Содержание к диссертации
Введение
1. Исходная схема полустатистического метода и доказательство сходимости в пространстве непрерывных функций 11
1.1.Краткая схема полустатистического метода 11
1.2.Некоторые соглашения и обозначения 13
1.3. Доказательство сходимости полустатистического метода в пространстве непрерывных функций (основные теоремы) 15
1.3.1. Вспомогательные рассуждения и леммы 15
1.3.2. Основные теоремы о сходимости полустатистического метода и следствия из них 25
1.4. Основные итоги главы 1 32
2. Модернизация полустатистического метода 33
2.1. Наводящие соображения и мотивировка модернизации 33
2.2. Теоремы сходимости для модернизированного полустатистического метода 39
2.3. Описание модернизированного полустатистического метода 45
2.3.1. Методика расчета. Формула для приближенного решения 45
2.3.2. Способы оценивания дисперсии в процессе вычислений 46
2.3.3. Оптимизация расстановки узлов случайной сетки интегрирования 47
2.3.4. Практические рекомендации и замечания к схеме модернизированного полу статистического метода 49
2.3.5. Итоговый анализ предложенной схемы 53
2.4. Результаты численных экспериментов 54
2.4.1.Конкретные цели численных экспериментов 54
2.4.2.Численный эксперимент 1 56
2.4.3.Численный эксперимент 2 64
2.4.4.Численный эксперимент 3 72
2.5. Основные итоги главы 2 76
3. Применение модернизированного полустатистического метода к задаче обтекания плоской решетки газотурбинных профилей 78
3.1.Введение 78
3.2.Формулировка задачи обтекания лопатки 79
Основные соотношения модернизированного полу статистического метода для задачи обтекания 82
3.5.Аналитическое задание контура лопатки 83
3.6.Алгоритм применения модернизированного полустатистического метода к задаче обтекания решетки профилей 87
Результаты численного моделирования 89
3.6.1. Расчет скорости на лопаточных профилях 89
3.6.2. Анализ эффективности адаптации плотности 95
3.6.3. Расчеты на тестовых решетках 97
3.7. О выводе обобщенной формулы Коши для обтекания решетки профилей 102
3.8. Исследование непрерывности ядра интегрального уравнения задачи обтекания 107
3.9. Основные итоги главы 3 111
4. Применение модернизированного полустатистического метода к решению внутренней задачи Дирихле в трехмерном пространстве 113
4.1. Введение 113
4.2. Формулировка задачи и переход к интегральному уравнению 114
4.3. Регуляризация интегрального уравнения и формулы для приближенного решения 115
4.4. Оценка точности решения и алгоритм численного расчета 118
4.5. Оптимизация алгоритма 120
4.6. Примеры численного моделирования 122
4.7. Основные итоги главы 4 129
Заключение 130
Список литературы
- Доказательство сходимости полустатистического метода в пространстве непрерывных функций (основные теоремы)
- Теоремы сходимости для модернизированного полустатистического метода
- Основные соотношения модернизированного полу статистического метода для задачи обтекания
- Регуляризация интегрального уравнения и формулы для приближенного решения
Введение к работе
Целью настоящего диссертационного исследования является
совершенствование численных методов решения интегральных
уравнений. В качестве «готового» метода, подлежащего изучению и совершенствованию, выбран сравнительно новый полустатистический (адаптивно-стохастический) метод решения интегральных уравнений, разработанный в 80-90 годах прошлого века в основном Д.Г Арсеньевым, В.М. Ивановым, и О.Ю. Кульчицким. [1,7,8,37] Следует отметить, что к интегральным уравнениям сводятся многие задачи математической физики [34,31,46] поэтому развитие приближенных методов решения этих уравнений имеет прикладной интерес. Приближенным методам решения интегральных уравнений, разработанным ранее полустатистического, уделено много места в физико-математической литературе [13,17,25]. Дадим краткий обзор основных приближенных методов решения интегральных уравнений:
1) Метод замены ядра уравнения вырожденным ядром, хорошо
аппроксимирующем исходное ядро. [17,49,34] Достоинством этого метода
является простота, с которой (по крайней мере, при малом ранге
вырожденного ядра) оценивается погрешность [17]. Однако, этот метод
трудно поддается постановке на машину, так как удачный выбор
вырожденного ядра требует большого искусства от вычислителя. Кроме
того, чтобы найти элементы системы алгебраических уравнений, нужно
вычислить большое число интегралов. [17]
2) Метод механических квадратур. [17,13 ] Суть этого метода заключается
в замене интеграла конечной суммой по какой-либо квадратурной
формуле. [9] Этот метод значительно более прост в машинной реализации,
чем предыдущий. При достаточно гладких ядре и решении интегрального
уравнения он имеет высокую скорость сходимости. К недостаткам метода
можно отнести сильное усложнение квадратурных формул при переходе к
многомерному случаю [12,23,42] и тот факт, что узлы интегрирования задаются заранее самим вычислителем (невозможность автоматической адаптации сетки интегрирования).
3)Метод Галеркина [17,25,13,49], в котором приближенные решения ищутся в виде конечных разложений по какой-либо полной координатной системе функций. Недостатки метода-трудность получения системы алгебраических уравнений: надо взять большое количество интегралов. Преимущество метода Галеркина в сравнении с методом механических квадратур состоит в том, что скорость сходимости зависит от гладкости решения , но не от гладкости ядра. [17]
Заметим, что никакой из перечисленных методов не использует статистические операции, поэтому условимся называть их детерминированными [1,19], в противовес методам, использующим генерацию случайных чисел и статистические оценки для получения приближенных решений. Из приведенного беглого обзора видно, что основным детерминированным методам свойственны следующие недостатки:
1)болыпая трудоемкость при постановке на машину, особенно в многомерном случае (в случае уравнений на отрезке прост только метод квадратур).
2) невозможность автоматической оптимизации вычислений в силу жесткой фиксации узлов интегрирования или координатных функций.
Поэтому оправдано обращение к статистическим методам интегрирования, которые, хотя и проигрывают в скорости сходимости, но свободны от вышеозначенных недостатков. Разумеется, что речь не идет об абсолютной замене детерминированных методов статистическими, однако, по-видимому, существуют классы задач, при решении которых статистические методы, будучи усовершенствованными, будут более эффективны, чем детерминированные. Поэтому в диссертации проделана
работа по сравнению эффективности полустатистического метода и метода квадратур при решении задач различного рода.
Помимо изучаемого в диссертации полустатистического метода, из разработок в области статистического решения интегральных уравнений следует отметить еще более молодой проекционно-статистический метод[6], теоретически разработанный В.М.Ивановым и М.Л. Кореневским. Кроме того, автору представляется плодотворным изучение вопроса об эффективности подхода к решению интегральных уравнений при помощи случайных квадратурных формул. [19,32] Однако, по этой теме серьезных исследований пока не осуществлялось и литературу по ней обнаружить не удалось, хотя, на первый взгляд, идея достаточно очевидная.
Что касается решения задач математической физики, решаемых при помощи интегральных уравнений, то следует отметить , что многие задачи (например, стационарная задача теплопроводности, задача обтекания решетки потенциальным потоком идеальной жидкости, задачи теории упругости) могут быть решены без использования интегральных уравнений, в частности методом конечных элементов [36], методом контрольных объемов [39], методом конформных отображений. [44] Вышеперечисленные методы также весьма трудоемки, поэтому нуждаются в конкуренции, которую и призваны составить хорошо разработанные численные методы решения интегральных уравнений.
Впервые метод решения интегральных уравнений, содержащий детерминированные и статистические операции, и поэтому названный полустатистическим, был предложен в [1,9,37] и использовался при решении стационарных задач вибропроводности и теории упругости, где его применение было достаточно успешным [1, 12, 37].
Полустатистический метод имеет ряд приятных особенностей сравнительно с детерминированными (методами, не использующими
генерацию случайных чисел для расстановки узлов интегрирования), в частности:
оптимизация расстановки узлов сетки численного интегрирования с целью уменьшения погрешности вычислений производится автоматизировано, на основе адаптивного алгоритма.
для многомерных областей основные соотношения метода остаются почти неизменными по сравнению с одномерным случаем, тогда как в случае детерминированных методов формулы численного интегрирования усложняются при переходе к большим размерностям.
имеется возможность получения оценки точности приближенного решения в процессе вычислений, используя тот или иной выборочный показатель статистической вариации.
К недостаткам полустатистического метода относится сравнительно невысокая скорость сходимости, свойственная, впрочем, всем методам, основанным на законе больших чисел.
В ходе вычислительной практики, предшествовавшей написанию
диссертации, выяснилось, что при численном решении стационарной
задачи теплопроводности и задачи потенциального обтекания
газотурбинных профилей потоком идеальной жидкости
полустатистический метод, применяемый согласно «классической», первоначальной схеме, приведенной в основных источниках [1,7,37] работает недостаточно эффективно. Даже при использовании адаптивного алгоритма оптимальной расстановки узлов интегрирования, который традиционно считается одной из сильнейших сторон метода, при некоторых граничных условиях не удавалось получить приближенные решения удовлетворительной точности. Причины тому могло быть две: либо при данных параметрах интегрального уравнения сходимость полустатистического метода не имеет места, либо количество узлов
случайной сетки интегрирования, ограниченное возможностями современной вычислительной техники, слишком мало для решения данных задач. Последнее рассуждение привело к идее модернизации полустатистического метода (с целью обойти проблему нехватки узлов сетки интегрирования), и к необходимости математически строго исследовать вопрос о том, при каких условиях имеет место сходимость метода. Решению этих проблем, а также применению полустатистического метода в усовершенствованном, «модернизированном» виде к двум задачам математической физики: задаче обтекания решетки газотурбинных профилей и стационарной задаче теплопроводности посвящено настоящее диссертационное исследование. Ввиду того, что, как выше указано, полустатистический метод имеет ряд неоспоримых достоинств по сравнению с другими методами, данное исследование представляется актуальным.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.
Первая глава посвящена исследованию сходимости «классической» схемы полустатистического метода в пространстве непрерывных функций. Доказаны теоремы о вероятностной равномерной сходимости метода, и теорема о вероятностной невырожденности матрицы линейной системы, возникающей по ходу решения.
Во второй главе проведена модернизация метода. Рассмотрены наводящие соображения, доказаны две теоремы, являющиеся теоретической основой модернизации. Теоретически выяснено, в каких случаях, встречающихся в вычислительной практике, модернизация должна быть эффективна. Численными экспериментами подтверждена практическая важность всех деталей модернизации.
В третьей главе рассматривается применение модернизированного полустатистического метода к задаче обтекания решетки газотурбинных профилей потенциальным потоком несжимаемой жидкости. Исходные данные по профилям взяты из расчетно-конструкторской практики. Кроме того, исследован характер сходимости метода на тестовых решетках. В конце главы находится параграф, касающийся обобщенной интегральной формулы Коши.
Четвертая глава посвящена применению модернизированного полустатистического метода к стационарной задаче теплопроводности. Проведена регуляризация интегрального уравнения и рассмотрены тестовые примеры. Приведена эффективная формула для расчета температуры как вдалеке, так и вблизи поверхности тела.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в работе. Большинство результатов диссертации опубликовано в статьях [2,3,4,5].
Доказательство сходимости полустатистического метода в пространстве непрерывных функций (основные теоремы)
Таким образом, рдг(х)-это погрешность вычисления интеграла \K(x,y)y (y)dy в точке х методом Монте-Карло на выборке X размером
Так как в процессе вычислений полустатистическим методом мы заменяем систему линейных уравнений (1.6) приближенной системой (1.3) (с той же матрицей), то для практических вычислений необходимо соблюдение двух условий: а) Матрица системы (1.3) должна быть неособенной (желательно-не слишком близка к особенной). б) Погрешность Рд, (л:) должна стремится к нулю с ростом А .
Так как метод Монте-Карло-вероятностный по своей природе, то интуитивно ясно, что эти условия должны выполняться не на любой выборке X, а только на большей части таких выборок, то есть с большой вероятностью, в пределе-с вероятностью единица. Более точный смысл этих слов выяснен ниже в процессе доказательства. Рассмотрим систему линейных уравнений X»K(Xi,Xj) Ф - 1- /= Л (/ = W; (L7) и функциональное уравнение в пространстве C(D): . . Х»К(х,х,) ФМ-Ё-ТТ (Ж;) = Л ); XGZ) (L8) - y=i P\Xj) Уравнение (1.8) можно короче записать: Я Ф = / (1.9) Лемма 1.1 Т Однозначная разрешимость системы (1.7) при фиксированном Nc вероятностью единица равносильна однозначной разрешимости уравнения (1.9) в пространстве C(D).
Будем считать все элементы выборки X := (х,, х2,... xN) различными. Вероятность, что при фиксированном N в выборке X будет два или более одинаковых элемента, равна нулю в силу непрерывности распределения случайных векторов xt (i-\,N). (требование различности элементов выборки существенно для доказательства). Допустим, что уравнение (1.9) однозначно разрешимо. Для любого вектора с компонентами ft (i = l,N) построим непрерывную функцию f(x). такую, что f(xt) - ft (і = \,N). (это можно сделать всегда при условии, что элементы выборки X различны). Рассмотрим решение ф(х) уравнения (1.9) при заданной таким способом f(x). Тогда числа ф( = ф(х,) (/ = 1, N) будут удовлетворять системе (1.7).
Таким образом, система (1.7) разрешима при любой правой части, следовательно, она однозначно разрешима. Обратно, пусть система (1.7) разрешима для любой правой части. Для произвольной feC(D) рассмотрим систему уравнений Пусть числа фг (/ = 1,JV) -решения системы (1.10). Тогда функция ф(х) = — V — ф + f{x) будет удовлетворять функциональному М P(Xj) уравнению
Следовательно, уравнение (1.9) разрешимо для любой правой части. Для доказательства однозначной разрешимости заметим, что операторы KN при фиксированной выборке X конечномерны, следовательно, компактны. Значит, имеет место альтернатива Фредгольма, и из разрешимости уравнения (1.9) при любой правой части следует однозначная разрешимость. Таким образом, исследование вопроса об однозначной разрешимости системы (1.7) можно заменить исследованием вопроса об однозначной разрешимости функционального уравнения (1.9), что и будет сделано в целях упрощения доказательства сходимости полустатистического метода. Лемма 1.2 ТДля любой фиксированной функции ф(х)єС(/)), и любых произвольно заданных чисел є 0 и а 0 существует число N\, зависящее только от є, ст и ф, такое, что \/N N\ верно неравенство ( 3xeD; Л х—1 \" 5 І ) Г / \ / \ Я J=l P\Xj) D o.Y Так как функция К(х,у)ф(у) равномерно непрерывна на DxD, то м можно представить компакт D в виде Z) = (jA5 , где множества As s=\ (s = 1, М) обладают следующими свойствами: а)Внутренности множеств А5 не пересекаются, а сами множества As являются либо замкнутыми m-мерными кубами с одной и той же стороной 8, либо пересечениями таких кубов с компактом D. б) VJC Є AS УХ" Є AS при фиксированном s выполнено равенство \к(х\у) (у)-К{х\у (у} А при VyeD.
Теоремы сходимости для модернизированного полустатистического метода
Методика расчета. Формула для приближенного решения
Из доказанных выше результатов вытекает следующий алгоритм модернизированного полустатистического метода:
1) При фиксированном N провести L0 итераций «классического» полустатистического метода [1], запоминая их результаты, и вычисляя на каждой итерации норму обратной матрицы, согласованную с кубической нормой в R N.
2) Пользуясь некоторым критерием «отсева», исключить из рассмотрения итерации, при которых норма обратной матрицы слишком велика (превосходит величину, установленную этим критерием).
3) Вычислить приближенное решение в точке наблюдения путем усреднения приближенных решений, получаемых в этой точке «классическим» полустатистическим методом на не исключенных итерациях.
4) По полученным в ходе вычислений статистическим данным оценить вариацию приближенной оценки точного решения и, в зависимости от полученной величины вариации, прекратить или продолжать вычисления, увеличивая число итераций.
Расчетная формула для приближенного решения такова: Ф м«Фь"Мів =-!-И )іяЧ. 2Л8 где L-количество отобранных итераций, символ BN обозначает то же событие, что и теореме 2.2, а выбор постоянной С5 будет зависеть от используемого критерия «отсева». Характер уменьшения вариации приближенных решений при увеличении количества итераций выражается неравенством (2.17), которое является очевидным следствием неравенства Чебышева:
Пусть BN -то же самое событие, что и в теореме 2.2. Дисперсию оценки qL N (х)\ BN можно контролировать по ходу вычислений двумя способами:
1) По итогам каждой итерации, удовлетворяющей условиям отсева, вычисляется величина К(х,х,) «iW J-Jr- 1 /( ) + 4t-4N(x)\BN .(/ = 1,1) (2.20) N N-\ к=\ РІХІ) ) Здесь L -количество итераций, оставшихся после отсева. Далее вычисляем величину Щх):=-ЩЪЦх)} (2-21)
2) Второй способ-это обычный способ вычисления стандартной ошибки выборочного среднего нормально распределенной генеральной совокупности. Оценку q N(x)\BN смело можно считать нормально распределенной, [15] так как это сумма большого числа (N) одинаково распределенных случайных величин К(х,х{) P(xt) \В N N (i = lN) Таким образом, получаем (2.22)
Далее, при ненулевом количестве L итераций, прошедших «отбор», можно строить доверительные интервалы для MypN(x)\BN} с уровнем значимости а по формулам: 4L N(x)\BN a-S\(x) M{q N(x)\BN} pL N(x)\BN +ta-b\(x) (2.23) или »(X)\BN a-b2(x)ZMfaN(x)\BN} vL-N{x)\BN+ta-b2(x) (2.24) В формулах (2.22) и (2.23) - - (\z \ (а - sL-l 0 V J где (х)-обратное распределение Стьюдента с L степенями свободы.
Заметим, что оценка стандартной ошибки, полученная по формуле (2.23), видимо, более надежна, так как использует больше информации о структуре случайной функции q N(x)\BN. Если оценка ф (х)\В смещена на достаточно малую величину (малость смещения обусловлена требуемой точностью расчета), то можно считать, что доверительные границы, полученные по формулам (2.23) и (2.24), являются доверительными границами для величины ср (х). При этом теорема 2.1 гарантирует, что при достаточно больших N смещение будет сколь угодно мало.
Один из способов подбора оптимальной плотности распределения случайных точек интегрирования подробно описан в книге[1]. В данной работе рассмотрен несколько другой подход, основанный на выше доказанных результатах.
Основные соотношения модернизированного полу статистического метода для задачи обтекания
Если обратиться к общей схеме полустатистического метода (пі.1), то в задаче обтекания решетки профилей в качестве поверхности S выступает контур L, а решению подлежит интегральное уравнение (3.1) с неизвестной функцией w(s). Напишем основные соотношения модернизированного полустатистического метода в терминах задачи обтекания. Пусть Wk (s)- значение приближенного решения в точке с длиной дуги s, полученное «классическим» полустатистическим методом на итерации с номером к. Обозначая через W/(s) усредненное приближенное решение, полученное после / итераций «классического» полустатистического метода при фиксированном числе N генерируемых случайных точек на каждой итерации, имеем к=\
Выборочное стандартное отклонение после / итераций «классического метода» вычисляется по формуле: 5/M=Afe-2 M (3-3) 1 к=\ где Dk -выборочная дисперсия по итогам одной итерации с номером к; N N(N-\) ( і V (3.4) 1 Wk(lm)+b{S)-Wk{S) p(L) V J Здесь /,,/2, /jy-случайные точки на отрезке [0,2ти], вброшенные на к -ой итерации, N - количество точек, генерируемых на каждой итерации, s -точка наблюдения. Значения Wk(lm) получаются в результате приближенного решения интегрального уравнения (3.1) «классическим» полустатистическим методом на к - ой итерации модернизированного полустатистического метода, то есть являются решениями системы уравнений і N Kil lj)-— MOTTS—WV J)- )- 0 = W (3.5) L ;=1 PVj) Далее, при произвольном s имеем на итерации с номером к 1 N K(s,lt)- W= W+-E—TTT W (3-6)
На входе в программу считаются известными декартовы координаты некоторого количества точек на контуре лопатки, достаточного для дальнейшей интерполяции, а также радиусы и координаты центров окружностей входной и выходной кромок лопатки (рис.3.2). Сначала вычисляются координаты точек сопряжения спинки и корыта с кромками. В данной работе для этого применен тот же метод, что и в программе УПИ [24,16], точки сопряжения находятся с помощью несложных геометрических построений. После нахождения координат точек сопряжения на образовавшихся входной и выходной кромках выбирается по 20 равноотстоящих точек, которые вместе с исходными точками спинки и корыта образуют точечный контур, подлежащий интерполяции. Исходные точки на спинке и корыте, а также 40 точек на кромках являются узлами интерполяции.
Исходные данные по контуру-точки на спинке и на корыте, а также окружности, на которых должны располагаться входная и выходная кромки профиля, полученного после интерполяции.
Интерполяционный контур строится следующим образом:
1) Точечный контур нумеруется против часовой стрелки, первая точка-середина выходной кромки, она же-последняя, всего ./V +1 точек.
2) Приближенно вычисляется длина L контура, как длина замкнутой ломаной линии, проходящей через вышеуказанные точки, по формуле N+1 і 2 ; 1=1 и.
3) Точке (хк,ук) с номером к ставится в соответствие число = -yiyl(xk-xk.if +(ук-Ук-\)2 если i; щ= (3.7) В результате ик-это (приближенно) длина дуги контура от середины выходной кромки до точки (хк,ук), нормированная на 2%. Нормировка не обязательна, она удобна для задания профиля рядами Фурье (в данной работе результаты, использующие тригонометрическую интерполяцию, не приводятся).
4) С помощью сплайновой интерполяции на отрезке 0 и 2тг строятся интерполирующие функции х{и) и у(и), удовлетворяющие условиям: х(ик ) = хк, у(ик) = ук , к = 1,2,...N +1. Эти функции имеют период 2%. 4) Параметрически заданная кривая х = х{и) где х{и) и у(и) -функции из предыдущего пункта, и является аналитическим заданием контура лопатки. Приведем построение сплайновой функции х(и), построение у(и) совершенно аналогично. Рассмотрим кубические функции с неопределенными коэффициентами gk(u) = Aku +Вки +Cku + Dk, где Ак,Вк,Ск, Dk находятся из системы уравнений: g (" -2) = A-2 8k(Uk-l) = Xk-\ 8к(иш) = хш Як(ик+і) = Хк+2 где = 1,2,.. JV; при этом х_2-х N-\ X ХЛ" XN+2 Х\ После нахождения неопределенных коэффициентов обозначим dk-g (uk). Далее рассмотрим другие кубические функции с неопределенными коэффициентами fk (и) = акиъ + bku2 + ски + dk, где ak,bk,ck,dk находятся из системы уравнений
Регуляризация интегрального уравнения и формулы для приближенного решения
При выводе интегрального уравнения задачи обтекания плоской решетки существенно используется так называемая «обобщенная формула Коши», впервые указанная, по-видимому, видным советским математиком и механиком Н. Е. Кочиным (1901-1944). [24] По крайней мере, более поздние источники [20,44,45] ссылаются именно на книгу [28]. Поскольку обобщенная формула Коши является фундаментом для расчета скорости обтекания методом интегральных уравнений, автора работы заинтересовал вывод этой формулы. Однако, математически строгого обоснования или вывода не обнаружилось ни в одной книге из просмотренных, в том числе и в первоисточнике. Приведем постановку задачи обтекания в терминах комплексной переменной. В комплексной плоскости имеется решетка профилей, фронт которой параллелен оси OY. Требуется найти скорость течения на обводах профилей по заданным скоростям на входе и на выходе из решетки. Считая течение в каналах между профилями потенциальным и соленоидальным, воспользуемся гидродинамической интерпретацией голоморфных (аналитических) функций комплексного переменного, согласно которой комплексно-сопряженная скорость w(z) является голоморфной функцией во внешности решетки. [50,41] Кроме того, считаем, что скорость w(z) периодична по мнимой оси, непрерывна на границах профилей и имеет пределы lim w(z) = w2 и lim w(z) = w,. Контуры профилей будем считать Rez- +00 RCZ-+-0G достаточно гладкими. Выбрав в решетке какой-нибудь профиль, обозначим его 10, остальные профиля занумеруем символами {Ь±к}к (ряс.З.Щ. 102 Рис 3.18 К выводу обобщенной формулы Коши. Шаг решетки обозначим t, таким образом, скорость w(z) будет являться периодической функцией с периодом it. Обобщенная формула Коши выглядит следующим образом: w(z) = - jcth -w( d + w0, (3.8) Ltl f t где w0 -некоторая постоянная. [28] Приведем, слегка видоизменив для краткости, то обоснование, которое дано в книге [28] (суть доказательства остается та же). Рассмотрим конечный набор профилей с индексами от -к до к включительно и обведем их контуром Rk (см. рис.3.18). Будем считать, что при росте индекса к контур Rk неограниченно увеличивается как в ширину, так и в длину, то есть, его диаметр стремится к бесконечности, при этом сами контуры вложены друг в друга. Поэтому, какую бы точку z комплексной плоскости мы не взяли, то, начиная с некоторого номера k, она будет содержаться во всех контурах Rk. Значит, для любой точки z, внешней к решетке, при достаточно больших к можем написать интегральную формулу Коши для многосвязной области [30] (все интегралы берутся против часовой стрелки). 2niRk \-z 2%i\ z 2л/ -z 2ra L -z (3.9) Используя периодичность w(z), соотношение (3.9) можно записать следующим образом:
Далее осуществляется предельный переход в обеих частях равенства при & -»со. Рассмотрим разложение + ctg(u) = - + Y, z H\UIJ u + njj Известно [48,50], что этот ряд сходится равномерно на любом компакте, не содержащем точки вида пп, где «-целое. Так как cth(z) = -ctg при этом ряд (3.11) сходится равномерно на любом компакте, не содержащем точки профилей. Следовательно, в первом слагаемом правой части можно перейти к пределу, считая, что z не лежит на профиле и получить первое слагаемое правой части формулы Коши (3.8). О втором же слагаемом говорится, что в пределе оно определяет «функцию аналитическую и конечную во всей комплексной плоскости», и «по теореме Лиувилля такая функция равна постоянной».
