Введение к работе
Актуальность темы
Значительная часть встречающихся в природе и используемых в промышленности и быту веществ относится к сыпучим материалам. Это песок, грунты, руды, уголь, снег, все порошковые и зернистые тела.
Проблемы безопасности при угрозе схода лавин и оползней, при строительстве и эксплуатации шахт и других сооружений тесно связаны со знанием и прогнозированием поведения сыпучих сред. Организация хранения и транспортировки зерна и угля также предполагает обязательный учёт специфики этих хозяйственно важных веществ. Традиционной отраслью металлообработки стала порошковая металлургия.
Всемерное развитие технологий вовлекает сыпучие материалы в новые производственные процессы. Гранулярные вещества сегодня используются при штамповке и вытяжке деталей трубопроводов в самолётостроении. Адекватное применение нанопорошков многократно увеличивает трещиностойкость керамик.
В ряду наиболее характерных качеств сыпучих материалов, проявляющихся при статических нагрузках, выделяются их заметная податливость к уплотнению и способность к самоорганизации.
Выраженную податливость на сжатие демонстрируют все сыпучие среды, по крайней мере, при большой нагрузке. Так, согласно натурным измерениям, пористость каменистой карбонатной породы на глубине нескольких километров убывает в десять раз по сравнению с её значением на поверхности. Плотность снега на глубине нескольких метров возрастает более чем вдвое.
Существенное уплотнение наблюдается и в лабораторных испытаниях по радиальному магнитно-импульсному компактированию наноразмерных порошков. Кроме того, в этих опытах отчётливо проявляется неоднородность распределения плотности по сжимаемому образцу, что свидетельствует и о неоднородном распределении напряжений. Природа указанной неоднородности объясняется самоорганизацией в толще образца неких устойчивых структур, однако вопрос о характере распределения в ней плотности и напряжений и о направленности такой самоорганизация остаётся открытым.
Теория сыпучих сред пока далека от завершения. Для математического описания каждых вновь получаемых опытных данных различные группы учёных зачастую подбирают каждый раз новые эмпирические формулы или феноменологические трактовки.
Построению теории, удовлетворительно описывающей некоторые важные свойства сыпучей среды, может способствовать применение мультипликативного подхода к установлению взаимосвязи между её параметрами. Такой подход к моделированию материала с сильно нелинейными свойствами может оказаться более перспективным, чем обычно применяемый аддитивный подход, воплощённый, например, в законе Гука.
Цель работы состоит в попытке количественного описания эффекта сжимаемости сыпучей среды и формирования в ней при радиальном сжатии неравнокомпонентного напряжённого состояния путём построения модели, основанной на гипотезе о соответствии между аддитивностью тензора напряжений среды и мультипликативностью её пористости.
Задачи исследования:
1) выполнить критический анализ существующих моделей деформирования сыпучих сред и проанализировать результаты экспериментов по их поведению под массовой и поверхностной нагрузкой;
2) разработать мультипликативный подход к анализу взаимосвязи пористости и напряжений у сжимаемых сыпучих сред и построить на его основе математическую модель их деформирования;
3) проанализировать созданную модель с точки зрения её места среди других моделей сплошной среды;
4) исследовать равновесие сжимаемой сыпучей среды под массовой нагрузкой, в том числе во внешнем однородном поле тяготения, в собственном поле тяготения и при стационарном вращении в вертикальной центрифуге, а также в задачах типа Ламе с неподвижной внутренней границей, в том числе в отсутствие у нагружаемого тела внутренней полости;
5) сравнить полученные теоретические выводы с опытными данными, используя вычислительные методы и специально разработанные программы для ЭВМ.
Научная новизна диссертационного исследования определяется следующими его результатами:
1) выдвинута оригинальная система гипотез. Среди них — гипотеза о существовании у сыпучей среды только трёх типов мезоскопического состояния (мезоскопических типов): гидростатического, колончатого и сводчатого;
2) выведена показательная зависимость пористости от среднего напряжения и необходимость существования новой материальной константы — уплотняемости, характеризующей податливость сыпучей среды к уплотнению;
3) выведена линейная взаимосвязь главных напряжений. Причём линейный коэффициент этой связи (названный мезоскопическим фактором) охарактеризован как количественный признак соответствующего мезоскопического типа;
4) определены значения мезоскопического фактора в «сыпучих» задачах Ламе для всех типов мезоскопического состояния;
5) впервые рассмотрена и решена задача типа Ламе для тела без полости при неравнокомпонентном напряжённым состоянии;
8) разработаны два пакета программ для ЭВМ, сопоставляющих прогнозы модели с опытными данными по известнякам, снегу и нанопорошкам.
Практическая ценность диссертации вытекает из возможностей применения построенной модели в прикладных программах инженерного анализа, в том числе в строительстве, горном деле, порошковой металлургии и нанотехнологиях. Результаты диссертации могут быть полезны при изучении и прогнозировании природных явлений в области геологии, гидрофизики и геодинамики.
На защиту выносятся следующие положения, полученные в рамках построенной модели:
1) пористость сыпучей среды экспоненциально зависит от среднего напряжения через материальную константу, характеризующую податливость к уплотнению. В соответствующих предельных случаях уравнения, описывающие сыпучие вещества, переходят в уравнения классических моделей веществ газообразных, жидких и твёрдых;
2) главные напряжения сыпучей среды связаны линейной зависимостью через мезоскопический фактор, характеризующий тип мезоскопического строения моделируемого материала. Общее по мезоскопическому фактору решение задачи типа Ламе имеет структуру решения задачи в классической постановке, охватывая классическое решение как частный случай. Применительно к сыпучей среде задача типа Ламе для тела без полости может иметь неравнокомпонентное решение. Мезоскопический фактор в «сыпучих» задачах Ламе с неподвижной внутренней границей принимает в плоском пространстве значение , в объёмном пространстве — значение .
3) прогнозы построенной модели хорошо согласуются с показаниями опытов. Это, во-первых, натурные измерения уплотнения с глубиной залежей известняка (на глубине до 5.5 км) и снежных сугробов (на глубине до 10 м) и, во-вторых, лабораторные испытания по радиальному магнитно-импульсному компактированию наноразмерных порошков в капсулах радиусом 6 мм.
Достоверность полученных результатов обоснована корректностью процедуры вывода определяющих соотношений модели из её исходных допущений, не вытекающих из общих законов механики и им не противоречащих, а также корректностью постановки и решения рассмотренных задач на основе этих общих законов и определяющих соотношений. Кроме того, найденные решения хорошо согласуются с известными из литературы опытными данными, а определяющие соотношения предложенной модели сыпучих тел в соответствующих случаях переходят в уравнения классических моделей других классов веществ.
Апробация результатов работы осуществлялась в ходе «XXXIII Дальневосточной математической школы-семинара имени академика Е.В. Золотова» (Владивосток, 29 августа — 4 сентября 2008 г.), на Международном симпозиуме «Образование, наука и производство: проблемы, достижения и перспективы» (Комсомольск-на-Амуре, 2628 октября 2010 г.) и на регулярных научных конференциях ФГБОУ ВПО «КнАГТУ» 20072011 гг.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из Введения, четырёх глав, Заключения и библиографического списка. Объём диссертации — 127 страниц, включая 20 рисунков. Список литературы содержит 127 наименования трудов отечественных и зарубежных авторов.
Публикации
Материалы диссертационного исследования в основном изложены в двенадцати научных трудах. Из них четыре статьи напечатаны в изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией РФ. Зарегистрированы две программы для ЭВМ. Конспект одной из опубликованных работ автора вошёл в Реферативный журнал ВИНИТИ за 2009 г.
