Введение к работе
Актуальность темы исследования.
Актуальность проблемы связана с широким представлением эмульсий в различных природных и технологических процессах. В последние годы исследования по динамике капель и эмульсий продолжаются в таких традиционных направлениях, как деформация и разрушение капель в потоках и при ударах о поверхность, стабилизация и устойчивость эмульсий (Y. Saikia, С.A. Prestidge, R.G. Нота, 2007, СИ. Мартынов, 2001). Эти исследования связаны с такими технологическими процессами, как распыление топлива в двигателях внутреннего сгорания и ракетных двигателях, нанесение лакокрасочных покрытий на поверхность, струйная печать, капельное охлаждение, обработка растений химикатами, орошение посевов, новыми технологическими процессами в пищевой и фармацевтической промышленности и многими другими. Появились и новые направления исследования: создание и изучение динамики нано-эмульсий и составных эмульсий. Под составными понимаются эмульсии, в которых капли вязкой жидкости включают в себя другие жидкие включения в виде капель. Причем количество таких включений может варьироваться от нескольких до сотен в одной капле (G .Muschiolika, 2007, R. Pal, 2008).
В эмульсии, как в любой многофазной системе (суспензии, аэрозоли), существует два принципиально разных механизма взаимодействия капель. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими между каплями. Примером может служить электростатическое взаимодействие, обусловленное наличием зарядов на поверхности капель. Исследование такого рода взаимодействий в эмульсиях, и вообще двухфазных средах, проводилось в работах P.M. Adler (1983), D. Langemann (2005), N.A. Mishchuka, A. Sanfeldb, A. Steinchenb (2007) и др. Такое взаимодействие представляет интерес при исследовании устойчивости и структурирования эмульсии: в результате действия таких сил возможна коалесценция капель или образование периодической структуры (W.R. Schowalter, 1984, F. Leal-Calderona, 1999, Е. Dickinson, 2010). Изменение состояния диспергированной фазы существенно влияет на реологические свойства среды в целом.
Второй механизм связан с взаимодействием капель через движение
несущей фазы (жидкость, газ): распределение скорости и давления жидкости вблизи какой-либо капли зависит от расположения других капель. Движение одной капли влияет на движение всех остальных, и наоборот. Такое взаимодействие называется гидродинамическим и влияет на все процессы, происходящие в эмульсии.
Как известно, моделирование взаимодействия и движения двух и более твердых частиц в вязкой жидкости оказалось сложной задачей: во-первых, граничные условия необходимо задавать на нескольких поверхностях, во-вторых, необходимо учесть искажения, внесенные в поток всеми частицами. В случае жидких частиц сложность возрастает, так как необходимо учитывать движение жидкости внутри самих жидких частиц. Еще более сложная задача, когда жидкие частицы имеют внутреннюю структуру, например, включают в себя еще другие жидкие частицы с отличными от основной жидкости плотностью и вязкостью. В этом случае необходимо учитывать взаимодействие внутри такой структуры между ее элементами.
Для двух жидких сфер известно точное решение (S. Haber, 1973, Е. Rushton, 1973, G. Hetsroni, 1978) осесимметричной задачи, когда частицы движутся вдоль линии центров. Полученное решение обобщает результаты исследований М. Stimson (1926), Н. Brenner (1961), Е. Bart (1968), Е. Wacholder (1974). Гидродинамические силы представлены в работе S. Haber бесконечными рядами. Эти ряды медленно сходятся и практически непригодны для численного счета, если зазор между поверхностями сфер мал. В работе А.З. Зинченко (1978) в стоксовом приближении рассматривается осесимметричная задача о движении двух жидких сфер в вязкой среде. При малой величине зазора между поверхностями сфер строится асимптотическое решение. Рассмотрен также случай, когда одна из сфер является твердой. В этой же работе строится асимптотическое решение, применимое также в случае жидких сфер, расположенных одна внутри другой, что представляет интерес, например, при изучении движения капли, содержащей газовый пузырь. Найденное решение существенно отличается от известного асимптотического решения M.D.A. Cooley (1969) для твердых сфер. В работе А.З. Зинченко (1983) в рамках квазистационарных уравнений Стокса рассматривается гидродинамическое взаимодействие двух одинаковых, свободных от внешних
сил жидких сферических частиц в линейном поле течения произвольного вида. Представлены численные результаты по расчету относительной скорости частиц и интенсивности силовых диполей на сферах. Получены дальние и ближние асимптотические разложения соответствующих гидродинамических функций, с использованием метода многократных отражений.
Медленное движение двух соприкасающихся жидких сфер вдоль их линии центров рассмотрено в работе L.D. Reed и F.A. Morrison (1964). Гидродинамическое взаимодействие двух медленно испаряющихся частиц изучено в работе H.N. Oguz, A. Prosperetti и D. Antonelli (1989). Влияние гидродинамического взаимодействия на коагуляцию (коалесценцию) двух капель описано в работах Н. Wang, R.H. Davis и А.З. Зинченко (1994). Расчет эффективности гравитационной коагуляции капель с учетом их внутренней циркуляции приведен в работе А.З. Зинченко (1982).
Столь пристальное внимание к задаче о двух частицах объяснялось желанием использовать найденное решение задачи о взаимодействии двух частиц при решении другой задачи - о взаимодействии большого числа капель. Для моделирования взаимодействия твердых частиц в настоящее время развиваются такие методы, как метод стоксовой динамики (J.F. Brady, L. Durlofsky), метод решеточного уравнения Больцмана (A.J.C. Ladd, R. Verberg R.R. Nourgaliev, T.N. Dinh, T.G. Theofanous, D. Joseph), численное моделирование (H.P. Langtangen, K.-A. Masdal, R. Winther, К. Флетчер), позволяющее рассматривать дисперсные системы с большим количеством взвешенных частиц. Широко применяются методы молекулярной динамики, Монте-Карло, диссипативных частиц. Метод конечных элементов (например, работы М. Behr, Т.Е. Tezduyar, 1994, Н.Н. Ни, 1996) использует численное интегрирование уравнений движения жидкости, предварительно разбивая на сегменты все пространство, занятое жидкостью. Этот метод позволяет находить решения при любых числах Рейнольдса, а не только при малых. Недостатком этого метода является очень большое количество вычислений и необходимость работать с большими объемами данных. Даже в последнее время, когда возможности вычислительной техники выросли, применение метода конечных элементов для большого числа частиц остается трудной задачей, так как требует большого объема вычислений. Существуют и другие методы по-
строения решения для гидродинамического взаимодействия твердых частиц (A.M. Chapman, J.J.L. Higdon, 1992, Н.Б. Урьев, И.В. Кучин, 2006). Однако, в настоящее время не существует достаточно точного и при этом несложного метода, позволяющего моделировать взаимодействие любого конечного числа твердых частиц, тем более это относится к случаю составных капель. Трудности моделирования возрастают при увеличении числа капель, взаимодействующих между собой, что сказывается на практической реализации вычислительных схем известных методов. Кроме того многообразие и сложность эффектов многофазности приводит к необходимости проведения все новых исследований. Поэтому получение новых аналитических и численных результатов в этой области по-прежнему остается актуальной задачей.
Диссертация посвящена математическому моделированию гидродинамического взаимодействия и динамики капель составной эмульсии.
Цель и задачи исследования.
Цель работы - математическое моделирование динамики капель составной эмульсии с учетом их гидродинамического взаимодействия в потоках при малых числах Рейнольдса. В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:
разработка и программная реализация метода расчета гидродинамического взаимодействия составных капель эмульсии между собой и со своим включением в потоке вязкой несжимаемой жидкости;
на основе разработанного метода получение аналитических выражений для сил, действующих на составные капли и на их включения;
нахождение аналитических выражений для скоростей, приобретаемых каплями и их включениями в результате гидродинамического взаимодействия в однородном и линейном потоках вязкой жидкости;
разработка метода расчета средней скорости осаждения составных капель эмульсии в поле силы тяжести с учетом их структуры и проведение численного моделирования динамики осаждения капель и их включений;
разработка метода расчета эффективной вязкости составной эмульсии,
с учетом гидродинамического взаимодействия капель и их структуры.
Научная новизна Разработан аналитический метод решения задачи о гидродинамическом взаимодействии капель составной эмульсии, включая взаимодействие капли со своим включением.
Предложенным методом решены задачи: о гидродинамическом взаимодействии капель составной эмульсии в линейном и однородном потоках. Найдены выражения для сил, действующих на каплю и ее составляющую.
Решена задача об осаждении капель составной эмульсии в поле силы тяжести. Найдена средняя скорость осаждения капель с учетом динамики их включений. Показано, что динамика включений оказывает существенное влияние на скорость осаждения составных капель.
Определена эффективная вязкость составной эмульсии. Найдено, что при всем рассмотренных параметрах капли и включения вязкость составной эмульсии выше, чем простой.
Достоверность полученных результатов следует из того, что они получены из общих уравнений и законов движения жидкости с помощью строгих математических выводов, математическими методами исследования. Решения задач, найденные предлагаемым методом, для известных частных случаев совпадают с результатами, полученными другими методами.
Практическая значимость результатов исследования. Полученные в диссертации результаты позволяют глубже понять механизм гидродинамического взаимодействия в эмульсии для создания новых моделей и могут быть использованы при расчетах динамики капель составной эмульсии в потоках в различных приложениях.
Основные результаты, выносимые на защиту:
метод расчета гидродинамического взаимодействия составных капель эмульсии между собой и со своим включением в потоке вязкой несжимаемой жидкости и его программная реализация;
аналитические выражения для сил, действующих на составные капли и их включения в результате гидродинамического взаимодействия в линейном и однородном потоках;
аналитические выражения для скоростей, приобретаемых каплями и их включениями в результате гидродинамического взаимодействия в однородном и линейном потоках;
метод расчета средней скорости осаждения составных капель эмульсии в поле силы тяжести с учетом их структуры и результаты численного моделирования динамики осаждения капель и их включений;
метод расчета эффективной вязкости составной эмульсии с учетом гидродинамического взаимодействия составных капель и их структуры, а также результаты численного расчета эффективной вязкости составной эмульсии при различных значениях параметров.
Апробация результатов.
Основные результаты диссертационного исследования обсуждались на семинарах Средневолжского математического общества (г. Саранск, 2007, 2010 гг.), на Третьей международной школе-семинаре "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (г. Саранск, 2007), на научных семинарах кафедры высшей математики Югорского государственного университета (г. Ханты-Мансийск, 2008, 2009, 2010 гг.), на IX конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании" (г. Саранск, 2010 г.), на III международной конференции "Математическое моделирование социальной и экономической динамики" (MMSED-2010, г. Москва, 2010 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, приведенных в конце автореферата, из них три из списка изданий, рекомендованных экспертным советом ВАК по управлению, вычислительной технике и информатике для публикации результатов диссертаций.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 121 лист машинописного текста. Диссертация содержит 68 рисунков, 1 таблицу и список литературы из 137 наименований.
