Содержание к диссертации
Введение
1 Модели магнетиков 11
1.1 Модели квазиодномерных магнетиков 11
1.2 Критическое поведение магнитных систем 17
1.3 Модель Изинга и ее применение к описанию одномерного ферромагнетика.... 21
1.4 Метод Монте-Карло. Моделирование фазовых переходов между магнитными структурами методом Монте-Карло 24
1.5 Постановка задачи 29
2 Диаграммы состояний модели одномерного ферромагнетика 31
2.1 Методика построения и расчёт диаграмм основных состояний одномерного ферромагнетика 31
2.2 Расчёт диаграмм основных состояний одномерного ферромагнетика с немагнитной примесью 36
2.3 Расчёт диаграмм основных состояний с учетом взаимодействия первых, вторых и третьих соседей одномерного ферромагнетика 40
2.4 Исследование влияния вторых соседей на вид ДОС одномерного ферромагнетика с учетом дальнего взаимодействия 44
2.5 Влияние граничных условий на вид ДОС с учетом взаимодействия первых и вторых соседей одномерного ферромагнетика 48
2.6 Фазовые диаграммы магнитных превращений в поле внешних напряжений при постоянной температуре с учетом метастабильных состояний 51
2.7 Повышение быстродействия и оптимизация компьютерных программ, использующих алгоритм Метрополиса 56
2.8 Разработанные алгоритмы и некоторые программы для исследования
одномерных ферромагнетиков 58
Выводы по второму разделу 71
3 Моделирование кинетики фазовых переходов анитиферромагнетик—ферромагнетик (АФ —> Ф) 73
3.1 Вероятности реализации магнитных структур в магнитных фазовых переходах ферримагнетик ферромагнетик 73
3.2 Распределение Гиббса и критерий "хи - квадрат" 77
3.3 Расчет критического индекса корреляционной длины v для одномерного ферромагнетика 80
3.4 Критический индекс времени релаксации Y для одномерного ферромагнетика85
3.5 Динамический критический индекс Z одномерного ферромагнетика 89
Выводы по третьему разделу 96
4 Расчет термодинамических функций модели одномерного ферромагнетика 98
4.1 Расчет параметра порядка одномерного ферромагнетика 98
4.2 Расчет магнитной восприимчивости % одномерного ферромагнетика 103
4.3 Расчет теплоёмкости одномерного ферромагнетика 107
Выводы по четвёртому разделу 111
Заключение 113
Список литературы 115
- Модели квазиодномерных магнетиков
- Методика построения и расчёт диаграмм основных состояний одномерного ферромагнетика
- Вероятности реализации магнитных структур в магнитных фазовых переходах ферримагнетик ферромагнетик
- Расчет параметра порядка одномерного ферромагнетика
Введение к работе
В последние десятилетия моделирование низкоразмерных магнитных систем привлекает всё большее внимание [1-6]. Низкоразмерные магнетики актуальны как один из классов таких систем, а их моделирование позволит продвинуться в создании теории компьютерного конструирования принципиально новых материалов [7]. В последние годы интерес к моделированию низкомерных магнитных систем усилился ещё и в связи с тем, что были синтезированы вещества, которые можно рассматривать как аналоги низкомерных модельных систем [3,8] и в связи с возможными приложениями.
Всё большое внимание уделяется вопросам моделирования, связанным с природой образования тех или иных вариантов упорядоченных фаз квазиодномерных магнетиков, имеющих сложную структуру. В этом отношении моделирование магнитных фазовых переходов представлет собой обширную и еще не завершенную область исследований, где в последние десятилетия активно выясняется природа переходов в магнитоупорядоченное состояние в самых разнообразных кристаллах [8].
Моделирование систем конечных размеров позволяет воспроизвести многие существенные черты фазовых переходов, а исследование их особенностей, в зависимости от размеров системы, дает много ценной информации о фазовых переходах в "бесконечных" системах.
Менее изученными являются модели магнитных фазовых переходов типа порядок-^ порядок (в том числе и переходы антиферромагнетик—^ферромагнетик), связанные с перестройкой магнитной структуры под действием внешнего магнитного поля [7,8]. На данный момент найдено множество образцов реальных квазиодномерных ферромагнетиков, свойства которых, несмотря на большой экспериментальный материал, далеко ещё не изучены [8].
Именно поэтому много внимания уделяется моделированию низкоразмерных ферромагнетиков, а также изучению кинетики магнитного фазового перехода антиферромагнетик — ферромагнетик [3,8,9]. Кинетические свойства таких ферромагнетиков интенсивно исследуются [8-12], однако экспериментальные измерения всё еще вызывают большие трудности [8]. В такой ситуации логичным является проведение исследования методами компьютерного моделирования [1-3], причем целесообразно использовать хорошо зарекомендовавшую себя модель Изинга [13-22] в сочетании с известным методом Монте-Карло [23-25]. Многочисленные исследования, выполненные методами Монте-Карло, убедительно доказали их пригодность[3].
Актуальность данной работы определяется возросшим интересом к моделированию свойств одно- и двумерных ферромагнетиков в последние годы. Особый интерес к таким системам обусловлен перспективностью их использования в качестве магнитных носителей информации нового поколения. Внимание к моделированию малых систем возросло не только из-за значительных перспектив их практического применения [26-30], но и в связи с тем, что малые частицы (кластеры) являются мезоскопическими объектами, т.е. их можно рассматривать как промежуточное звено между классическим макромиром и квантовым микромиром [31-41]. Несмотря на значительное количество исследований различных свойств малых квазиодномерных ферромагнетиков, их критические свойства практически не изучены, а значительное количество экспериментальных данных не имеют единого теоретического описания.
Тем не менее, в последнее время наметился существенный прогресс в понимании физических процессов, происходящих в низкоразмерных системах. Это, в первую очередь, обусловлено возможностью получения качественных монокристаллов металлооксидных соединений. Ранее детально исследованные квазиодномерные системы, представляли собой органические соединения с довольно сложной структурой и были сложны в изготовлении. Наличие химически устойчивых квазиодномерных систем позволило проводить более детальное изучение их физических свойств методами компьютерного моделирования [42]. При этом серьёзный интерес представляет моделирование низкомерных ферромагнитных систем в следующих аспектах: а) при изучении формирования ферромагнитного порядка и его особенностей в кристаллах с различной магнитной размерностью и типами обменного взаимодействия; б) при исследовании критического поведения ферромагнетиков в области фазового перехода в магнитоупорядоченное состояние; в) при возникновении ориентационных фазовых переходов, связанных с перестройкой ферромагнитной структуры во внешнем магнитном поле [8].
Необходимо также отметить, что в последние два десятилетия усилия многих исследователей были направлены на изучение того, как примеси и другие дефекты структуры сказываются на поведении различных квазиодномерных ферромагнитных систем при фазовых переходах. Особенно интересно математическое моделирование замороженных примесей, чье присутствие проявляется как случайные возмущения локальной температуры для ферромагнитных систем в отсутствие внешнего магнитного поля [43]. При этом исследование стабильности различных структур как чистого ферромагнетика, так и с вмороженной немагнитной примесью - одна из центральных проблем физики магнетизма, в том числе и для малых низкоразмерных систем. Поэтому расчёт диаграмм стабильности фаз одномерного ферромагнетика является одной из первоочередных задач исследования малых низкоразмерных магнитных систем [44,45]. Использование методов компьютерного моделирования в рамках одномерной модели Изинга конечного размера позволит решить ряд задач, связанных с разработкой новых математических методов и алгоритмов моделирования квазиодномерных ферромагнитных систем.
Таким образом, объект исследования - критическое поведение квазиодномерных ферромагнетиков в зависимости от внешних и внутренних энергетических параметров. Предметом исследования настоящей работы является компьютерное моделирование магнитных фазовых превращений в рамках модели Изинга.
Основная идея диссертации
В рамках усовершенствованной модели Изинга разработать методы моделирования кинетических свойств и критического поведения квазиодномерных магнетиков.
Целью диссертационной работы является разработка и применение компьютерных моделей, алгоритмов и прикладных программ для комплексного исследования критического поведения квазиодномерного ферромагнетика в рамках обобщенной модели Изинга конечных размеров методами Монте-Карло.
Методы исследований. Использовался классический алгоритм Метрополиса как вариант статистического метода Монте-Карло, а также классический метод распределения Гиббса статистической механики.
Основные результаты
На основе усовершенствованной компьютерной модели, разработан комплекс алгоритмов и программ для расчета диаграмм основных состояний квазиодномерного ферромагнетика, а также фазовых диаграмм магнитных превращений в кристаллах, позволяющих рассчитывать диаграммы в плоскостях изменения энергетических параметров при конечных температурах.
Разработан комплекс алгоритмов и прикладных программ для исследования кинетических особенностей модели ориентационных фазовых переходов антиферромагнетик-»ферромагнетик, критического поведения модели квазиодномерного ферромагнетика, а также равновесной статистики одномерного ферромагнетика.
Разработан новый математический алгоритм, позволяющий существенно повысить быстродействие компьютерных программ, использующих классический алгоритм Метрополиса для решёточных задач.
Научная новизна работы
Разработан научно-исследовательский комплекс алгоритмов и программ для исследования малого квазиодномерного ферромагнетика в рамках модели Изинга конечного размера с немагнитной примесью.
Разработана методика расчёта диаграмм основных состояний модели квазиодномерного ферромагнетика с вмороженным немагнитным примесным атомом, а также методика расчёта фазовых диаграмм при конечных температурах с учётом метастабильных состояний. Выявлены основные закономерности влияния граничных условий модели, а также параметра взаимодействия неближайших соседей на спектр стабильных структур модели квазиодномерного ферромагнетика.
В рамках усовершенствованной модели рассчитаны характеристики критической динамики квазиодномерного ферромагнетика. Методами компьютерного моделирования найдены закономерности ориентационных фазовых переходов: "антиферромагнетик—>-ферромагнетик" и "ферримагнетик— ферромагнетик". Рассчитаны термодинамические характеристики квазиодномерного ферромагнетика (параметр порядка, теплоёмкость, восприимчивость) и влияние на них немагнитной примеси.
Значение для теории
На основе усовершенствованной модели разработан подход, позволяющий строить диаграммы основных состояний с немагнитной примесью и фазовые диаграммы для квазиодномерных ферромагнетиков. Рассчитанные динамические и статические индексы могут использоваться при трактовке физических процессов в реальных квазиодномерных ферромагнетиках с точки зрения теории критических явлений, физической кинетики и критической динамики. Разработана теоретическая методика изучения моделей квазиодномерных ферромагнетиков и комплекс прикладных компьютерных программ. Значение для практики
Рассчитанные диаграммы основных состояний и фазовые диаграммы дают теоретическую основу для конструирования новых материалов с использованием магнитных превращений. В связи с быстрым развитием теории моделирования полученные результаты могут применяться в разработке материалов с использованием нанотехнологий. На основе разработанного комплекса алгоритмов и программ возможна математическая обработка экспериментальных данных реального эксперимента. Предложен алгоритм, позволяющий значительно повысить быстродействие компьютерных программ, использующих классический алгоритм Метрополиса для решёточных задач.
Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием в качестве базовой - классической модели Изинга, хорошо зарекомендовавшего себя метода статистических испытаний - метода Монте-Карло, применением апробированных и надежных численных алгоритмов и программ и подтверждается сопоставлением с данными экспериментальных исследований, а также с результатами, полученными другими авторами. Отметим, что методы Монте-Карло и распределение Гиббса имеют надежное математическое обоснование. Использование результатов диссертации
Результаты диссертационного исследования могут быть использованы в учебном процессе для студентов и аспирантов и при создании нового программного обеспечения в Хакасском государственном университете им. Н.Ф. Катанова, в Томском государственном университете, Сибирском физико-техническом институте им. акад. В.Д. Кузнецова (г. Томск), Томском государственном архитектурно-строительном университете, Институте физики прочности и материаловедения СО РАН (г. Томск), Институте металлофизики ЫАН Украины (г. Киев).
Личный вклад автора состоит в участии в постановке задач, разработке алгоритмов и программ, проведении численных расчетов и анализе результатов.
Апробация результатов диссертации. Результаты диссертационного исследования были изложены на ежегодных "Республиканских Катановских чтениях" (2002-2006 гг., г. Абакан), на 5,7,8,9 Всероссийских семинарах "Моделирование неравновесных систем" (2002 - 2006 гг, г. Красноярск), на Международных конференциях: "Эволюция дефектных структур в конденсированных средах" (2003 г., г. Барнаул); «Современные проблемы физики и высокие технологии» (2003 г., г. Томск); «Фундаментальные проблемы современного материаловедения» (2005 г., г. Барнаул); на Международной научно-технической школе-конференции «Молодые ученые - науке, технологиям и профессиональному образованию в электронике» (26-30 сентября 2005 г., г. Москва); «Пленки 2005» (2005 г., г. Москва), Второй международной научно-практической конференции «Исследование, разработка и применение высоких технологий в промышленности» (7-9 января 2006 г., г. Санкт-Петербург).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 19 научных работ., из которых: 1 статья в периодическом издании и в соответствии со списком BAJC, 3 статьи в научных журналах, 2 статьи депонированы в ВИНИТИ, 4 работы в сборниках международных научно-технических конференций, 9 работ в материалах Всероссийских научно-технических конференций.
Общая характеристика диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех разделов, заключения, содержит основной текст на 125 с, 48 иллюстраций, одну таблицу, список литературы из 104 наименований.
В первом разделе дан обзор исследований моделей квазиодномерных магнетиков, а также кратко рассмотрены критичесіше явления в магнитных системах. Даются общие представления о термодинамических функциям и критических показателях ферромагнетика. Описан общий метод Монте-Карло, анализируется применение модели Изинга к описанию магнитных фазовых превращений, а также рассмотрено моделирование фазового перехіода антиферромагнетик -» ферромагнетик на ЭВМ. Приведен разработанный и оптимизированный к одномерной модели Изинга алгоритм, существенно повышающий быстродействие компьютерных программ, использующих алгоритм Метрополией.
Второй раздел посвящен исследованию диаграмм основных состояний (ДОС) модели одномерного ферромагнетика в рамках обобщенной модели Изинга при температуре абсолютного нуля для разных типов взаимодействий. Также исследуется влияние вмороженной немагнитной примеси на вид реализующихся диаграмм. Анализируется влияние граничных условий и энергетического параметра J2 на вид диаграмм основных состояний модели одномерного ферромагнетика. Установлено, что с уменьшением параметра J2 от значения J2 = -0,5 область стабилизации ферромагнитной фазы уменьшается, а при заключении изинговской цепочки в кольцо реализуются всего 3 различных вида ДОС. Проводится сравнительный анализ фазовых диаграмм (ФД) и ДОС, который позволяет определить влияние температуры на области метастабильных структур. Показано, что при низких температурах ФД зависят от направления процесса.
В третьем разделе исследуются кинетические особенности моделей малого одномерного ферромагнетика с примесью и без неё. Рассчитаны вероятности реализации магнитных структур для неравновесных процессов: антиферромагнетик (АФ)—» ферромагнетик (Ф). Рассчитаны и проанализированы статические и динамические критические индексы модели одномерного ферромагнетика в зависимости от температуры, напряженности внешнего магнитного поля и размеров системы. Установлено нарушение гипотезы динамического скейлинга.
В четвертом разделе внимание уделено исследованию термодинамических функций модели одномерного ферромагнетика, таких как параметр порядка, восприимчивость, теплоёмкость, в зависимости от внешних и внутренних энергетических параметров модели одномерного ферромагнетика. Основные результаты, полученные в ходе компьютерного эксперимента, качественно согласуются с данными наблюдений для реальных ферромагнитных структур. В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Модели квазиодномерных магнетиков
Интерес к математическому моделированию магнитных квазиодномерных систем обусловлен наличием у них многих полезных свойств. Например, у квазиодномерного магнетика CsCuCl3 наблюдаются пьезоэлектрические свойства и оптическая активность [7]. Рассмотрим наиболее известные модели магнетиков [13].
Одномерные модели
Одномерные модели магнетиков могут быть решены для взаимодействий конечного радиуса, экспоненциально затухающих или кулоновских. Такие модели магнетиков с короткодействующими парными взаимодействиями (включая экспоненциально затухающие) имеют серьёзный недостаток с точки зрения использования их для ориентации в мире критических явлений: они не имеют фазового перехода при ненулевых температурах [8,13]. Кулоновские системы также не имеют фазового перехода, хотя одномерный электронный газ имеет дальний порядок при всех температурах [13].
Из одномерных моделей значительный интерес представляет модель Изинга (наипростейшая модель магнетика) с взаимодействием между ближайшими соседями [8,13]. Она удобна в качестве простого введения в технику трансфер-матриц, которая используется в более сложных двумерных моделях. Хотя эта модель и не имеет фазового перехода при ненулевых температурах, длина корреляции становится бесконечной при Н = Т = 0, так что в некотором смысле это «критическая точка» [13].
В одномерной модели Изинга может существовать фазовый переход, если во взаимодействии участвует неограниченное число спинов, как это имеет место в модели взаимодействующих кластеров [8,13]. Одномерная модель магнетика также может иметь фазовый переход, если радиус взаимодействия между спинами становится бесконечным, но тогда система принадлежит уже, по существу, к классу «бесконечномерных» моделей. Применение модели Изинга к описанию квазиодномерных соединений является оправданным только в случае, если система является крайне анизотропной [13]. Предельно анизотропный характер магнитного поведения, например, проявляют соединения, магнетизм которых обусловлен ионом Со . В результате анализа спектра спиновых волн квазиодномерного магнетика CsCoCl3, изученного в [46] с помощью неупругого рассеяния нейтронов, получены данные, свидетельствующие об изинговском характере взаимодействия в хлориде цезия-кобальта.
Методика построения и расчёт диаграмм основных состояний одномерного ферромагнетика
Данная глава посвящена исследованию диаграмм основных состояний (ДОС) модели одномерного ферромагнетика в рамках обобщенной модели Изинга при температуре абсолютного нуля с учётом разной дальности взаимодействий. В рамках разработанного комплекса алгоритмов и программ, реализованных в среде объектно-ориентированного программирования Borland Delphi 7, исследуется влияние вмороженной немагнитной примеси на вид реализующихся диаграмм. Анализируется влияние граничных условий и энергетического параметра JH на вид диаграмм основных состояний одномерного ферромагнетика в координатах Н и ][. Проводится сравнительный анализ фазовых диаграмм и ДОС, который позволяет определить влияние температуры на области метастабильных структур.
Показано, что при низких температурах фазовые диаграммы зависят от направления процесса.
2.1 Методика построения и расчёт диаграмм основных состояний одномерного ферромагнетика
В рамках разработанного комплекса алгоритмов и программ разработана методика построения диаграмм основных состояний модели одномерного ферромагнетика. В качестве модели рассматривалась линейная цепочка с оборванными концами, содержащая N узлов решетки, заполняемых спинами с изинговским обменным взаимодействием первых и вторых соседей [8,10].
Данная модель одномерного ферромагнетика [2,81-98] позволяет с помощью ЭВМ построить так называемые диаграммы основных состояний (ДОС) одномерного ферромагнетика. Они представляют собой распределение основных, наиболее устойчивых состояний образца в зависимости от энергетических параметров (напряженности магнитного поля Н и энергии взаимодействия J2 ) вторых соседних спинов) при температуре абсолютного нуля [8]. Это распределение определяется набором конфигураций возможных ориентации спинов атомов магнетика в зависимости от энергетических параметров, при которых энергия системы наименьшая, что соответствует стабильному состоянию системы при абсолютном нуле [99].
Основным состоянием будем считать структуру, энергия которой в данной области изменения энергетических параметров имеет наименьшее значение по сравнению с другими возможными структурами [100].
Каждая точка диаграммы основных состояний представляет собой номер одной из возможных конфигураций. Таким образом, какому - либо из номеров соответствует определенная конфигурация расположения спинов в образце.
Каждый узел исследуемого образца представляет собой атом, характеризуемый спином (магнитным моментом), который может быть направлен либо вверх, либо вниз, то есть имеет две возможных ориентации направления спина на выбранную ось Z. Таким образом, для модели Изинга 82=-Ы(спин направлен вверх ) или Sz=-1 (спин направлен вниз I). Внутри ЭВМ структура представлена одномерным массивом S, элементами которого являются значения спинов, либо десятичным числом. Например, магнитная структура размером из пяти узлов titlt представлена в виде одномерного массива 1-11-11. Диаграмма основных состояний имеет две перпендикулярные оси координат пересекающих в центре, по вертикальной оси координат откладывается напряженность магнитного поля Н, а по горизонтальной оси - энергия взаимодействия между соседними узлами.
Вероятности реализации магнитных структур в магнитных фазовых переходах ферримагнетик ферромагнетик
В третьем разделе моделируются кинетические особенности малого одномерного ферромагнетика с примесью и без неё. На основе предложенного комплекса алгоритмов и программ рассчитаны вероятности реализации магнитных структур для неравновесных процессов АФ—»Ф.
Методами компьютерного моделирования рассчитаны и проанализированы статические и динамические критические индексы модели одномерного ферромагнетика в зависимости от температуры, напряженности внешнего магнитного поля и размеров системы. Установлено нарушение гипотезы динамического скейлинга.
3.1 Вероятности реализации магнитных структур в магнитных фазовых переходах ферримагнетик- ферромагнетик
Поведение магнетика во внешнем магнитном поле характеризуется возникновением различных типов фазовых переходов и критических точек. Фазовые переходы, вызванные воздействием внешнего магнитного поля, заключаются в перестройке магнитной структуры магнетика и являются переориентационными фазовыми переходами типа порядок-порядок. В данной работе разработан и предложен комплекс алгоритмов и программ, позволяющих моделировать как равновесные, так и неравновесные процессы. Методом Монте-Карло, используя разработанный алгоритм расчета вероятностей, проводилось моделирование реализации магнитных структур. Методика определения вероятности существования магнитных фаз подобна методике определения вероятности для политипных структур из работы [101]. Данная методика определения вероятности заключается в следующем: при данном наборе энергетических параметров проделывается определенное количество шагов Монте-Карло на узел (nines), на последнем шаге берется получившаяся конфигурация (и она впоследствии станет начальной для нового набора параметров). Процедура повторяется несколько раз. Затем изменяем значение интересующего нас параметра и опять проделываем nmes шагов. Моделируется процесс при изменении какого-либо параметра.
Таким образом, при каждом наборе энергетических параметров получаем набор магнитных структур. По этому набору можно определить вероятность реализации любой структуры, как отношение количества данной структуры в наборе к полному числу структур (классическое определение вероятности). Усреднение проводится по многократному повторению одного и того же процесса [101].
Расчет параметра порядка одномерного ферромагнетика
В четвертом разделе основное внимание уделено моделированию равновесной статистики одномерного ферромагнетика. На основе разработанного комплекса алгоритмов и программ исследуются равновесные термодинамические функции модели одномерного ферромагнетика, такие как параметр порядка, восприимчивость и теплоёмкость. На ЭВМ генерировались марковские цепи с длиной до 10 шагов МК на спин. Для вывода системы в равновесное состояние в критической области отсекался неравновесный участок, состоящий из 6-104 МК шагов/спин.
Основные результаты, полученные в ходе компьютерного моделирования, качественно согласуются с данными наблюдений для реальных квазиодномерных ферромагнитных структур. Относительная погрешность расчётов равновесной статистики составила не более 8%.
Расчет параметра порядка одномерного ферромагнетика
Представляет интерес выяснить такое статическое критическое явление, как поведение намагниченности в зависимости от внешних и внутренних параметров ферромагнетика. Намагниченность равна среднему значению магнитного момента системы на один узел решетки.
