Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ современного состояния проблемы 11
Глава 2. Исследование поглощения электромагнитного излучения системой двух однородных цилиндрических частиц. решение тепловой задачи с источниками, инициированными электромагнитным излучением. расчет распределения температуры по сечениям цилиндров 30
Глава 3. Исследование поглощения эми системой двух двухслойных цилиндрических частиц. влияние оптических свойств слоев на распределение тепловых источников внутри частиц 54
Глава 4. Математическая модель взаимодействия электромагнитного излучения с двумя сферическими поглощающими дисперсными частицами 75
Основные результаты работы 82
Список литературы 84
- Анализ современного состояния проблемы
- Исследование поглощения электромагнитного излучения системой двух однородных цилиндрических частиц. решение тепловой задачи с источниками, инициированными электромагнитным излучением. расчет распределения температуры по сечениям цилиндров
- Исследование поглощения эми системой двух двухслойных цилиндрических частиц. влияние оптических свойств слоев на распределение тепловых источников внутри частиц
- Математическая модель взаимодействия электромагнитного излучения с двумя сферическими поглощающими дисперсными частицами
Введение к работе
Актуальность работы
Для решения современных проблем физики является актуальным разработка математических моделей для изучения свойств физических систем, исследования процессов, происходящих в них, а так же проведение числительных экспериментов с использованием современных вычислительных методов.
Так, одной из таких проблем физики дисперсных систем и электродинамики является проблема взаимодействия электромагнитного излучения с дисперсными системами (атмосферными аэрозолями, различными коллоидными растворами, биосистемами и т.п.). На практике такие задачи важны, например, при создании каналов просветления в атмосфере посредством воздействия интенсивного лазерного излучения на системы атмосферных дисперсных частиц. При этом происходит разогрев частиц или, в зависимости от различных условий, испарение аэрозольных частиц или тепловой взрыв. Такая задача представляется особенно актуальной в связи с загрязнением атмосферы различными видами аэрозолей, например, частицами сажи и т.д. Поскольку в дисперсных системах, встречающихся на практике, имеет место взаимодействие частиц, то возникает необходимость создания математической модели, описывающей поглощение ими электромагнитного (в частности, лазерного) излучения с учетом взаимодействия частиц. От распределения поглощенной энергии внутри частиц зависит их температура. Представляется актуальным вычисление распределения температур в системе взаимодействующих частиц, нагреваемых внутренними источниками тепла, инициированными как воздействием внешнего электромагнитного поля, так и поля, рассеянного на соседних частицах.
Цель работы
Целью настоящей работы является разработка математических моделей воздействия электромагнитного излучения на дисперсные системы, с учетом взаимодействия частиц, входящих в эти системы, и математическое моделирование инициированного им процесса теплопереноса в этих системах.
Для достижения поставленной цели были решены следующие научные задачи:
разработка комплекса программ для проведения вычислительных экспериментов и расчетов с применением современных технологий математического моделирования;
проведение вычислительного эксперимента на основе разработанного программного комплекса для изучения воздействия электромагнитного излучения на дисперсную систему;
исследование процессов теплопереноса в системах парных дисперсных частиц в поле электромагнитного излучения;
численный анализ влияния соседних частиц- на распределение поглощенной энергии внутри частиц при различных условиях и параметрах системы частиц;
исследование температурного поля внутри цилиндрических частиц, нагреваемых внутренними источниками тепла, возникающими при воздействии на систему электромагнитного излучения;
исследование условий, при которых поглощение внутри двух сферических частиц при воздействии на них электромагнитного излучения максимально.
Методы* исследования., В «работе применяются методы теории представления групп, метод разделения, переменных, методы решения* уравнения теплопроводности, теория Ми для построения математической модели взаимодействия электромагнитного поля, с системой дисперсных частиц, обладающими различными свойствами. Также были применены методы! прикладного программного обеспечения (Microsoft Access, Microsoft Excel, MatLab).
Научная новизна. Получены следующие новые результаты:
математическая модель теплопереноса в системе двух однородных цилиндрических частиц с источниками, инициированными внешним-электромагнитным полем, и модель распределения энергии электромагнитного излучения в неоднородных (двухслойных) цилиндрических частицах (расчет тепловых источников);
алгоритм и программный комплекс на основе предложенных моделей;
качественные и количественные закономерности процессов теплопереноса и поглощения энергии электромагнитного излучения в системе двух взаимодействующих цилиндров, с учетом найденных из решения электродинамической задачи тепловых источников в длинноволновом приближении;
вычислительный эксперимент по расчету распределения поглощенной энергии электромагнитного излучения неоднородными (двухслойными) цилиндрическими частицами, с учетом их взаимного, влияния и влияния внешнего слоя;
программный комплекс для расчета параметров системы двух сферических частиц различных радиусов в поле плоской монохроматической электромагнитной волны, при которых поглощение максимально.
Практическая значимость.
Распределение температуры внутри взаимодействующих дисперсных частиц сферической и вытянутой (цилиндрической) формы, возникающее в результате воздействия на систему электромагнитного излучения, определяет дальнейшую эволюцию дисперсной системы, и поэтому расчет температуры необходим для специалистов, занимающихся практическими вопросами воздействия электромагнитного излучения на дисперсные системы. Полученные в работе результаты позволяют оценить влияние различных параметров (размеров частиц, вещества частиц и среды, расстояния между частицами, характеристик падающего излучения) на распределение поглощенной энергии внутри частиц. Путем варьирования этих параметров представляется возможным изменить распределение плотности источников тепла (а, следовательно, и температуры) внутри частиц. Это создает дополнительные возможности для управления различными физико-химическими процессами, происходящими в дисперсной системе (фазовыми переходами, химическими превращениями, изменениями агрегатных состояний и др.), для описания форетического движения частиц, а также для исследования ориентированных частиц в области нанотехноло-гий.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
Krivenko I.V., Ivannikov A.F. Modeling of Interaction of an Electromagnetic Field with Disperse System Containing Cylindrical Particles (Long Wave Approach) I 5th International congress no mathematical modeling. Book of abstracts. -M.: "Janus-K", 2002. P. 96.
Кривенко И.В., Комаров (Иванников) А.Ф. Моделирование распределения температуры внутри дисперсных частиц цилиндрической формы под действием электромагнитного излучения / Тезисы докладов 11 Международной конференции «Математика, компьютер, образование» (г. Дубна, 26-31 января 2004 г.) - Москва-Ижевск: R&C Dynamics, 2004. Вып. 11. С. 113
Кривенко И.В., Комаров А.Ф. Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с дисперсной' системой, содержащей цилиндрические частицы (длинноволновое приближение)//В сб.: Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сб. науч. тр. / МГТУ «СТАНКИН». - Изд-во «Янус-К», 2003. С. 117-123.
Кривенко И.В., Комаров (Иванников) А.Ф. Тепловые поля внутри системы взаимодействующих дисперсных частиц цилиндрической формы // В сб.: Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-технологических систем: Сб. науч. Тр. / МГТУ «СТАНКИН» - М.: Изд-во «Янус-К», 2004. - Вып. 7. - С. 90-96
Иванников А.Ф. Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с дисперсной системой, содержащей цилиндрические частицы (длинноволновое приближение)// ГХ-ая научная конференция МГТУ «Станкин» и «Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ «Станкин» - ИММ РАН»: Программа. Сборник докладов/Под ред. О.А. Казакова.- М.: «ЯНУС-К», ИЦ ГОУ МГТУ «Станкин». 2006. - С. 19-22
6.' Иванников А.Ф.1,_Кривенко-И.В. Двухслойные цилиндрические частицы в поле электромагнитного излучения (длинноволновое приближение)// Тезисы докладов 13-ой Международной научной конференции «Математика, компьютер, образование»/ Под ред. Г.Ю. Ризниченко, вып. 13 - М.:2006. -С. 142
Uvarova L.A., Krivenko I.V., Ivannikov A.F., Peculiarities of stochastic resonance in, disperse systems //17 National Congress, Final Program & Abstract Book. Thesis №871 - The Australian Institute of Physics, 2006.
Иванников А.Ф., Кривенко И.В., Моделирование взаимодействия электромагнитного поля с дисперной системой, содержащей цилиндрические частицы (длинноволновое приближение) // Компьютерные технологии в управлении, медицине, образовании [Текст]: сборник научных трудов. — Тверь. ТГТУ, 2006. С. 153-158
Иванников А.Ф., Кривенко И.В., Тепловые поля внутри системы» взаи-модействующих дисперсных частиц цилиндрической формы. // Компьютерные технологии в управлении, медицине, образовании [Текст]: сборник научных трудов. - Тверь. ТГТУ, 2006. С. 158-163
10. А.Ф. Иванников, Условие возникновения)резонансного поглощения в.
системе двух сферических дисперсных частиц //Труды 50-й научной кон
ференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и приклад
ных наук»: Часть VHL Проблемы современной физики. - М.: МФТИ, 2007.
- 200 с.
11. Иванников А.Ф. Исследование распределения тепловых источников,
инициированных электромагнитным излучением в системах двухслойных
аэрозольных частиц вытянутой формы // Тезисы докладов 14-ой Междуна
родной научной конференции «Математика, компьютер, образование»/
Под ред. Г.Ю. Ризниченко, вып. 14 - М.:2007.
А.Ф. Иванников, Л.А. Уварова, И.В. Кривенко // ОПиПМ, Т. 15, Вып. 3. - М.: Редакция журнала ОПиПМ, 2008.
L.A. Uvarova, I.V. Krivenko, М.А. Smirnova, A.F. Ivannikov, E.JU. Romanov, M.V. Krasikov. Electromagnetic Waves Propagation for the Different Configurations and Induced Heat Transport for Disperse Systems II GAeF-Meeting Conference 2008. - Karlsruhe, 2008.
L.A. Uvarova, I.V. Krivenko, A.F. Ivannikov, T.V. Kazarova. The Interaction of the Electromagnetic Radiation with Two Non-homogenous Cylindrical Particles and Theirs Dynamical II Book of Abstracts of AIS-2008. - Kaliningrad, 2008.
И.В. Кривенко, А.Ф. Иванников. Взаимодействие однородных и неоднородных вытянутых аэрозольных частиц в поле лазерного излучения // Международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем». Сборник тезисов. - М.: МГУП, 2008. - С. 70.
Апробация, работы. Результаты, работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях:
Конференции «Математика, Компьютер, Образование» (г. Дубна, Пущино, 2006-2007 гг.)
17 National Congress of The Australian Institute of Physics (декабрь 2006 г.)'
50-ая научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (г. Долгопрудный, ноябрь 2007 г.)
Девятый Всероссийский Симпозиум, по прикладной и промышленной математике (г. Кисловодск, май 2008 г.)
Научно-практическая конференция студентов и аспирантов «Современные проблемы рационального, использования природных ресурсов и охраны окружающей среды» (май 2008 г.)
GAeF-Meeting Conference 2008 (Karlsruhe, июль 2008 г.)
AIS-2008 (Kaliningrad, июль 2008 г.)
Международная научная конференция «Моделирование нелинейных процессов и систем» МГТУ СТАНКИН (октябрь 2008 г.)
Доклады на научных конференциях и семинарах в Тверском государственном техническом университете (2002 - 2009 гг.)
Внедрение результатов диссертационного исследования. Материалы диссертационной работы используются в учебном процессе кафедры теплофизики Тверского государственного технического университета в рамках преподавания дисциплины «Физика».
Анализ современного состояния проблемы
Изучение воздействия электромагнитных полей на коллективы взаимодействующих частиц является одной из актуальных проблем современной физики дисперсных систем. При взаимодействии электромагнитного излучения с дисперсной системой падающее излучение будет частично поглощаться веществом в дисперсной фазе и частично рассеиваться [1-3], таким образом, в ограниченном объеме частицы возникает распределение поглощенной энергии, которое обуславливает температурное поле как вне, так и внутри частицы. Расчет температурного поля внутри и вне дисперсной частицы позволяет теоретически изучать различные явления, происходящие в дисперсной системе, находящейся в электромагнитном поле: разогрев частиц, тепловой взрыв, явление термофореза и т.п. Поэтому несо- мненный интерес представляет изучение распределения энергии электромагнитного поля внутри частицы.
В 1908 г. Дж. Ми получил строгое решение для дифракции плоской монохроматической электромагнитной волны на однородной сферической частице с комплексным показателем преломления, находящейся в однородной среде [4]. Эта работа послужила основой для многочисленных исследований, касающихся вопросов рассеяния и ослабления электромагнитных волн дисперсными частицами.
Вопросы распределения энергии электромагнитного поля внутри одиночной частицы, влияния неоднородности внутреннего поля на возникновение нелинейных эффектов посвящены работы А.П. Пришивалко, Л.Г. Астафьевой и др. (ИТМО, г. Минск). В работе [5] проведено теоретическое исследование распределения энергии электромагнитного поля внутри сферических частиц (однородных и неоднородных, поглощающих тнепоглощающих) в зависимости от размеров длиньиволны;шполяризации падающего излучения; а также свойств? вещества частиц; Влияние: неоднородной структуры внутренних оптических полей; в частицах на зако-: номерностш взаимодействия излучения с; веществом рассмотрено на примере взаимодействия капель водного аэрозоля и инфракрасного Излучения; высокой- интенсивности: В работе [5], предложен метод расчета составляющих; электромагнитного поля внутри сферических частиц. Более подробное описание применяемого, метода расчета дано в работах [6, 7, 8]. В работе [5] приведены; результаты расчетов плотности энергии электрического поля внутри-капель водного аэрозоля; радиусы;которых лежат в.диа пазоне 0:5; R" 30.0 микрометров: Длина? волны падающего- излучения; Х =10;6324мкм. Плотность энергии характеризуется величиной В, где
Здесь Ё ,.Ёг электрические векторы;поля в падающей;на частицу плоской волне и внутри частицы: Выражения, определяющие.компоненты вектора Ё, получены, на основе теории Ми в виде бесконечных сумм. Коэффициенты поглощения, входящие в бесконечные суммы, получены в результате аналитического решения уравнений! Кельмгольца- относительно электрического и магнитного потенциалов Дёбая. Метод; расчета; функций Риккати-Бесселя; входящих в; выраженияг для; коэффициентов поглощения; описывается в работах [5, 6, 7, 8].
В работе [9] рассмотрена теория рассеяния; плоско-поляризованного-света на произвольных сферически симметричных объектах. В работе показано, что любые величины, характеризующие рассеяние света (сечение экстинкции, рассеяния, поглощения), могут быть определены, если рассчитаны коэффициенты рассеяния; Уравнения Гельмгольца относительно потенциаловДебая, врезультате решения которых получают коэффициенты рассеяния, в работе [9] решены методом Рунге-Кутта.
В работе [10] рассмотрено рассеяние и ослабление излучения магнитными частицами (однородными частицами из ферромагнитных материалов). При расчете их рассеивающих и поглощательных свойств в суммы бесконечных рядов, количественно определяющих эти свойства, входят амплитудные коэффициенты поглощения, которые отличаются от обычных коэффициентов рядов теории Ми тем, что включают в себя зависимость от магнитной проницаемости.
В работе [11] была рассмотрена резонансная структура в слабо-поглощающих сферах. Данное исследование основывалось на теории Ми, были найдены условия, при которых достигается резонанс, причем диэлек-трическая проницаемость вещества принимала комплексное значение.
В работе [12] исследовано внутреннее движение капелек воды, облучаемых импульсами СО2 - лазера. Нахождение пространственного распределения поглощенной энергии позволило исследовать гидродинамику внутреннего движения капельки. В данной работе рассмотрено образование внутри капли ударных волн.
В работе [13] отмечено, что в связи с проблемами атмосферной фотохимии актуальной является задача получения точного аналитического выражения для среднего по времени значения электромагнитной энергии внутри капель водного аэрозоля. В работе рассмотрено взаимодействие плоской монохроматической электромагнитной волны со сферической частицей (в общем случае, имеющей комплексный показатель преломления). В рамках точной теории Ми получено выражение для полной электромагнитной энергии внутри сферической частицы. Достоинством.полученных выражений является возможность их анализа (так, в частности, получен предельный переход к диэлектрической сфере). В работе представлены численные результаты расчетов сечений экстинкции и поглощения, а также полной энергии внутри капель воды (показатель преломления - 1.334-і 1.5 10" ) для различных дифракционных параметров частиц" лежащих в диапазоне от 1 до 50.
Исследование поглощения электромагнитного излучения системой двух однородных цилиндрических частиц. решение тепловой задачи с источниками, инициированными электромагнитным излучением. расчет распределения температуры по сечениям цилиндров
При воздействии на дисперсную систему электромагнитного излучения в ней возникают различные процессы: тепло- и массоперенос, форети-ческое движение частиц движение частиц и т.д. В настоящей главе рассматривается взаимодействие электромагнитного излучения с монодисперсными частицами и инициированный им: тепло-перенос. Как отмечено в работе [67], например, для ледяных кристаллов игольчатых форм в аэродисперсных системах характерное отношение их диаметра к длине (d/L) составляет величину значительно меньшую единицы. Здесь же оговариваются условия, при, которых кристаллы однородной плотности, падающие в спокойном воздухе, ориентируются преимущественно горизонтально. В одних случаях вытянутые частицы ориентируются при падении параллельно друг другу, в других - перпендикулярно. Нами рассмотрено воздействие плоской монохроматической электромагнитной волны на систему двух бесконечных однородных цилиндрических частиц одинаковых радиусов Ro, оси которых являются параллельными друг другу. Предполагается, что цилиндры поглощают электромагнитное излучение.
Полагая, что векторы Ё и Н зависят от времени t по периодическому закону ( e"1C0t, Я е",ШІ), для амплитуды вектора Ё можно записать V2E + k2E = 0 где к - волновое число. Аналогичное уравнение можно записать и для вектора Н. Известно, что физической причиной затухания электромагнитных волн в среде, обладающей некоторой проводимостью, является преобразование электромагнитной энергии волны в джоулеву теплоту; именно вектор напряженности электрического поля электромагнитной волны оказывает в результате влияние на нагрев частиц. Для скалярного электрического потенциала из уравнений Максвелла в области с нулевой плотностью заряда следует однородное волновое уравнение [2]: Рассмотрим случай, когда радиусы цилиндров много меньше, чем длина волны падающего излучения (R0 « /L). Известно, что в этом случае, который соответствует так называемому длинноволновому приближению, для потенциалов электрического поля вне и внутри частиц можно записать уравнение Лапласа В системе двух цилиндров удобно решать уравнение Лапласа в бици-линдрической системе координат методом разделения переменных [87]. Решая уравнение Лапласа в бицилиндрической системе координат, можно найти величину напряженности электрического поля в любой точке внутри цилиндра.
Плотность тепловых источников внутри частиц, инициированных электромагнитным излучением, прямо пропорциональна модулю квадрата амплитуды электрического вектора В бицилиндрической системе координат лапласиан Ф имеет вид: где а - полярное расстояние, а, % z — бицилиндрические координаты С декартовыми координатами они связаны уравнениями [87]: На рис. 2 показано расположение системы цилиндров относительно координатных осей и вектора напряженности электрического поля 0. Здесь Oj02 = 2R, где R — половина расстояния между центрами цилиндров; О А = OB = а. Цилиндры расположены симметрично относительно начала координат. Боковые поверхности цилиндров являются координатными поверхностями в бицилиндрической системе координат: Tj = const, -Ті = const. Связь между криволинейными координатами и R, R0 и а устанавливается следующим образом:
Исследование поглощения эми системой двух двухслойных цилиндрических частиц. влияние оптических свойств слоев на распределение тепловых источников внутри частиц
Интересным представляется рассмотрение неоднородных по составу аэрозольных частиц. Рассмотрим аэрозольные частицы следующего состава: на ледяной «игле» образовался слой сажи (мокрого угля, смога и т.п.). Такой случай может реализоваться в реальности в слоях атмосферы, находящихся в районах мегаполисов и промышленных зон с повышенной концентрацией углесо-держащих соединений. Такая дисперсная система моделируется нами парой бесконечных двухслойных параллельных цилиндрических частиц. Внешний слой и внутренняя область частицы имеют различные свойства (диэлектрические проницаемости). Толщина внешнего слоя много меньше радиуса ядра.
Нами рассмотрено три модельных случая двухслойных частиц: а) Внешняя граница цилиндра и внутренняя граница внешнего слоя представляют собой концентрические цилиндрические поверхности. На рис. 14 представлена схема расположения цилиндров относительно системы координат Оху (см. рис. 2). На рисунке показано наложение двух бицилиндриче-ских систем координат. Фокусы d и 02 связаны с цилиндрами, радиусы которых соответствуют внешней границе цилиндрической частицы (отметим, что Oi и Ог могут быть расположены как во внешнем слое, так и во внутренней области цилиндра). Фокусы CV и CV соответствуют бицилиндрической системе координат, координатными поверхностями которой являются внутренние границы внешних слоев цилиндров. б) Внешняя граница цилиндра и внутренняя граница внешнего слоя представляют собой неконцентрические цилиндрические поверхности. На ри сунке 15 представлена схема расположения цилиндров относительно системы координат Оху, в которой используется преимущество бицилиндрической сис темы координат. Рассматриваются неконцентрические слои, однако внешние и внутренние границы наружных слоев являются координатными поверхностя ми одной бицилиндрической системы координат, фокусы которой соответст вуют внешней границе цилиндрической частицы. Безусловно, это модельный случай, так как толщина слоя предопределена расположением координатных поверхностей в бицилиндрической системе координат с фиксированным фо кусом. в) Внутренняя граница внешнего слоя выбирается случайным образом так, что ті - г( ) , где ф — угловая координата в полярной системе координат, связанной с внешней границей цилиндра (рис. 16). Как и во второй главе, мы рассматриваем случай, когда на систему цилиндров падает плоская монохроматическая электромагнитная волна.
Расположение системы цилиндров относительно векторов поля соответствует описанию, представленному во второй главе. Здесь также рассматривается случай длинноволнового приближения. Поэтому в настоящей задаче также решается уравнение Лапласа [8] со следующими граничными условиями: где (рп - потенциалы вне и внутри цилиндров (рис. 17). Условия (55) и (56) записаны для цилиндра с координатной поверхностью Tj = const, її і = const; п - нормаль к поверхности цилиндра. Причем граничные условия одинаково формулируются для обоих рассмотренных случаев. В случае а) т\ = f{rx, т)является переменной и зависит от координаты выбранной точки. і В случае б) і, что соответствует внутренней границе внешнего слоя тождественно равно 2 что является координатной поверхностью одной би-цилиндрической системы координат с внешней границей цилиндра. і В случае в) Т] случайная функция, значения которой лежат в опреде 1 ленных пределах г\ т 1 .
В бицилиндрической системе координат известны соотношения: таким образом, в любой точке сечения цилиндра с помощью координат х и у можно осуществить переход между двумя бицилиндрическими системами координат. Так как потенциал электрического поля не зависит от координаты z (вследствие симметрии), то, следовательно и выражения (1-2) преобразуется к виду: Решая уравнение (59) методом разделения переменных для каждого потенциала, получаем выражения для потенциалов внутри цилиндра, и внутри слоя (tj = const, Т] = const):
Математическая модель взаимодействия электромагнитного излучения с двумя сферическими поглощающими дисперсными частицами
В настоящей главе рассмотрено взаимодействие электромагнитного излучения (плоской монохроматической электромагнитной волны) с двумя сферическими поглощающими частицами. Например, это могут быть водяные капли, взвешенные в воздухе. Предполагалось, что радиусы сфер могут быть различными, расстояния между центрами сфер произвольно, угол, который составляет волновой вектор к с линией, соединяющей центры сфер, также может задаваться произвольно. Разработан программный комплекс, позволяющий рассчитывать модуль квадрата амплитуды электрического вектора внутри частицы (а тем самым, плотность тепловых источников), при варьировании различных параметров системы и частиц. Проведен ряд численных экспериментов.
Две сферические частицы радиусов Ri и R2 находятся на расстоянии Oi02=R друг от друга (рис. 28). Ось z направлена вдоль линии, соединяющей центры сфер. Волновой вектор падающей плоской волны к образует угол 9 с положительным направлением оси z. Декартова система координат x y z связана с центром первой частицы Oj. Ось z сонаправлена вектору к, ось х -вектору напряженности электрического поля Ё, а ось у — вектору напряженности магнитного поля Н. С центрами сфер связаны декартовы системы координат xiy i и x2y2Zi (оси Xi и х2, у і и у2 параллельны друг другу). Направление оси Xi выбирается таким образом, чтобы вектор к лежал в плоскости XJOJZ, а ось yi направлена таким образом, чтобы система координат x Zi была право-винтовой. Также с каждой из указанных декартовых систем координат связывается соответствующая сферическая система координат: г ср, г202ф, r 0 ф .
На рис. 1 через L обозначена прямая, по которой пересекаются плоскости xiOiZ и x Oiy , L - линия пересечения плоскостей хіОіу! и х Оіу . Электрический вектор Ё образует угол с плоскостью ф=0 ф - угол между прямыми L и х ).
Предполагается, что волновой вектор плоской монохроматической электромагнитной волны направлен под произвольным углом 0 к линии, соединяющей центры частиц. Поле внешнее по отношению к данной частице рассматривается как сумма внешнего инициирующего электромагнитного поля и поля, рассеянного на соседней частице. При решении задачи использованы теория Ми и методы теории представления групп [59].
Выражения для нахождения коэффициентов поглощения, зависящих от влияния частиц друг на друга, приведены при помощи выражений (67)-(69). Целью расчетов являлся поиск условий (расстояние между центрами частиц, параметров частиц), при которых поглощенная энергия внутри частиц максимальна. Известно, что тепловой источник q пропорционален квадрату амплитуды электрического вектора поглощенного поля внутри частицы. Полагая, что поле, падающее на данную частицу, представляет собой сумму полей инициирующего излучения и поля, рассеянного на соседней частице, на основе решения уравнения Гельмгольца, с использованием теории Ми, методов теории представления групп мы получили выражения, позволяющие рассчиты вать значения Е\ в любой точке внутри частицы.
Выражения, определяющие Е представляют собой сумму бесконечных рядов с коэффициентами Dn. Исследованы на экстремум функции Dn при различных расстояниях между частицами. Максимум функции, а, следовательно, и коэффициента поглощения достигается в точках, в которых знаменатель результирующей функции стремиться к нулю (минимальному значению).
Для вычислений в среде Matlab были взяты следующие параметры системы Для рис. 29: ai = 2 мкм, X = 10,6 мкм, п = 1,173 + 0,0823i, 0 = 0,01, R = от 5 мкм до 30 мкм Из полученных экспериментальных данных видно, что пики (максимумы) поглощения на графике, зависящем от расстояния между центрами частиц, расположены на расстояниях, кратным половине длины волны падающего излучения.
Для получения графика на рис. 30 были взяты следующие модельные значения: ai = 2 мкм, X = 2 мкм, п = 1,173 + 0,0823i, 0 = 0,01, R = от 50 мкм до 30 мкм
