Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ существующих методов моделирования транспортирования газов и жидкостей по трубопроводам 13
1.1. Однониточный трубопровод 15
1.2. Многониточный трубопровод 71
1.3. Выводы по первой главе 78
Глава 2. Математический метод моделирования с повышенной точностью нестационарных неизотермических потоков многокомпо нентных газов и жидкостей в закольцованных сетях разветвленных рельефных магистральных трубопроводов с шероховатыми тепло проводными абсолютно жесткими стенками 79
2.1. Постановка задачи и обобщенный подход к ее решению 79
2.2. Моделирование течений газовой смеси 82
2.3. Моделирование течений жидкости 119
2.4. Численный анализ математических моделей разветвленных газопроводов 135
2.4.1. О численной реализации граничных условий при применении консервативных разностных схем 168
2.4.2. Метод лагранжевых частиц 187
2.4.2.1. Уравнение неразрывности компонент 188
2.4.2.2. О решении уравнения переноса тепла по трубопроводным системам 201
2.4.2.3. Моделирование течений жидкости при наличии кольцевых схем движения 205
2.4.2.4. Оценка устойчивости метода лагранжевых частиц 211
2.5. О верификации предложенного метода 217
2.6. Выводы по второй главе 234
Глава 3. Метод имитационного моделирования для комплексного исследования фактической динамики долевых вкладов поставщиков в снабжение газообразными продуктами конкретных потребителей по сетям разветвленных закольцованных магистральных трубопроводов 238
3.1. Описание метода 238
3.2. Выводы по третьей главе 246
Глава 4. Разработка и тестирование комплекса программных изделий, реализующих предложенные методы и расчетную зависимость 248
4.1. Описание подхода к компьютерной реализации разработанных методов, математических моделей, алгоритмов и расчетной зависимости 248
4.2. Краткая характеристика разработанных компьютерных программ 254
4.3. Тестирование и верификация разработанных компьютерных программ 263
4.4. Выводы по четвертой главе 276
Основные выводы и результаты работы 277
Литература 279
- Многониточный трубопровод
- Моделирование течений газовой смеси
- О решении уравнения переноса тепла по трубопроводным системам
- Краткая характеристика разработанных компьютерных программ
Многониточный трубопровод
Наука о математических моделях, описывающих течение сред по трубопроводным системам, развивается относительно давно. Так, например, гидравлический удар впервые был изучен проф. Н.Е. Жуковским более ста лет назад [1]. Им же были предложены основные зависимости, описывающие это явление. При этом для математического описания данного процесса он использовал подход, связанный с рассмотрением базовых трехмерных уравнений гидродинамики (уравнений неразрывности и движения) в пределах элементарного объема, ограниченного внутренней поверхностью трубы и двумя поперечными сечениями трубопровода, расположенными на элементарном расстоянии друг от друга [1]. В качестве ключевого допущения использовалось допущение о возможности осреднения параметров потока по поперечному сечению трубопровода.
Фактически при дальнейшем развитии математических моделей течения различных сред по трубопроводным системам заимствуется подход проф. Н.Е. Жуковского. При этом изменяются только свойства сред и усложняются (уточняются) исходные (базовые) математические модели. Яркими примерами этому могут служить работы И.А. Чарного [2], В.В. Васильева [3], В.А. Мамаева, Г.Э. Одишарии, Н.И. Семенова, А.А. Точигина [4, 5], А.Д. Гиргидова [1], М.Г. Сухарева, Карасевича А.М. [6], К.С. Басниева, Н.М. Дмитриева, Г.Д. Розенберга [7], В.Е. Селезнева, В.В. Алешина и Г.С. Клишина [18, 19].
Также можно выделить работы, в которых опускается детальное построение математических моделей, но итоговые модели приводятся в достаточном многообразии: [8–17, 76, 121, 125, 153, 155, 157–160, 174, 175, 178, 179, 182, 183] и др.
Из-за отсутствия компьютерной техники в начале и середине прошлого века решение сложных нелинейных математических моделей в практически значимых случаях было невозможно. По данной причине подробные математические модели сводились к упрощенному аналитическому или полуаналитическому виду с целью их дальнейшего использования «вручную». Очевидно, что данный подход давал лишь приближенные оценки параметров анализируемых процессов.
К концу XX-го и началу XXI-го века широкое развитие получили электронно-вычислительные машины. Активно стали развиваться численные методы моделирования процессов транспортирования сред по трубопроводным системам, поскольку появилась возможность численного решения системы дифференциальных уравнений практически без упрощений. Это позволило детально анализировать, в том числе, динамические процессы транспортирования продуктов по протяженным разветвленным трубопроводным системам.
Существенное развитие подходов численного моделирования рассматриваемых процессов дала теория гидравлических цепей [86, 87, 159, 161]. Однако ее применение на современном уровне развития науки и техники является ограниченным из-за упрощений, положенных в основу применяемых этой теорией математических моделей. В частности, в данной теории используются модели течения несжимаемых сред практически без учета процессов теплопереноса. Как следствие, указанная теория наиболее применима для моделирования течения жидкостей (например, воды).
В настоящее время активно разрабатываются подходы численного моделирования, основанные на использовании разностных схем, аппроксимирующих исходные системы дифференциальных уравнений в частных производных. Подобные подходы описаны, например, в работах [8, 12, 18, 19, 155, 158].
В 1.1 и 1.2 проводится детальный критический анализ работ, посвященных описанию математических моделей течения газа по трубопроводным системам и численным методам их решения. Фактически указанная информация аргументировано демонстрирует актуальность настоящей диссертационной работы, а именно необходимость разработки научно-обоснованных подходов к построению адекватных математических моделей исследуемых процессов. Настоящая диссертационная работа является развитием расширенной концепции численного моделирования магистральных трубопроводных систем В.Е. Селезнева [22, 23] применительно к моделированию потоков многокомпонетных газовых смесей и многокомпонентных жидкостей в закольцованных сетях разветвленных рельефных магистральных трубопроводов. Изложенные в диссертации подходы нашли свое применение и развитие, в том числе, во многих публикациях сторонних авторов. К таким можно отнести диссертационные работы [162–173], а также публикации в научно-технических журналах и доклады на конференциях [70, 71, 74, 75, 81–84, 107, 109, 176, 177].
Однониточный трубопровод
Наиболее простой и самой распространенной составляющей газотранспортной системы является однониточный газопровод. Поэтому анализ математических методов моделирования объектов трубопроводной сети целесообразно начинать с рассмотрения моделей неизотермических неустановившихся турбулентных течений по трубам с круглым переменным поперечным сечением, переменным во времени уровнем прокладки и с абсолютно жесткими шероховатыми теплопроводными стенками. В качестве транспортируемого продукта здесь рассматривается вязкая сжимаемая гомогенная теплопроводная смесь газов или вязкий сжимаемый однокомпонентный теплопроводный газ.
Использование математических моделей, построенных на базе адаптации полной системы уравнений газовой динамики, объясняется определением процесса течения газа в трубопроводе, представленным в работе [60]. В соответствии с этим определением течение газа по трубопроводам является взаимообусловленным единым физическим процессом переноса вещества и энергии, при котором распределение скоростей и температур происходит взаимосвязано между собой и с тепломассообменными процессами в окружающей среде.
Возможность изменения во времени диаметра поперечного сечения некоторого участка трубопровода здесь рассматривается не случайно. Эта возможность позволяет эффективно и адекватно моделировать работу кранов, особенно при прогнозировании или расследовании аварийных ситуаций, сопровождающихся разрушением газопровода. В качестве примера такой модели крана можно представить известную модель автора диссертации, подробно описанную в [35]. Существующая в ряде публикаций (см., например, [6, 12]) недооценка значения адекватного моделирования течения газов при изменении диаметра поперечного сечения трубы во времени может существенно ограничить область применения разрабатываемых моделей трубопроводных сетей, что неизбежно приводит к снижению или потери их практической ценности.
Моделирование течений газовой смеси
Как видно из сравнения (1.56) и (1.57), в [12, 155] при представлении уравнения допущен ряд существенных неточностей и ошибок:
1. В уравнении (1.57) некорректно используется запись dZ/dT. В термодинамике рассматриваются различные процессы: изобарические, изохориче-ские, адиабатические и т.д. Из приведенного вида слагаемого в общем случае не ясно, к какому процессу относится данная частная производная (т.е. при каком фиксированном параметре она берется).
2. В уравнении (1.57) отсутствует член R2Z2T2qpc dp cpfp 2 Эх который является преобразованием слагаемого (см. (1.46)), определяющего влияние работы сил давления на изменение энтальпии:
В (1.57) при описании силы тяжести, как и в уравнении движения (см. выше), вместо частной производной dzjdx ошибочно используется запись полной производной. ошибочно присутствует слагаемое gqpcZRT dzx cjp dx Как известно (см. выше), сила тяжести напрямую не оказывает влияния на внутреннюю энергию и энтальпию. 6. Уравнение (1.57) можно интерпретировать как закон сохранения энергии для объема газа, ограниченного поперечными сечениями трубы (расположенными на элементарном расстоянии друг от друга) и внутренней стенкой трубы. По данной причине введение параметра D (значение наружно го диаметра трубы) при описании функции теплообмена в уравнении (1.57) вместо D можно считать необоснованным.
Теперь перейдем к анализу математических моделей для оценки параметров течения газа по трубопроводу, изложенных в монографии [6]. К сожалению, уже при записи базовых законов механики сплошных сред в трехмерной постановке в данной публикации наблюдаются определенные некорректности. Проиллюстрируем вышесказанное.
Трехмерные уравнения неразрывности, движения и энергии для контрольного объема V, ограниченного поверхностью S, в работе [6] представлены в форме (см. 1.1.2, 1.1.3 и 1.1.4 из [6]): где (здесь легенда используемых обозначений заимствована из [6]) р - плотность газа; ип - проекция вектора скорости х на направление внешней нормали к поверхности S; F - гравитационная сила, отнесенная к единице массы; Рп - вектор напряжения поверхностных сил; Е = є + D2/2 - полная энергия единицы массы, состоящая из суммы внутренней є и кинетической энергии D2/2; Q - приток тепла к контрольному объему.
В записи основных законов сохранения (1.59) следует отметить неко 45 торые недостатки (см. (1.1)). Во-первых, производные по времени в (1.59) должны стоять под знаком интеграла. Для произвольного (в том числе изменяющегося) объема V, ограниченного поверхностью S, применение производной по времени вне интегралов по объему представляется ошибочным. Во-вторых, при рассмотрении в работе [6] системы трехмерных уравнений (1.59) остается неописанным параметр и (данный параметр в [6] описан при рассмотрении только одномерных уравнений, где, как известно, символ век тора над данным параметром ставить не требуется). По-видимому, использо вание данного символа во втором и третьем уравнениях (1.59) является оши бочным. На его месте должен стоять параметр v. В-третьих, обозначение гравитационной силы, отнесенной к единице массы, применено некорректно. Здесь в уравнениях используется скалярная величина F, тогда как смысл этого параметра в уравнениях - вектор F.
В качестве одномерных уравнений, описывающих течение газа по трубопроводу, в монографии [6] рассматриваются следующие соотношения (здесь форма записи уравнений заимствована из [6], при этом используемые обозначения соответствуют (1.2).) (см. (1.1.1), (1.1.3), (1.1.4) из [6]): где q - удельный тепловой поток через стенку трубы [6]; DH - наружный диаметр (см. выше список замечаний (пункт 6)). Легко заметить, что система (1.60) аналогична системе (1.2), за исключением учета изменения во времени площади сечения трубопровода и влияния внутренних источников тепла. По модели течения газа по трубопроводу (1.60) можно сделать следующие замечания:
1. Слагаемое д(р/)/дх, характеризующее влияние давления газа в уравнении движения (второе уравнение) из (1.60), приведено в некорректной форме (с точки зрения рассматриваемой в [6] постановки задачи). При корректной записи указанного слагаемого оно будет иметь вид (/ др/дх) (см. (1.2)).
2. Использование параметра Е в третьем уравнении из (1.60) некорректно по сути определения данного параметра. В [6] он вводился при описании трехмерного уравнения энергии и выражается через квадрат скорости Е = є + 0,5v2. Формально в третьем уравнении из (1.60) запись для параметра Е должна иметь несколько другой вид: Е = є + 0,5w2.
3. Как и в работах [12, 155], в уравнениях движения и энергии при описании влияния силы тяжести в [6] вместо частной производной dz1dx ошибочно использована полная производная dz1dx.
4. Описание параметра q не является полностью корректным. В частности, здесь не указывается направление данного теплового потока. В записи третьего уравнения из (1.60) положительное значение этого параметра соответствует притоку тепла из окружающей среды (аналогом произведения Подобных некорректностей, к сожалению, не удалось избежать во многих публикациях по рассматриваемой здесь тематике. Например, в [157] приводится вариант математической модели, описывающей «режимы транспорта газа по линейному участку» газотранспортной системы. Чтобы не загромождать материал настоящей главы излишними подробностями, рассмотрим одно из уравнений данной системы (см. (1.5.2) из [157]):
Сравнение последних двух формул показывает несогласованность слагаемых уравнения (1.61), что, в свою очередь, иллюстрирует некорректность самого уравнения.
Подобные некорректности встречаются и в других публикациях. Рассмотрим для примера работу [153]. В ней указано, что «течение газа в длинных трубопроводах хорошо описывается системой уравнений в частных производных» (см. (1.3.1) из [153]): средние по сечению трубы давление и коммерческий расход газа; А, В - коэффициенты, зависящие от размеров трубы и свойств газа (легенда используемых обозначений заимствована из [153]). Подобная модель рассматривается ниже (см. (1.89)). При этом показывается, что она построена на базе существенных упрощений. Данные упрощения практически исключают возможность получения практически значимых результатов моделирования.
Проанализируем математические модели течений из монографии [158]. К сожалению, здесь существенные опечатки встречаются уже при описании полной системы базовых трехмерных уравнений газовой динамики. Например, трехмерное уравнение неразрывности в [158] представлено в двух видах (см. (11.2, 11.3) из [158]): dp д(рих) діри) діри)
О решении уравнения переноса тепла по трубопроводным системам
Второй способ нахождения пространственно-временных распределений функции Ф(Т,Тос) предполагает отказ от численного решения сопряженных задач теплообмена [6, 12, 155, 158]. При этом значения суммарного теплового потока Ф(Т,Тос) (где Тос рассматривается как температура грунта в случае подземной прокладки трубопровода) определяются по простейшей обобщенной аналитической зависимости, описывающей теплопередачу от газового ядра к окружающей среде в соответствие с широко известным законом теплопередачи. В работах [3, 6, 12] авторы предлагают называть формулу для описания процессов теплопередачи законом Ньютона. Это не совсем корректно, т.к. закон Ньютона (точнее закон Ньютона-Рихмана) в классической теории тепло- и массообмена используется только для описания процессов теплоотдачи (см., например, [24, 36, 120]).
Применение данного упрощенного подхода к анализу неизотермических течений в трубах до середины 90-х годов прошлого века оправдывалось сложностью моделирования теплообмена на существовавшей в то время вычислительной технике.
В современных условиях использование при численном анализе неизотермических режимов течения газов аналитической записи закона теплопе редачи с обобщенными коэффициентами теплопередачи (см. [6, 12, 155, 158]) имеет малую перспективу при решении производственных задач, т.к. часто приводит к весьма грубым оценкам параметров теплообмена газа с окружающей средой, не обладающим практической ценностью. Такой вывод был обоснован в конце 90-х годов прошлого века, в том числе автором диссертации. Вывод получил свое подтверждение в совместных исследованиях автора диссертации с учеными Математического института Словацкой академии наук и Московского инженерно-физического института (Технического университета) при проведении серии численных (одномерных, двумерных и трехмерных) и натурных экспериментов [18, 35, 47, 54-56]. К аналогичному заключению также пришли специалисты компании «Scandpower Petroleum Technology A.S.» (Норвегия) при разработке известного программного комплекса «OLGA 2000» [48] для моделирования многофазных течений по трубопроводам.
В настоящее время первый способ оценивания значений Ф(Т,Тос) находит достаточно широкое практическое применение в российском трубопроводном транспорте, о чем свидетельствуют публикации А.А. Атавина, Ю.В. Колеватова, Д.А. Колобердина, СМ. Кунца и др. (см., например, [157]).
Перейдем к рассмотрению способов расчета коэффициента гидравлического сопротивления трения Я для второго уравнения системы (1.2). Данный коэффициент может быть рассчитан по модифицированным составным расчетным формулам, основанным на анализе и обобщении широко известных полуэмпирических зависимостей Кольбрука-Уайта и Филоненко-Альтшуля [22, 69, 126]. Также следует отметить, что на практике коэффициент Я часто подбирают в процессе численных и натурных экспериментов. Объясняется это тем, что гидравлическое сопротивление участка трубопровода зависит от многих факторов, главные из которых - искусственные сопротивления (отложения гидратов, засоренность песком и т.п.). Точный учет этих факторов невозможен. Поэтому коэффициент Я позволяет учесть их интегральный эффект. Здесь целесообразно сделать несколько замечаний.
При проведении анализа расчетных зависимостей для оценки гидравлического сопротивления трения в трубопроводах внимание автора диссертации привлекла работа [12]. Многообразие формул для расчета коэффициентов гидравлических сопротивлений, приведенных в указанной монографии, позволяет отнести ее к научным трудам, претендующим на широту охвата и глубину анализа данной тематики. Здесь следует подчеркнуть, что публикация [12] является одной из немногих работ, в которой перечислено большинство применяемых в настоящее время в газовой промышленности формул для расчета параметра А,. При этом, в качестве основной цели книги [12], ее автор ставит обучение «сотрудников, занимающихся проблемами разработки расчетных компьютерных комплексов моделирования и оптимизации, как отдельных технологических объектов, так и в целом газотранспортных систем». Он указывает, что в работе [12] «приведены основные расчетные методы, формулы, алгоритмы в форме, ориентированной на их практическое применение».
С представленной выше цитатой из работы [12] автор диссертации, к сожалению, не может согласиться. Прежде всего, это связано с тем, что в данной работе отсутствуют подробный анализ применимости предлагаемых формул и конкретные рекомендации по их использованию. В ней также не содержится анализ разрывности функциональной зависимости коэффициента трения от чисел Рейнольдса Re и относительной шероховатости А стенок труб при переходе между использованием зависимостей, соответствующих разным режимам течения (заметим, что формулы расчета коэффициента гидравлического сопротивления трения в зоне смены режимов течения для технических труб в [155] также отсутствуют). Данное обстоятельство может приводить к отсутствию устойчивости численных алгоритмов моделирования течения газа по трубопроводным системам.
Краткая характеристика разработанных компьютерных программ
Для иллюстрации вышеизложенного в качестве транспортируемого газа рассмотрим метан при давлении 106Па и Т = 300К. Применительно к указанным параметрам для метана: к = 35,15-10"3 Вт/ (м- К) [25]; р = 6,54 кг/ м3 [25, 53]; ср =2290Дж/(кг-К) [25, 53]. В качестве оценки снизу для скорости течения газа положим w = \ м/с, а в качестве малой доли - = 0,01. В этом случае длину отрезка влияния теплопроводности на параметры течения газа в подводящем трубопроводе в окрестности узла стыковки Axheat conductivity можно оценить так:
При численном моделировании течения многокомпонентных газовых смесей по реальным магистральным трубопроводным системам, как правило, применяют расчетную сетку с размерами пространственных ячеек от 10м до 1000 м . В силу этого плавное возрастание (или уменьшение) температуры на отрезке порядка Ю 5м при численном расчете будет выглядеть (и восприниматься разностной схемой) как резкий скачок по температуре. Схемы, построенные на принципах разностей против потока, позволяют находить вполне адекватное рассмотренному процессу решение практически без ухудшения сходимости и точности получаемого решения. В противоположность этому, схемы, построенные на принципах центральных разностей, при моделировании такого процесса могут находить решение с наличием осцилляций чисто разностной природы. Это может приводить к ухудшению точности расчетов, а иногда и к отсутствию сходимости численного метода.
Для преодоления возникшей проблемы автором диссертации была разработана вторая модель для течений многокомпонентной газовой смеси через узел стыковки трубопроводов. В данной модели теплопроводностью и диффузией по потоку (и против потока) смеси пренебрегается. В этом случае при перетекании газовой смеси через узел стыковки трубопроводов температура будет испытывать разрыв, однако вдоль каждого трубопровода указанная зависимость будет являться монотонной. В силу указанного допущения такую модель целесообразно условно назвать нетеплопроводной моделью движения многокомпонентной гомогенной газовой смеси через сочленение трубопроводов или (кратко) нетеплопроводной моделью сочленения для газовой смеси.
Список необходимых допущений и упрощений, характерный для нетеплопроводной модели движения многокомпонентной гомогенной газовой смеси через сочленение трубопроводов, можно представить в следующей форме: Допущение 3 основано на предположении об отсутствии диффузии и теплопроводности. Температура газовой смеси на выходных границах подводящих трубопроводов будет определяться только параметрами течения смеси (в основном, температурой) внутри этих трубопроводов. Поскольку нет механизма переноса теплоты против потока газовой смеси из объема V в подводящие трубопроводы, то температура смеси на этих границах, в общем случае, будет отличаться от температуры внутри объема V. С другой стороны, выходные границы подводящих трубопроводов являются также границами объема (V. По данной причине говорить о том, что во всем объеме смесь идеально равномерно перемешана, представляется некорректным.
Построение нетеплопроводной модели неустановившегося неизотермического движения многокомпонентной гомогенной газовой смеси через сочленение трубопроводов проводится по аналогии с выводом теплопроводной модели [38]. Поэтому здесь представим только ее итоговый вид: - для каждой трубы:
Сначала рассмотрим транспортирование многокомпонентных жидкостей с компонентами разной плотности. Список необходимых допущений и упрощений, характерный для моделирования транспортирования по рельефному неразветвленному трубопроводу с круглым поперечным сечением постоянного внутреннего диаметра ньютоновских гомогенных многокомпонентных жидкостей с компонентами разной плотности, имеет вид: 1. Компоненты жидкости могут иметь различные плотности, но плотность каждой из компонент является постоянной величиной и не зависит от давления и температуры. 2. Компоненты жидкости способны идеально равномерно перемешиваться в составе смеси. 120 3. При смешении объемов с разными компонентными составами результирующий объем смеси равен сумме смешиваемых объемов. 4. Теплопроводностью жидкостей по длине трубопровода можно пренебречь. 5. Диффузией жидкостей можно пренебречь. 6. Внутренние источники теплоты отсутствуют. Перейдем к описанию движения многокомпонентной жидкости с использованием удельных объемных долей рт, m = \,Ns (величина рт равна объему ти-ой компоненты в единице объема смеси). Введем в рассмотрение истинные плотности компонент pm,m = \,Ns, равные массе т -ой компоненты в единице объема среды при условии, что среда состоит из одной компоненты. Учитывая допущение 1 из представленного в начале Раздела списка необходимых допущений и упрощений, запишем:
Объединяя результаты вышеизложенных рассуждений, запишем стартовую систему дифференциальных уравнений в частных производных для построения модели транспортирования по рельефному неразветвленному трубопроводу с круглым поперечным сечением постоянного внутреннего диаметра ньютоновских гомогенных многокомпонентных жидкостей с компонентами разной плотности:
Как известно, субстанциональная производная описывает скорость изменения во времени какой-либо величины для элементарного (бесконечно малого) объема сплошной среды. В данном случае элементарным объемом сплошной среды является подвижный объем, ограниченный внутренней поверхностью трубы и двумя поперечными сечениями потока, расположенными на элементарном (бесконечно малом) расстоянии друг от друга.
Плотность рассмотренного объема сплошной среды определяется по формуле (2.103). Поскольку в рассматриваемом случае при построении модели: не учитывается диффузия (см. допущение 5 из списка необходимых допущений и упрощений), т.е. в модели отсутствует механизм переноса компонент между элементарными объемами сплошной среды; плотность каждой компоненты не зависит от давления и температуры (см. допущение 1 из списка необходимых допущений и упрощений), то плотность каждого объема сплошной среды в модели не должна меняться во времени. Другими словами, справедлива формула: Dp/Dt = 0. Отсюда, с учетом ограниченности плотности р, из (2.109) следует:
