Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ основных методов математического моделирования и оптимизации тонкостенных конструкций из композиционных материалов 10
1.1. Использование математического моделирования при проектировании силовых конструкций из композиционных материалов 10
1.2. Методы расчета и оптимизации несущей способности проектируемых конструкций из композиционных материалов 21
1.3. Анализ программных средств математического моделирования напряженно-деформированного состояния тонкостенных коробчатых конструкций из композиционных материалов 35
1.4. Постановка задач исследования. Выбор метода исследования 43
2. Математическая модель механического поведения однонаправленно армированных панелей 46
2.1. Объект моделирования, основные уравнения и граничные условия 46
2.2. Дискретная модель 63
2.3. Исследование сходимости и оценка погрешности решения, полученного по модели метауровня 68
2.4. Сопоставление результатов математического моделирования с экспериментом 70
2.5. Выводы по главе 80
3. Численно-аналитические алгоритмы оптимизации и параметрического исследования однонаправленно армированных панелей 81
3.1. Оптимизация на макроуровне. Начальное приближение оптимума 81
3.2. Полиномиальная аппроксимация функции отклика 87
3.3. Численно-аналитический алгоритм оптимизации по модели метауровня 95
3.4. Оптимизация тонкостенных панелей настила пола вагонов и пешеходных мостов 102
3.5. Оценки времени выполнения оптимизации 118
3.6. Выводы по главе 120
4. Программная реализация алгоритмов оптимизации и параметрического исследования тонкостенных конструкций из однонаправленно армированных материалов 121
4.1. Программное средство формирования структурной модели 121
4.2. Программная реализация численно-аналитического алгоритма оптимизации 127
4.3. Выводы по главе 131
Заключение 132
Библиографический список 134
Приложение
- Методы расчета и оптимизации несущей способности проектируемых конструкций из композиционных материалов
- Анализ программных средств математического моделирования напряженно-деформированного состояния тонкостенных коробчатых конструкций из композиционных материалов
- Исследование сходимости и оценка погрешности решения, полученного по модели метауровня
- Численно-аналитический алгоритм оптимизации по модели метауровня
Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время существует тенденция к расширению области применимости композиционных материалов, армированных микроразмерными волокнами. Ранее их применение в конструкциях широкого назначения сдерживалось высокой стоимостью производства, связанной с низкой производительностью технологического оборудования. С появлением технологии пултрузионного формования стало возможным снизить стоимость конструкций до величин, делающих их применение экономически оправданным в таких массовых конструкциях, как настилы мостов, транспортные средства и т.п.
Однако технология пултрузионного формования накладывает ограничения на расположение армирующих волокон в материале, позволяя производить преимущественно однонаправленно армированные элементы конструкций. Это затрудняет реализацию потенциально высоких прочностных свойств волокнистых композиционных материалов путем выбора рационального армирования. В связи с этим на первый план выдвигается задача оптимизации проектируемых конструкций, важная для изделий массового и крупносерийного производства.
Таким образом, приобретает актуальность задача разработки компьютерного обеспечения проектирования и оптимизации тонкостенных однонаправленно армированных конструкций, решение которой должно базироваться на математическом моделировании механического поведения проектируемых конструкций.
Целью работы является разработка средств математического моделирования статического деформирования и устойчивости тонкостенных однонаправленно армированных конструкций из полимерных композиционных материалов применительно к задачам параметрического анализа и оптимизации.
Идея работы состоит в построении двухуровневой модели механического поведения однонаправленно армированных панелей, в которой гладкая со-
5 ставляющая полей напряжений и деформаций описывается в рамках теории цилиндрического изгиба пластин, а для учета взаимодействия элементов тонкостенной панели определяется полиномиальная аппроксимация функций отклика, и реализации алгоритмов расчета в рамках исследовательского пакета программ на основе объектного подхода.
Научная новизна работы определяется:
разработкой двухуровневой математической модели механического поведения тонкостенных однонаправленно армированных панелей из полимерных композиционных материалов, позволяющей на макроуровне выделить гладкую составляющую полей напряжений и деформаций и на метауровне учесть особенности совместного деформирования отдельных конструктивных элементов;
разработкой алгоритма численно-аналитического решения задачи статики тонкостенной конструкции для параметрического исследования модели, позволяющего получить зависимость численного решения в виде ряда по степеням нескольких варьируемых параметров;
разработкой алгоритма оптимизации по массе тонкостенной однонаправленно армированной панели, в котором снижение трудоемкости оптимизации достигается за счет использования аналитической модели макроуровня для получения начального положения оптимума и полиномиальной аппроксимации функции отклика и ограничений для последовательного уточнения оптимума на численной модели метауровня;
определением оптимальных конструктивных параметров тонкостенных однонаправленно армированных панелей при действии распределенных и сосредоточенных нагрузок.
Методы исследования включают: метод конечных элементов для построения дискретной модели тонкостенных коробчатых конструкций, методы линейной алгебры для решения алгебраических задач с матрицами высокого порядка, методы многомерной оптимизации для нахождения оптимальных значений параметров конструкций, методы объектно-ориентированного анализа и
проектирования для разработки пакета программ математического моделирования.
Достоверность результатов обеспечивается корректным применением апробированных методов теории упругости, строительной механики, методов численного решения краевых задач, исследованием сходимости итерационных последовательностей и сопоставлением отдельных расчетно-теоретических результатов с экспериментальными данными.
Практическая значимость работы состоит:
в разработке методики, алгоритмов и программных средств для проведения параметрических исследований напряженно-деформированного состояния пространственных неоднородных конструкций типа длинномерных панелей из тонкостенных коробчатых профилей;
в численных результатах, позволяющих проводить анализ влияния геометрических и упругих параметров на напряженно-деформированное состояние тонкостенных коробчатых конструкций, а также результатах расчета оптимальных технологических параметров таких конструкций;
в использовании результатов расчетов и пакета программ при проектировании конструкций, изготавливаемых методом пултрузионного формования, для теоретической оценки несущей способности на ранних стадиях проектирования,
и подтверждена справкой об использовании результатов диссертационной работы в промышленности.
На защиту выносятся:
Двухуровневая математическая модель механического поведения од-нонаправленно армированных тонкостенных панелей.
Численно-аналитические алгоритмы определения зависимости напряженно-деформированного состояния конструкций из композиционных материалов от геометрических и жесткостных параметров.
Алгоритм оптимизации по массе тонкостенных коробчатых конструкций из полимерных композиционных материалов с использованием полиномиальной аппроксимации функций варьируемых параметров, входящих в ограничения по прочности и жесткости, вычисляемой на основе численной модели.
Программные средства проведения параметрических исследований и оптимизации тонкостенных коробчатых конструкций в составе пакета программ математического моделирования с открытым интерфейсом.
Результаты расчета оптимальных конструктивных параметров однона-правленно армированных композитных конструкций типа длинномерных панелей из тонкостенных коробчатых профилей.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на VI, VII и VIII Региональной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (Новокузнецк, 2006, 2007 и 2008 г.), 4-ой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007 г.), Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука и молодежь: проблемы, поиски, решения» (Новокузнецк, 2007 г.), конференции «Инновационные недра Кузбасса. IT-технологии» (Кемерово, 2008 г.)
Публикации: Основные положения диссертации опубликованы в 5 работах, в том числе 4 статьях в сборниках трудов конференций и 1 статье в издании, рекомендованном ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, библиографического списка из 127 наименований и двух приложений. Общий объем диссертации составляет 163 страницы, в том числе 36 рисунков и 10 таблиц.
Первая глава содержит обзор известных постановок задач, методов и программных средств математического моделирования механического поведения и прочности пространственных конструкций применительно к их рациональному и оптимальному проектированию. Обосновывается актуальность темы исследо-
8 вания, направленного на разработку средств компьютерной поддержки прочностных проектировочных расчетов новых конструкций из однонаправленно армированных композиционных материалов с учетом специфики их физико-механических свойств. Формулируются цель и ставятся задачи исследования.
Во второй главе разрабатывается двухуровневая математическая модель механического поведения тонкостенных однонаправленно армированных конструкций. На макроуровне конструкция моделируется как конструктивно анизотропная слоистая пластина с податливым слоем, образованным системой вертикальных стенок, что позволяет получить аналитическое решение, но не при всех сочетаниях конструктивных параметров описывает деформирование конструкции адекватно. На метауровне тонкостенная конструкция представлена в виде набора совместно деформируемых анизотропных пластин, что требует решать краевую задачу численно, методом конечных элементов. Исследована погрешность численного решения, определен эффективный порядок сходимости и даны рекомендации по выбору параметров дискретизации. Показано, что численное решение хорошо согласуется с данными эксперимента на объекте-аналоге.
В третьей главе разрабатываются алгоритмы параметрического исследования и оптимизации тонкостенных однонаправленно армированных конструкций. Для снижения затрат вычислительного времени предложены два усовершенствования алгоритма: получение начального приближения путем оптимизации на приближенной модели макроуровня и численно-аналитическое построение полиномиальной аппроксимации функции отклика на модели метау-ровня. Вычисление коэффициентов аппроксимирующего полинома связано с многократным решением системы линейных уравнений с одинаковой матрицей жесткости и разными правыми частями, что наиболее эффективно выполняется при использовании прямого метода решения системы линейных алгебраических уравнений. Оценена временная сложность предложенного алгоритма и показано, что его применение становится эффективным при числе степеней сво-
9 боды модели порядка 40-50 тысяч и выше. В проектировочных расчетах реальных конструкций выяснено, что активными ограничениями являются ограничения по прогибу, что дополнительно способствует сокращению времени вычислений.
В четвертой главе рассматриваются вопросы программной реализации алгоритмов математического моделирования, ориентированных на потребности проектирования. Используется объектно-ориентированный подход к проектированию прикладных программ. Программная реализация алгоритма оптимизации выполнена на основе пакета прикладных программ «Композит». В рамках этого пакета реализована подзадача оптимизации, в которой использован численно-аналитический подход, разработанный в главе 3. Для снижения трудоемкости проведения серии расчетов для моделей, различающихся конструктивными параметрами, разработано программное средство задания исходных данных, совмещающее графический редактор с интерпретатором входного языка. Эта особенность предложенной архитектуры пакета программ, вытекающая из потребности обеспечить простоту параметрического исследования и оптимизации, позволяет автоматически модифицировать конечно-элементную модель при изменении проектных параметров, что в совокупности дает сочетание достоинств графического и алгоритмического способа задания исходных данных.
В заключении приведены выводы и основные результаты работы.
Результаты диссертации (методика математического моделирования и пакет программ) используются в ООО «Компания Армопроект» (г. Москва), что подтверждено справкой о внедрении, приведенной в приложении. Основные результаты работы могут представить интерес для предприятий, занимающихся проектированием и исследованием конструкций, изготавливаемых из однонаправленно армированных полимерных композиционных материалов.
Методы расчета и оптимизации несущей способности проектируемых конструкций из композиционных материалов
Как отмечалось выше, математическая модель деформирования нагруженной конструкции основывается на уравнениях физических теорий: линейной или нелинейной теории упругости, вязкоупругости, а также упрощенных теорий строительной механики конструкций.
В рамках линейной теории упругости задача определения напряженно-деформированного состояния тела формулируется следующим образом [67, 112]. Пусть Qei?3 - замкнутая область в трехмерном евклидовом пространстве, соответствующая начальному положению исследуемого деформируемого тела, S - граница Q, х = {xt} - декартовы координаты точек Q. Если тело линейно упругое, то в области Q выполняются следующие соотношения: 1. Кинематические соотношения Коши между вектором перемещений u = и(х) и компонентами тензора деформаций є: где В - оператор дифференцирования по координатам, связывающий перемещения с деформациями и соответствующий используемой модели деформирования с учетом кинематических гипотез; 2. Физический закон (связывает компоненты тензора напряжений сги тен зора деформаций є): где D — матрица упругости, компоненты которой представляют собой упругие постоянные материала; 3. Уравнения равновесия где р - распределенные (объемные) силы; 4. Уравнения неразрывности На границе области чаще всего задаются следующие типы краевых условий: 1. Условия в перемещениях (кинематические граничные условия): 2. Условия в напряжениях (статические граничные условия) где р - распределенная нагрузка на поверхности, an- вектор единичной внешней нормали к поверхности; 3. Смешанные граничные условия, когда на части поверхности Sl заданы соотношения вида (1.8), а на части S2 - соотношения (1.9) , причем S - Sl + S2 Деформации тела можно представить в виде линейной и нелинейной составляющих: є = є + , причем в случае малых деформаций ограничиваются линейной составляющей и решают геометрически линейную задачу; при больших деформациях нелинейная составляющая не является пренебрежимо малой, что требует решения геометрически нелинейной задачи. Для расчета гибких тонкостенных конструкций при прогибах, превышающих толщину пластины, необходим учет нелинейных составляющих деформаций. Формулировкам геометрически нелинейных задач посвящены работы [26, 68, 83].
Физически нелинейные задачи статики учитывают нелинейность физического закона (1.5). Матрица упругих параметров материала в этом случае зависит от деформаций. Физически нелинейные задачи могут быть как геометрически линейными, так и геометрически нелинейными.
Таким образом, модель механического поведения конструкции традиционно формулируется в виде линейной или нелинейной краевой задачи для уравнений в частных производных. Как правило, решение такой задачи возможно лишь приближенными методами.
Построение приближенных методов расчета в задачах механике основано на использовании трех подходов. Первый подход заключается в представлении решения краевой задачи в виде возмущенной идеализированной задачи, имеющей точное решение. Второй подход основан на введении кинематических или статических гипотез о поведении конструкции в целом, что позволяет свести дифференциальные уравнения в частных производных к обыкновенным и получить точное решение полученной упрощенной краевой задачи в замкнутом виде [ПО]. Третий подход основан на сведении задачи к конечномерной путем разложения решения по базису. При расчетах на прочность тонкостенных конструкций используются различные сочетания этих подходов.
Анализ программных средств математического моделирования напряженно-деформированного состояния тонкостенных коробчатых конструкций из композиционных материалов
В настоящее время выполнение прочностных расчетов практически не обходится без использования пакетов программ математического моделирования. Выполнение аналитических расчетов возможно зачастую лишь в случае одномерных и двумерных моделей, и то для частных видов объектов. Выполнение расчета для пространственных конструкций аналитическими средствами существенно затруднено. В связи с этим расчетчиками чаще используются приближенные численные методы и средства для их компьютерной поддержки. Рассмотрим применимость данных пакетов для проведения параметрических расчетов тонкостенных пространственных конструкций из полимерных композиционных материалов.
Развитие пакетов программ математического моделирования происходит в основном в двух направлениях. Первое направление представлено универсальными программными пакетами, такими как ANSYS [58], NASTRAN [121], COSMOS [4] и другие. Из российских пакетов можно отметить T-FLEX [6], АРМ Structure [46] и другие. В настоящее время такие пакеты обладают обширными средствами моделирования. Большинство из них имеют развитый пользовательский интерфейс, включают средства препроцессорной подготовки данных, средства выполнения расчетов и постпроцессорной обработки данных, в том числе отображения результатов моделирования. Круг задач, которые позволяют решать данные пакеты, достаточно широк. К недостаткам универсальных пакетов относят высокую стоимость и закрытость кода, что затрудняет выполнение расчетов для новых видов конструкций, обладающих нестандартными физико-механическими характеристиками, схемой армирования, или решать нестандартные виды задач. Универсальные пакеты включают наборы средств, не являющихся необходимыми для изучения рассматриваемого исследователем класса задач.
Другим направлением является разработка специализированных исследовательских пакетов, которые обычно разрабатываются самими исследователями для решения рассматриваемого ими круга задач. Исследовательские пакеты обычно содержат инструменты, позволяющие снизить трудоемкость решения рассматриваемого класса задач, и наоборот, средства, не являющиеся необходимыми для рассматриваемой области, в этих пакетах отсутствуют.
Наиболее известным зарубежным универсальным пакетом конечно-элементного анализа является многоцелевой программный комплекс ANSYS [58], который первоначально разрабатывался для «больших» машин и включал только пакетный режим работы. В настоящее время пакет представлен группой программных средств, позволяющих решать задачи из разнообразных областей физики и механики. Отметим достаточно широкое развитие данного программного продукта, который позволяет учитывать различные конструктивные нелинейности, решать общий случай контактной задачи для поверхностей, выполнять интерактивную оптимизацию и решать задачи, содержащие большие деформации и углы поворота. Пакет позволяет использовать одну и ту же модель для решения сопряженных задач, таких как прочность при тепловом нагруже-нии, влияние магнитных полей на прочность конструкции и другие. Имеется возможность задания данных для многослойных композиционных материалов. Это позволяет проводить исследования напряженно-деформированного состояния тонкостенных коробчатых конструкций из композиционных материалов при различных видах воздействий.
Программа допускает два режима работы: пакетный и интерактивный. В пакетном режиме работа ANSYS-программы задается программой пользователя. Интерактивный режим подразумевает запуск команд по одной с последующим контролем их выполнения. В состав пакета входит язык параметрического программирования APDL, который включает основные алгоритмические конструкции, присущие языкам программирования, такие как операторы цикла, условия, безусловного перехода, операторы объявления переменных и масси BOB и команды чтения и записи в файл. Существует возможность создания макросов, которые могут вызываться в командном режиме. Это позволяет проводить параметрические исследования и решать задачи оптимизации путем проведения серии прямых расчетов. Пакет позволяет формировать листинг визуальных построений модели на входном языке, что может быть использовано для повторного построения модели. Однако проведение параметрических или оптимизационных расчетов строится только на модели метауровня, что неэкономично, а использование двухуровневой модели может быть реализовано только путем организации совместных со сторонним приложением вычислений.
Среди других широко распространенных зарубежных универсальных коммерческих пакетов можно отметить пакет NASTRAN, который разрабатывался, начиная с 60-х годов коллективом с участием О.М.Зенкевича, Дж. Арги-риса и др. В настоящее время наиболее широкое распространение получила система MSC/NASTRAN for Windows [121], которая накладывает относительно невысокие требования к аппаратным средствам. Программа позволяет выполнять линейный или нелинейный прочностной анализ, определять собственные формы колебаний, производить динамический, частотный, тепловой и термопрочностной анализ, в том числе при случайном характере нагрузок, осуществлять расчет на общую и местную устойчивость. Можно отметить входящий в состав пакета инструмент оптимизации, который позволяет выполнять поиск оптимального набора параметров при заданной целевой функции и ограничениях, задание которых осуществляется в формате, соответствующем принятой в пакете структуре описания задач оптимизации. К числу средств геометрического моделирования пакета относят стандартные средства, оперирующие такими понятиями, как «точка», «линия», «поверхность», «объем», и расширенные, использующие процедуры твердотельного моделирования. В то же время проведение параметрических исследований с использованием этого пакета весьма трудоемко.
Известен пакет конечно-элементного анализа COSMOS [4], который в настоящее время представлен несколькими программными продуктами. Пакет COSMOSWorks поставляется в виде конфигураций, которые содержат модули, решающие определенный круг проблем. К числу решаемых задач относят статический упругий и неупругий анализ, анализ собственных частот, устойчивости, тепловой и усталостный анализ. В состав пакета входит модуль оптимизации, поддерживающий аппарат нелинейного программирования, модули физически и геометрически нелинейного анализа, модуль утилит. При оптимизации в качестве целевой функции могут выступать вес, объем, одна из собственных частот, одна из нагрузок потери устойчивости. Имеется возможность осуществления в рамках одной задачи оптимизации разных видов анализа. Например, целевая функция состоит в отыскании минимума массы на основе решения задачи статики, а ограничения назначаются из расчетов на собственные частоты. Данный программный пакет содержит более развитые средства оптимизации по сравнению с другими пакетами, однако численно-аналитические алгоритмы аппроксимации отклика, резко повышающие экономичность расчета, в них не реализованы.
Среди отечественных коммерческих МКЭ-пакетов известен модуль конечно-элементного анализа АРМ Structure 3D [46], входящий в состав CAD/CAE/CAM/PDM системы АРМ WinMachine. Модуль предназначен для анализа напряженно-деформированного состояния трехмерных машиностроительных и строительных конструкций, состоящих из стержневых, пластинчатых, оболочечных и объемных элементов и их комбинаций. Пакет позволяет выполнить расчеты на статическую прочность и устойчивость конструкции, нелинейный расчет и расчет на собственные резонансные частоты и вынужденные колебания. Для автоматизации расчета жесткостных характеристик стержневых элементов в состав модуля входит библиотека сечений. Однако стержневые и пластинчатые элементы содержат определенные ограничения: в стержневых элементах применяется гипотеза плоских сечений, для пластинчатых элементов действует гипотеза тонких пластин. В пакете отсутствуют средства для проведения параметрических исследований или оптимизации.
Исследование сходимости и оценка погрешности решения, полученного по модели метауровня
Достоверность результатов расчета должна быть подтверждена экспериментально. Однако к настоящему времени отсутствуют доступные данные о деформировании и разрушении описанной выше конструкции, которая находится в стадии проектирования. Поэтому достоверность результатов математического моделирования удается сопоставить только с результатами испытаний конструкции-аналога, изготовленной по той же технологии и из того же материала, но имеющей другие конструктивные размеры. С этой целью были проведены расчеты напряжений, прогибов и критических нагрузок потери устойчивости по приведенным выше алгоритмам с учетом конструктивных особенностей и размеров испытанной конструкции. Кроме того, расчетные результаты сопоставлялись с ранее полученными в работе [65].
Эксперименты проводились в ООО «Компания «Армопроект»» при кратковременном нагружении. Испытывались пять панелей, изготовленных из треугольных тонкостенных профилей и прессованных листов (рисунок 2.5). Треугольные профили изготовлены пултрузионным формованием из стеклополи-эфирного пластика: внутренний слой армирован продольным стеклоровингом, наружная и внутренняя поверхности профиля -стеклотканью НПГ-210 в один слой.
Размеры испытанных панелей приведены в таблице 2.2, физико-механические характеристики стеклопластика — в таблице 2.3. Характеристики измерялись на образцах, вырезанных из прессованных листов на основе стеклоткани и эпоксидного связующего.
Профили склеивались между собой и с прессованными листами эпоксидным компаундом «Этал-153» (ТУ 2225-153-18826195-99) с отвердителем «Этал-45»; характеристики компаунда, измеренные на образцах, приведены в таблице 2.4. Испытания образцов проводились на машине INSTRON.
Панели испытывались при вариантах нагрузок: погонной силой в поперечном сечении (см. рисунок 2.5, а); силой, распределенной «по пятну» в центре панели (рисунок 2.5, б); погонной силой в продольном сечении (рисунок 2.5, в). Нагружение осуществлялось с помощью приспособления, состоящего из двух продольных швеллеров №18, длиной 1900 мм, и закрепленных на них двух поперечных швеллеров, на которые опирались панели при испытаниях. Продольные швеллера устанавливались на опорную раму испытательной машины INSTRON.
При эксперименте на действие силы в среднем поперечном сечении панель опиралась краями на два швеллера по всей ширине. Расстояние между швеллерами составляло 1500 мм. Вертикальная сила прикладывалась в центре пролета, через металлический уголок с шириной горизонтальной полки 72 мм и вертикальной полки 115 мм, установленный поперек панели и перекрывающий всю ширину.
При действии силы, распределенной по «пятну» в центре панели, панель опиралась краями по всей ширине на два швеллера, установленные на расстоянии 1500 мм друг от друга. В середине панели, по длине и ширине, был помещен деревянный блок длиной 200 мм (вдоль панели), шириной 135 мм (поперек панели) и высотой 107 мм, на котором находилась металлическая пластина толщиной 20 мм. В пластину упирался силовой шток испытательной машины INSTRON.
Для нагружения силой в продольном сечении по схеме рисунка 2.5, в панель устанавливалась боковыми (короткими) сторонами на швеллеры, расстояние между которыми составляло 690 мм. В середине пролета панели устанавливался металлический брус шириной 60 мм и высотой 40 мм, к которому прикладывалась вертикальная сила от штока испытательной машины INSTRON. Швеллеры опор и брус в центре располагались вдоль треугольных профилей панели. Прогибы измерялись по перемещению штока нагружающей машины, которое записывалось самописцем. Усилие, которым нагружалась панель, также записывалось с помощью самописца. Машинограммы, полученные при на-гружении панелей, приведены ниже.
Испытания на действие силы в среднем поперечном сечении проводились на панели №1 в следующей последовательности. Первое нагружение производилось до начального разрушения, которое определялось по треску и падению усилия на штоке испытательной машины. После этого нагружение было остановлено и нагрузка снята. Затем было проведено второе нагружение до начала смятия стенок и третье нагружение до того же уровня нагрузки, что и второе.
При первом нагружении происходил общий изгиб по балочной форме и местная деформация в зоне приложения силы (рисунок 2.6). Зависимость прогиба от нагрузки на начальном этапе нагружения оказалась практически совпадающей с рассчитанной как по модели макроуровня, так и по модели метауровня (рисунок 2.7). При нагрузке 3680 кг наблюдался первый треск, свидетельствующий о начальном разрушении. На рисунке 2.7 видны зубцы на диаграмме деформирования, которые соответствуют локальным разрушениям, сопровождавшимся треском. Несмотря на наличие локальных разрушений, в целом диаграмма нагружения незначительно отклоняется от линейного закона. Сплошной линией на этом рисунке показана теоретическая диаграмма, полученная расчетом по модели макроуровня.
Численно-аналитический алгоритм оптимизации по модели метауровня
Методика параметрического исследования на основе полиномиальной аппроксимации отклика, описанная в пункте 3.2, может быть использована для уточнения оптимума, найденного по модели макроуровня [33]. В качестве варьируемых параметров А,і, А,2, А/з выбирается толщина верхней полки h\, нижней полки / и стенки профиля /z3. Решение задачи статиіси ищется в виде зависимости перемещений модели от трех параметров и = и(Я1,Л2,Я3). В соответствии с описанной методикой зависимость глобальной матрицы жесткости от трех параметров линеаризуется по формуле (3.22). Для этого должны быть сформированы глобальные матрицы жесткости KQ,Kl,K2,K3, соответствующие конечно-элементным моделям конструкции, сформированным для наборов параметров Х\, Х2, А,з, принимающих значения (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1). Ограничимся нахождением зависимости максимальных прогибов конструкции в окрестности приближения к оптимуму. Это не снижает общности методики, поскольку рассмотрение ограничений по напряжениям и по устойчивости вполне аналогично. Пусть требуется найти указанную зависимость в следующей области изменения параметров: hx e[/zlo/J - Ah{,h]on + Afy], h2 Фіоп -M2,h2on +Ah2], h3 e[h3on - Ah3,h3on + Ah3], где (hlon,h2on,h3oJ - набор оптимальных значений параметров, полученных по упрощенной модели, Ahx,Ah2,Ah3 - приращения варьируемых параметров, соответствующие половинам рассматриваемых интервалов варьирования. После нахождения коэффициентов полиномиальной аппроксимации по формулам (3.25) могут быть найдены различные приближения к функции и(Х1,Х2,Х3) путем взятия различного числа слагаемых в выражении (3.24). Учет всех первых степеней варьируемых параметров потребует взятия 4 слагаемых ряда, вторых с учетом суммарных степеней параметров - 10 слагаемых, третьих — 20, четвертых — 35, пятых - 56 и т. д. Для получения решения с необходимой точностью должно быть выбрано число слагаемых, соответствующих определенной степени, и сделана апостериорная оценка радиуса сходимости ряда.
В рассматриваемом случае были исследованы зависимости полученного решения от изменения по отдельности каждого из варьируемых параметров Х\, Х2, Л.З, при фиксированных значениях остальных, для числа слагаемых, позволяющих учесть первую, вторую, третью, четвертую и пятую степени параметров (рисунок 3.5). Проанализируем изменение частичных сумм. Рисунок 3.5 - Зависимость максимального прогиба модели wmax, мм, от изменения параметров Х\, А 2» А,з, Для числа слагаемых равного 1, 4, 10, 20, 35 и 56; а -зависимость от А,ь б - зависимость от %г\ в - зависимость от Хъ 12 Как известно, степенной ряд в интервале его сходимости сходится со скоростью геометрической прогрессии. Следовательно, при достаточном числе слагаемых (тем меньшем, чем меньше значение параметра) разность между последовательными частичными суммами должна убывать также со скоростью геометрической прогрессии. Если это не так при каких-либо значениях варьируемых параметров, имеются основания считать, что ряд в этой области может расходиться. Подобные рассуждения не являются доказательством, но могут быть приняты в качестве эвристических соображений. Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда (3.24) в которой для простоты нумерация элементов соответствует максимальным суммарным степеням множителей Х\ - Х-з, взятых при суммировании.
Если последовательность (3.27) сходится к сумме ряда и , то для разностей между последовательными приближениями справедливо соотношение Необходимым условием сходимости ряда (3.29) является стремление к нулю его п-го члена: которое также является необходимым условием сходимости ряда (3.24). В случае если ряд (3.30) сходится с радиусом г, то внутри области сходимости для его і-го члена справедлива оценка Выражая г -й член ряда (3.31) через полученные при вычислениях значения частичных сумм (3.30), получим: Прологарифмируем неравенство (3.32): Из выражения (3.33) видно, что в интервале сходимости график зависимости логарифмов разностей )Ди,- от номера итерации расположен ниже прямой с коэффициентом наклона, равным In X - In г. Для значений X, попадающих внутрь интервала сходимости, соответствующие прямые будут иметь отрицательный коэффициент наклона. Это позволяет принять за приближенную оценку радиуса сходимости ряда (3.24) максимальное по абсолютной величине значение X, для которого график зависимости логарифма разности между последовательными приближениями убывает на интервале от 0 до п, то есть производная функции v{n)= 1пДми отрицательна.
На рисунках 3.6, а-е показаны графики функции v(n) для различных значений Х\, %2, Хз- Они позволяют установить максимальное значение параметра, при котором наблюдается сходимость ряда для выбранного приближения. Рисунок 3.6 - Зависимость натурального логарифма разности между последовательными приближениями от номера приближения; а - при отрицательных значениях Х\, б - при положительных значениях Х\, в - при отрицательных значениях А-2, г - при положительных значениях %2, Д - при отрицательных значениях \з, е - при положительных значениях Л,з Для параметров Х2 и з графики показанных зависимостей - убывающие, следовательно, сходимость имеет место на всей области изменения параметров. Как видно из рисунков 3.6, а и 3.6, б, графики зависимостей являются убывающими для значений 1,6(- 0,4;0,4], откуда следует оценка для радиуса сходимости ряда г56 =0,4 для параметра Хи полученная при числе слагаемых, обеспечивающем сумму с максимальным суммарным значением степени, равным 5. Полученная оценка радиуса сходимости позволяет установить область изменения конструктивных параметров в окрестности найденного оптимума, на которой можно доверять полученному разложению. Для рассматриваемой модели допустимый интервал изменения параметров h\ и h2 равен от 1,6 до 2,4 мм, параметра h3 - от 3,1 до 3,9 мм. Таким образом, численно-аналитический алгоритм дает полиномиальную аппроксимацию функции отклика при варьировании проектных параметров. Используя полученную зависимость, в пределах установленной области сходимости можно скорректировать положение оптимума.
