Содержание к диссертации
Введение
1 Основные уравнения 9
1.1 Квазиклассическая теория сверхпроводимости 9
1.2 Поверхностные состояния 16
2 Низкотемпературная аномалия в эффекте Мейсснера 19
2.1 Отклик Андреевских поверхностных состояний на магнитное поле 23
2.2 Связь низкотемпературной глубины проникновения с числом состояний в сверхпроводнике 27
2.3 Эффект Мейсснера 28
2.3.1 Борновские примеси 30
2.3.2 Унитарные примеси 32
2.4 Спонтанный ток 33
2.5 Заключительные замечания 35
3 Нелинейный эффект Мейсснера при низких температурах 37
3.1 Нелинейный отклик андреевских состояний 38
3.2 Нелинейный эффект Мейсснера в нелокальном режиме . 44
3.2.1 Влияние примесей и поверхностных уровней 49
3.3 Заключительные замечания 50
4 Влияние беспорядка у поверхности на транспортные свойства сверхпроводников 52
4.1 Примесные состояния 54
4.1.1 Точечная примесь вблизи (110) поверхности 55
4.1.2 Волновая функция примесного уровня в рамках квазиклассической теории сверхпроводимости 60
4.1.3 Волновая функция примесного состояния в рамках уравнений Горькова 65
4.2 Модель приповерхностного грязного слоя 69
4.2.1 Влияние поверхностных дефектов на нулевой уровень 72
4.2.2 Случай малой поверхностной концентрации дефектов 74
4.2.3 Припороговая концентрация дефектов 81
4.2.4 Грязный слой произвольной толщины 92
4.2.5 Большая концентрация примесей 94
4.3 Заключительные замечания 100
Заключение 103
- Поверхностные состояния
- Связь низкотемпературной глубины проникновения с числом состояний в сверхпроводнике
- Нелинейный эффект Мейсснера в нелокальном режиме
- Волновая функция примесного уровня в рамках квазиклассической теории сверхпроводимости
Введение к работе
Теоретические и экспериментальные исследования транспортных и термодинамических свойств сверхпроводящих соединений являются важными для понимания природы сверхпроводящего состояния в этих веществах. Многие экспериментальные факты, в том числе и фазочувствительные исследования, свидетельствуют в пользу того, что параметр порядка в купратиых высокотемпературных сверхпроводниках, сверхпроводниках с тяжёлыми фермиона-ми и в соединении Sr2Ru04 является сильно анизотропным, принимая различные значения в зависимости от направления распространения квазичастицы [1,2,3,4] (а также литература указанная в этих обзорах). Наличие в сверхпроводнике параметра порядка с анизотропным спариванием может существенно повлиять на их физические свойства, по сравнению с аналогичными свойствами изотропных s-волновых сверхпроводников. В частности, анизотропный параметр порядка подавляется в окрестностях примесей, границ разделов, поверхностей и других иеоднородностей, тогда как в s сверхпроводниках параметр порядка нечувствителен к примесям и границе с вакуумом или диэлектриком. Также, теорема Андерсона о нечувствительности критической температуры к немагнитным примесям оказывается неприменимой к сверхпроводникам с анизотропным спариванием.
Те сверхпроводящие фазы, для которых параметр порядка обращается в ноль вдоль некоторых направлений импульса на поверхности Ферми обладают степенной зависимостью плотности состояний при малых энергиях. Показатель степени зависит от закона обращения в ноль параметра порядка. В случае линий нулей показатель степени равен единице. При низких температурах такое поведение плотности состояний приводит к степенной зависимости объёмных значений глубины проникновения магнитного поля, теплоёмкости, теплопроводности от температуры, в отличие от экспоненциальной зависимости соответствующих величин в сверхпроводниках без нулей параметра порядка [1,2,3,4].
Примеси, границы раздела, поверхности и другие неоднородности могут приводить к формированию специфических для сверхпроводящего состояния энергетических уровней, называемых андреевскими связанными состояниями. Важную роль в их формировании играет андреевское отражение от ыеоднородностей амплитуды параметра порядка или его фазы. Эти состояния существуют только при наличии сверхпроводящего параметра порядка и отсутствуют выше критической температуры. Критерии формирования таких состояний существенно отличаются в случае изотропных 5-волновых сверхпроводников и сверхпроводников с анизотропным спариванием. Связанное состояние на примеси в s сверхпроводнике образуется только на магнитных примесях [5,6], тогда как в сверхпроводнике с dx2_y2 спариванием на изолированной примеси с достаточно сильным потенциалом рассеяния образуется виртуальное связанное состояние с малой энергией [7,8]. Аналогичные состояния формируются в сверхтекучем 3Не [9], который является представителем сверхтекучей Ферми системы с р-волновым типом спаривания.
Аналогично примесному рассеянию, зеркальное отражение квазичастиц от непроницаемой отражающей стенки или границы раздела подавляет параметр порядка в сверхпроводниках с анизотропным спариванием в прилегающей области. Кроме того, вблизи таких границ на масштабе длины когерентности образуются связанные андреевские состояния [10,11,12,13,14,15,16,17]. Их энергия определяется анизотропной структурой параметра порядка и его пространственной зависимостью около поверхности, а также в случае контакта двух сверхпроводников - разностью фаз параметра порядка по разные стороны границы. Одними из наиболее обсуждаемых в литературе связанных состояний в с^г^-волновом сверхпроводнике являются андреевские связанные состояния на непроницаемой границе с нулевой энергией [10,11,12,13,14,15,16,17]. Они возникают благодаря андреевскому отражению квазичастиц от изменения фазы параметра порядка на 7Г вдоль траектории квазичастиц. Формирование таких состояний можно описывать, в частности, в модели несамосогласованного пространственно однородного рас- пределения параметра порядка. Учёт андреевских состояний с малой энергией важен при вычислении различных физических величин при низких температурах. В частности, предполагается, что эти состояния ответственны за формирование пика в дифференциальном кондактансе при нулевом напряжении [11,12,15], аномальное поведение критического джозефсоновского тока [18] и за появление минимума в температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля [19,20,94,21].
Связанные поверхностные состояния чувствительны к различным случайным неоднородностям, в том числе и к шероховатости самой поверхности. При низких температурах основной вклад в амплитуду рассеяния квазичастиц дают статические дефекты, такие как примеси, дефекты структуры и случайная неровность поверхности. Существует несколько теоретических методов описания шероховатых поверхностей. Один из подходов основан на представлении шероховатой поверхности в виде непроницаемой стенки со случайным профилем. В работах [23,22] сделан обзор этой модели в приближении слабой вариации профиля в применении к нормальным металлам. Обобщение этой модели на сверхпроводящее состояние проделано в работах [24,25,26,27]. Некоторые возможные обобщения модели случайно взволнованной поверхности на случай шероховатости произвольной силы изложены в работах [28,29]. Одной из разновидностей этой модели, учитывающей только крупномасштабные неоднородности поверхности является, так называемая, „модель случайно ориентированных зеркал" [30,15]. Другой подход к рассмотрению беспорядка в сверхпроводнике состоит в моделировании его потенциалом хаотично распределённых примесей. Шероховатость поверхности в этом случае описывается введением тонкого приповерхностного слоя примесей. Большей поверхностной концентрации рассеивателей соответствует большая шероховатость поверхности. Так как вблизи поверхности неупорядоченности обычно больше, чем в объёме, то поверхностный примесный слой может также рассматриваться как реально существующий беспорядок в сверхпроводнике, а не модель шероховатой поверхности. Широко также используются микроскопические подходы, пытающиеся описать шероховатость поверхности в рамках решёточных моделей со случайным потенциалом на узле (см. например [31]).
Существует множество экспериментов, которые указывают на необычный характер спаривания в таких высокотемпературных сверхпроводниках, как YBa2Cu307-
Другой особенностью магнитного отклика сверхпроводников с нулями параметра порядка, является нелокальность воздействия магнитного поля на квазичастицы с импульсами вблизи нулей параметра порядка, даже в сверхпроводниках сильно второго рода [36]. Это обстоятельство особенно важно при низких температурах, когда возбуждены только эти квазичастицы. Такое проявление нелокальности существенно, в частности, при вычислении низкотемпературного поведения глубины проникновения [36,37,95] и геометрии вихревой решётки [38,39].
Изложение материала построено следующим образом. В главе 1 выписаны уравнения квазиклассической теории сверхпроводимости, использующиеся в аналитических и численных расчётах данной работы. Глава 2 посвящена нахождению линейного отклика андреевских связанных поверхностных состояний в сверхпроводниках с анизотропным параметром порядка. Найдено выражение для глубины проникновения магнитного поля в зависимости от температуры, учитывающее как вклад объёма, так и поверхностных состояний. Найдены ограничения на длину свободного пробега квазичастиц при которых существует низкотемпературная аномалия глубины проникновения и спонтанный поверхностный ток. В главе 3 исследовалась зависимость глубины проникновения от магнитного поля (нелинейный эффект Мейсснера), Выведены формулы для нелинейной поправки появляющейся при наличии андреевских поверхностных уровней с малой энергией. Также получено аналитическое выражение для нелинейной поправки к глубине проникновения в нелокальном пределе при ориентациях не допускающих формирование поверхностных уровней. Глава 4 посвящена исследованию влияния приповерхностной неупорядоченности на андреевские поверхностные уровни и транспорт квазичастиц через них. Получено выражение для энергии примесного уровня в случае примеси лежащей вблизи поверхности. Найдена значительная пороговая поверхностная концентрация примесей разделяющая два режима влияния примесей на андреевский поверхностный уровень с нулевой энергией. Представлены результаты численного расчёта туннельного дифференциального кондактанса при разных поверхностных концентрациях примесей и силы их рассеивающего потенциала.
Поверхностные состояния
Связанным андреевским состояниям локализованным вблизи поверхности сверхпроводника с законом дисперсии в{р/) соответствуют полюса квазиклассической гриновской функции при энергии є = 6B{PJ)- На гладкой поверхности или границе раздела сверхпроводников могут формироваться связанные состояния (см. например работу [17] и указанную там литературу). В случае зеркально отражающей непрозрачной поверхности х — 0 из уравнения (1.26) видно, что полюса гриновской функции совпадают с решением следующего уравнения
Из уравнения (1.20) несложно найти поведение функции і] вблизи энергии связанного состояния (1.28) Знак верхнего предела в интеграле в (1.28) выбирается таким образом, чтобы он совпадал со знаком х. В результате из уравнений (1.26) и (1.28) і-іаходим, что гринов екая функция вблизи энергии связанного состояния ведет себя следующим образом [17]
Здесь Д(р/) -эффективный поверхностный параметр порядка Удобно также ввести следующее обозначение
Важным случаем, который понадобится в дальнейшем, является формирование поверхностного уровня с нулевой энергией в сверхпроводнике с анизотропным спариванием. Решение уравнения (1.20) при малых энергиях и не зависящей от координат фазе параметра порядка имеет вид
Из уравнения (1.32) видно, что поверхностный уровень с нулевой энергией существует в том случае, если параметр порядка меняет свой знак при отражении квазичастицы от поверхности ф{р/) = ф(р.) + п. В этом важном случае, поверхностного уровня с нулевой энергией выражение для полюсной части гриновской функции (1.29) и эффективного поверхностного параметра порядка (L30) существенно упрощаются Эти формулы будут широко использоваться в следующих главах.
Выражения для полюсного слагаемого (1.29) (и (1.33) для нулевого уровня в частности) в гриновской функции справедливо только достаточно близко к энергии поверхностного состояния, так чтобы выполнялось неравенство І5а(р/,:с;є) тг. Кроме того, при выводе формул этого раздела предполагалось, что магнитное поле и примесное рассеяние отсутствует. Изучению влияния этих факторов на андреевские связанные состояние посвящены следующие главы.
Низкотемпературное поведение глубины проникновения магнитного поля в сверхпроводник с d спариванием является, вообще говоря, значительно более сложным чем в обычных изотропных 5-волновых сверхпроводниках. Изменение знака параметра порядка в зависимости от направления импульса на поверхности Ферми приводит к формированию низкоэнергетических или нулевых андреевских поверхностных связанных состояний на гладких поверхностях или границах раздела [10,11,12,13,14,15,16]- Эти связанные состояния ответственны за низкотемпературную аномалию глубины проникновения [19,20,94,21].
Экспериментальное наблюдение минимума в температурной зависимости глубины проникновения магнитного поля в УВа СизОт-г [19,20,21] и Bi2Sr2CaCu208-cS [21] можно рассматривать как подтверждение существования андреевских связанных состояний с низкой энергией. При обычном эффекте Мейсснера с понижением температуры глубина проникновения уменьшается, что соответствует усилению сверхпроводящих корреляций при удалении от критической температуры. С другой стороны парамагнитный вклад андреевских поверхностных состояний увеличивает глубину проникновения. Учёт этих двух эффектов приводит к появлению минимума в температурной зависимости глубины проникновения. Как будет показано далее, характерная температура положения минимума Тт0 равна по порядку величины \/,а/\оТс ; Тс, если уширение связанного состояния достаточно мало. При этих температурах вклад андреевских связанных состояний в глубину проникновения сравнивается по величине с температурной поправкой к глубине проникновения от экранирующих токов, текущих в глубине сверхпроводника. В работе [48] предложено другое объяснение появления минимума в температурной зависимости глубины проникновения, которое основано на парамагнитном отклике низкоэнергетических связанных примесных состояний. В такой модели минимум существует даже в отсутствии поверхностных связанных состояний с малой энергией.
Минимум в температурной зависимости глубины проникновения наблюдается также в некоторых веществах с парамагнитными ионами, магнитная восприимчивость которых растёт с понижением температуры [49], таких, например, как Ndi.85Ceo.i5Cu04_ s. В этом веществе парамагнетизм возникает за счёт ионов Nd3 [50,51]. Особенности отклика такого рода веществ на магнитное поле далее обсуждаться не будут.
Другой важной характерной температурой связанной с глубиной проникновения является Ts {о/Х0)Тс. Если для заданной кристаллической ориентации андреевские поверхностные связанные состояния отсутствуют, то при температурах меньших Ts низкотемпературная поправка к глубине проникновения определяется нелокальными эффектами [36]. При ориентациях допускающих формирование андреевских состояний с малой энергией, поправка связанная с нелокальностыо отклика значительно меньше парамагнитного вклада поверхностных уровней во свей рассматриваемой низкотемпературной (X Тс) области. В чистом пределе, при температурах Т TS парамагнитный вклад андреевских состояний в глубину проникновения сравнивается с А0. Если при таких температурах дополнительная компонента параметра порядка ещё не появилась у поверхности, то за счёт парамагнитного вклада андреевских состояний вдоль поверхности начинает течь спонтанный ток при температурах ниже Тв [52,53]. Имея ввиду высокотемпературные соединения, будем рассматривать только сверхпроводники сильно II рода
Связь низкотемпературной глубины проникновения с числом состояний в сверхпроводнике
В пределе чистого сверхпроводника и локальной связи тока с полем можно получить довольно универсальное соотношение между локальной плотностью состояний и глубиной проникновения магнитного поля, причём это соотношение будет справедливо и в неоднородном сверхпроводнике.
Будем предполагать, что неоднородность сверхпроводника, возникающая, например, из-за наличия границы, приводит к небольшой поправке к глубине проникновения магнитного поля. В этом случае можно воспользоваться общей формулой (С.11), которая в локальном приближении имеет вид
В локальном приближении гриновскую функцию сверхпроводника в магнитном поле можно получить из гриновской функции сверхпроводника в от е сутствии поля с помощью замены є — єЛ—Vfty(pf)A(x). Тогда ядро линейного отклика сверхпроводника можно записать в виде Интегрирование no частям по энергии в (2.11) даёт следующий результат
Будем считать, что первое слагаемое в (2.12) является основным, а второе - небольшой поправкой. Для этого должно выполняться, по крайней мере, неравенство Т S, Тс. Тогда, в соответствии с формулой (2.10), получаем Выражение (2.13) для поправки к глубине проникновения является довольно общим и позволяет анализировать как вклад объёма сверхпроводника, так и поверхностных андреевских уровней в глубину проникновения магнитного поля. При малых температурах интегрирование во втором слагаемом правой части (2,13) благодаря производной Ферми функции распределения f(e) производится только по небольшой области вблизи нуля (є Т). Если з существенной для интегрирования области энергий можно пренебречь зависимостью примесной собственно-энергетической части а(х\с) от энергии, то формула (2.13) остаётся справедливой и в присутствии примесного рассеяния.
Низкотемпературное поведение глубины проникновения магнитного поля существенно зависит от типа спаривания в сверхпроводнике. Смена знака параметра порядка на поверхности Ферми приводит к формированию низкоэнергетического поверхностного уровня в d-волновом сверхпроводнике. Его вклад в глубину проникновения магнитного поля можно вычислить с помощью соотношения (2.13), где (р/,х;е) является локальной плотностью состояний. Вдали от поверхности (ж ) в качестве локальной плотности состояний в (2.13) можно подставить объёмное значение плотности состояний. Вблизи поверхности (х о) и при низких температурах основной вклад в интеграл в (2.13) дают поверхностные андреевские уровни с нулевой энергией, описываемые полюсным слагаемым (1.33) в квазиклассической гриновской функции. Используя эти соображения, произведём интегрирование по энергии и пространственной переменной, в результате чего получим следующее выражение для глубины проникновения магнитного поля
Здесь через величину Лт/А(Т) обозначено значение глубины проникновения магнитного поля при пренебрежении влияния поверхностных состояний. Функция Q(pf) равна единице для тех направлений импульса, при которых существуют андреевские состояния с нулевой энергией и нулю - для осталь ных направлений. Ограничение снизу по температуре применимости формулы (2.14) возникло из требования малости вклада поверхностных уровней в глубину проникновения магнитного поля по сравнению с XQ. Выход за рамки этого приближения произведён в разделе 2.4. Для трёхмерной сферической поверхности Ферми XQ = 3c2/(8-Ke2v jNf)t а коэффициент перед вторым слагаемым в (2.14) тогда равен 37г/(8!Гг ). Аналогично для модели квазидвумерного сверхпроводника с цилиндрической поверхностью Ферми XQ = c2/(47re7vjNf), а коэффициент равен 7r/(ATvj). В частности, для dx2_yi-волнового сверхпроводника с цилиндрической поверхностью Ферми с осью симметрии параллельной поверхности и приложенному магнитному полю несложно найти, что где J3 — а + (тг/4) - угол между нормалью к поверхности и направлением на ноль параметра порядка. При низких температурах и рассматриваемой геометрии з модели сверхпроводника с dx2_y2 симметрией параметра порядка зависимость ХШк(Т) является линейной \шЬ(х) = х0 + а -Х0. Числовой параметр а определяется конкретной угловой зависимостью параметра порядка. В частности, в модели параметра порядка Д(р/) = Aosiri2 p находим а « 0.32. Вклад нулевых уровней (второе слагаемое в (2.14)) в глубину проникновения имеет довольно универсальный вид. Он не зависит от пространственного изменения параметра порядка вблизи поверхности и конкретной анизотропной структуры (базисной функции). Поэтому эта поправка зависит только от типа спаривания, который определяет области поверхности Ферми с противоположными знаками параметра порядка. Зависящие от температуры слагаемые в (2.14), обусловленные экранирующими токами (первое слагаемое) и низколежащими поверхностными уровнями (второе слагаемое), имеют абсолютно различное поведение. С одной стороны, усиление экранирующих токов с понижением температуры уменьшает глубину проникновения. Тогда как, парамагнитный ток текущий через андреевские поверхностные состояния с нулевой энергией увеличивается с понижением температуры, что приводит к увеличению глубины проникновения. В результате совместного действия этих факторов в температурной зависимости глубины проникновения появ ляется минимум. Пренебрегая уширением нулевых уровней, легко получить из (2.14) следующую оценку положения минимума в температурной зависимости глубины проникновения: где - численная константа порядка единицы практически для всех кристаллических ориентации, допускающих нулевые уровни . Иначе - небольшая величина. В случае йх1„уг-волнового сверхпроводника ос sin3/? — cos3 /? J и равна, в частности, нулю при (5 = 45 (т. е. а = 0), когда поверхностные состояния отсутствуют вообще. Уширение нулевых уровней может существенно изменить условия существования минимума в температурной зависимости глубины проникновения. Слабое уширение 7(Р/) Тс может быть учтено заменой множителя І/є в полюсной части гриновской функции на 1/ (є + il{Pf])- В такой модели уширения вместо (2.14) получаем: Здесь ф(х) - дигамма функция и ф (х) - её производная.
Дальнейшая оценка положения минимума и условие его существования зависит существенно от типа рассеивателей. Борновские примеси практически не меняют линейный температурный закон поведения \Шк (Г) в рассматриваемой области температур, что нельзя сказать о влиянии унитарных примесей приводящих к квадратичному поведению глубины проникновения с температурой.
Как будет показано, уже очень небольшое количество борновских примесей существенно влияют на вклад андреевских поверхностных уровней с нулевой энергией в глубину проникновения. При этом можно считать, что температурная зависимость А " (Т), обусловленная экранирующими токами текущими в объёме сверхпроводника, не меняется при внесении примесей. В модели сг2_уг-волнового сверхпроводника с цилиндрической поверхностью
Нелинейный эффект Мейсснера в нелокальном режиме
Характер нелинейной поправки к глубине проникновения очень чувствителен ко взаимному положению нулей параметра порядка и направлением протекания экранирующего тока. Это связано с тем, что вклад в нелинейную поправку от экранирующих токов в глубину проникновения при малых температурах дают квазичастицы с малой энергией (є Т), а следовательно, с импульсами близкими к направлению на нули параметра порядка. Отклик на магнитное поле таких квазичастиц становится нелокальным при температурах Т Т т о если магнитное поле меняется вдоль траектории квазичастицы. В этом случае квазичастица распространяется в переменном магнитном поле и учет нелокальности отклика становится необходим. Эти рассуждения справедливы даже для такого высокотемпературного соединения сильно второго рода, как УВа2Сиз07-б
Если взаимная ориентация внешнего поля и поверхности относительно кристаллических полей такова, что указанные нелокальные эффекты существенны, то как показано в [37] учёт нелокальных эффектов меняет \Н\ закон для нелинейной поправки к глубине проникновения на квадратичный. Используемое авторами работы [37] приближение, однако, приводит к завышенному приблизительно на порядок результату. В [95] проведены вычисления нелинейной поправки к глубине проникновения с учётом влияния нслокаль-ности отклика квазичастиц, свободные от недостатков подхода используемого в [37].
Особенно простое выражение для нелинейной поправки к глубине магнитного поля в сверхпроводник получается в том случае, если саму нелинейную поправку к глубине проникновения и вклад поверхностных состояний можно рассматривать как малую поправку к глубине проникновения. Если ориентация сверхпроводника такова, что андреевские поверхностные состояния с нулевой энергией отсутствуют, то это требование, фактически, всегда выполнено в сверхпроводниках II рода в мейсснеровском состоянии. Учет нелинейности отклика приводит к следующей формуле для нелинейной поправке к глубине проникновения
Дальнейшее изложение основано на аналитическом разложении решения уравнений Эйленбергера (1.1), (1.2) по степеням магнитного поля. Это означает, что неаналитические поправки, появляющиеся при некоторых кристаллических ориентациях [64,65,37], не могут быть найдены с помощью излагаемого подхода. При выводе будем использовать мацубаровские гриновские функции. Представим все величины в виде рядов по степеням внешнего магнитного поля
Чётные порядки в разложении электрического тока отсутствуют в силу соотношений симметрии. Выражая j {x) через гриновскую функцию с помощью (1.11) , получаем
Выражение (3.1S) для нелинейной поправки к глубине проникновения является довольно общим. Оно применимо в случае пространственно неоднородного распределения параметра порядка и содержит вклад, как массива сверхпроводника, так и поверхностных состояний. При его выводе предполагалось лишь возможность аналитического разложения всех величии по степеням магнитного поля, а также малость параметра /А.
При произвольных ориентациях кристаллических осей относительно плоскости yz аналитическое нахождение g (pf,x\wn) невозможно из-за пространственной неоднородности параметра порядка (подавление у границы сверхпроводник-вакуум), что делает невозможным даже нахождение гриновскоЙ функции нулевого приближения. Поэтому далее будет рассмотрена частная ситуация пространственно однородного параметра порядка, которая реализуется в случае равенства параметра порядка для падающего и отражённого направления импульса (например в модели d-волнового сверхпроводника с цилиндрической поверхностью Ферми и параметром порядка A(pf,r) — ofp/,1 — Pf /Pf)- В этом случае гриновская функция нулевого приближения, как легко видеть, не зависит от пространственных координат, что позволяет найти явное аналитическое выражение для g (pj,x;uin). Также будет предполагаться, что рассеянием квазичастиц на примесях можно пренебречь. Влияние примесей и ориентации кристалла качественно обсуждается в конце статьи.
Для пространственно однородного распределения параметра порядка и векторного потенциала А(х) = А(д)ехр( х/Х0) несложно найти решение уравнения (1.20) с точностью до третьего порядка по магнитному полю
Подставим (3.19) в выражение для грииовской функции (1.23) и выделим слагаемые третьего порядка по магнитному полю. Тогда из (3.18) после довольно громоздких преобразований получаем окончательное выражение для нелинейной поправки к глубине проникновения с Безразмерный параметр а характеризует степень влияния нелокальности. Локальный предел соответствует случаю а 1. Основной вклад в усреднение по поверхности Ферми в (3.20) дают области импульсов вблизи нулей параметра порядка Д(р/) тах.(Т,Т ). Далее, для простоты, анализ нелинейной поправки (3.20) будет проводится в модели йхг„у? сверхпроводника с цилиндрической поверхностью Ферми, ось симметрии которой направлена вдоль магнитного поля. Параметр порядка выберем в виде Д(р/) = Досоз2 , где V? - угол между нормалью к поверхности сверхпроводника и направлением импульса. Параметр Ао в этой модели равен y/c2/(47re2Nfv j).
При температурах Т ; Т сумму по мацубаровским частотам в (3.20) можно заменить интегралом, который берётся аналитически
Волновая функция примесного уровня в рамках квазиклассической теории сверхпроводимости
Покажем теперь как в рамках квазиклассического приближения можно найти волновую функцию связанного состояния, локализованного вблизи примеси. Рассмотрим сначала безграничный сверхпроводник с изолированной точечной примесью. Параметр порядка такой системы не предполагается пространственно однородным. Задачей этого раздела будет нахождение ква-зиклассической гриновской функции такой системы. Для этого необходимо решить уравнение (4.1). Представим гриновскую функцию сверхпроводника в виде
Следует отметить, что значение 5д не предполагается малым по сравнению с до- Функция 5д удовлетворяет тому же уравнению Эйленбергера, что и функция д. Вдали от примеси 8д стремится к нулю. Отсюда ясно, что для траекторий не проходящих через примесь функция 5д тождественно равна пулю на всей траектории. Всюду за исключением точки расположения примеси функция 8д должна удовлетворять однородному уравнению Эйленбергера, общее решение которого приведено в приложении В. Будем поэтому искать 5д в виде
Здесь l± - двумерный вектор, задающий положение в плоскости перпендикулярной траектории в точке І, Сі и С2 являются постоянными интегрирования, выражения для функций д\ и д2 выписаны в приложении В. Для простоты будем считать, что постоянная 1с в определении функций ді и д2 (В.2)-(В.З) равна нулю. Также примем, что нулевое значение вектора 1± означает прохождение траектории через примесь. Для определения постоянных интегрирования Сі и С2 подставим (4.15) в (4.1) и проинтегрируем полученное соотношение по небольшой сферической окрестности примеси. Из полученного соотношения и свойств функций д\ и д2, приведённых в приложении В нахо Полученные формулы (4.15)-(4.17) решают задачу о нахождении гриновской функции безграничного сверхпроводника в присутствии изолированной примеси. Рассмотрим теперь, как обобщаются предыдущие результаты на случай сверхпроводника с зеркальной границей. Важное отличие такой системы от безграничного сверхпроводника состоит в том, что импульс квазичастицы может меняться вдоль траектории. В частности, в определении функций д\ и 2 в (В.2) и (В.З) подр/ следует понимать функцию положения на траектории Р/{1). Отметим, что функции i и д% удовлетворяют правильному граничному условию на поверхности ді{р/,г;є) - ?і(р_гЛ 0 и ЫР/ г;е) = fo(gftr;).
При наличии границ у сверхпроводника может существовать несколько траекторий, соединяющих примесь и точку г, поэтому будем искать 5д в виде (4.18) Здесь суммирование по индексу „г" означает перебор всех траекторий дающих ненулевой вклад в 5д. В случае полубесконечного сверхпроводника с зеркальной границей суммирование ограничено двумя траекториями, указанными на рисунке 4.1.
Рассмотрим снова задачу о точечной примеси расположенной вблизи зеркальной непрозрачной поверхности анизотропного сверхпроводника, причём ориентация его такова, что существуют поверхЕ-юстные уровни с нулевой энергией. Как было показано в предыдущем разделе, в этом случае для бор-новских рассеивателей (й С 1) примесное состояние хорошо определено, а его энергия расположена около нуля, что позволяет воспользоваться полюсным приближением для гриновской функции, В этом приближении формула
Аргумент l\mp у p/ означает, что значение импульса на „г"-той траектории берётся в точке нахождения примеси. Для простоты все дальнейшие формулы этого раздела будут получены в предположении (110) ориентации зеркальной поверхности относительно кристалла сверхпроводника.
Рассмотрим примесное состояние, соответствующее полюсу іц (є) компоненты i-матрицы рассеяния. В окрестности полюса функция ц(є) предсталі вима в виде іц(є) =
Для изотропной точечной примеси из (4.2) находим їц = uimp- Тогда квадрат модуля боголюбовской амплитуды щтр(г) примесной волновой функции усреднённый по осцилляциям на масштабе 1/р/ можно вычислить используя соотношение (А.36). В модели сверхпроводника с цилиндрической поверхностью Ферми и пространственно однородного па Система координат выбрана таким образом, что примесь расположена в точке (х = Ximp,y = 0). Из (4.20) видно, что волновая функция в окрестности примеси имеет сложный анизотропный вид. Значение волновой функции убывает при удалении от примеси или от поверхности, причём характер этого затухания меняется от степенного до экспоненциального, в зависимости от того, с какой стороны подходить к примеси. Области медленного спадания волновой функции расположены вблизи траекторий квазичастиц уходящих на бесконечность вдоль направления па ноль параметра порядка. Эти направления ответственны за уход квазичастиц с примеси и определяют уширение примесного уровня, поэтому вдоль таких направлений волновая функция в виде (4.20) становится неприменимой. При приближении к примеси волновая функция (4.20) формально расходится. Однако квазиклассический подход не позволяет подходить к примеси очень близко, что ограничивает применимость (4.20) неравенством pfl ї% 1 (I - расстояние до примеси). Значение квадрата модуля боголюбовской амплитуды тр(г)2 в окрестности примеси убывает в среднем как 1/х{тр при удалении примеси от поверхности. Вычислим туннельную плотность состояний сверхпроводника с одиночной
Здесь величина D{pj) является прозрачностью туннельного барьера на границе сверхпроводник/нормальный металл. При наличии примеси туннельная плотность состояний зависит от положения на поверхности р. Разобьём VD{P\) на две части. Первая часть (і/о,о) будет определяться гриновской функцией t/o, а вторая {5vD) - Sg. Необходимо отметить, что хотя VD,O не является постоянной вдоль поверхности из-за подавления параметра порядка около примеси, будем считать, что основное отличие туннельной плотности состояний для системы с примесью и без неё описывается слагаемым 5VD-Из (4.19) и (4.21) находим выражение для туннельной плотности состояний через локальную плотность состояний на поверхности
Плотность состояний на поверхности, вычисленная по гриновской функции (4.19), выглядит следующим образом
