Содержание к диссертации
Введение
I Вспомогательные сведения 18
1.1 Классическая модель консоли 18
1. 2Некоторые факты из теории краевых задач 23
1.2.1 Общая теория краевых задач 23
1.2.2 Функция Грина и функция влияния 25
1.2.3 Свойства функции Грина 28
1. 3Элементы полуупорядоченных пространств 30
1.4Функции ограниченной вариации 32
1.5Интеграл Римана-Стилтьеса 36
І.бОсобенности интеграла Стилтьеса 38
II Свойства интегро-дифференциальной модели 41
2.10боснование модели с помощью вариационных законов 41
2.2Функция влияния 51
2.3 Свойства функции влияния при Q{x) = const 54
2.4Свойства аналога определителя Вронского 61
2.5Интегральная обратимость краевой задачи 70
Ill Податливость модели 73
3.1 Свойство Я-положительности 73
3.2Свойства интегрального оператора при Q(x) ф const 77
З.ЗПодатливость консоли 79
3.4Положительность ведущей частоты 85
3.50 Методе конечных элементов для интегро-дифференциальных моделей сингулярно нагруженной струны 90
3.5.1 Построение алгоритма 90
З.бТестовые примеры 96
3.6.1 Внешняя сила состоит из сосредоточенных усилий 96
3.6.2 Внешняя сила имеет непрерывную составляющую 98
3.70 методе конечных элементов для интегро-дифференциальных моделей сингулярно нагруженного стержня 101
3.7.1 Построение алгоритма 101
3.8Тестовые примеры 106
3.8.1 Внешняя сила состоит из сосредоточенных усилий 106
3.8.2 Внешняя сила имеет непрерывную составляющую 109
Заключение 113
Литература
- 2Некоторые факты из теории краевых задач
- 3Элементы полуупорядоченных пространств
- Свойства функции влияния при Q{x) = const
- Методе конечных элементов для интегро-дифференциальных моделей сингулярно нагруженной струны
Введение к работе
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Одной из базовых математических моделей инженерной математики и строительной м механики является уравнение
(EJu")" = f (1)
с которым студенты любого технического вуза знакомятся в курсе "Сопротивление материалов". Это уравнение, введенное более 200 лет назад Эйлером и Бернулли, описывает упругие деформации стержня (балки). Это уравнение не зависит от условий закрепления концов, которые в интересующем нас случае (и наиболее сложном в инженерном плане) случае имеют вид
и(0) = и'(0) = О, (2)
и"{1) = и'"{1) = 0. (3)
Условия (2) означают, что левый конец наглухо защемлен, а (3) — что правый конец свободен. Функция f(x) определяется внешней нагрузкой.
Стандартные для инженерной практики рассчеты проводятся для случаев, когда Е — модуль Юнга и J(x) — момент инерции поперечного сечения постоянны. Если при этом и f(x) = const, то уравнение (1) решается напрямик но стандартным правилам, изложенным в студенческих учебниках и заложенных в стандартные пакеты для ПК. На возможности решить такое уравнение явно построены и все основные формулы сопромата.
На давайте представим себе достаточно реальную практическую ситуацию, когда наш стержень — по типу стрелы подъемного крана — нагружен в какой-то точке х = локальной силой (подвешен груз) и, кроме того, в некоторой точке х = 7] находится под воздействием упругой опоры (трос, удерживающий стрелу).
Тогда, как хорошо известно, в этих точках перерезывающая сила {EJu") (х) испытывает скачок, причем в точке х = величина этого скачка известна заранее — она равна сосредоточенной в этой точке внешней нагрузки, а в точке х = ц величина этого скачка неизвестна.
В этих точках уравнение (1) нарушается и мы вместо одного уравнения и четырех условий (т. с. обычной краевой задачи) имеем уже три уравнения (на трех кусках) с дополнительными условиями согласования, математически очень неприятными, так как эти условия трудно признавать за краевые.
Еще сложнее оказывается задача с "хорошим", т. е. однородным стержнем, если речь идет о колебаниях, когда вместо внешней силы / в точке х = имеется сосредоточенная масса, т. е. уравнение (1) заменятся на
/ 11\Ч 1
[ри ) = ш ти,
где т(х) содержит, как говорят физики, дельта-функцию. Кстати говоря, и в точке х = Г) наличие упругой опоры тоже означает присутствие 5-функции, соответствующей сосредоточенному внешнему воздействию упругой опоры (троса).
Перед подобными задачами, практическая актуальность очевидна, практическая наука долгое время была без всякой поддержки математиков. К концу XIX в. появился знаменитый трактат Стилтьеса, где он рассмотрел и проанализировал колебания физической системы с сосредоточенными массами (нить с бусинками). Теоретические трудности Стилтьесу удалось преодолеть за счет введенного им нового типа интеграла (вида / fda), который с тех пор носит его имя — в отличие от интеграла Римана.
В первой половине XX в. проблему нерегулярного распределения масс для упругого стержня изучали М. Крейн и Ф. Гантмахер. Ими была изучена и задача нерегулярного взаимодействия балки с окружающей средой — многоопорная балка, где помимо уравнения (1) и уравнений типа (2), (3)
появляются еще дополнительные условия вида
и(т]і) = О (г = ї~т),
где щ < щ < . < Цт — координаты промежуточных упругих опор. Так как в этих точках уравнение (1) наверняка нарушалось, то о краевой задаче обычного типа говорить нельзя, и соответствующий математический анализ был проведен с опорой на функцию влияния. Здесь использовалось то, что между точками г}і,г}і+\ многоопорная балка должна подчинятся уравнению вида (EJu") = 0. Почему — мотивация из области физической интуиции равно, как и представление о функции влияния.
Описание неудобных (нерегулярных внешних параметров), математически может быть описана — опять же с интуитивно-понятной точки зрения — уравнения
(pu")" + Q'u = F'{=u;2M'u), (4)
где Q, F (и М) — вообще говоря — разрывные функции и Q', F' и М' — их обобщенные производные.
Теория обобщенных функций, развитая в середине XX в., наиболее важная в прикладном плане не может даже описать, так как в уравнении (4) все слагаемые — не поточечные (при каждом х) определяемые функции, а абстрактные функционалы. И стандартные методы дифференциального и интегрального исчисления здесь бессильны.
Недаром в 50-е годы даже для уравнения "стилтьесовской струны", т. е. для уравнения
-(pu')' + Q'u = F'{=uj2M'u)
в обход этому ничего не дающему внешнему формализму п Аткинсон и
М. Г. Крейн и С. Кац писали интегро-дифференциалыюе уравнение
- {ри') (ж) + {ри'+) (0) = fu{s)dM{s)
о с интегралом Стилтьеса.
В моей работе ставится задача построения математической модели для
нерегулярной консоли когда уравнение типа (1) может быть пока условно
записано в виде
{pu")" + Qlu = F'(=uj2M'u):
т. е. когда и р(х) не обязательно гладкая функция, и взаимодействие нашего объекта с внешней средой не определяется непрерывными функциями, когда не только не применимы стандартные методы решения, но и использование даже общепринятые физические методы обоснования вызывают сомнения в их корректности.
Отсутствие наработанных методов постановки и анализа нестандартных краевых задач для анализа физических объектов.
Цель работы. Разработка методики построения и анализа математической модели протяженной одномерной упругой системы типа балки — консоли с нерегулярными взаимодействиями с внешней средой.
Достижения поставленной цели достигается за счет решения следующих задач:
вариационное обоснование математической модели напряженного состояния нерегулярного стержня в виде интегро-дифференциалыюго уравнения;
анализ математической корректности этой задачи;
точное математическое определение функции влияния для нерегулярной консоли;
- изучение качественных свойств функции влияния;
изучение аострактных свойств интегрального оператора
(Аи){х) = f H{x,s)u{s)dM(s)
о методами теории полуупорядоченных пространств;
анализ ведущей собственной частоты, соответствующей главной критической вибрации;
проверка возможности переноса на изучаемую модель классических проекционных методов приближенных вычислений, для чего — разработан алгоритм проекционного метода типа конечных элементов и проведение численного эксперимента.
Методика исследования. Вариационный метод, известный в естествознании уже пару столетий, применяемый в начале XX в. (Курант, Гильберт) для мотивации уравнения (1) как описания линии, дающей минимум потенциальной энергии
„м-/(*-/.)*.
о ^ '
Последнее выражение распространено в работе на нерегулярную консоль в
форме функционала
1 ч2 1 2 1
V{u) = f ^-dx + I jdQ - f udF
О 0 0
минимизация чего приводит к уравнению (4).
Здесь при истолковании этого интегро-дифференциального уравнения мы опирались на соображения ранее использовавшиеся для стилтьесовскои струны М. Крейном и Аткинсоном.
Определение функции влияния так же проведено на основе вариационных принципов физики. Анализ уравнения (1) и функции влияния осуществляется в значительной степени за счет методов общей теории меры и интеграла Стилтьеса. Свойства ведущей собственной частоты устанавливались с помощью абстрактных методов теории пространств, упорядоченных в смысле М. Крейна.
Научная новизна. В диссертации изучается интегро-дифференциальное уравнение, описывающее малые деформации сингулярно закрепленной консоли. Для такого уравнения дается корректное определение функции влияния и исследуются ее свойства, чего ранее не делалось.
Положения, выносимые на защиту.
1. Конструктивные возможности вариационных принципов в построении
математической модели нерегулярной консоли в виде задачи
f d{pu")' + I udQ= fdF (= w2 f udM)
u(0) = u'(O) = 0, u"(l) = u'"{l) = 0
Доказательство математической корректности задачи
А'Іатематическая формализация функции влияния исходной консоли.
Доказательство интегрального представления реальной формы консоли через внешние силы
„W./HfeW),
где F(x) — сила, приложенная на отрезке [0,я].
5. Установлен комплект свойств функции влияния, аналогичный пакету аксиом классической функции Грина и позволяющих однозначно построить функцию влияния.
Например, функция h{x) = Н(х^) удовлетворяет краевым условиям, а
X X
при х 7^ — однородному уравнению / d(ph")' + / hdQ = 0, а при х = —
о о
равенству
(рЛ")'( + 0) - (рЛ")'( - 0) + /i(0(Q« + 0) - Q( - 0) = 1
Доказана строгая положительность Н(х, s) при 0 < х, s.
Доказано, что интегральный оператор
і (Аи)(х)= f H(x,s)u(s)dM{s) о со строго возрастающей (и не непрерывный даже) функцией, определяющей
произвольное распределение масс, строго положителен в пространстве, иолууиорядоченным конусом Крейна-Красносельского.
8. Доказана алгебраическая простота ведущего собственного значения
этого оператора, что соответствует единичной кратности (и отсутствию
присоединенных функций) для критических частей главных поперечных
вибраций, когда амплитудная функция не имеет внутренних узлов и когда
соответствующие уравнение имеет вид
X X
d{pu")' + fudQ = w2 I udM
9. С опорой на предыдущие свойства построен алгоритм проекционного метода по типу метода конечных элементов и проведен численный эксперимент, показывающий уверенную и быструю сходимость.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях кафедры высшей математики и кафедры прикладной математики Северо-Кавказского Государственного Технического Университета, на V, VIII региональных научно-технических конференциях "Вузовская наука - Северо-Кавказскому региону"(2001, 2004г.), па VI Международной
конференции "Циклы"(2004г.), на первой и второй международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке и технике» (г. Ставрополь 2004г., г. Кисловодск 2006г.), на международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж 2005г), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XVII» (г. Воронеж 2006г.).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы из 103 наименований и содержит 126 страниц.
Автор выражает глубокую признательность и благодарность кандидату физико-математических наук, доценту Денисенко Таисие Ивановне за постановку задач и общие рекомендации к их выполнению, обсуждение полученных результатов, оказанную помощь и поддержку при работе над диссертацией.
Краткое содержание работы
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, формулируются цели, задачи, объект и предмет исследования, научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы.
В первой главе приводятся необходимые понятия и факты из современного анализа и теории краевых задач.
Во второй главе строится и исследуется интегро-дифференциальное уравнение
(pu")' (х) + J u(s)dQ(s) = F(x) + const, (5)
о в предположении, что р, Q и F — функции ограниченной вариации, а
штрих означает обычную производную. Решения будем искать в классе непрерывно дифференцируемых функций, вторые производные которых имеют ограниченную на [0,1] вариацию, и производные (ри") имеют конечное на [0; 1] изменение.
Генезис такого уравнения объясняется в 1 — для случая, когда уравнение (5) имеет физическую природу, возникая из задачи минимизации функционала энергии
1 //2 l 1
Ф(«) = / ~dx + [ udF
для консоли.
Во втором дается определение функции влияния, доказывается ее существование и указывается способ нахождения, а именно доказана теорема Теорема 2.2.1 Функция влияния K(x,s) задачи
Ф —> min
определяется равенством
К(х, s) = g(x, s) - ^2 k (g(; s)) щ(х), (6)
где точка () вместо аргумента показывает по какому аргументу применяется функционал k-
В третьем параграфе устанавливается податливость классической консоли, а именно доказываются теоремы. Теорема 2.3.1 Если F(x)(^ const) не убывает па [0;1], то решение и(х)
задачи
{pu")r (х) = F(x) + const,
и{0) = О,
1/(0) = 0, (7)
и"{1) = 0,
{vu")' (1) = 0. полооїсительно в интервале (0; 1).
Теорема 2.3.2 Пусть F(x) (ф const,) не убывает на [0; 1]. Тогда для решения краевой задачи (7) справедливо неравенство
и"(0) > 0.
(8)
В четвертом вводится аналог определителя Вронского и исследуются его свойства.
В пятом — устанавливается интегральная обратимость краевой задачи, а именно доказывается теорема. Теорема 2.5.1. Если K(x,s) функция влияния краевой задачи
(9)
о u(0) = 0,
иЩ = 0,
W"(l) = 0,
l(pu")' (1) = 0,
то решение представимо в виде
(10)
Последний интеграл понимается по Риману-Стилтьесу.
В третьей главе изучается такое важное для приложений свойство, как податливость.
В первом параграфе вводится понятие Я-положительного оператора. Определение 3.1.1. Оператор В назовем Н-полооїсительним, если для некоторого Hq ^ 0 (ф 0) и любых и Є К
Ви ^ \\Bu\\h0.
Доказывается справедливость теоремы. Теорема 3.1.1. Интегральный оператор
і BF{x)= f K0{x,s)dF(s),
(И)
(12)
где Kq(x, s) — функция влияния задачи
(13)
(ри") (х) = F{x) + const, u(0) = О,
u'(0) = О, и"{\) = О, (ри")' (1) = О, является Н-положительным.
Во втором параграфе изучаются свойства интегрального оператора, обращающего краевую задачу. Введем обозначения
(BF){x) = J K0(x,s)dF(s) о
і {Аи){х)= fK0{x,s)u(s)dQ(s). о
(14)
(15)
Теорема 3.2.1. Существует функция до(х) такая, что для любого z Є К справедливо неравенство
Bz ^ \\Bz\\g0, (16)
причем
Ago ^ Ph (17)
при некотором /3.
В третьем параграфе устанавливается податливость модели, а именно доказывается теорема. Теорема 3.3.2. Пусть Ко(х, s) — функция влияния краевой задачи
(ри") (х) = F(x) + const,
w(0) = О,
и'(0) = 0, (18)
ри"(1) = О,
(ри")' (1) = 0,
функция Q(x) — произвольная неубывающая функция (ф 0), непрерывная на
концах [0; 1]. Тогда величина
. K0(x,t)K0(t,s)
kq = sup / T^ dQ(t)
!,e j Kq(x,s) о
(19)
конечна и при kq ^ 1 задача
(ри!')' (х) + / u(t)dQ(t) = F(x) + const,
о u(0) = 0,
u'(0) = 0,
ри"(ї) = 0,
І (ри")'(1) = 0,
(20)
полоэюительно обратима.
В четвертом параграфе показывается положительность ведущей частоты. Теорема 3.4.1. Пусть Kq{x,s) — функция влияния краевой задачи
{ри") {х) = F{x) + const, и{0) = О,
и'{0) = О, (21)
ри"{1) = О, {ри"У (1) = О, функция Q{x) — произвольная неубывающая функция (ф 0J, непрерывная на
концах [0; 1]. Величина
Г Ko{x,t)K0{t,s) .
kq = sup / ——г dQ{t) (22)
удовлетворяет условию
KQ < 1.
Тогда ведущее собственное значение задачи
(23)
х а;
(pu")' (ж) + / u{t)dQ{t) = Л / u(s)ds + const,
о о
(24)
«(0) = 0,
w'(O) = 0,
Р«"(1) = о, I (К)'(1) = 0,
является простым, положительным собственным значением которому соответствует положительная в (0; 1] собственная функция.
Заключение
В диссертации разработаны новые методы моделирование сингулярно закрепленной консоли, которые позволили установить следующие результаты.
1. построено интегро-дифференциальное уравнение
(pu")' (х) + judQ = F(x) - F(0) - (ри")' (0), о моделирующее деформацию (иод воздействием внешней нагрузки) нерегулярной консоли;
проведено вариационное обоснование адекватности модели относительно натурального (физического) объекта;
исходя из вариационной природы уравнения
(ри")' (х) + fudQ = F{x) - F(0) - (ри")' (0), о дано точное определение функции влияния изучаемого объекта. Доказаны основные свойства функции влияния, уподобляющие ее функции Грина, несмотря на диаметрально противоположную (минуя аксиомы) методологию ее введения;
4. показана положительность интегрального оператора, обращающего
(ри")' (х) + fudQ = F(x) - F(0) - (ри")' (0), о при естественных условиях закрепленного левого конца и свободного правого.
5. доказана положительность и простота ведущего собственного значения
(соответствующей спектральной задачи).
Полученные результаты позволяют обосновывать численные методы, в том числе позволяет давать оценки норм интегральных операторов, обращающих соответствующие модели, скорости сходимости итерационных процессов.
2Некоторые факты из теории краевых задач
Приведем необходимые определения и понятия заимствованные из [31, 32].
Пусть Е — банахово пространство. Множество К элементов пространства Е называется конусом, если это множество удовлетворяет следующим условиям: 1. из х Є К и t 0 следует, что tx Є К; 2. из х Є К и у є К следует, что х + у Є К; 3. из х Є К и —х Є К следует, что х = 0; 4. /Г замкнуто. Будем говорить, что х 0 тогда и только тогда, когда х Є К. Конус К называется телесным, если он содержит хотя бы одну внутреннюю о точку. Множество всех внутренних точек К обозначим через К и назовем о внутренностью конуса. Если х Є К, то будем писать х 0.
Если любой элемент X пространства Е может быть представлен в виде х = и — v (u,v Є К), то конус К называется воспроизводящим. Конус К называется нормальным, если из неравенств 0 х у следует, что .т -Wy, где константа N не зависит ни от х, ни от у.
Множество М элементов пространства Е1, полуупорядоченного конусом К, называется ограниченным снизу по конусу, если существует такой элемент и Є К, что для всех х Є М выполняется неравенство х и. При этом элемент и называется нижней гранью множества М относительно конуса К.
Аналогично множество М называется ограниченным сверху по конусу К, если существует такой элемент v Є К, что для каждого х Є М выполняется неравенство х v. При этом элемент v называется верхней гранью М. Конус К называется миниэдральным, если для любого множества М, состоящего из двух элементов {и, v} существует точная нижняя (верхняя) грань.
Конус К в Е называется сильно миниэдральным, если каждое ограниченное сверху по конусу К множество элементов М имеет точную верхнюю грань.
Конус К в линейном пространстве Е называется правильным, если каждая монотонно возрастающая (по конусу К) последовательность элементов {хтп}, ограниченная сверху по конусу К, сходится по норме пространства Е.
Линейный оператор А, заданный в Е (с конусом К{) и действующий в банахово пространство F (с конусом i ) называют положительным, если из неравенства х у следует Ах Ау. Оператор А будем называть сильно о о положительный, если К2 Ф 0 и из х Є К\ (х ф 0) следует Ах Є Кі В пространстве BV[0,1] (со стандартной нормой Fi = (0) + VQ(F)) функций ограниченной на [0,1] вариации введем конус К\ неубывающих функций. Так как всякую функцию ограниченной вариации можно представить в виде разности двух неубывающих (даже возможно представление и ввиде строго возрастающих функций), то К\ оказывается воспроизводящим. В С[0,1] — пространстве непрерывных на [0,1] функций (с нормой и[ = max u(ar)) — будем рассматривать стандартный телесный конус яє[о,і] неотрицательных на [0,1] функций, который обозначим через К.
При описании физических систем рассчитывать на предварительную гладкость обычно не удается. Хорошо, если эти связи оказываются непрерывными. Достаточно типичными оказываются случаи импульсных и других внешних воздействий, при которых у производных могут быть скачки и другие аномалии. Разумный анализ в таких случаях оказывается возможным, если вместо непрерывности предполагать ограниченность ее вариации или, как говорят по-другому, ограниченность ее полного изменения. Важнейшим примером таких зависимостей являются монотонные функции.
Функции ограниченной вариации — главный класс изучаемых связей (точнее — их производных). Поясняющие математические сведения о них лежат далеко за пределами стандартных вузовских учебников, тем более — учебников по инженерной математике, мы для удобства изложения и чтения приводим ниже необходимые сведения.
Понятия и сведения из стандартной теории и меры Лебега мы предполагаем известными.
Функция /(ж), определенная на отрезке [а,Ь], называется функцией ограниченной вариации (или конечной вариации), если существует такая постоянная С, что каково бы ни было разбиение отрезка [а, Ь] точками а = XQ Xi ... хп = b выполнено неравенство 71-1 /( ш) -/Ы С (1-4.1) к=0 В этом случае точная верхняя грань сумм (1.4.1) но всевозможным конечным разбиениям отрезка [о, Ь] называется полной вариацией функции / на отрезке [а,Ь] и обозначается через V (f):
3Элементы полуупорядоченных пространств
Отметим, что функции ограниченной вариации образуют линейное пространство, которое обычно обозначают BV[a, b] (или просто BV, если ясно о каком отрезке идет речь) (см., например, [18]). Между монотонными функциями и функциями ограниченной вариации существует тесная связь, а именно справедлива Теорема Жордана. Всякая функция ограниченной вариации мооїсет быть представлена как разность двух неубывающих функций. Множество 5(/) точек разрыва функции / ограниченной вариации не более чем счетно.
Всякая функция ограниченной вариации имеет почти всюду конечную производную. Всякая непрерывная функция ограниченной вариации представима в виде разности двух непрерывных неубывающих функций. Теорема (см. [41, 30]). Всякую функцию ограниченной вариации можно представить в виде суммы функции скачков и непрерывной функции ограниченной вариации.
Множество А С [а, Ь) назовем множеством меры нуль, если для произвольного є 0 найдется система интервалов {(ajt, &jt)} такая, что UK А) ЭЛи J2(bk - a k) є к к
Будем говорить, что некоторое свойство выполняется почти всюду на [а,Ь], если оно справедливо для всех точек кроме некоторого множества меры нуль. Более подробно см. [30].
Теорема Лебега Монотонная функция /, определенная на [а, Ь], имеет почти всюду на этом отрезке конечную проиводиую.
Определение Функция f, заданная на некотором отрезке [а,Ь], называется абсолютно непрерывной на нем, если для любого є О существует такое 5 О, что, какова бы пи была конечная система попарно непересекающихся интервалов {(а&, &fc)})J=1 такая, что Y]{bk - ak) 5, выполнено неравенство fc=i l/(W-/(« )! Ar=i
Ясно, что всякая абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывна. Обратное, вообще говоря, неверно. В качестве примера приведем функцию, называемую "капторовой лестницей". Для этого рассмотрим на отрезке [0,1] "канторово множество" F, которое строится следующим образом. Обозначим через Fo отрезок [0,1]. Выбросим из него интервал ( о о ) а оставшееся замкнутое множество обозначим F\. Затем выбросим из г\ интервалы I -, - I и lr,-j, а оставшееся замкнутое множество (состоящее из четырех отрезков) обозначим і 2. В каждом из этих четырех /1\3 отрезков выбросим средний интервал длины 1-І и т.д. Продолжая этот процесс, получим убываюпгую последовательность замкнутых множеств Fn. Положим F = f] Fn. Множество F и называется "канторовым множеством". п=0
Множеству F принадлежат, очевидно, точки 12 12 7 -"Эо о п п п г» " 3 3 9 9 9 9 называемые точками первого рода (эти точки являются концами выбрасываемых интервалов). Остальные точки множества F называются точками второго рода. Определим "канторову лестницу" / сначала на смежных интервалах "канторова множества", положив 9k — 1 /( ) = -2 -, =1,2,3,...2 на k-м смежном интервале n-го ранга (включая и его концы) 1 1 2 f(x) = 2 ПРИ з х з 112 /(Ж) - -, ІфИ д ХК;-, /(ж) = -, при - х - и т.д.
Таким образом, / определена на отрезке [0,1] всюду, кроме точек второго рода "канторова множества". Доопределим теперь / в этих оставшихся точках следующим образом. Пусть t — одна из таких точек, и пусть {tn} — сходящаяся к ней возрастающая последовательность точек первого рода. Тогда существует предел lim f(tn); аналогично, существует и предел п—»ос lim f{tn), если {tn} — убывающая последовательность точек первого рода, п—»00 сходящаяся к , причем эти пределы равны между собой (строгое обоснование можно найти в [30, 78]). Приняв это общее значение за /( ), получим монотонную функцию, непрерывную на всем отрезке [0,1]. Построенная функция не является абсолютно непрерывной функцией.
Свойства функции влияния при Q{x) = const
В этом параграфе устанавливается положительность функции влияния краевой задачи (ри") (х) = F(x) + const, «(0) = 0, 1/(0) = 0, (2.3.1) и"{1) = 0, (ри") (1) = 0. Этот факт мы докажем в два этапа. Вначале мы покажем, что функция влияния Н(х, s) неотрицательна на квадрате [0; 1] х [0; 1] точек (х, s), удовлетворяю) неравенствам 0 x l,0 s LA затем уже нами будет доказано, что не просто Н(х, s) 0, но и справедливо строгое неравенство Н(х, s) 0 внутри исходного квадрата [0; 1] х [0; 1].
Доказательство неотрицательности Н(х, s) основано на следующей лемме. Лемма 2.3.1. Если ядро H(x,s) интегрального оператора і (Hf)(x) = JH(x,s)f(s)ds о непрерывно на [0; 1] х [0;1], то для его неотрицательности необходимо и достаточно, чтобы функция (Hf)(x) была неотрицательна для любой неотрицательной функции f(x) 0.
Доказательство. Если H(x,s) 0, то (Hf)(x) очевидным образом неотрицательна при любой f(x) 0. Докажем справедливость обратного следствия.
Покажем наше свойство при каждом XQ Є (0;1). Если лемма неверна, то для некоторой точки SQ (0,1) верно неравенство Н(хц, SQ) 0. Но тогда в силу непрерывности Н(х, s) неравенство Н(х, s) 0 будет справедливо в некоторой окрестности точки (XQ,SQ), Т. е. при \х — XQ\ є\, \s — so 2 при некоторых Єї О, Є2 0. Обозначим uj\ = {х : хо - Є\ х XQ + Єї}, w2 = {s : s0 - є2 s so + 2}
Возьмем функцию ho(s) такую, что h(s) 0 naa 2 и /i(s) = 0 внео - Применим оператор Н к этой функции. Очевидно, і H(ho{x))= f H{x,s)h0{s)ds= f H(h,s)h0{s)ds. 0 W2 Так как Н(х, s) 0 при (ж, s) Є cJi х а;г, то в силу строгой положительности ho(s) на w последний интеграл будет строго отрицателен при любом х Є UJ\. Но это значит, что образ (Hho)(x) неотрицательной функции IIQ(X)( 0) оказывается отрицательным при х Є u i, что противоречит условию.
Небольшие изменения чисто технического плана, на которых мы не останавливаемся, позволяет перенести проведенные рассуждения на случай, когда вместо f(s)ds у нас появляется dF(s) в рамках интеграла Стилтьеса. А именно, верна следующая
Лемма 2.3.2. Для того, чтобы функция влияния H(x,s) была неотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы для любой неубывающей F(s) функция і /я(,..ХР .) о была неотрицательной.
Теорема 2.3.1. Если F(x), не являющаяся тождественной константой, не убывает на [0; 1], то решение и(х) задачи (2.3.1) положительно в интервале (0;1).
Доказательство. Так как F(x) не убывает на [0; 1], и F(x) = (ри") (a;)—const, то этим же свойством обладает и функция (ри") (х). А так как при этом должно быть (ри") (1) = 0, то неубывающая на [0; 1] функция (ри") (х), имея нуль на правом конце, должна быть неотрицальной всюду на [0; 1], т. е. (ри") (х) 0 при всех х Є [0,1]. Отсюда следует, что ри"(х) не возрастает на [0; 1], что вместе с условием и"(\) = 0, означает неотрицательность ри"(х) на [0; 1]. Так как р 0, то и"(х) 0 на [0; 1]. Из неравенства 4-и (х) = и"(х) 0, (2.3.2) ах справедливого на [0; 1], следует, что и (х) не убывает. Так как и (0) = 0, то и (х) 0 при всех х Є [0,1]. Последнее означает, что и(х) не убывает на [0; 1]. Теперь, в силу равенства и(0) = 0, получаем неотрицательность и(х) на всем [0;1],т.е. и(х) 0 при 0 х 1. Покажем теперь, что и(х) нигде в (0; 1) не имеет нулевых значений, т. е. всюду на (0; 1] и(х) 0 на (0,1]. Предположим противное: существует хотя бы одна такая точка XQ ИЗ Є (0,1] такая, что U(XQ) — 0.
Методе конечных элементов для интегро-дифференциальных моделей сингулярно нагруженной струны
Обозначим через К — множество всех неотрицательных на [0; 1] функций из С[0;1]. Нетрудно видеть, что множество К является воспроизводящим конусом, т. е. любую непрерывную функцию можно представить в виде разности двух элементов из конуса К.
Из условия (3.4.4) вытекает строгая положительность К(х, s) внутри квадрата [0; 1] х [0; 1]. Поэтому функция HQ(X) = х2 оператором А переводится "внутрь" конуса К, а именно, при некотором а 0 выполняется неравенство
Небольшие изменения чисто технического плана, на которых мы не останавливаемся, позволяет перенести проведенные рассуждения на случай, когда вместо u(s)ds у нас появляется u(s)dM(s) (функция М(х) строго возрастает) в рамках интеграла Стилтьеса. А именно, верна следующая
Теорема 3.4.2. Пусть KQ(X,S) — функция влияния краевой задачи (3.4.2), функция Q(x) — произвольная неубывающая функция (ф 0), непрерывная на концах [0; 1] и функция М(х) строго возрастает на [0; 1]. Величина (3.4.3) удовлетворяет условию (3.4.4).
Тогда ведущее собственное значение задачи является простым, положительным собственным значением которому соответствует положлітельная в (0; 1] собственная функция. 3.5 О методе конечных элементов для интегро дифференциальных моделей сингулярно нагруженной струны
Для приближенного решения уравнения (3.5.1) выберем систему базисных функций, линейной комбинацией которых будет искомое приближенное решение. Для этого разобьем промежуток [0,1] на части (вообще, неравные) (узловыми) точками 0 = 2 х1 х2 хп — 1- Кусочно-линейную базисную функцию при к — 1,..., п — 1 зададим формулой , для х Є [хк-і,хк]
Она имеет нулевое значение везде, кроме промежутка (хк-і,Хк+і), в точке Xk она равна 1, график ее имеет вид треугольника (см. рис. 1). Для к = 0 и для к = п базисные функции задаются второй или первой формулами из 0 J і г і і і і і і і і і і і і і і і
Таким образом, при к = 1,2, ...,тг — 1 базисные функции не равны нулю лишь на двух интервалах, соприкасающихся в точке Xk, а базисные функции и не равны нулю лишь на первом и последнем интервалах. Вместо искомой функции и(х) будем искать лишь ее значения в узловых точках и в связи с этим будем использовать в уравнениях вместо и(х) кусочно-линейную функцию
Таким образом, мы получим замкнутую систему п + 2 линейных алгебраических уравнений относительно п + 2 неизвестных м (0), VQ, I I, ..., vn. Уравнение (3.5.16) уменьшает число неизвестных. Уравнение (3.5.15а) пригодно для отыскания неизвестной м (0), поскольку в других уравнениях ее нет. Осталась замкнутая подсистема п уравнений (3.5.15Ь)-(3.5.15с) относительно п неизвестных vi,. ..,vn, имеющая трехдиагональную матрицу коэффициентов А. Введем обозначение
Очевидно, что это — билинейный симметричный функционал в пространстве ЮТ непрерывных на [0,1] функций, имеющих производную суммируемую с квадратом, и удовлетворяющих условию и(0) = 0. Благодаря положительности функции р(х) и неубывания Q(x) он еще и невырожденный:
Поэтому может служить скалярным произведением функций. Тогда коэффициенты уравнений (3.5.15Ь)—(3.5.15с) Aij = (ірі,щ) = Aji (3.5.19) образуют матрицу Грамма системы линейно независимых векторов щ. Поэтому определитель матрицы А отличен от нуля, следовательно, система (3.5.15Ь)-(3.5.15с) имеет единственное решение. 3.6 Тестовые примеры
В этом параграфе приводятся точные решения некоторых интегро-дифференциальных уравнений и приближенные решения полученные с помощью метода конечных элементов. Для простоты вычислений будем считать р(х) = 1.
