.5) не обладает свойством монотонности.
Сказанное здесь подчеркивает, что хотя при изучении более общих постановок задач возникают модели типа Леонтьева, однако для этих моделей исследование вопроса о существовании неотрицательного решения несравненно усложняется при переходе от классической модели Леонтьева межотраслевого баланса.
Ситуация еще более осложняется, в связи с тем, что операторы затрат в правых частях уравнений системы (0.5) могут нелинейно зависеть от векторов х, у.
В связи с выше сказанным целью исследования являются следующие положения.
1. Изучение двух типов моделей Леонтьева: модели Леонтьева,
межотраслевого баланса и открытой модели Леонтьева.
Для описания и изучения этих моделей ввести соответствующие понятия и методы исследования, основанные на терминах функционального анализа.
В связи с тем, что модель Леонтьева относится к основным экономическим моделям при изучении которых важную роль играет свойство неотрицательности соответствующего решения, необходимо вывести условия при которых эти решения существуют. С этим связанно изучение соответствующих уравнений в пространствах в которых введено понятие «полупорядка» (в пространствах более чем одного измерения нельзя ввести понятие «порядка» так как в таких пространствах неизбежно появляются несравнимые элементы). Последние объясняет тот факт, что в данной работе так часто используются понятия и термины функционального анализа.
Вывести условие существования и единственности неотрицательного решения у моделей Леонтьева-Фода и методы, на основе которых соответствующие решения могут быть «сконструированы» с любой степенью точности.
Установить признаки положительной обратимости линейного оператора.
Получить оценки «близости» решений двух «близких» уравнений, что связанно с необходимостью проведения числовых расчетов и соответствующей оценки «близости» приближенного решения соответствующих уравнений.
Методы исследования
В диссертационной работе использованы понятия и методы теории функциональных и операторных уравнений, в том числе уравнений с операторами, действующими в линейных полуупорядоченных банаховых пространствах.
Научная новизна
Рассматриваются модели межотраслевого баланса с операторами, не обладающими свойствами положительности или монотонности на предмет выяснения условий существования положительных решений у этих уравнений. Особый интерес представляют модели, в которых изучаются возможности утилизации (переработки) вредных отходов в полезные продукты.
Большое внимание уделяется получению различных эффективных оценок сверху и снизу решений модели Леонтьева-Форда, а также новым признакам существования положительных решений у этой модели. В то время, как в работах математиков Воронежской школы подробно изучались нелинейные модели с вогнутыми (в смысле М.А. Красносельского) операторами, в математической литературе рассматривается и другой подход к понятию вогнутого оператора, восходящий к работам крупных американских математиков Р. Беллмана и Р. Калаба. Изучение уравнений с вогнутыми операторами в смысле указанных двух авторов, проводится в главе 4 диссертационной работы. В частности, рассматривается вопрос о признаках продуктивности нелинейных моделей с вогнутыми операторами, а также изучается сходимость метода последовательных приближений Ньютона и модифицированного метода Ньютона к решению нелинейного уравнения. Особый интерес в этой связи представляет теорема 4.8, в которой положены условия, при которых скорость сходимости является квад-
ратичной (это означает, что каждое следующее приближение вдвое увеличивает число верных знаков, найденного приближенного решения).
Достоверность исследования
Следует из математической строгости постановки задачи и методов ее решения, а также из совпадения полученных результатов с известными из литературы для частных случаев.
Теоретическая и практическая значимость работы
Полученные в работе результаты позволяют решить задачу о существовании положительного решения у нелинейных экономико-математических моделей Леонтьева и Леонтьева-Форда с немонотонными операторами. Найдены новые подходы для численного расчета соответствующих новых классов нелинейных моделей. А так же для метода Ньютона-Канторовича установлена «квадратичная скорость» сходимости к решению. Это означает, что в процессе построения приближений число верных знаков каждого последовательного приближения увеличивается вдвое.
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладовались на научно-практических конференциях Северо Кавказского государственного университета (1999, 2000, 2001 г.г.), на II международной конференции «Циклы».
По теме диссертации издано 9 научных публикаций, из которых 7 тезисов докладов и 2 научные статьи. Эти работы выходили на внутри вузовских, межвузовских и международной конференциях.
На защиту выносятся следующие основные положения:
1. Постановка и исследование нового класса экономико-
математических задач: модель Леонтьева-Форда, учитывающая
экологическое состояние окружающей среды, а также возможно
сти утилизации вредных отходов (линейный и нелинейный вари
анты модели), с которым связаны принципиально новые типы
операторных уравнений. Отыскание условий существования по
ложительного решения у модели содержащей операторы не об
ладающие свойством положительности, а также элементы не яв
ляющееся положительными
2. Использование для исследования этого нового класса задач эле
ментов теории псевдометрических пространств и принципов не
подвижной точки для операторов действующих в таких про
странствах.
Новые необходимые и достаточные условия существования неотрицательного решения у модели Леонтьева-Форда.
Новые подходы к исследованию нелинейных моделей межотраслевого баланса с вогнутыми смысли Беллмана-Калаба операторами, позволяющие более детально исследовать уравнения с дифференцируемыми по Фреше операторами, а также исследование интегрального метода приближенного решения, основанного на линеаризации нелинейных уравнений с вогнутыми операторами.
Получено новое достаточное условие продуктивности нелинейной модели Леонтьева с вогнутым оператором и доказана теорема единственности положительного решения у нелинейного операторного уравнения, производная Фреше которого является неразложимым оператором.
6. Исследована монотонная сходимость модифицированного метода Ньютона, а также метода Ньютона-Канторовича (метод квазилинеаризации), для которого установлена квадратичная скорость сходимости к решению. 7. Получены новые оценки «близости» решений двух «близких» уравнений, а также указаны приложения полученных оценок к оценке точности метода редукции (как для интегрального уравнения с бесконечной областью интегрирования, так и для бесконечномерных систем линейных алгебраических уравнений).
Структура и объем диссертационной работы
Данная диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы.
Основное содержание работы
Во введении описываются постановки основных задач, излагаются основные проблемы, а также приводится обзор основных результатов.
В главе 1 приводятся описания модели Леонтьева, Леонтьева -Фода, модели учитывающей возможности утилизации вредных отходов и обобщенная модель Леонтьева - Форда.
В главе 2 изучаются некоторые математические вопросы, связанные с реализацией (в том числе и расчетной) этой модели. При этом обсуждаются такие (в общем известные) понятия как обобщенная метрика или обобщенная норма, понятие полноты пространства относительно обобщенной /з-нормы, приводится формулировка обобщенного принципа Банаха сжатых отображений [12, 21, 23].
Пусть пространство Н - Rn, .1 <П}<п2< ...< пк,} < пк = и.
14 Положим для х є Rn
р(х) = \ maxlxi max Ixl...,' max Ы . (0.6)
Ясно, что/?(х) є R , причем p(x) - обобщенная норма в Rn, т.е.
а)р(х) > в к, причем р(х) = в к тогда и только тогда, когда х = 6>fc; здесь вк -
нулевой элемент Rk; Ъ)р(Лх) = \Я\-р(х) (аксиома однородности); с)р(х + у) <р(х) +р(у) (неравенство треугольника). При этом элементр(х) называется обобщенной нормой элемента* є Н.
Линейный оператор U, действующий в пространстве Н, назовем оператором обобщенного 5-сжатия, где S - Линейный оператор, действующий в Rk, если выполняется условие
p(U(x)) < Sp(x), (х є Rn), (0.7)
причем S —> в при т -» оо. Сходимость SI к в при т -> со понимается по норме пространства операторов, действующих в Н. При этом S называется оценкой сверху обобщенной нормы оператора U.
Точная нижняя грань всех оценок обобщенной нормы называется обобщенной нормой оператора U; обобщенная норма U это линейный оператор, действующий в Rk (т.е. (k х к) матрица).
Если А = (%) - (я х я) - матрица, то при обобщенной нормировке
(0.6) пространства R" обобщенной нормой матрицы А является матрица
5 = (). 1<у<*. (0.8)
где элементы Sy вычисляются по формулам
п1 . I
я(,= max 2 \аь\ , (0.9)
иЬ1+11А.=^_1+1
Имеет место следующее развитие принципа Банаха сжатых отображений:
Теорема 2.1. Пусть спектральный радиус р (S) обобщенной нормы S матрицы U удовлетворяет неравенству
p{S)
Тогда уравнение
x = U(x) + f (0.11)
при любом/ є Лйимеет и притом единственное решение х* є R", причем к этому решению сходится метод последовательных приближений
*»+x=U(xm) + f (m = 0,1,-) (0.12)
при любом начальном приближении хо є Rn. При этом выполняется неравенство
р(хт-х )
Из этого утверждения, в частном случае, когда п = 1 вытекает хорошо известный принцип Банаха сжатых отображений.
Замечание. Оценка (0.13) в приложениях приводит к более информативным оценкам близости последовательных приближений хт к точному решению х , а условие (0.7) обобщенного сжатия является, менее жестким условием по сравнению с условием сжатия: Ц^Ц
Далее в главе 2 рассматривается вопрос о ненакапливаемости погрешности при реализации метода последовательных приближений. Как правило, при применении метода последовательных приближений (0.12) значения оператора и(х) находятся с некоторой погрешностью S, представляющей векторную величину, т.к. разные компоненты вектора и(х) находятся с разной точностью. Т. е. при определении вектора и(х)ыы
фактически находим не сам этот вектор, а лишь некоторое приближение и(х) к нему, при этом за счет выбора подходящего метода вычисления
приближения и(х) по вектору х из некоторого множества М(хєМ)
обычно можно гарантировать, что для всех х є М выполняется следующая оценка близости
р(и(х)~и(х))<3 (0.14)
где $- векторная величина, S> в.В дальнейших вычислениях вместо
Xj = и(х0), будет участвовать х, -и(х0), а вычисляться будет х2 = и{х{)
и т.д.
В этой ситуации нас естественно будет интересовать оценка близости хт к х в обобщенной норме.
Следующая теорема содержит такую оценку.
Теорема 2.2. Пусть выполнена оценка (0.14). Тогда для любого натурального т справедливы оценки
p(xm-xJ<(I-S)-l8> (0.15)
p(xm-x)
Эти оценки позволяют говорить о том, что в указанных условиях погрешности вычислений не накапливаются и более того, позволяют указывать близость приближений хт к точному решению X
Эти оценки можно существенно конкретизировать в том случае, когда оператор и(х) имеет вид: и(х) = Ах + f, где А - линейный оператор, действующий в полуупорядоченном пространстве с телесным конусом К. Теорема 2.3. Пусть выполнено условие
-В<Л<В, (0.17)
где В - линейный положительный оператор, такой, что для некоторого внутреннего элемента щ є К выполняется неравенство
Вщ<ащ, (0Л8)
а - const, а < 1.
Тогда для любого f є Е уравнение
х = Ах + /, (0.19)
имеет и притом единственное решение х = х (f), причем метод последовательных приближений
*«+I =А^т +f + Sm> ГДЄ #и) ...)
есть метод с ненакашгавающейся погрешностью и
p(x--~xJ
Р \-сс
где М, N - постоянные несплющенности и нормальности конуса К, р > 0 -радиус шара, с которым элемент щ принадлежит конусу К, a S — обобщенная норма оператора Л.
В главе 3 «Существование неотрицательного решения у моделей Леонтьева и Леонтьева - Форда» рассматриваются следующие вопросы. Прежде всего, приведены достаточные условия существования неотрицательного решения у модели Леонтьева. Как хорошо известно, даже существенно более простая модель Леонтьева, т.е. уравнение вида
x = Ax+f,* (0.20)
где А>0и/>0не всегда имеет неотрицательное решение. Модель Леонтьева (0.20) имеет неотрицательное решение.
Напомним, что р (A) = max ІД,-1, где Д, - совокупность собственных ЗНаЧе-ний матрицы Л.
Доказана теорема 3.1: пусть выполнено условие
P(A)
где р (А) - спектральный радиус матрицы А
Тогда модель Леонтьева (0.20) при любом / є R+n имеет и притом
единственное решение х* -х (/) > в, при этом х (/)» в (т.е. х - век-
тор, все координаты которого положительные), если / 0, а матрица А
неразложимая. ,
Решение х (/) можно получить по методу последовательных приближений:
xm+l=Axm+f 0 = 0,1,...) (0.22)
при любом х0 є Rn и верна следующая оценка
х хт
<С^— (т = \,2,.„) (0.23)
\-q
где С > 0 - постоянная зависящая от того, какая норма ||-|| рассматривается в пространстве R".
Теорема 3.1 содержит достаточное условие существования положительного решения у модели (0.20). Следующая теорема показывает, что в случае неразложимости матрицы А это условие является также необходимым.
Теорема 3.2. Пусть А > 0 и А - неразложимая матрица. Тогда из факта существования хотя бы одного неотрицательного решения у уравнения (0.20) при некотором / = /0> 0 следует неравенство (0.21).
Утверждение теоремы 3.2 устанавливает следующую зависимость: из факта существования хотя бы одного неотрицательного решения у уравнения (0.20), хотя бы для одной части / - f0 > в следует (в силу теоремы 3.1) существование неотрицательного решения xQ(f) > 0 для любого f > в. По терминологии, принятой в математической экономике этот факт означает, что из продуктивности модели Леонтьева хотя бы для одного вектора f0 > 0 чистого выпуска следует продуктивность этой модели
для любого вектора / > 0 чистого выпуска.
Разумеется, решающая роль в этом утверждении принадлежит условию неразложимости матрицы А. Если матрица^ не обладает свойством неразложимости, то утверждение теоремы 3.2 теряет силу!
Это утверждение переносится на существенно более широкий класс операторов, т.е. имеет место не только для матриц, но и для более общих абстрактных операторов (т.е. операторов, действующих в банаховом пространстве с конусом и обладающих свойством неразложимости при соответствующем развитии этого понятия на операторы).
А также в главе 3 изучаются условия, при которых модель Леонтьева-Форда
— і
х = Аих + Апу + ]
у = А21х + А22у - Ь2 \ (0.24)
х>в, у>в J
имеет неотрицательное решение. Вначале рассмотрим модель (0.24) в общей ситуации, когда А у (/,_/ = 1, 2) не обязательно матрицы, а операторы, определенные на элементах некоторых полуупорядоченных банаховых пространств Ej и действующие в пространстве Е,. Конусы Kj, Kh соответственно, будем предполагать телесными и миниэдральными (в случае необходимости к этим конусам, возможно, предъявляются и другие требования).
Излагаемые в этом параграфе результаты существенно дополняют результаты работ [49-52], в которой предполагалось, что Е/ = R", Е2 = Rm, соответственно, К] = R+n, К2 = R-, т.е. рассматривался частный случай. Отметим, что для существования неотрицательного решения в этом случае мало предполагать выполненным условие
р(А)<1, (0.25)
где А - блочная матрица
A =
(A A >
\.A\ ^22 J
(0.26)
/?(Л) - спектральный радиус оператора А в пространстве Е = (EU Е2)
векторов z = (х, у), где х єЕ1,у єЕ2 с нормой llzII = - \\х\\ + \\у\\ .
II ПА II ИЛ, II \\Ь2
Здесь полезно рассматривать и некоторые другие условия.
В этой связи отмети следующую теорему.
Теорема 3.3. Пусть выполнено условие (0.25) для блочной матрицы (0.26), а элементы 61 и Ъг удовлетворяют неравенствам
-Ь2+А1ХЪ,-А22Ь2Щ'
Тогда система (0.24) имеет и притом единственное решение, к которому сходится метод последовательных приближений
*т+1 = A \*т + АіУт + ^ I m = 0 1
при любых начальных приближениях х0 є Eh у0 є Е2.
Перейдем от достаточного условия (0.27) к следующему достаточному условию разрешимости системы (0.24):
Теорема 3.4. Пусть оператор А продуктивен и для некоторого числа s выполняется неравенство
f = b +Ab +A2b +... + Asb >в,
где J = (\ -b2),b = (х0,у0).
Тогда система (0.24) имеет единственное неотрицательное решение.
Приведем еще одно необходимое и достаточное условие существование неотрицательного решения у модели (0.24).
Теорема 3.5. Система (0.24) с продуктивным оператором А имеет единственное решение z є К = {Кх, К2) тогда и только тогда, когда для некоторого Zq>0 выполняется неравенство
Az0+b >z0 (0.28)
Укажем удобный для применений способ проверки условия (0.28). Пусть А продуктивен, х0 - решение уравнения
х = Аих + Ьи причем, А2!x0-b2 + А22(А21 х^-Ь2)>в-Тогда система (0.24) имеет неотрицательное решение.
Далее в главе 3 приводится теорема об оценке решения модели Леонтьева-Форда и, как следствие, достаточные признаки существования неотрицательного решения этой модели (теоремы 3,6 и 3.7). Теорема 3.6.
Пусть для некоторых векторов z0,v0 єЕ, z0 >в vQ>6 выполняются неравенства zx = Az0 +b > z0, v, = Av0 + b < v0, а число p > 0 таково, что?,-z0>p(v0-vl).
Тогда для решения z = (x , у ) выполняется неравенство
~* ^ gj + РЛ
и, в частности, если правая часть неравенства является элементом К, то решение системы (0.24) неотрицательное.
Модель Леонтьева-Форда, учитывающая экологическое состояние окружающей среды
Соответствующая модель имеет вид следующей системы векторно-матричных уравнений: Здесь использованы следующие обозначения: х є Rn - вектор валового выпуска продукта, называемого полезным; у є Rm - вектор вредных отходов, в окружающей среде, возникающих, в частности, в процессе производства и подлежащих уничтожению для поддержания соответствующего уровня экологического состояния; Ьх - вектор чистого выпуска полезного продукта; Ъ2 - вектор остаточного уровня вредных отходов, т.е. отходов остающихся во внешней среде после удаления из нее вектора у; Ац (пхп) технологическая матрица; А12 - (и х гп) матрица, такая, что Ап у представляет вектор затрат полезного продукта, связанных с уничтожением вредных отходов в объеме вектора у ; А21 — (т х п) матрица, такая, что А21Х - вектор вредных отходов создаваемых при выпуске полезного продукта в объеме вектора х; A22 {m x m) матрица, такая, что при уничтожении вектора у вредных отходов в окружающую среду выделяется вредных отходов в объеме вектора А 22 у. Система уравнений (1.14) это почти очевидные балансовые соотношения между производством и потреблением в процессе производства, полученные в предположении линейной зависимости производственных затрат АЦХ В зависимости от уровня валового выпуска х и уровня уничтожаемых вредных отходов. Отказ от этого предположения приводит к нелинейной системе вида Поясним вторые уравнения в системах (1.14) и (1.15). Очевидно, второе уравнение системы (1.14) можно записать в виде: что означает, что разность между произведенным вредным отходом ( А21 х + А22 у ) и уничтоженной его величиной у равна остаточному уровню Ъг вредных отходов. Такой же смысл имеет и второе уравнение системы (1.15). Модели (1.14) и (1.15) существенно отличаются от модели Леонть ева (1.1).
Поясним это отличие. і Формально систему уравнений (1.14) можно записать в виде векторно-матричного уравнения вида где z = (х,у) - вектор из Rn m, квадратная {n + m)x(n + m) матрица, состоящая из четырех блоков, Однако, модель (1.1) это модель с неотрицательной матрицей А и неотрицательным свободным членом /, в то время как модель (1.16), это модель с неотрицательной матрицей А и вектором /, у которого первые п компонент неотрицательные bj в. Обратим внимание на то, что при доказательстве теоремы 1.1, условие малости оператора затрат А и ус ловие / 0 гарантируют неотрицательность решения х этой модели, если же f . К, то в общем случае нельзя гарантировать неотрицательность решения z модели (1.16). Более того, простые примеры модели (1.16) показывают, что их решения могут не обладать свойством неотрицательности. Поэтому при рассмотрении моделей вида (1.16) условие существования неотрицательного решения не имеет столь простой вид, как условие (1,10). Понятно, что переход от линейной модели (1.14) к нелинейной модели (1.15) еще более осложнят ситуацию. В процессе борьбы с загрязнением внешней среды часть вредных отходов может подвергаться утилизации.
Например, зола, полученная в процессе выработки электроэнергии на тепловой электростанции может использоваться как строительный материал, заменяя в отдельных случаях цемент. Другой пример — сточные воды путем очистки могут перерабаты ваться в чистые и т.д. В итоге из вредных отходов за счет соответствующих технологических решений могут выделяться полезные ингредиенты. Естественно, что такая переработка (утилизация) связана с определенными затратами полезных продуктов, а в процессе ее реализации возможно появление дополнительных вредных отходов. С учетом этих обстоятельств модель (1.14) должна быть обобщена в следующую модель
Теорема об оценке близости для уравнения с линейным оператором
Тем самым оператор іїх = (Д Аг)х + f оставляет инвариантным отрезок (и ,vj, который является ограниченным (в силу нормальности К) по норме замкнутым и выпуклым множеством. Поэтому из полной непрерывности этого оператора на основании принципа Шаудера неподвижной точки существует решение z є (її ,v ) уравнения х - Их , а это означает, что существует решение системы уравнений (1.18). Ясно, что в условиях теоремы 3.7 компоненты х , у решения являются элементами конуса К. Теорема доказана. Глава 4. Нелинейные модели межотраслевого баланса с дифференцируемыми вогнутыми операторами. Положительная обратимость 1. Нелинейные модели межотраслевого баланса с вогнутыми операторами. Положительная обратимость По мере создания теории линейных операторов, возникла необходимость развития теории нелинейных операторов. Существенный вклад в развитие теории нелинейных операторов, действующих в полуупорядоченных пространствах, внесли Л.В. Канторович и М.А. Красносельский. В работах Красносельского М.А. была создана теория изогнутых операторов, являющаяся развитием исследований П.С. Урысона по теории нелинейных интегральных уравнений и представляющая одно из заметных достижений теории нелинейных операторных уравнений.
Эта теория в значительной степени использует свойство Ио-измеримости множества значений оператора F на элементах х є К и заключается в том, что существует некоторый элемент щ є К, щ в такой, что выполняется неравенство для некоторых а = а(х) 0 и Д = р\х) 0. Это свойство позволяет сравнивать между собой значения оператора F на разных элементах х}, х2 конуса К. Согласно (4.1) имеем для xh х2: где а, 0, Д 0, і = 1, 2, откуда Возможность сравнивать между собой любые значения оператора F(x) на всех ненулевых элементах конуса К является важным свойством, т.к. в полуупорядоченном пространстве не всегда бывают сравнимы между собой элементы, иными словами, не всегда для двух данных элементов и, ve К можно подобрать такие t}, t2, чтобы выполнялись неравенства Свойство (4.1) называется свойством мд-измеримости множества значений оператора F(x) на множестве элементов х є К. Другим важным свойством вогнутых операторов является следующее свойство: для всех х 9я всех t є (0; 1) существует ij{t, х) 0, такое, что Уравнения с положительными м -измеримыми монотонными и вогнутыми операторами обладают важными свойствами составляющими содержание теории М.А. Красносельского - И.А. Бахтина вогнутых операторов. Другой подход к изучению уравнений с вогнутыми операторами был использован в работах Р. Беллмана и Р. Калаба. Их подход применим к дифференцируемым операторам и базируется на понятии вогнутой функции, принятом в математическом анализе: функция у = Дх), определенная для х є [а, Ь] называется вогнутой на [а, Ь], если она дифференцируема на [а, Ь] и для любых лс;, Х2 є [а, Ь] выполняется условие: Заметим, что это определение отличается от приведенного выше. Теория Беллмана и Калаба уравнений с вогнутыми операторами, при соответствующем развитии понятия вогнутости на векторнозначные функции векторного аргумента, естественно, в деталях отличается от теории М.А. Красносельского.
В частности, Беллман и Калаба не предполагают наличие свойства %-измеримости множества значений оператора F(x), его монотонности, в то время как подход П.С. Урысона и М.А. Красносельского не требует от оператора свойства дифференцируемости. Подход Беллмана и Калаба (при соответствующем его развитии) в случае, когда область определения оператора F{x) конечномерна, был использован в диссертации Т.И. Денисенко. В этом параграфе мы развиваем подход Беллмана и Калаба для произвольного (не обязательно конечномерного) банахового пространства Е, в отличие от исследования Т.И. Денисенко, в котором предполагалось, что пространство Е = Rn, т.е. конечномерное.
Достаточные условия существования неотрицательного решения модели Леонтьева-Форда
Большое внимание уделяется получению различных эффективных оценок сверху и снизу решений модели Леонтьева-Форда, а также новым признакам существования положительных решений у этой модели. В то время, как в работах математиков Воронежской школы подробно изучались нелинейные модели с вогнутыми (в смысле М.А. Красносельского) операторами, в математической литературе рассматривается и другой подход к понятию вогнутого оператора, восходящий к работам крупных американских математиков Р. Беллмана и Р. Калаба. Изучение уравнений с вогнутыми операторами в смысле указанных двух авторов, проводится в главе 4 диссертационной работы. В частности, рассматривается вопрос о признаках продуктивности нелинейных моделей с вогнутыми операторами, а также изучается сходимость метода последовательных приближений Ньютона и модифицированного метода Ньютона к решению нелинейного уравнения. Особый интерес в этой связи представляет теорема 4.8, в которой положены условия, при которых скорость сходимости является квад ратичной (это означает, что каждое следующее приближение вдвое увеличивает число верных знаков, найденного приближенного решения).
Следует из математической строгости постановки задачи и методов ее решения, а также из совпадения полученных результатов с известными из литературы для частных случаев.
Полученные в работе результаты позволяют решить задачу о существовании положительного решения у нелинейных экономико-математических моделей Леонтьева и Леонтьева-Форда с немонотонными операторами. Найдены новые подходы для численного расчета соответствующих новых классов нелинейных моделей. А так же для метода Ньютона-Канторовича установлена «квадратичная скорость» сходимости к решению. Это означает, что в процессе построения приближений число верных знаков каждого последовательного приближения увеличивается вдвое.
Основные результаты диссертационной работы докладовались на научно-практических конференциях Северо Кавказского государственного университета (1999, 2000, 2001 г.г.), на II международной конференции «Циклы».
По теме диссертации издано 9 научных публикаций, из которых 7 тезисов докладов и 2 научные статьи. Эти работы выходили на внутри вузовских, межвузовских и международной конференциях. 1. Постановка и исследование нового класса экономико математических задач: модель Леонтьева-Форда, учитывающая экологическое состояние окружающей среды, а также возможно сти утилизации вредных отходов (линейный и нелинейный вари анты модели), с которым связаны принципиально новые типы операторных уравнений. Отыскание условий существования по ложительного решения у модели содержащей операторы не об ладающие свойством положительности, а также элементы не яв ляющееся положительными 2. Использование для исследования этого нового класса задач эле ментов теории псевдометрических пространств и принципов не подвижной точки для операторов действующих в таких про странствах. 3. Новые необходимые и достаточные условия существования неотрицательного решения у модели Леонтьева-Форда. 4. Новые подходы к исследованию нелинейных моделей межотраслевого баланса с вогнутыми смысли Беллмана-Калаба операторами, позволяющие более детально исследовать уравнения с дифференцируемыми по Фреше операторами, а также исследование интегрального метода приближенного решения, основанного на линеаризации нелинейных уравнений с вогнутыми операторами.
Положительно обратимые операторы. Признаки положительной обратимости
Существует несколько подходов к определению вогнутого оператора, в главе 4 изучается уравнение с вогнутыми в смысле Красносельского операторами [25]. Понятие вогнутого по Красносельскому оператора развивает понятие вогнутого в смысле Урысона П.С. [26] интегрального оператора. Смысл его заключается в следующем: оператор F[xJ, определенный на элементах конуса К называется м0 - вогнутым (здесь н0 в фиксированный элемент), если для всякого х всуществуют такие а =а(х) 0 и/? = Дх) 0, что
Уравнения с вогнутыми операторами возникают при изучении нелинейного уравнения межотраслевого баланса вида (0.24), где F(x) - вогнутый оператор затрат. Вогнутость F(x) имеет соответствующий экономический смысл, означающий, что при увеличении вектора валового выпуска х полезного продукта в t раз (t 1) затраты F(x) возрастают не более чем в t раз. Другой подход к понятию вогнутого оператора, предложенный в работах Р. Беллмана и Р. Калаба [11] состоит в следующем естественном обобщении понятия вогнутости дифференцируемой функции. Дифференцируемый оператор F(x) действующий в полуупорядоченном пространстве с конусом К оказывается вогнутым относительно К, если для любых векторов xltx2 є К имеет место неравенство
Приведенные два определения вогнутости являются достаточно близкими (хотя и не тождественными), мы изучаем, в основном, уравнение (0.29), в котором вогнутость оператора F(x) понимается в смысле наличия у него свойства (0.30). Геометрический смысл этого свойства состоит (в одномерном случае) в том, что касательная к графику вогнутой функции у = F(x), проведенная в точке графика (х, F(x)), располагается над этим графиком. При изучении уравнений с вогнутыми операторами важную роль играют и используются всевозможные признаки, позволяющие устанавливать, когда оператор А\ обратный к данному линейному оператору А существует и обладает свойством положительности: А 0! В этом случае А называется положительно обратимым. Известны разнообразные достаточные условия обеспечивающие наличие соответствующего свойства у данного линейного оператора А [ 19, 28, 30, 40]. Так же в этой главе диссертации устанавливаются некоторые новые признаки такого типа. Приведем один из них. Теорема 4.2. Пусть конус К] содержит квазивнутренние элементы, А,В- линейные операторы, действующие изЕ; вЕ2с конусамиК} иК2 соответственно, причем ;\ причем для некоторых квазивнутренних элементов vo, vy конуса Kj и некоторого а 0 выполняется неравенство Пусть для оператора А существует обратный оператор, причем выполнено одно из условий: 1) оператор А 1 {А -В) вполне непрерывен; 2) конус К/ нормален, оператор А \А - В) является щ-ограниченным сверху, где щ є К], щ Ф 0; 3) оператор А]{А - В) квазивполне непрерывен, Kj - нормальный конус. Тогда существует В , причем В в. Далее в главе 4 изучается уравнение (0.29) с вогнутым в смысле Р. Беллмана и Р. Калаба [11] оператором F(x). Основной результат этой главы содержится в следующей теореме: Теорема 4.8. Пусть выполнены условия: F(x) - монотонный дифференцируемый вполне непрерывный вогнутый оператор, причем, производная F (x) является неразложимым оператором. Пусть для некоторого внутреннего элемента щ конуса К (т.е. щ » в) выполнено условие Тогда для каждого с 0 уравнение (0.29) имеет и притом единственное решение х = х (с) 0, т.е. модель (0.29) продуктивная при любом с 0, где с — const и для отыскания валового выпуска х =х (с) применим метод последовательных приближений сходящийся к х (с) при любом начальном приближении х0. Глава 5 «Оценка «близости» решений двух «близких» уравнений». В ней рассматривается вопрос об оценке близости решений двух близких (в определенном смысле) уравнений. Одним из методов изучения математических моделей является метод, основанный на составлении уравнения, которому удовлетворяет искомая величина. Естественно, что в процессе вывода уравнения нам приходится пренебрегать некоторыми величинами; ибо полный учет всех величин может так осложнить задачу, что оставит мало надежд на ее разрешение. По этому возникает вопрос о «цене» подобных упрощений: не получится ли так, что пренебрежение некоторыми «малыми» величинами «сильно» скажется на решении двух уравнений («реального» и полученного в результате упрощений).
