Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор основных теорий и методов решения задач деформирования подземных трубопроводов на вязкоупругом основании 8
1.1.Теории поперечного деформирования и контактных напряжений подземных трубопроводов 8
1.2. Теория наследственности и методы расчетов вязкоупругих материалов 16
1.3. Реологические процессы (ползучесть) грунтов при расчете подземных трубопроводов 19
1.4. Постановка задачи диссертационной работы 34
2. Математическая модель деформирования во времени длинномерного участка трубопровода 36
2.1. Математическая модель деформирования длинномерного участка трубопровода на вязкоупругом основании 36
2.2. Учет ползучести грунтов 40
2.3 . Учет напряженно-деформированного состояния трубопровода как цилиндрической оболочки 46
2.4. Выводы 55
3. Достоверность методов решений и математической модели деформирования участка трубопровода 56
3.1. Достоверность метода конечных разностей в оценке напряженно-деформированного состояния длинномерного участка трубопровода 56
3.2. Шаговый метод в расчетах деформирования длинномерного участка трубопровода на вязкоупругом основании 79
3.3. Метод конечных разностей в расчетах несимметричного деформирования цилиндрической оболочки 90
3.4. Метод Кантаровича - Власова в сочетании с методом конечных разностей в расчетах несимметричного деформирования цилиндрической оболочки 99
3.5. Выводы ПО
4. Расчет деформированного состояния ремонтируемого участка трубопровода с учетом реологических процессов грунтов 111
4.1. Расчет деформирования ремонтируемого участка трубопровода на вязкоупругом основании 111
4.2. Расчет напряженно-деформированного состояния трубопровода как цилиндрической оболочки 117
4.3. Расчет изменения НДС участка трубопровода с учетом моментного напряженного состояния трубы и ползучести грунтов на краях ремонтного котлована 119
4.4. Выводы 122
Заключение 122
Список использованных источников
- Реологические процессы (ползучесть) грунтов при расчете подземных трубопроводов
- Учет напряженно-деформированного состояния трубопровода как цилиндрической оболочки
- Шаговый метод в расчетах деформирования длинномерного участка трубопровода на вязкоупругом основании
- Расчет напряженно-деформированного состояния трубопровода как цилиндрической оболочки
Введение к работе
Актуальность темы.
На территории России протяженность магистральных газопроводов составляет 150 тыс. км, магистральных нефтепроводов - 48 тыс. км, нефтепродуктопроводов - более 30 тыс.км. Многие из них эксплуатируются длительное время в сложных геолого-климатических условиях, что приводит к техногенным воздействиям данных систем на окружающую среду.
Проблема обеспечения надежности трубопроводов объективно связана с увеличением риска аварий и отказов. Это ведёт к значительным экономическим потерям и серьезным экологическим последствиям. В 1995 году в России число отказов по различным причинам на магистральных и промысловых трубопроводах превысило 100 тысяч случаев. Решение этой проблемы заключается в разработке эффективной системы их предупреждения как в периоды проектирования и эксплуатации, так и во время выборочного ремонта магистральных трубопроводных сетей.
Статистический анализ аварий показал, что основными причинами снижения надежности стальных трубопроводов являются механические повреждения и коррозия металла труб. В цикл современной муфтовой технологии, позволяющей производить ремонт без остановки перекачки транспортируемого продукта, включается создание ремонтного котлована. То есть часть подземного трубопровода освобождается от грунта, и условия деформирования во времени этого участка существенно меняются по сравнению с проектным положением. Это связано с тем, что при выемке грунта трубопровод подвергается изгибу и изменяется податливость основания грунта на краях котлована.
СНиП 2.05.06-85 не дает прямых указаний и методических рекомендаций по определению напряжений в наиболее нагруженном сечении трубопровода с учетом изменения во времени несущей способности грунта на ремонтируемом участке.
Поэтому необходима разработка математических моделей и методов расчета напряженно-деформированного состояния ремонтируемого участка подземного трубопровода, учитывающих влияние реологических процессов грунтов. Это позволит более полно отражать действительные условия работы и решать проблемы прогнозирования конструктивной надежности трубопроводной системы уже на стадии проектирования.
Цель диссертационной работы заключается в прогнозировании деформирования во времени ремонтируемого участка трубопровода с учетом реологических процессов в грунтах.
В соответствии с целью поставлены следующие задачи:
создать математическую модель деформирования во времени длинномерного участка трубопровода с учетом реологических процессов в грунтах и моментного напряженного состояния трубопровода на краях ремонтного котлована;
разработать методику расчета напряженно-деформированного состояния длинномерного участка трубопровода с учетом моментного напряженного состояния и переменного коэффициента нормального сопротивления грунта на краях ремонтного котлована;
дать оценку напряженно-деформированного состояния
длинномерного участка трубопровода с учетом реологических процессов в грунтах.
На защиту выносятся:
математическая модель деформирования во времени ремонтируемого участка трубопровода с учетом реологических процессов в грунтах;
методика расчета напряженно-деформированного состояния участка трубопровода с учетом ползучести грунта и моментного напряженного состояния трубы на краях ремонтного котлована;
результаты исследования напряженно-деформированного состояния участка трубопровода с учетом реологических процессов в грунтах.
5 Научная новизна состоит в следующем:
- разработана математическая модель деформирования во времени
участка трубопровода с учетом реологических процессов в грунтах и
моментного напряженного состояния трубопровода на краях ремонтного
котлована;
разработана методика учета реологических процессов (ползучести) в грунтах на краях ремонтного котлована;
разработана методика учета моментного напряженного состояния трубопровода на краях ремонтного котлована при переменном коэффициенте нормального сопротивления грунта;
решена задача о деформировании участка трубопровода с учетом моментного напряженного состояния и ползучести грунтов на краях ремонтного котлована.
Достоверность результатов подтверждена сопоставлением численных результатов расчета с решениями частных задач другими методами. Дана оценка внутренней сходимости результатов решения методом конечных разностей при удержании различного количества узловых точек на исследуемом интервале.
Практическая ценность работы.
Разработанная методика расчета деформирования участка трубопровода с учетом реологических процессов в грунтах может быть использована в проектных и научно-исследовательских организациях при проектировании и разработке современных технологий ремонта подземных магистральных трубопроводов.
Разработано прикладное программное обеспечение для расчета напряженно-деформированного состояния ремонтируемого участка трубопровода с учетом реологических процессов в грунтах.
Проведен анализ влияния реологических процессов в грунтах на деформированное состояние ремонтируемого участка трубопровода.
Внедрение результатов.
Разработанная методика учета вязкоупругих свойств материала использована институтом «Нефтегазпроект» (ОАО) в проектировании выборочного ремонта нефтепроводов с использованием композитно-муфтовой технологии без остановки перекачки транспортируемого продукта.
Апробация работы.
Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на:
- региональной научно-практической конференции «Проблемы
эксплуатации систем транспорта» (г. Тюмень, 24 ноября, 2006 г.);
- международной научно-технической конференции «Геотехнические и
эксплуатационные проблемы нефтегазовой отрасли» (г. Тюмень, 27-29 марта
2007 г.);
- семинарах кафедры «Теоретическая и прикладная механика»
Тюменского государственного нефтегазового университета, 2006- 2008г.г.
Публикации.
Основные положения работы опубликованы в 10 печатных работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, четырёх приложений прикладных программ, списка использованных источников, включающего 102 наименования. Объём работы составляет 151 страницы машинописного текста, 38 страниц рисунков и 6 страниц таблиц.
Реологические процессы (ползучесть) грунтов при расчете подземных трубопроводов
Вертикальное перемещение типа «всплытие» может иметь место только при условии положительной плавучести труб, уложенных в полностью водонасыщенный грунт (коэффициент водонасыщения более 0,8). Всплытие может быть как при отсутствии в трубопроводе продольной силы, так и при ее наличии. В последнем случае всплытие сопровождается выпучиванием. .Все виды поперечных перемещений представлены в табл. 1.1.1. Опыт эксплуатации всех построенных к настоящему времени подземных трубопроводов показывает, что продольные перемещения оказываются на самом деле большими иногда в несколько раз, чем определяемые по формулам.
Причем в течение некоторого времени перемещения не превышают расчетных значений, а затем в результате очень медленного, но постоянного движения труб в грунте продольные перемещения переходят расчетную величину и непрерывно увеличиваются. Это приводит к разрушению труб, их выпучиванию из грунта, нарушению герметичности соединений и др.
Следует отметить, что явление постепенного перемещения наблюдается не только при продольных, но и при поперечных перемещениях труб.
Рассмотрим участок подземного прямолинейного трубопровода. Допустим, что он уложен в сухой грунт, который в период расчетного срока эксплуатации не будет обводнен. В этом случае вертикальное перемещение (осадка) происходит в результате уплотнения грунта под трубой. Осадка определяется по известным решениям механики грунтов, например, по методу эквивалентного слоя или методу послойного суммирования. Она, как показывают расчетные данные, оказывается ничтожной, так как давление на . грунт, определяемое массой трубы, не превышает 0,5 Н/см", и учитывать ее влияние на изменение положения трубопровода по сравнению с первоначальным его положением нет необходимости. Это относится как к газопроводам, так и к нефтепроводам, уложенным в любых грунтах- на незатапливаемой и необводненной территории [15].
Допустим, что трубопровод уложен в слабом водонасыщенном грунте (болото) или периодически затапливаемой пойме реки. Если он обладает отрицательной плавучестью, то будет происходить осадка труб, которая может быть весьма значительной. В зависимости от консистенции грунта, характеризуемой показателем B=w Wm W-Wm где W - естественная влажность грунта; w т - влажность на пределе текучести; wm — влажность на пределе пластичности, осадка может происходить за счет . фильтрационного уплотнения (В 0,8) и за счет движения трубы в грунте, находящемся в текучем состоянии (В 0,8), как в вязкой жидкости. Рассмотрим оба этих вида вертикального перемещения.
В водонасыщенном грунте осадка определяется в предположении уплотнения грунта под трубой в соответствии с основными допущениями фильтрационной теории консолидации.
Из механики грунтов известно, что полностью водонасыщенный грунт можно рассматривать как двухфазную систему, уплотняемость которой определяется отфильтровыванием воды из пор скелета грунта под воздействием уплотняющей нагрузки. Методы решения этой задачи подробно рассмотрены в работе [14, 56, 57, 96].
Пусть предельная осадка трубопровода snp. Эта осадка называется стабилизированной. На рис. 1.1.3 величина snp по длине трубопровода показана пунктирной линией. Если бы слабый грунт равномерно распределялся по всей длине трубопровода, то и осадка была бы по всей длине одинакова. Однако на практике наиболее характерно чередование слабых грунтов и грунтов, обладающих достаточно большой несущей способностью.
На последних, как уже отмечалось, осадка практически равна нулю. В середине участка слабого грунта осадка могла бы достичь предельного
Трубопровод на участке / изгибается, как показано на рис. 1.1.3. Поскольку удлинение труб возможно только вследствие их растяжения на участке / и прилегающих к нему участках /; , то в трубах появляется растягивающая продольная сила Р, и участок / начинает работать как жесткая нить. Длительная осадка s оказывается существенно меньше snp. В трубах появляются напряжения от продольной силы и от изгиба. Это обстоятельство нужно иметь в виду при расчете отрицательной плавучести q, которая для нефтепроводов определяется массой труб и нефти, а для газопроводов — массой труб и утяжеляющих грузов [98, 99, 101, 102].
Определение напряжений по подошве гибких сооружений имеет очень важное значение, так как их необходимо знать при расчете прочности самих сооружений. Установить закон изменений контактных напряжений или реакций основания по подошве сооружения можно, используя либо так называемый способ коэффициента постели [13], либо способ линейно-деформируемого основания.
Учет напряженно-деформированного состояния трубопровода как цилиндрической оболочки
Незатухающая ползучесть возникает в тех случаях, когда напряжения, вызывающие деформацию грунта, превышают предел длительной прочности грунта. При незатухающей ползучести деформации могут нарастать с постоянной и переменной скоростью.
Как показывают исследования, незатухающая ползучесть всегда переходит в стадию прогрессирующей ползучести, характерным признаком которой является прогрессирующее нарастание деформаций. Следует отметить, что явления ползучести, особенно стадия установившейся ползучести, характеризуются чрезвычайно медленным развитием. Так, движение естественных склонов в оползнях может составлять несколько сантиметров в год, а продолжаться годами и десятками лет. Проведение экспериментов по ползучести грунтов является очень трудоемким. Каждый эксперимент продолжается длительное время. Поэтому, несмотря на интенсивно проводимые в последние годы исследования, пока еще трудно получить достаточно обоснованные характеристики ползучести различных грунтов, позволяющие делать точные расчеты устойчивости и перемещений сооружений.
В своих работах Н.А.Цытович [83], С. С. Вялов [23] и другие видные ученые пришли к выводу, что изменение характера деформаций при длительном действии постоянной по величине нагрузки обусловливает в основном изменение структуры грунта (под структурой понимается вид и расположение частиц грунта, а также система контактов или отдельных связей). При объяснении изменения характера деформаций принимается естественное предположение, что чем большее число контактов между частицами в каком-либо сечении грунта, тем меньше будут средние напряжения в каждом из контактов. Следовательно, тем большей будет способность грунта воспринимать внешние нагрузки и тем меньшей будет деформируемость грунта.
Если бы состояние контактов не претерпевало в течение времени действия нагрузки изменений, то деформации грунта мгновенно бы стабилизировались и оставались неизменными. Однако это не так, и кривые ползучести (рис. 1.3.1, 1.3.2) наглядно показывают наличие различных стадий деформаций.
В. А. Флорин [82] объясняет различные стадии следующим образом. Допускается, что скелет грунта обладает двумя видами связей - хрупкими и вязкими. При приложении к грунту нагрузки в контактах возникают напряжения, которые обусловливают смещение отдельных частей грунта. В первый момент разрушаются хрупкие контакты, а затем начинается разрушение части вязких контактов. Наибольшая прочность грунта будет в начальный период, когда еще целы как хрупкие, так и вязкие контакты. Если нагрузка действует длительное время, то при каком-то смещении одной части грунта хрупкие контакты полностью разрушаются, и сопротивление грунта определяется в основном вязкими контактами. Этому моменту соответствует окончание первой стадии ползучести (затухающая) и наступает вторая стадия (установившаяся ползучесть).
Наряду с этой схемой В. А. Флорин [82]считает возможной и другую схему. Под действием внешней нагрузки в грунте возникают поверхности скольжения. По этим поверхностям до приложения нагрузки частицы имели начальную ориентацию. При длительном действии нагрузки в результате смещения одних частей грунта по другим происходит постепенная переориентация частиц, причем частицы стремятся расположиться в зоне сдвига параллельно направлениям перемещений. При этом сопротивление сдвигу в зоне контакта ориентированных таким образом частиц уменьшается. К моменту достижения предела длительной прочности грунта (т. е. стадии установившейся ползучести) происходит разрушение хрупких невосстанавливающихся частиц, и в зоне сдвига все частицы оказываются ориентированными в направлении смещений.
Во второй же стадии происходит постепенная перестройка структуры грунта, связанная с разрушением вязких контактов и образованием новых. Поэтому скорость деформации остается длительное время постоянной. Для описания явлений ползучести в механике грунтов используются реологические модели грунта, называемого обычно «телом».
Так, при рассмотрении сопротивления грунта сдвигу [14] использовалась модель пластичного тела Прандтля - Кулона для описания свойства грунтов, находящихся в предельно напряженном состоянии.
Эта модель относится к числу простейших (модели абсолютно твердого и абсолютно упругого тел, модель идеально вязкой жидкости и др.). Модель тела, представляющего идеально вязкую жидкость, использована в данном случае при определении скорости смещения оползневых массивов грунта [14, 15].
Более сложные модели получают, комбинируя в различных вариациях простейшие модели. Например, соединив последовательно упругий и вязкий элементы (абсолютно упругое тело и вязкая жидкость), получают так называемое упруго-вязкое релаксирующее тело Максвелла. Соединив эти же элементы параллельно, можно получить модель упруго-вязкого нерелаксирующего тела Кельвина.
Очевидно, что тело Максвелла можно использовать для описания незатухающей ползучести, так как последовательное включение в схему вязкого элемента дает возможность неограниченной деформации телу Максвелла вплоть до его разрушения при постоянной нагрузке Р.
Деформация упругого элемента происходит мгновенно, а затем вступает в работу вязкий элемент; скорость деформации тела остается постоянной. Обозначив напряжения в теле Максвелла о = const и приняв, что свойства вязкого элемента описываются свойствами идеальной ньютоновской жидкости, скорость деформации будет
Шаговый метод в расчетах деформирования длинномерного участка трубопровода на вязкоупругом основании
Подставляя (1.3.16) в (1.3.14), можно установить значение осадок мерзлого грунта под действием распределенной нагрузки q. При этом можно использовать метод послойного суммирования [13]. Сразу отметим, что значения осадок мерзлого грунта могут быть определяющими. Они настолько малы по сравнению с осадками грунта в случае его оттаивания, что принимать их во внимание не имеет смысла. Дело в том, что практически все сооружения нефтяной и газовой промышленности выделяют в окружающую среду некоторое количества тепла. Это приводит к так называемой деградации грунта при оттаивании. Деградация грунта сопровождается изменением его объёма, а также осадками и просадками сооружений.
Поскольку оттаивание грунта происходит в течение длительного времени, то возможны повторные полные или частичные замерзания грунтов. Кроме того, постепенное оттаивание непрерывно изменяет глубину оттаивания грунта, что делает процесс формирования осадок дважды нестабилизированным: осадки изменяются во времени за счет изменения водо содержания грунта при уплотнении его нагрузкой от содержания и за счет изменения глубины оттаявшего грунта от . воздействия температуры по поверхности, разделяющей оттаивающий и мерзлый грунт. Это делает расчет осадок существенно сложнее, чем для обычных талых грунтов [63, 64, 65, 71, 94].
Постановка задачи диссертационной работы Анализ многообразия поперечного деформирования подземных трубопроводов (раздел 1.1) показал, что в результате уплотнения грунта под трубой происходит вертикальное перемещение (осадка). Оно, как показывают расчетные данные, ничтожно мало и учитывать его влияние на изменение положения трубопровода по сравнению с первоначальным его положением нет необходимости. При проведении ремонтных работ по муфтовой технологии часть подземного трубопровода освобождается от грунта и подвергается изгибу. Условия деформирования во времени этого участка существенно меняются по сравнению с проектным положением. Таким образом, важно знать вертикальные перемещения восстанавливаемого участка трубопровода.
Изучение теоретических основ в разделе 1.2 показало, что широкое применение в исследовании изменения деформаций во времени имеет теория наследственной ползучести Больцмана. При решении задач деформирования во времени конструкций наиболее универсальными являются методы, основанные на введении дискретной шкалы времени.
В разделе 1.3 исследованы причины потери устойчивости сооружений без изменения нагрузки, как от сооружения, так и от собственного веса грунта. Как следует из материалов раздела 1.3, ползучесть грунтов возникает лишь в той части, где для этого возникают необходимые условия. К ним можно отнести создание ремонтного котлована, на краях которого податливость грунтов меняется во время проведения восстановительных работ подземного магистрального трубопровода.
Теорию расчета магистрального трубопровода как балки на упругом основании необходимо развить в направлении учета ползучести грунтов. При расчете балки на вязкоупругом основании определяются только продольные напряжения. На самом деле при действии внутреннего давления в трубе возникают, как осевые (продольные), так и окружные (кольцевые) напряжения. Поэтому тонкостенный трубопровод большого диаметра следует рассчитать как осесимметричную цилиндрическую оболочку по безмоментной теории. При этом на краях ремонтного котлована наблюдается осенесимметричное деформирование трубопровода, в результате чего возникают дополнительные окружные напряжения.
Таким образом, возникает необходимость в проведении исследования изменения напряженно-деформированного состояния восстанавливаемого участка трубопровода для оценки его несущей способности во времени.
Поэтому целью диссертационной работы является прогнозирование деформирования ремонтируемого участка трубопровода с учетом реологических процессов в грунтах.
Соответственно цели поставлены следующие задачи: - создать математическую модель деформирования во времени ремонтируемого участка трубопровода с учетом реологических процессов в грунтах и моментного напряженного состояния трубопровода на краях ремонтного котлована; разработать методику расчета изменения напряженно деформированного состояния длинномерного участка трубопровода с учетом моментного напряженного состояния трубы при переменном коэффициенте нормального сопротивления грунта во времени на краях ремонтного котлована; дать оценку напряженно-деформированного состояния восстанавливаемого участка трубопровода с учетом реологических процессов в грунтах. 2. Математическая модель деформирования во времени длинномерного участка трубопровода Математическая модель деформирования длинномерного участка трубопровода с учетом реологических процессов грунтов выстроена в определенной последовательности, которая представлена в виде структурной схемы (рис. 2.1).
Математическая модель деформирования длинномерного участка трубопровода на вязкоупругом основании позволяет получать упруго-мгновенное решение, на базе полученных данных которого строится дальнейшее исследование изменения напряженно-деформированного состояния ремонтируемого участка трубопровода при переменном во времени коэффициенте нормального сопротивления грунта.
Учет ползучести грунта позволяет рассматривать как реологические процессы (ползучесть) грунтов при вертикальном перемещении трубопровода, так и изменяющиеся во времени величины реакции сопротивления грунтов.
Учет осенесимметричного деформирования цилиндрической оболочки отражает моментное напряженное состояние в местах выхода подземной части трубопровода с учетом ползучести грунтов.
Несущая способность длинномерного участка трубопровода оценивается по энергетической теории (рис. 2.1).
Математическая модель деформирования длинномерного участка трубопровода на вязкоупругом основании Рассмотрен длинномерный участок трубопровода под воздействием равномерно распределенных поперечных нагрузок собственного веса трубопровода с продуктом qmp(x) и собственного веса грунта qep.(x), а также внутреннего давления перекачиваемого продукта р, продольной сжимающей силы N(x), реакции основания грунта а(х, t)w (рис. 2.1.1). Интенсивность распределенной нагрузки от веса грунта дгр.(х) = yeCmJ7ce.d по длине участка
Расчет напряженно-деформированного состояния трубопровода как цилиндрической оболочки
Расчеты проведем при постоянной нагрузке Р. Проследим за изменением прогиба для точки г = 0,001а. При этом были заданы следующие параметры конструкции: а = 36-Ю3 мм; Р = 103 Н; Е0 = 2,4-104 МПа; v0 = 0,2; h = 1,2-103 мм. Параметры ядра (3.2.9) были приняты следующие: А = 1,294 мес"1; а = 0,326. Величина в (3.2.18) из условия результатов мгновенного деформирования по аппроксимации (3.2.17) и точным решением (3.2.20) была принята /?= 1,7.
На рис. 3.2.2 показаны результаты численной реализации: расчет прогиба w по шаговому методу и методу аппроксимаций А.А. Ильюшина.
Результаты расчета по методу аппроксимаций А.А. Ильюшина показали, что численные значения прогиба не зависят от количества участков, на которые мы разбиваем исследуемый интервал времени (t)=0,3 мес. Результаты, просчитанные по шаговому методу, зависят от количества выбранных участков в исследуемом интервале времени. Наибольшие расхождения по значениям прогиба наблюдаются в начальный период нагружения.
В частности, для количества участков nt=12 погрешность (в сравнении с методом аппроксимаций) для момента времени (t-r)=0,05 мес. составляет 25%, для nt=18 - 18%, для я =60 - 3,5%. Сравним значения прогибов, просчитанных согласно шаговому методу, с результатами метода аппроксимаций А.А. Ильюшина для момента (t-z)=0,3 мес. Здесь имеет место следующая погрешность: для количества участков nt=\2 (в сравнении с методом аппроксимаций) она составляет 5%, для nt=lS - 3%, для nt=60 значения практически совпадают.
Из этого можно сделать вывод, что достоверность численных результатов напряженно-деформированного состояния конструкции, просчитанных согласно шаговому методу, обоснована. Чем больше количество участков, на которые мы разбиваем исследуемый интервал времени, тем более приближаемся к тестовому решению (решению методом аппроксимаций А.А. Ильюшина). При количестве участков более 60 можно говорить о достаточной точности решения. Максимальное отклонение в исследуемом интервале времени (і-т)-0,3 мес. не превышает 3,5 %.
Тестовость задачи деформирования во времени длинномерного участка трубопровода обоснована на задаче изгиба круглой пластины под действием сосредоточенной силы в центральной точке. Результаты оценивались в сравнении с решением методом аппроксимаций А.А. Ильюшина. 3.3. Метод конечных разностей в расчетах несимметричного деформирования цилиндрической оболочки
Из системы уравнений (2.2.14) видно, что максимальная производная в продольном направлении х имеет второй порядок, следовательно, определение законтурных точек в данном случае не требуется.
Анализируя систему уравнений в соответствии с рис 3.3.1, на линии начала координат (р = 0 граничные условия по перемещениям представим в виде (замкнутый контур) Рис 3.3.1. Схема расчета цилиндрической оболочки методом конечных разностей (а - в окружном направлении, б - вдоль образующей оболочки)
Запишем операторы перехода от дифференциальных уравнений к дискретным применительно к данной задаче: d% = --2,- - i-u +6 J WMj +Wi+2J
Решение системы алгебраических уравнений (3.3.4) проводим, используя итерационную схему Зейделя [77, 78]. Согласно этой схеме из первого уравнения системы определим значение радиального перемещения W, приняв в качестве приближения UH V равными нулю. Из второго уравнения определим окружное перемещение V, при уже найденном W и приняв U равным нулю. В свою очередь, из третьего уравнения определим значение осевого перемещения U уже при известных W и V. После этого возвращаемся к первому уравнению и уточняем W при величинах U и W первого приближения. Затем переходим к функции U (второе уравнение) и V (третье уравнение). Итерационный процесс повторяется несколько раз до полной сходимости.
Согласно приведенной итерационной схеме система выражений (3.3.4) при условии, что рх = ps = О, запишется как:
В уравнении (3.3.5) необходимо определить радиальное перемещение во всех узлах исследуемой оболочки. В данном выражении присутствует четвертая производная в окружном направлении, следовательно, необходимо использовать граничные условия (3.3.2).
В уравнении (3.3.16) необходимо определить окружное перемещение во всех узлах исследуемой оболочки. В данном выражении присутствуют производные в окружном и продольном направлении, следовательно, необходимо использовать граничные условия (3.3.1 - 3.3.2).
Аналогично составим систему уравнений (3.4.4) для остальных узлов. Количество подобных уравнений должно соответствовать количеству узлов, перемещения в которых неизвестны. В нашем случае такими будут являться узлы, начиная с 1 - го по га включительно.
Матрицу коэффициентов [А), стоящих при W, U, V, содержащую Зт неизвестных, формируем следующим образом. Так как в окружном направлении количество неизвестных равняется т, следовательно, первое уравнение будет заполнять 1: т строк матрицы ( 4). Второе уравнение будет заполнять т + \\2т строк матрицы \А). Аналогично для матрицы правых частей (С). Третье уравнение будет заполнять 2т +1: Зт строк матрицы [А). Коэффициенты, стоящие перед W, будут заполнять 1: т столбцов, " коэффициенты, стоящие перед U - т + \: 2т, коэффициенты, стоящие перед V - 2т + 1:3т.
Далее находим матрицу, обратную матрице А, и, умножая ее на матрицу - столбец С, вычисляем радиальное, осевое и окружное перемещения в соответствии с формулой (3.4.1). Зная величины перемещений, используя выражения (2.3.8), (2.3.13), можно определить напряжения и усилия в исследуемой оболочке.
В данной работе исследуется конструкция, представляющая собой тонкостенную оболочку следующих параметров: толщина трубы h = 18 мм, диаметр трубы d = 1438 мм, длина трубы / = 3000 мм, модуль упругости материала трубы Е- 2,1-Ю5 МПа, коэффициент Пуассона v = 0,3. Локальная зона нагружения q составляет 1/6 от длины периметра по криволинейной координате ср.
