Содержание к диссертации
Введение
1 Исследование метода установления 7
1.1 Понятия и определения 7
1.2 Исследование оптимальности метода установления на различных классах корректности 26
2 Обратные задачи теплообмена 41
2.1 Введение в проблему 41
2.2 Решение обратных задач теплообмена 48
2.2.1 Обратная задача тепловой диагностики двигателя 51
2.2.2 Обратная задача непрерывной разливки стали 66
3 Численное решение обратных задач 76
3.1 Применение метода устаповлепия для решения ретроспективной обратной задачи теплообмена 76
3.2 Применение метода установления для решения граничных обратных задач 85
Литература
- Исследование оптимальности метода установления на различных классах корректности
- Решение обратных задач теплообмена
- Обратная задача непрерывной разливки стали
- Применение метода установления для решения граничных обратных задач
Введение к работе
При математическом моделировании многих процессов и явлений, происходящих в природе и обществе, приходится сталкиваться с задачами, не удовлетворяющими требованиям корректности Адамара [75]. Следствием этого является непригодность для их решения традиционных методов. Для создания новых методов, использующих особенности исходной математической модели, необходимо привлечение теории условно-корректных задач.
Эта теория была заложена в основополагающих трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и член-корреспондента РАН В.К. Иванова. Развитие этой теории происходило в математических центрах, созданных и возглавляемых этими выдающимися математиками.
При создании этой теории следует отметить серьезный научный вклад, который внесли своими работами следующие математики: В.Я. Арсении, А.Л. Агеев, А.Б. Бакушинский, А.Л. Бухгейм, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильев, В.В. Васин, В.А. Винокуров, А.В. Гончарский, В.Б. Гласко, A.M. Денисов, В.И. Дмитриев, И.Н. Домбров-ская, И.В. Емелин, П.Н. Заикин, В. В. Иванов, А.С. Ильинский, М.А. Красносельский, А.С. Леонов, А.С. Лисковец, Л.Д. Менихес, И.В. Мельникова, В.А. Морозов, А.И. Прилепко, В.Г. Романов, В.Н. Страхов, В.П. Тапапа, A.M. Федотов, Г.В. Хромова, А.В. Чечкин,
А.Г. Ягола и другие математики.
К настоящему моменту накоплен значительный теоретический и прикладной материал, который частично отражен в известных монографиях: А.Н. Тихонова, В.Я. Арсеннна [65], М.М. Лаврентьева [25], В.К. Иванова, В.В. Васина, В.П. Таланы [22], А.Н. Тихонова, А.В. Гончарского, В.В. Степанова, А.Г. Яголы [68], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, СП. Шишатского [27], В.П. Таианы [50], В.П. Таиаиы, М.А. Рекапта, СИ. Янченко [53], Морозова В.А. [37], А.Б. Бакушииского, А.В. Гончарского [8], A.M. Федотова [70], А.Н. Тихонова, А.С Леонова, А.Г. Яголы [69], В.В. Васина, А.Л. Агеева [13], О.А. Лисковца [30] и многих других, что является несомненным признаком зрелости соответствующего раздела прикладной математики. За рубежом наибольший вклад в данной области сделан следующими математиками: Franklin J.N. [73]; Gullum J. [74]; Miller К. [77], [78]; Phillips D.L. [79].
При решении обратных и некорректно поставленных задач к численным методам предъявляется повышенное требование точности. В связи с этим, одним из актуальнейших вопросов является построение оптимальных методов, как наиболее точных. Построением и исследованием оптимальных и оптимальных по порядку методов занимаются давно и в этом направлении получено большое число результатов. Особо следует отметить построение оптимальных по точности методов и получение точных оценок их погрешностей в работах А.Л. Агеева [1], Г.М. Вайникко [9]—[10], В.В. Васина [11]-[12], В.Н. Страхова [47], В.П. Тананы [48]-[50], [52], [54], Melkman А. MicchelliC [7G].
В теории условней корректных задач можно выделить три основ- пых направления.
Теория регуляризуемости, связанная с решением проблемы существования регуляризующих алгоритмов в банаховых простран-страх. Это направление связано с исследованиями В.А. Винокурова, Л.Д. Менихеса и других математиков.
Сравнение методов по точности и исследование их на оптимальность. Это направление, возникшее в работах В.К. Иванова, В.Н. Страхова, нашло своё продолжение в работах таких математиков как В.В. Васин, В.П. Танана.
Построение численных методов решения некорректных задач. Отправной точкой этого направления являются работы А.Н. Тихонова, В.К. Иванова и М.М. Лаврентьева. В его основу было положено численное решение конкретных задач математической физики.
Натоящая работа относится ко второму и к третьему направлениям. Это связано с тем, что при математическом моделировании обратных и условно-корректных задач существенную роль играют погрешности исходных данных, с которыми нельзя не считаться. Одной из актуальных проблем при решении обратных задач является оценка влияния погрешности исходных данных на получаемое приближенное решение, поэтому в настоящей работе получению оценок уделяется большое внимание. В более ранних работах ([6], [14]) доказывалась устойчивость приближенного решения, полученного тем или иным методом, но конкретная зависимость решения от погрешности входных данных впервые была получена в трудах В.П. Та-наны [49]—[51]. Эти исследования продолжены в настоящей работе.
Математическая сложность решения подобных задач заключается в необходимости применения спектральной теории для несамосопряженных операторов. Обратные задачи теплообмена с подвижными границами находят широкое применение в различных областях тех-пики [2], [3], [5], [14], [24], [34], [45].
Работа состоит из введения, трёх глав и списка литературы.
Исследование оптимальности метода установления на различных классах корректности
Основными задачами в тепловом проектировании являются задачи составления математических тепловых моделей, экспериментальные исследования и обработка полученных данных, задачи оптимизащии проектных параметров систем обеспечения теплового режима. При всем различии этих задач они имеют одно общее — информация о тепловых состояниях объекта исследования (она обычно имеет вид зависимостей температуры от времени в различных элементах и точках системы) должна быть заключена в исходных данных задачи. Как будет показано в дальнейшем, практически во всех названных случаях этот общий момент является принципиальным и приводит к постановкам задач единого класса — обратным задачам теплообмена (ОЗТ). Обратные задачи обладают целым рядом характерных особенностей, а их решение и практическое использование сопряжено с определенными трудностями. Однако при надлежащей разработке теории и создании эффективных алгоритмов метод обратных задач теплообмена является достаточно эффективным и открывает новые возможности в тепловых исследованиях.
Необходимость постановки и решения ОЗТ появляется в различных тешюфизпческих исследованиях, при создании и эксплуатации тсплонагружеипых технических объектов, а также при оптимизации тепловых режимов технологических процессов, связанных с нагревом или охлаждением материалов. Непосредственно измерить изменяющиеся во времени плотности тепловых потоков и коэффициентов теплоотдачи, как правило, не представляется возможным. Довольно часто оказывается недоступной для прямых измерений и температура поверхности исследуемых объектов. В то же время имеется возможность замеров температуры в отдельных точках внутри тела. Таким образом, появляется необходимость решать граничные ОЗТ — расчётным путём определять тепловые граничные условия по данным температурных измерений в теле.
Подобные теплометрические задачи распространены при моделировании тепловых режимов на газодинамических стендах, в тепло-вакуумных камерах, при испытании различных двигательных установок, в ходе лётного моделирования, натурных испытаний технических объектов, в различных технологических процессах, связанных с нагревом и охлаждением изделий.
Исходя из общего назначения все обратные задачи, вне зависимости от рассматриваемого физического процесса, можно разделить на три класса: - обратные задачи, возникающие при диагностике и идентификации физических процессов; - обратные задачи, возникающие при проектировании техпиче ских объектов; - обратные задачи, возникающие при управлении процессами и объектами.
При формулировке общих постановок и выделении основных классов обратных задач предполагаются известными постановки прямых задач, то есть классических задач теории теплообмена [31], [38]. Каждая прямая задача в пределах принятой структуры тепловой модели может быть сопоставлена с некоторым множеством обратных задач.
Ниже все постановки задач о теплообмене рассматриваются с точки зрения соотношения причина — следствие. При этом к причинным характеристикам теплообмеиного процесса в теле отнесём граничные условия и их параметры, начальные условия, теплофи-зические свойства, а так же геометрические характеристики тела. Тогда следствием будет то или иное тепловое состояние, определяемое температурным полем исследуемого объекта.
Установление причинно-следственных связей составляет цель прямых задач теплообмена. Наоборот, если по определённой информации о температурном поле требуется восстановить причинные характеристики, то имеем ту или иную постановку обратной задачи теплообмена.
Решение обратных задач теплообмена
Процесс построения математической тепловой модели некоторого объекта (процесса) может быть связан с решением обратных задач различных типов. В дальнейшем внимание будет уделено исследованию граничных обратных задач Стефана, которые составляют класс обратных задач для параболических уравнений с подвижной границей. Такой выбор не случаен и объясняется следующими причинами. Во-первых, граничные обратные задачи — это одни из наиболее важных и распространенных в тепловом моделировании летательных аппаратов (ЛА) классов задач. Практически любой тепловой эксперимент, любое испытание сопряжено с необходимостью определения тепловых нагрузок (или определяющих их величин) в характерных точках исследуемых образцов. Во многих случаях единственным средством достижения этой цели является метод граничных ОЗТ. Другие обратные задачи имеют меньшее распространение, что однако не уменьшает их значимости в целом ряде важных практических приложений. В первую очередь, это относится к коэффициентным ОЗТ, представляющим эффективный метод исследования свойств теплозащитных материалов в нестационарных условиях нагрева [40], [41], Тем не менее, во многих других случаях при исследовании ТФХ конструкционных и теплоизоляционных материалов возможно применение иных методов, основанных па закопомерно стях стационарных и квазистационарных тепловых процессов [39]. Особый интерес представляют обратные задачи теплообмена в системах тел (в технических системах). Однако их изучение представляет самостоятельную тему исследования. К тому же при тепловой отработке ЛА и его частей распространена такая постановка экспериментальных исследований, при которой допускается разделение составной тепловой модели технической системы на простые, что позволяет применять методы обратных задач теплопроводности. Во-вторых, граничные ОЗТ с точки зрения получения устойчивых результатов представляют особый методический интерес: граничные ОЗТ по сравнению с коэффициентными и геометрическими задачами имеют большую склонность к искажению результатов, связанному с некорректностью их постановок. К этому следует добавить, что в граничных ОЗТ трудно прогнозировать поведение искомого решения, так как априорная информация о нем бывает довольно ограниченной. С этой точки зрения в коэффициентных и геометрических ОЗТ обычно наблюдается лучшее положение. Таким образом, отработку методов решения неустойчивых обратных задач в тепловом моделировании ЛА целесообразно бывает проводить именно на граничных обратных задачах. Многие из методических подходов, разработанных для граничных ОЗТ, обобщаются также и на другие типы обратных задач.
Средства и условия измерения, регистрации и расшифровки экспериментальных данных в тепловых испытаниях имеют ограниченные точностные показатели. Поэтому исходные данные бывают известны со сравнительно невысокой точностью — сопровождаются различными ошибками и шумами. Повышение точности входной информации за счет совершенствования технической части эксперимента бывает сопряжено со значительными трудностями и далеко не всегда возможно. Таким образом, требуются методы решения обратных задач, которые работают при условии ограниченной исходной информации, заданной с ошибками, с обязательным учетом погрешности входных данных.
Для натурных ЛА и летных моделей аппарата условие одномерности процесса теплопроводности часто выполняется или может быть обеспечено с помощью специальных технических решений. Таким образом, можно считать, что одномерная постановка задач теплопроводности является основной расчетной моделью.
Решение обратных задач теплообмена может не обладать свойством устойчивости [4]. С этой особенностью обратных задач связаны основные трудности построения эффективных вычислительных алгоритмов. Если не изменить исходную постановку неустойчивой задачи, то методы, разработанные для решения корректных задач, оказываются непригодными применительно к обратной задаче. Стремление получить как можно более точную причинную характеристику, отвечающую тонким структурным особенностям сё следственного образа /, заданного с ошибкой 5, ведёт к неустойчивому результату.
Для обратной задачи должна быть сформулирована иная — корректная постановка задачи. Математическая теория предлагает два возможных подхода к разрешению этой ситуации. Первый был предложен в работе [G1]. Он основан на изменении класического понятия корректности и переходе к условно-корректной постановке задачи (см. разд. 1.1, стр. 7). Второй подход связан аппроксимацией обрат ного оператора Л-1, который не является непрерывным, семейством непрерывных операторов.
В работе [4] подробно изучен второй подход и доказана теорема о единственности решения ОЗТ с подвижными границами. О первом подходе говорится, что с практической точки зрения условно-корректная постановка ОЗТ часто не обладает необходимым свойством универсальности применительно к теплофизическим исследованиям [2], так как связана с априорным назначеним классов корректности. Этот вывод справедлив для большинства методов решения условно-корректных задач, но не для всех. Далее будут рассмотрены ОЗТ, для решения которых применяется метод установления, не требующий знания информации о классах корректности.
Температурное поле внутри композиционных теплозащитных материалов может служить важнейшей исходной информацией на различных этапах их комплексного исследования [42], [44]. Широкое применение для измерения температурных полей получил контактный метод, в котором чувствительный элемент (термопара) находится в непосредственном соприкосновении с теплозащитным материалом. Особо важное значение отводится оценке возможных погрешностей измерения
Обратная задача непрерывной разливки стали
Рассмотрим одномерную задачу теплопроводности ([57]) условиями. При определённом согласовании единиц измерения функция u(t,x) обозначает температуру в точке стержня в момент времени t, когда tp(x) — распределение температуры в стержне в начальный момент времени, а концы стержня поддерживаются при температурах фі{ї) и (t) соответственно. Это — прямая задача теплопроводности и она является корректной по Адамару,
В обратной задаче теплопроводности по распределению температуры стержня f(x) в некоторый момент времени Т необходимо восстановить начальное распределение температуры р(х). В этом случае устойчивость будет нарушена. Если, кроме того, коэффициент температуропроводности а(х) не является постоянной величиной и незвестен показатель гладкости Т\ функции u(t,x), то применение стандартных методов затруднительно. Применим для решения обратной задачи для уравнения теплопроводности метод установления, не использующий информацию о показателе гладкости Ті.
С учётом того, что v(T) = ф, где ф = (/1,/2,---), получим операторное уравнение первого рода explD-ТІ ф, (3.11) где ,ф Є 2- Здесь п и fn определены формулами (3.4) и (3.5). Решение операторного уравнения методом установления
Таким образом, (3.11) представляет собой операторное уравнение первого рода А — ф, где оператор А задаётся соотношением A!; = exp{D.T}{;. Будем решать данное уравнение методом установления, то есть сведём его к задаче Копій для уравнения : + А А = А ф) 0) = 0. (3.12) Решение уравнения (3.12) имеет вид оо HEiN1-6" злз І А 71=1 " где {е„} — полная ортонормированная система собственных векторов оператора А А, соответствующих его собственным значениям 7ij Фп = {Ф-іЄп) коэффициенты Фурье разложения ф по системе векторов {еп}.
Далее, определяем параметр регуляризации г по принципу невязки. Для этого решаем уравнение №-ф\\ = 35. (3.14) Решение уравнения (3.14), как показано в главе 1, существует и единственно при условии \\ф\\ 35. Таким образом, получим приближённые значения для коэффициентов Фурье функции р(х). Построенное решение (3.13) с параметром регуляризации, выбранным из условия (3.14), оптимально по порядку. Численные примеры
Применение метода установления для решения обратной задачи для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом В условиях задачи (3,1)-(3.3) положим а(х) — х2, Г = 1/2, ТІ = Тпи(Тьх) = 1-2а:-1. Найдём u(0,z) = (р(х) в виде ряда Фурье
Сравним результаты решения поставленной задачи двумя методами: проекционной регуляризации и методом установления. Для этого рассмотрим уравнение (3.1) с постоянным коэффициентом а(х) 1, поскольку в случае переменного коэффициента метод проецион-ной регуляризации не применим. В обоих случаях параметр регуляризации будем выбирать по принципу невязки.
Сравнение метода установления с методом проекционной регуляризации для решения обратной задачи для уравнения теплопроводности с постоянным коэффициентом Решая прямую задачу (3,1)-(3.3) в предположении а(х) = 1, Т = 1/2, tp(x) задана формулой (3.15), методом Фурье разделения переменных, получаем:
Применение метода установления для решения граничных обратных задач
Сначала найдем функцию g{t) = u Jx t). Для этого решим прямую задачу (3.19) на отрезке [0, Жо]- Решение задачи (3.19) имеет вид u(x,t) — —fit) + / vn(t) smm:x, где vn(t)= f е т- !п{т)йт + ч пе- пЧ. Jo Здесь 2 fx 2 fx fn(t) = I xf (t) sin nirxdx, ipn = / :c/(0)sinn7ra;d:E. o Л o Jo Таким образом, fit) g(t) = + 7rnVn(t)cOSnnX0: (3.21) n=l то есть теперь для определения функции w(t) — u(l, t) нам известны функции f(t) и g(t).
Введем следующие обозначения: J — число разбиений отрезка [0,1]; N — число разбиений отрезка [0,7і]; h = j — шаг сетки по х\ т — — шаг сетки по t; j — индекс по х; п — индекс по t\ jo = XQ/H.
Тогда в этих обозначениях соотношения (3.19)-(3.21) примут вид: u"+1 - и т п iin — 9ип Л- iin j __ uj+l - zuj + uj-l h? , .7 = 1,2,...,/-1, «; = o, j = 0,/, u% = 0, n = 0,7V; (3.22) ul = f(nT), n=l,Nt и "0+i = «"0 + ftp(nr), п=1,ЛГ, требуется найти и7}, n = l,N. На основе соотношений (3.22) можно построить явную разностную схему, то есть последовательно определить все значения и" из рекуррентной формулы
Однако, полученное решение не является устойчивым к возмущению исходных данных, поэтому будем строить неявную разностную схему. Запишем уравнение (3.22) в виде h2 UA .! - 2и« + и]Ц = т(«у+1 - «?), і = jo + 1, J - 1.
Получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных (и +з, ...,Uj+1). Эту систему можно представить в виде Av = Ь, где матрица системы имеет вид Л = (3.23) \ / / . . \ 1 0 0 0 ... 0 0 2- 1 0 0 ... 0 0 1 -2- г 1 0 .. 0 0 0 1 1 .. 0 0 0 0 08G 0 .. -2- 1т а вектор правых частей задастся соотношениями - +(2 + )- 4+1. J=A + 1, Ь = -и \ - Йи+2, і = io + 2, . -Чи], j = jo + 3, J.
Для получения значений функции и(1, ), то есть вектора (itj, -..Uj), необходимо решить N систем линейных уравнений Av = b, причем на n-ом шаге по t, п = 1, А/", определяются значения и7- +2, ...,гі", из которых нас интересует только последнее, а именно ttj. Получили разностную схему, неявную по х и явную по t.
Каждая из систем линейных алгебраических уравнений решается методом установления с выбором параметра регуляризации по принципу невязки. Таким образом, для нахождения функции и(1, t) метод установления нужно применить N раз. Применение регуляри-зующего алгоритма для решения систем линейных алгебраических уравнений Av = Ъ необходимо в силу того, что матрица системы, определенная формулой (3.23), являетя плохо обусловленной. Например, при N = J = 100 уже для XQ — 0.95 число обусловленности матрицы А равно /1( ) = 11 1111,4-41 = 81.8, а при удалении XQ от правой границы отрезка [0,1] число fJ-(A) будет увеличиваться.
Для оценки точности определения приближенных значений искомой функции в зависимости от погрешности исходных данных они возмущаются с помощью генераторов псевдослучайных чисел пилообразно (рис. 3.1): h{nr) = f{nr) + (-1)4 по нормальному закону распределения плотности вероятностей (рис. 3.2): fs{nr) = /(гат) + -шп, где tun — случайная величина, распределенная по нормальному закону с М = 0, а2 — 1, и по равномерному закону распределения плотности вероятностей (рис. 3.3): fs(nr) = f(nr) + 5 где n случайная величина, распределенная по равномерному закону на отрезке [0,Т]. Затем полученное приближенное решение сравниваем с решением при точных начальных данных. Погрешность приближенного решения будет уменьшаться при приближении Хо к правой границе отрезка [0,1]. Этот факт полностью согласуется с физическим смыслом задачи.
Положим J = N = 100, Г - 2,/(0 = 2t - t2,x0 = 0.9,5 = 0.001. На графиках показано решение при точных и возмущенных начальных данных.
Постановки задач (2.34)-(2.38) и (2.80)-(2.81) являются частными случаями задачи (3.22) при XQ = 0. Решение и(1, t) задачи II получаем сразу, положив XQ = 0.
