Введение к работе
Актуальность темы
Значительная часть встречающихся в природе и используемых в промышленности и быту веществ относится к сыпучим материалам. Это песок, грунты, руды, уголь, снег, все порошковые и зернистые тела.
Проблемы безопасности при угрозе схода лавин и оползней, при строительстве и эксплуатации шахт и других сооружений тесно связаны со знанием и прогнозированием поведения сыпучих сред. Организация хранения и транспортировки зерна и угля также предполагает обязательный учёт специфики этих хозяйственно важных сыпучих веществ. Традиционной отраслью металлообработки стала порошковая металлургия.
Всемерное развитие технологий вовлекает сыпучие материалы во всё новые производственные процессы. Гранулярные вещества сегодня используются при штамповке и вытяжке деталей трубопроводов в самолётостроении. Адекватное применение нанопорошков многократно увеличивает трещиностойкость керамик.
В ряду наиболее характерных качеств сыпучих материалов, проявляющихся при статических нагрузках, числятся их заметная податливость к уплотнению и способность к самоорганизации.
Выраженную податливость на сжатие демонстрируют все сыпучие среды, по крайней мере, при большой нагрузке. Так, согласно натурным измерениям, пористость каменистой карбонатной породы на глубине нескольких километров убывает в десять раз по сравнению с её значением на поверхности. Плотность снега на глубине нескольких метров возрастает более чем вдвое.
Существенное уплотнение наблюдается и в лабораторных испытаниях по радиальному магнитно-импульсному компактированию наноразмерных порошков. В этих опытах также отчётливо проявляется и неоднородность распределения плотности по сжимаемому образцу, что, в свою очередь, свидетельствует о неоднородном распределении напряжений. Природа указанной неоднородности объясняется самоорганизацией в толще образца неких устойчивых структур, однако вопрос о характере распределения в нём плотности и напряжений и о направлении, в котором происходит самоорганизация порошка, остаётся не до конца закрытым.
Теория сыпучих сред пока далека от завершения. Для математического описания каждых вновь получаемых опытных данных различные группы учёных часто подбирают новые эмпирические формулы или феноменологические трактовки.
Построению теории, удовлетворительно описывающей некоторые свойства сыпучей среды, может помочь применение мультипликативного подхода к установлению взаимосвязи между её параметрами. Такой подход к моделированию материала со столь сильно нелинейными свойствами может оказаться более перспективным, чем обычно применяемый аддитивный подход, воплощённый, например, в законе Гука.
Цель работы состоит в попытке количественного описания эффекта сжимаемости сыпучей среды и формирования в ней при радиальном сжатии неравнокомпонентного напряжённого состояния путём построения модели, основанной на гипотезе о соответствии между аддитивностью тензора напряжений среды и мультипликативностью её пористости.
Задачи исследования:
1) выполнить критический анализ существующих моделей деформирования сыпучих сред и проанализировать результаты экспериментов по их поведению под массовой и поверхностной нагрузкой;
2) разработать мультипликативный подход к анализу взаимосвязи пористости и напряжений у сыпучих сред и построить на его основе математическую модель деформирования сжимаемых сыпучих сред, учитывая в создаваемой модели способность сыпучей среды к самоорганизации и условие текучести Кулона–Мора;
3) проанализировать созданную модель с точки зрения её места среди других моделей сплошной среды;
4) исследовать равновесие податливой на уплотнение сыпучей среды под массовой нагрузкой, в том числе во внешнем однородном поле тяготения, в собственном поле тяготения и при стационарном вращении в вертикальной центрифуге, а также в задачах типа Ламе с неподвижной внутренней границей, в том числе в отсутствие у нагружаемого тела внутренней полости;
5) сравнить полученные в приложениях результаты с имеющимися опытными данными, используя вычислительные методы и специально разработанные программы для ЭВМ.
Научная новизна диссертационного исследования определяется следующими его результатами:
1) выдвинута оригинальная гипотеза о соответствии между аддитивностью тензора напряжений сыпучей среды и мультипликативностью её пористости. Из этой гипотезы в системе с гипотезой о функциональной связи пористости и главных напряжений установлены основные определяющие уравнения новой модели сжимаемой сыпучей среды. Выведены показательная зависимость пористости от среднего нормального напряжения и необходимость существования новой материальной константы, характеризующей податливость сыпучей среды к уплотнению (уплотняемость);
2) из основных определяющих уравнений модели выведена линейная взаимосвязь главных напряжений сыпучей среды. Введён новый атрибут сплошной среды, ответственный за мезоскопическое состояние моделируемого ею материала (конформация). Одновременно с этим определён представленный в уравнениях модели количественный макроскопический признак (конформационный множитель), отражающий особенности такого состояния. Указаны значения, приобретаемые конформационным множителем в некоторых важных приложения универсальной модели сплошной среды: во-первых, при всестороннем сжатии или растяжении изотропного материала, во-вторых, в классических задачах Ламе и, в-третьих, у сыпучего материала при радиальном сжатии с неподвижной внутренней границей. Решены задачи Ламе для сыпучей среды в плоском и в объёмном пространстве. В их числе — задачи типа Ламе для тела без полости при неравнокомпонентном напряжённым состоянии.
Практическая ценность диссертации вытекает из возможностей применения построенной модели в прикладных программах инженерного анализа и использования полученных решений в разнообразных инженерных расчётах, в том числе в строительстве, горном деле, порошковой металлургии и нанотехнологиях. Результаты диссертации могут быть полезными при изучении и прогнозировании природных явлений в области геологии, гидрофизики и геодинамики. При помощи разработанных в рамках диссертационного исследования комплексов программ можно анализировать опытные данные о деформации сыпучих сред в поле земного тяготения, а также при компактировании радиально действующими поверхностными силами.
На защиту выносятся следующие положения, полученные в рамках построенной модели:
1) пористость сыпучей среды экспоненциально зависит от среднего нормального напряжения через материальную константу, характеризующую податливость сыпучей среды к уплотнению (уплотняемость). В соответствующих предельных случаях уравнения, описывающие сыпучие вещества, переходят в уравнения классических моделей газообразных, жидких и твёрдых веществ;
2) главные напряжения сыпучей среды связаны линейной зависимостью через константу, характеризующую тип мезоскопического строения материала — конформационный множитель (). Сыпучая среда способна принимать различные мезоскопические состояния. Они отражаются в характере соответствующего атрибута (конформации) моделирующей её сплошной среды. Можно выделить конформации гидростатическую и сводчатую.Общее по конформационному множителю решение задачи типа Ламе имеет ту же структуру, что решение задачи Ламе в классической постановке и охватывает последнюю как частный случай. Применительно к сыпучей среде задача типа Ламе для тела без полости может иметь нетривиальное (неравнокомпонентное) решение и в плоском, и в объёмном случае. Конформационный множитель в «сыпучих» задачах Ламе с неподвижной внутренней границей (линейный коэффициент преобразования радиального напряжения в напряжение окружное) принимает в 2-мерном пространстве значение , в 3-мерном пространстве — значение . Конформационные превращения сыпучей среды являются фазовыми переходами второго рода.
Достоверность полученных результатов подтверждается согласованностью теоретического прогноза построенной модели с имеющимися опытными данными. Это, во-первых, данные натурных измерений по уплотнению с глубиной залежей известняка (на глубине до 5500 м) и снежных сугробов (при глубине до 10 м) и, во-вторых, данные лабораторных испытаний по радиальному магнитно-импульсному компактированию наноразмерных порошков.
Апробация результатов работы осуществлялась в ходе XXXIII Дальневосточной математической школы-семинара имени академика Е.В. Золотова» (Владивосток, 29 августа — 4 сентября 2008 г.), на Международном симпозиуме «Образование, наука и производство: проблемы, достижения и перспективы» (Комсомольск-на-Амуре, 2628 октября 2010 г.) и на регулярных научных конференциях ФГБОУ ВПО «КнАГТУ» 20072011 гг.
Структура и объём работы
Диссертация состоит из Введения, четырёх глав, Заключения, библиографического списка и Приложения. Объём диссертации — 129 страниц, включая 21 рисунок. Список литературы содержит 124 наименования трудов отечественных и зарубежных авторов. В Приложении представлены комплексы программ для ЭВМ, разработанные в рамках диссертационного исследования.
Публикации
Материалы диссертационного исследования в основном изложены в девяти научных трудах. Из них три статьи напечатаны в изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией РФ. Конспект одной из опубликованных работ автора вошёл в Реферативный журнал ВИНИТИ за № 9 от 2009 г.
