Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Анализ методов моделирования и прогнозирования электрической нагрузки 10
1.1. Общая характеристика моделируемого процесса электропотребления 10
1.2. Классификация прогнозов электрической нагрузки и требования, предъявляемые к прогнозным математическим моделям 16
1.3. Математические методы прогнозирования электрической нагрузки 22
1.4. Выводы по главе 1 40
ГЛАВА 2. Моделирование процесса электропотребления методами ортогональных разложений 42
2.1. Общие принципы применения ортогональных разложений для моделирования процесса электропотребления 42
2.2. Моделирование процесса электропотребления методом главных компонент 44
2.3. Метод сингулярного спектрального анализа: исследование этапов и параметров разложения 57
2.4. Анализ временных рядов электропотребления с целью выбора целочисленного параметра сингулярного разложения 76
2.5. Выводы по главе 2 83
ГЛАВА 3. Моделирование и краткосрочное прогнозирование рядов электропотребления методом сингулярного спектрального анализа 84
3.1. Анализ рядов электропотребления методом сингулярного спектрального анализа 84
3.2. Метод главных компонент и метод сингулярного спектрального анализа: сравнительная характеристика при моделировании и краткосрочном прогнозировании рядов электропотребления 97
3.3. Информационное и техническое обеспечение краткосрочного прогнозирования процесса электропотребления 130
3.4. Выводы по главе 3 139
Заключение 141
Список основных сокращений 142
Библиографический список
- Классификация прогнозов электрической нагрузки и требования, предъявляемые к прогнозным математическим моделям
- Моделирование процесса электропотребления методом главных компонент
- Анализ временных рядов электропотребления с целью выбора целочисленного параметра сингулярного разложения
- Метод главных компонент и метод сингулярного спектрального анализа: сравнительная характеристика при моделировании и краткосрочном прогнозировании рядов электропотребления
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Основными направлениями научных исследований в прогнозировании временных рядов различной природы, включая ряды электропотребления, являются адаптация существующих и создание новых математических моделей, учитывающих различные внешние факторы, их взаимосвязи и влияние на исследуемый процесс. В энергетике прогнозирование параметров электропотребления важно с точки зрения соблюдения установленных предельных значений для мощностей потребителей и количества используемой электроэнергии. Несоблюдение этих норм потребителями оборачивается для них денежными штрафами и санкциями со стороны энергоснабжающей организации, а в энергосистеме это может привести к ухудшению качества электроэнергии, перерасходу топлива на электростанциях и т.п. Повышенные требования к точности прогнозирования электропотребления в условиях рыночных отношений между производителями и потребителями электроэнергии требуют совершенствования и разработки новых математических прогнозных моделей, отвечающих современным требованиям по срокам и точности прогнозирования.
Существующие методы и математические модели прогнозирования не всегда удовлетворяют требованиям, предъявляемым к точности прогноза на оптовом рынке электроэнергии (ОРЭ) из-за неудовлетворительного учета ряда факторов, таких как освещенность, длительность светового дня, сезона года, а также экономических и социальных, что приводит к погрешности прогнозирования и соответственно увеличению затрат на приобретение электроэнергии на ОРЭ.
Вопросы моделирования режимов электропотребления широко представлены в научных публикациях Д.А. Арзамасцева, ГЛ. Вагина, В.А. Веникова, А.З. Гамма, Л.А. Крумма, Т.Б. Лещинской, Б.В. Папкова, В.П. Степанова, Ю.А. Фокина и др. Прогнозированию режимов электропотребления посвящены работы Д.В. Бэнна, И.Е. Васильева, Ф.Д. Гальяны, В.И. Гордеева, Дж. Гросса, С.К. Гур-ского, В.И. Доброжанова, СВ. Жака, Б.И. Кудрина, Б.И. Макоклюева, A.M. Me-
ламеда, И.И. Надтоки, В.И. Сндельникова, А.В. Седова, Е.Д. Фармера и др. Несмотря на большое количество научных публикаций в области моделирования и прогнозирования электропотребления, остается ряд проблем, основной из которых является разработка математических моделей процесса электропотребления, повышающих точность моделирования и прогнозирования.
Диссертационная работа выполнялась в рамках госбюджетных тем ЮРГТУ(НПИ) «Рациональное использование топливно-энергетических ресурсов и повышение эффективности работы электроэнергетических систем» и «Проблемы автоматизации обработки информации в тренажно-обучающих, информационных и управляющих комплексах», утвержденных решением Ученого совета ЮРГТУ(НПИ) от 25 апреля 2001 г., что также подтверждает ее актуальность.
Объект исследования — стохастические нестационарные ряды электропотребления.
Целью работы является разработка математической модели, алгоритмов и программного комплекса краткосрочного прогнозирования электропотребления, позволяющих минимизировать штрафные санкции за отклонение фактических графиков электропотребления от утвержденных прогнозных. Для достижения поставленной цели в данной работе ставятся и решаются следующие задачи исследования:
Модификация существующих и разработка новых адаптивных математических моделей для прогнозирования временных рядов электропотребления с учетом влияния внешних факторов.
Анализ и разработка математических моделей для учета корреляционных и регрессионных зависимостей между факторами и исследуемым процессом с целью повышения точности моделирования и прогнозирования.
Исследование и выбор оптимального варианта ортогонального разложения и системы базисных функций и разработка методов разложения временных рядов на составляющие, имеющие наиболее тесные взаимосвязи с внешними факторами.
Обоснование и выбор прогнозных математических моделей для различных интервалов прогнозирования на основе анализа структуры и динамики электропотребления на различных временных интервалах (сутки, неделя, год).
Разработка методов распознавания в моделируемом процессе участков суточных графиков нагрузки, соответствующих различным периодам сезонного цикла в условиях влияния внешней среды.
Создание программного комплекса краткосрочного прогнозирования электропотребления на основе разработанных математических моделей, методов и алгоритмов.
Методы исследования. Решение поставленных задач получено на базе математического моделирования с использованием методов компонентного анализа, теории матриц, анализа временных рядов, методов многомерного статического анализа и реализовано с помощью методологии объектно-ориентированного программирования с использованием современных тенденций разработки программного обеспечения.
Достоверность полученных результатов. В предложенных математических моделях использованы фундаментальные законы сохранения энергии и законы электротехники. Для проверки разработанных математических моделей выполнены тестовые прогнозы суточных графиков электрической нагрузки (СГЭН) для различных сезонов года, включая периоды наибольшей динамики временных рядов (весна, осень). Результаты тестовых прогнозов с погрешностью не более 2 % совпадают с фактическими значениями СГЭН на двухсуточном интервале. Временные ряды электро потребления, используемые при выполнении тестовых прогнозов получены с помощью сертифицированных поверенных автоматизированных систем коммерческого учета электроэнергии (АСКУЭ) и систем телемеханики оперативного измерительного комплекса (ОИК) диспетчерской службы ОАО «Ростовэнерго». Достоверность также подтверждается корректным использованием методов многомерного статистического анализа и линейной алгебры.
Научная новизна работы.
Для разложения рядов электропотребления впервые применен метод сингулярного спектрального анализа.
Определены оптимальные значения параметров в рамках применения метода сингулярного спектрального анализа для моделирования временных рядов электропотребления.
Предложена модификация метода индексов сезонности, позволившая повысить точность прогнозирования на интервале 2-3 суток.
Проведено краткосрочное прогнозирование ряда почасового электропотребления на двухсуточном интервале с приемлемой погрешностью по результатам разложения методом сингулярного спектрального анализа.
Разработан программный комплекс на основе методов ортогонального разложения для решения поставленных в диссертационной работе задач.
Практическая значимость результатов диссертационной работы заключается в повышении точности моделирования и краткосрочного прогнозирования электропотребления энергосистемы. Результаты работы внедрены в ОАО «Энергосбыт Ростовэнерго» в программном комплексе краткосрочного прогнозирования электропотребления, а также в учебный процесс ЮРГТУ(НПИ) (ГОУ ВПО "Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)"), НГМЛ (ФГОУ ВПО "Новочеркасская государственная мелиоративная академия"), ФГОУ "Ростовский институт переподготовки кадров агробизнеса".
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили одобрение на следующих конференциях и семинарах:
- вторая и третья международные научно-практические конференции «Компьютерные технологии в науке, производстве, социальных и экономических процессах» (г. Новочеркасск, 2001-2002 г.г.);
вторая и третья международные научно-практические конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (г. Новочеркасск, 2002-2003 г.г.);
вторая международная научно-практическая конференция «Современные энергетические системы и комплексы и управление ими» (г. Новочеркасск, 2002 г.);
третья международная научно-практическая конференция «Теория, методы и средства измерений, контроля и диагностики» (г. Новочеркасск, 2002 г.);
XXIV сессия семинара «Диагностика энергооборудования» (г.Новочеркасск, 2002 г.);
XXV сессия семинара «Электроснабжение промышленных предприятий» (^Новочеркасск, 2003 г,);
всероссийская научная конференция с международным участием «Новые информационные технологии. Разработка и аспекты применения» (г. Таганрог, 2003 г.);
второй специализированный семинар «Современные методы и программные средства анализа и планирования электропотребления, балансов мощности и электроэнергии» (г. Москва, 2004 г,);
четвертая международная научно-практическая конференция «Проблемы экономики, организации и управления реструктуризацией и развитием предприятий промышленности, сферы услуг и коммунального хозяйства» (г. Новочеркасск, 2005 г.).
выездная сессия секции энергетики отделения энергетики, машиностроения и процессов управления РАН «Альтернативные естественно возобновляющиеся источники энергии и энергосберегающие технологии, экологическая безопасность регионов» (г. Ессентуки, 2005 г.);
пятая международная научно-практическая конференция «Современные энергетические системы и комплексы и управление ими» (г. Новочеркасск, 2005 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликована 21 печатная работа общим объемом 4,5 п.л,, из них 3 научные статьи и 16 тезисов докладов на научных конференциях и семинарах, 2 свидетельства об официальной регистрации программ для ЭВМ в Роспатенте,
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка литературы, трех приложений. Общий объем диссертации - 185 страниц, в том числе 157 страниц основного текста, 69 рисунков и 13 таблиц. Список использованной литературы содержит 138 наименований.
Автор выражает благодарность доценту кафедры "Автоматика и телемеханика" ЮРГТУ(НПИ) к/г.н. Седову А,В. за консультации и помощь в подготовке диссертации.
Классификация прогнозов электрической нагрузки и требования, предъявляемые к прогнозным математическим моделям
Прогнозирование нагрузки занимает центральное место в задачах планирования и управления режимами электроэнергетических систем [4]. Для оптимального выбора методов, применяемых в процессе прогнозирования, применяют разделение прогнозов по различным критериям [14]. Основные из них приведены нарис. 1.3.
I По области применения прогнозы подразделяются на долгосрочные, которые применяются для системного проектирования, среднесрочные, служащие для планирования топливоснабжения электростанций и ремонтов ос новного энергооборудования и краткосрочные - для повседневного планирования и управления режимами энергосистем [31].
II. Классификация по времени упреждения часто применяется в отечественной практике [81]- В соответствии с ней прогнозы делятся на оперативные (внутричасовой и внутрисуточный), краткосрочные (от одних до семи-восьми суток), внутримесячные (с произвольной даты до конца месяца), долгосрочные (на предстоящий месяц» квартал, год), годовые (на один-три предстоящих года), перспективный (на пять и более лет). Типами прогнозов по времени упреждения являются долгосрочные, среднесрочные и краткосрочные прогнозы [107]. Причем значение этих понятий в различных работах не одинаково- В одних работах под краткосрочным понимается прогноз на период от нескольких месяцев до 2-3 лет [107], в других — в течение промежутка времени от одного часа до одной недели [27], а в третьих - краткосрочное прогнозирование производится в интервале от нескольких часов до нескольких суток, недель [96]. В разных литературных источниках временной интервал для краткосрочного прогнозирования нагрузки (КСПН) определяется по разному. В настоящей работе принят период для краткосрочного прогноза от одних суток до нескольких недель. Прогноз на интервале меньше суток отнесен к оперативному прогнозу.
В зависимости от выбора временного интервала упреждения для прогноза электрической нагрузки задача эффективного управления энергосистемой решается различными способами: - в диапазоне секунд - с использованием системы автоматического ре гулирования частоты и мощности; - в масштабе минут - методами диспетчерского управления; - за периоды, измеряемые часами и сутками - средствами управления производством энергии; - на временном интервале, измеряемом неделями и месяцами, — рас пределением запасов топлива и планированием ремонтов [27].
III. По системным требованиям, которые предъявляются к прогнозирующим системам, прогнозы укрупнено делятся на три группы: - off-line системы, которые применяются в задачах прогнозирования в диапазоне от нескольких часов до нескольких суток и используют регрессионные модели [32], в которых устанавливается связь между нагрузкой и внешними факторами, в частности метеорологическими [123]; - on-line системы, предназначенные для оперативного (минута-час) управления энергосистемой и экономичного распределения нагрузки между генераторами и обеспечивающие адаптацию к текущим поминутно измеряемым изменениям потребления на основе методов анализа временных рядов [41-42, 83, 115, 125]; - интерактивные системы, обеспечивающие возможность ввода off-line-информации в систему on-line прогноза и позволяющие эффективно сочетать чувствительность on-line прогнозирующих систем к изменениям нагрузки с возможностями учета различных внешних факторов [126].
По мере развития алгоритмов прогнозирования нагрузки все большее значение приобретают некоторые характеристики их практической реализа ции- Причем, какими бы ни были особенности работы эпергоснабжагощих организаций, практика показывает общность и значимость рассматриваемых ниже требований [113] (рис. 1.4.)
Моделирование процесса электропотребления методом главных компонент
Метод главных компонент может использоваться при решении задач в детерминированной и статистической постановках. При детерминированном подходе МГТС позволяет получить наилучшую проекцию совокупности точек наблюдений в пространстве меньшей размерности [1, 37], При статистическом подходе МГК дает возможность выделить обобщенные случайные величины, имеющие максимально возможную дисперсию [33, 37]. Метод главных компонент - это комплексный метод, применяемый для описания многомерных процессов, каким является процесс электропотребления.
Достоинства МГК [96]: метод является линейным и адаптивным; объекты и переменные в этом методе могут быть представлены графически; главные компоненты являются наиболее удобными показателями, так как они сохраняют и отражают внутренние объективно существующие закономерности, которые не поддаются непосредственному наблюдению; каждой главной компоненте, как правило, можно придать физический смысл, кроме того, положение каждого объекта или переменной на диаграммах можно интерпретировать в терминах значений переменных и физического смысла координатных осей,
В [67, 73] изложены методы моделирования трендов на основе ортогонального разложения годовых графиков суточного электро потребления W \t)9 / = 1-/, /-количество лет, взятых для моделирования, по МГК: W=W\ (23) где W(0 — матрица наблюдений суточных расходов электроэнергии за / лет, размера/х365, / 1, \У = Г\У(1 W(/)J , U- матрица собственных векторов корреляционной матрицы К исходного ряда электропотребления суточных значений электропотребления, F— матрица главных компонент: F = U4W (2,4) Ортогональное разложение 2.3 можно использовать для прогноза тренда годового графика Wj + J(0 либо самого годового графика W{ +l\t) по главным компонентам F, вычисленным по формула 2.4 [67].
В [107] предлагается прогнозирование временных рядов путем анализа траектории движения образов годовых графиков в пространстве первых двух компонент Fx и F2. В качестве примера приведем прогноз годового графика электропотребления на 2001 г. (W \0) на основе анализа годовых графиков запериодс1996по2000г.(Ж ,)(/)- 5)(0)(рис-2Л)[76]. По выбранному положению образа графика электропотребления за 2001 г., определяются прогнозные значения главных компонент Уб, f26, и по формуле 23 вычисляется прогнозный график W it) [28]. Точность прогноза можно значительно повысить, изменяя положение прогнозной точки на плоскости главных компонент, т.е. повышая точность определения тенденций движения образов годовых графиков.
Описанный выше способ прогноза применяется также для годового прогноза электропотребления по месячным данным. В [62, 64, 75] проводится анализ электро потребления в энергосистеме с учетом разделения потребителей на группы. Анализ электропотребления ведется по потребителям, разделенным на девять отдельных групп: промышленность iW{t) 750 кВт), промышленность (И7(/) 750кВт), железнодорожный транспорт, городской транспорт, непромышленное потребление, сельскохозяйственные потребители, населенные пункты, оптовые потребители, хозяйственные нужды. Строятся девять матриц W, [12 xl] (/ = 1,..9, 12-число месяцев в году, /-количество годовых графиков, участвующих в моделировании), каждая из которых характеризует электропотребление в соответствующей разделенной группе и для обобщенного анализа матрица суммарного электропотребления по энергосистеме W для всех разделенных групп. В качестве элементов матриц Wx. и W берутся месячные значения электропотребления и производятся ортогональные разложения по формуле 2.4. Затем для каждой группы ВЫби-рается положение образа прогнозируемого графика Wt (0 на плоскости первых двух главных компонент F{ и F2 и вычисляется сам прогнозный график. Часто в ходе анализа выявляется такое положение образов графиков в пространстве главных компонент, которое не дает возможности для предсказания тенденции развития процесса и выбора оптимальной точки прогнозирования.
На рисунке 2,2,а представлены образы годовых графиков месячного электропотребления в пространстве двух первых компонент для группы потребителей "Городской транспорт , иллюстрирующие сложность выбора прогнозной точки для последующего расчета (в указанной на графике точке отклонение от реальных данных »20%). Выбор другой точки увеличивает погрешность. Таким образом, выявление тенденции в положении образов графиков на плоскости главных компонент, не всегда дает положительный результат. Покажем это на примере группы "Суммарное электропотребление" (рис, 2.2,6), причем при прогнозе будем учитывать известные значения потребления электроэнергии за прошедшие семь месяцев 2002 года.
Для получения прогнозных значений электропотребления на 2002 год на плоскости главных компонент первоначально была выбрана точка с координатами (300000,50000), которая предположительно совпадала с наметившейся тенденцией изменения компонент за анализируемый период времени. При этом расхождение прогнозных и фактических значений за семь месяцев оказалось «6%. При выборе прогнозной точки вне первоначально выбранной тенденции (250000,80000) результат прогнозирования оказался более точным « 5%. Таким образом, положение прогнозной точки подбирается эмпирическим путем и не всегда совпадает с тенденцией прошлых лет.
Анализ временных рядов электропотребления с целью выбора целочисленного параметра сингулярного разложения
С одной стороны, для достижения лучшей разделимости рядов нужно выбирать длину окна близкую к половине длины ряда (параграф 2,3), при этом, как отмечается в [23] скорость сходимости ошибки разделимости к нулю имеет порядок l/min(/,,AT), где K-N-L + l N -длина ряда. Кратность L и К периоду одной из гармоник ряда должна улучшить отделимость периодической компоненты, причем более важна кратность меньшего из этих чисел (т.е. длины окна L), поэтому нужно выбирать длину окна, равной величине недельной периодичности, то есть /, = 168, N — 360, следовательно, /: = 193.
С другой стороны, по периодограмме (рис, 2Л5) видно, что наибольший вклад в рад ZN дает составляющая с частотой w = —, поэтому целесообраз но выбрать длину окна = 24, что, должно улучшить результат разделимости рядов при моделировании [124].
Исследуем структуру временного ряда электропотребления ZN. Такой рад имеет три основные трендовые составляющие: годовую (период 365 дней — 365 точек), недельную (период 7 дней, 168 точек) и суточную (период 24 часа, 24 точки). На рис, 2Л6 показаны примеры трех временных рядов: годо 24 вого электропотребления ffi(0 = X (0 "=1 2, ... , 365, /»(/)-у-е часо вое значение мощности в /-е сутки; часовых значений мощности за период с 01.11.2004 г. по 30.11.2004 г. ZN (N = 720) с элементами ряда zif где 1 = 1, 2, ... , N; а также суточный график мощности P(t) за 1 ноября 2004 г. Определим корреляционную функцию временного ряда часовых значений мощности за период с 01.11 2004 г. по 30,11-2004 г, для этого из исходного временного ряда, представленного на рис. 2Л6 б, вычитается сезонная треидовая составляющая, полученная по методу SSA (подробное описание применения метода SSA для временного ряда электропотребления, приведено далее), при длине окна L = 168, то есть равной длительности недели. При таком значении L в тренде временного ряда / сглаживается недельная цикличность ряда.
На рис. 2.17 показаны тренды временного ряда, изображенного на рис. 2.16 б при длинах окон сглаживания /, = 24, -48, = 96, /, = 168 и = 192. Из рисунка видно, что при сглаживании с длиной окна менее 168 точек в тренде имеются недельные колебания, а при длине окна равной 168 и более недельные колебания сглаживаются. ZIP-і О6, КВт
Для исключения из временного ряда ZN недельного тренда необходимо
вычесть трендовую составляющую ZjP 24 при длине окна = 24, то есть привести ряд ZN к следующему виду: 7.-7 _7 Т I6S_7(T 24 Z N —Z s Z N Z N
В данном случае из графика к(т) исключается периодическая составляющая длительностью 168 точек, то есть длительность недельного цикла изменения электропотребления- Следовательно, для того, чтобы в результате разложения временного ряда Z# на составляющие в тренде сохранилась недельная цикличность, которую необходимо учитывать при прогнозировании отдельных суточных графиков, необходимо принимать длину окна /, = 24. При моделировании и последующем прогнозировании сезонных тенденций методом SSA, то есть моделирования сезонной составляющей, необходимо принимать длину окна L — 168 2.5. Выводы по главе 2
Проведенные во второй главе диссертации исследования привели к следующим результатам:
1. Исследованы общие принципы применения ортогональных разложений для моделирования и прогнозирования временных рядов электропотрсб-ления.
2. Проанализировано моделирование временных рядов на основе метода сингулярного спектрального анализа.
3. Рассмотрены основные определения» условия и виды разделимости рядов, являющиеся важной характеристикой этапа группировки метода сингулярного спектрального анализа.
4. Обобщены основные принципы выбора оптимальных характеристик разложения: длины окна и структурного параметра.
5. Исследован ряд суточного электропотребления и произведен выбор длины окна для моделирования по методу сингулярного спектрального анализа.
Продолжим исследование разложения временного ряда электропотребления за 15 суток (360 точек) по методу сингулярного спектрального анализа (рис. 2Л4), начатое во второй главе работы.
Рассмотрим результат сингулярного разложения траекторией матрицы X ряда ZN и проведем идентификацию сингулярных троек ijA V vA. На рис. 3.1 и 3.2 изображены первые пять собственных (левых сингулярных) и факторных (правых сингулярных) вектора разложения. Заметим, что собственные векторы U,., /-1...5 имеют более регулярный вид по сравнению с факторными V,., которые содержат, например, изменение амплитуды гармонических компонент данного сингулярного разложения.
В таблице 3.1 приведены результаты расчетов периодограмм собственных векторов /7ц(и и ) для мощностей частот wu , вклад которых в восстановление U, превышает 1%. Если количество таких частот для /-го собственного вектора больше пяти, то тогда в соответствующей строке стоит многоточие и в скобках указана количество частот, вклад которых в собственный вектор U,- также превышает 1%,
Метод главных компонент и метод сингулярного спектрального анализа: сравнительная характеристика при моделировании и краткосрочном прогнозировании рядов электропотребления
В то же время, различия во внутренней структуре этапов приводят к различным способам анализа разлагаемых данных, В МГК количество т главных компонент Fn / — 1--/И, взятых для восстановления ряда, зависит от распределения весов между собственными числами Л( (т.е. информация, которая содержится в собственных числах является основной при восстановлении) [23]- При использовании метода SSA основное внимание уделяется исследованию периодограмм раскладываемого ряда ZN и оптимальной группировке сингулярных троек ( ЛічипУ.), а сведения о собственных числах Х{ являются лишь дополнительными [23, 124] ///. Предварительное преобразование данных перед разложением.
В зависимости от целей исследования матрицы исходных данных X как для метода SSA, так и для МГК либо используются непосредственно [37], либо преобразуются в матрицу центрированных Г [37, 63, 74, 77, 94, 108] или нормализованных Q данных [33, 37]. Учитывая важность операции центрирования в ряде случаев для эффективного разложения данных, центрирование матрицы исходных данных XSSA вынесено в отдельную модификацию метода SSA, аналогичная модификация может быть построена и для МПС.
Дня матриц центрированных данных Y и нормализованных данных Q элементы у., и д. определяются следующими формулами: у9=ху-Х19 zff =(-«)/ % 1 v где ХІ=— ]-среднее значение по строке матрицы Ху Nj=x Sf = l\xif x4 -дисперсия элементов по строке матрицы X\ N-\MK f Нормализация данных используется в тех случаях, когда размерности компонент векторов Xj различны [28, 37]. Так как при разложении СГЭН Р. размерности компонент совпадают, то проводить нормализацию не нужно, /К Количество учитываемых при разложении компонент. При описании теории метода МГК [70, 96] под компонентами, используемыми при восстановлении ряда, подразумевались главные компоненты Fi9 слово "главные" для краткости опускалось. То есть, можно сказать, само понятие "компоненты" употреблялось в узком смысле. Если расширить понятие компонент, то под ними можно подразумевать любые составляющие, используемые в процессе восстановления: сингулярные тройки в целом (іУ ,и/5У-), их составляющие: U,- - собственные векторы, Л.-собственные значения, элементарные ряды Z#\ сохраняя при этом саму идею о "мозаичном" разложении ряда.
В параграфе ЗЛ был проведен подробный анализ количества компонент, необходимого для восстановления ряда при применении метода SSA- Ниже показаны графики разложения исходного ряда Zv по МГК в сравнении с ана логичными рисункам для метода SSA из параграфа 3.1 (их номера приведены в скобках): рис. 3.13 (3.1) - графики собственных векторов U, -U5; рис. 3.14 (3.2)-графики факторных векторов Vj-V5; рис. 3,15 (33)-двумерные диаграммы собственных векторов U, -U5; рис, 3.16 (3.5) график собственных чисел Л,; рис. 3.17 (3.6) -элементарные ряды разложения Z -Zffi. Далее приведены таблицы, показывающие распределение информации по собственным значениям (таблица 3.5) и частотам в собственных векторах U,, вычисленных по МПС (таблица 3.6),
Выделение формы тренда по методу SSA и МГК происходит одинаково (рис. 3.13а), другие же компоненты разложения имеют различную форму, так как, например, собственные векторы U2-U5, выделенные МГК, не являются гармоническими (рис, 3.13,6 - 3.13,д). Графики факторных векторов V - V5 (рис. 3-14) и элементарных рядов Z$ -Z{p (рис. 3.17), построенные по МГК, не дают дополнительной информации для идентификации сингулярных троек, в отличие от V, - V5 и Z]p - Zj? , полученных по методу SSА. Из-за отсутствия гармонических составляющих при разложении по МГК никакой периодичности в двумерных диаграммах собственных векторов также не было обнаружено (рис, 3.15). По графику собственных чисел (рис. ЗЛб) трудно визуально обнаружить переход от сигнала к шумовой составляющей, хотя первые три собственных значения A., (i = 1 ..-3) разложения по МГК содержат в себе больше информации, чем в SSA. При разложении исходного ряда по МГК становится понятна невозможность применения периодограммного подхода (это подтверждается информацией, представленной в таблице 3.6): ясно видно, что "неравномерное смешивание" частот, начинается уже со второй сингулярной тройки ( / 2, U2, V2 ].
