Содержание к диссертации
Введение
1 Экономике- математическое моделирование 8
1.1 Моделирование динамических систем 8
1.2 Экономика, демография, социология 11
1.3 Математические методы и модели в экономике, демографии и социологии 18
1.4 Эколого-экономическое региональное моделирование 37
2 Описание моделей 40
2.1 Динамическая дискретно-непрерывная модель 40
2.1.1 Общая постановка 40
2.1.2 Конкретизация модели 45
2.2 Стационарная модель 48
2.3 Динамическая дискретная модель 49
2.3.1 Общее описание 49
2.3.2 Конкретизация модели 50
3 Свойства решений и алгоритмы 53
3.1 Исследование динамической дискретно-непрерывной модели 53
3.2 Решение стационарной модели 58
3.3 Свойства решений динамической дискретной модели . 69
3.3.1 Общий случай 69
3.3.2 Частный случай 72
4 Расчеты и результаты 78
4.1 Тестирование стационарной модели 78
4.2 Тестирование дискретно-непрерывной модели 84
4.3 Тестирование дискретной модели 92
4.4 Вычислительный эксперимент на данных по Приморскому краю 99
4.4.1 Описание данных 99
4.4.2 Расчет параметров 101
4.4.3 Сравнительный анализ 104
Заключение 110
Литература 112
- Математические методы и модели в экономике, демографии и социологии
- Эколого-экономическое региональное моделирование
- Свойства решений динамической дискретной модели
- Вычислительный эксперимент на данных по Приморскому краю
Введение к работе
Актуальность темы. Планирование и управление в обществе опираются на детальную информацию о состоянии и использовании природных и экономических ресурсов, среди которых важнейшая роль принадлежит народонаселению. Оценка численности населения, а также его структуры, является одним из основных вопросов при прогнозировании социально-экономического развития общества. В таких исследованиях важно учесть региональный аспект. Это обусловлено тем, что именно в рамках регионального развития интегрируются основные проблемы страны - социальные, экономические, экологические [47].
На современном уровне понимания роли демографического фактора в социально-экономическом развитии при проведении регионального демографического исследования существенное значение приобретает рассмотрение демографических процессов не самих по себе, а с системных позиций.
Одним из современных методов комплексного изучения региональных процессов демографического развития, основанным на принципах системного исследования и обеспечивающим синтез представлений об отдельных сторонах развития системы и ее элементах, является моделирование с использованием математических методов.
В последние годы моделирование демографических процессов получило большое развитие в исследованиях воспроизводства населения, его факторов и взаимосвязей с другими социально-экономическими явлениями. Тема взаимосвязанного демографического и социально-
экономического развития, ставшая популярной среди демографов и экономистов во второй половине XX века, остается востребованной и в настоящее время. Теоретические построения концепции взаимосвязей в развитии экономики и народонаселения нашли отражение в трудах Струмилина, Боярского, Валентея, Вишневского и др.
Однако, в большинстве моделей, описывающих экономику региона, население задается как экзогенный параметр. При таком описании не учитывается обратное влияние, оказываемое экономическими показателями на демографическую ситуацию региона. Исследование взаимного влияния экономических и демографических показателей, понимание характера демографических процессов, происходящих на разных территориальных уровнях, их движущих сил и перспектив развития, возможностей управления ими в соответствии с целями демоэкономи-ческого развития представляет актуальную задачу и с теоретических позиций, и с точки зрения практики.
Цель и задачи исследования. Целью диссертационной работы является исследование демографических процессов, происходящих на региональном уровне под влиянием экономических факторов. В ходе работы решаются следующие задачи.
Построение демоэкономических моделей регионального развития с дискретным и непрерывным изменением параметра возраста населения.
Исследование свойств решений моделей.
Разработка алгоритмов поиска оптимального тарифа зарплаты и оптимального распределения доходов среди населения.
Тестирование алгоритмов при различных вариантах функционирования системы, в том числе и неоптималыюм.
Сравнительный анализ динамики основных показателей развития
региона в моделях с непрерывным и дискретным возрастом со статистическими данными но Приморскому краю.
Научная новизна, полученных в диссертационной работе результатов состоит в следующем:
Для более полного описания экономике»-демографического состояния региона построены модели, использующие различный математический аппарат.
В представленных моделях впервые учитывается влияние способа распределения доходов среди населения на демографические процессы, протекающие в регионе.
Отличительной чертой моделей является многокритериальность. Иерархия критериев определяет оптимальное функционирование экономико-демографической системы.
Разработаны алгоритмы решения задач, описывающих оптимальный вариант развития демографической и экономической подсистем региона.
Практическая значимость. Построенные в работе модели могут служить при социально-экономическом прогнозировании основой для анализа влияния уровня доходов и способа их распределения на численность и структуру населения региона.
Достоверность научных положений и выводов, полученных в работе, является следствием использования классических математических методов построения моделей, их аналитического анализа: методов оптимизации, оптимального управления; методов численного анализа.
Апробация работы. Результаты, полученные в рамках диссертационной работы, докладывались и обсуждались на Дальневосточных
конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1997, 1998, 2000, 2001), на Дальневосточных математических школах-семинарах имени академика Е.В. Золотова (Владивосток, 2000, 2001, 2002, 2003), на "Four International Young Scholar's Forum of the Asia-Pacific Region Countries" (Владивосток, 2001).
Математические методы и модели в экономике, демографии и социологии
Математическое моделирование в экономике, демографии и социологии, как и всякое моделирование, основывается на принципе аналогии, то есть возможности изучения объекта не непосредственно, а через рассмотрение другого, подобного ему и более доступного объекта, его модели.
При построении моделей те или иные теории или гипотезы благодаря формализации и квантификации (сведение качественных характеристик к количественным) становятся более обозримыми, уточняются, и это способствует лучшему пониманию изучаемых проблем.
Практическими задачами моделирования как в экономике, так в демографии и социологии являются: анализ объектов; прогнозирование, предвидение развития процессов; выработка управленческих решений.
Различия в объектах моделирования приводят к применению различных методов и приемов при построении моделей экономических и демографических процессов и явлений. Рассмотрим историю развития и приемы моделирования в этих областях. Экономикоматематические модели
Первая попытка создания систематизированной экономической теории была предпринята в XVII веке Адамом Смитом, В последующих трудах других экономистов постепенно раскрывались общие закономерности, лежащие в основе таких экономических явлений, как размещение ресурсов, производство, потребление, распределение дохода и накопление капитала. Эти явления по своей природе в той или иной мере наделены математическими чертами [52]. В дальнейшем в экономической теории получил широкое признание и явно выраженный математический подход, использующий модели как средство описания экономических процесов и явлений.
Для анализа сложившейся структуры экономики служат дескриптивные модели, предметом рассмотрения в которых может служить как поведение отдельной фирмы (микроэкономические модели), так и экономика страны в целом (макроэкономические модели). Основным инструментом анализа процесса производства в моделях обоих типов являются производственные функции, описывающие выпуск продукции {у - объем товара) с использованием некоторых ресурсов (х = (#1,.. -, хп) - вектор затрат): при условии ограниченности последних, В макроэкономических моделях в качестве товара выступает валовый национальный продукт. Для описания процесса производства используются различные виды производственных функций, предложенные Коббом и Дугласом, Эрроу,Ченери, Минхасом и Солоу [13,56,70].
К моделям дескриптивного типа, но менее агрегированным, относятся модели межотраслевого баланса. В 1930-х годах В.В. Леонтьев начал изучение статической структуры национальной экономики в со частично разукрупненном, дезагрегированном виде. При этом подходе производственные процессы в экономике разукрупняются до уровня п секторов (отраслей) производства, каждая из которых выпускает однородный продукт, и анализируется переток продуктов (товаров, услуг) между этими отраслями. Производство описывается следующей схемой
Здесь у = (уі,..., уп) - вектор выпуска, А - матрица межотраслевых затрат продуктов, с = (сі,..., Сп) - вектор конечного спроса. Эта система (модель Леонтьева) является основной в анализе межотраслевых связей методом, получившим название метода пзатраты-выпуски.
На принципе межотраслевого баланса строятся не только статические, но и динамические модели экономики. В них дополнительно вводятся уравнения, характеризующие изменения межотраслевых связей во времени на основе отдельных показателей, например, капитальных вложений и основных фондов [41]. В отличие от уравнений статического межотраслевого баланса, где конечный продукт каждой отрасли представлен одним слагаемым, здесь он распадается на два - фонд накопления и фонд непроизводственного потребления. Такие модели с разделением конечного продукта называются "моделями леоптьевско-го типа".
Анализ накопления капитала в многосекторной модели экономики дал в середине 1930-х годов американский математик Дж. фон Нейман, разработав модель расширяющейся экономики [32]. Одна из важнейших предпосылок моделей Леонтьева и Неймана - линейность связей - состоит в том, что выпуск продукции предполагается пропорциональным прямым затратам ресурсов. Динамический процесс экономического роста, описываемый линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами:
Эколого-экономическое региональное моделирование
Важнейшим этапом в математической демографии явилась модель А. Лотки (1907) [15,68], Лотка показал, что население, в котором возрастные показатели плодовитости и смертности не меняются, приобретает стабильную возрастную структуру, В этой модели используются возрастные распределения численности населения я(г, ), коэффициент рождаемости Ь(т) и дожития /(г), где т - возраст, t - календарное время, В предположении стационарности режимов рождаемости и вымирания динамика численности определяется интегральным уравнением воспроизводства
Это уравнение имеет решение экспоненциального вида Начиная с этого исследования, появился математический аппарат описания демографических процессов как двумерного явления с независимыми переменными - возрастом и хронологическим временем.
Развитие математических моделей динамики населения, ориентированных на практические расчеты, связано с матричной моделью для дискретного времени П. Лесли [68,73]. В ней динамика дискретной возрастной структуры популяции определяется матрицей перехода где bi - возрастные коэффициенты рождаемости, Si — коэффициенты выживаемости (доля доживающих до возраста г). При этом динамика численности описывается уравнением
Эта модель легко развивается для уточнения динамики с выделением групп по полу и другим признакам (социальным, этническим), учетом нестационарности режимов рождаемости и смертности, переходов населения между группами. Модель Лесли взята за основу построения моделей неоднородного населения.
Описанные модели носят по существу биологический характер, тж. в них, по крайней мере, в явной форме не отражены социально-экономические факторы, выделяющие человека как особый вид- Влияние этих факторок на демографические процессы общепризнано и подтверждено в научной литературе первичным анализом социальной статистики.
Поэтому дальнейшее развитие метода математического моделирования экономических и демографических процессов идет по пути все более полной детализации этих сложных явлений и формализации их взаимного влияния.
Двусторонний характер связей демографических и социально-экономических процессов в обществе обусловил два основных направления исследования. Одно из них касается влияния социально-экономических факторов на отдельные составляющие процесса воспроизводства населения, демографическое поведение. Другое связано с исследованием влияния демографических факторов на социально-экономическое развитие.
Основными составляющими первого направления исследования являются разработки отдельных процессов естественного и механического движения населения, моделей взаимосвязанного демографического и социально-экономического развития, позволяющих выявить характер влияния социально-экономических параметров на демографическую ситуацию в целом и на отдельные ее элементы.
Население в экономико-демографических моделях представлено набором групп, внутри которых население считается однородным. Число таких групп может быть различным. В глобальной модачи Месаровича-Пестеля (1974), население каждого из десяти регионов, на которые авторы разделили мир, считается однородным [11]. Есть и менее агрегированные модели, в которых присутствует дифференциация по возрасту, иолу или каким-либо другим факторам. Например, учитываются различия в репродуктивных особенностях населения, принадлежащего к различным этническим группам, или проживающих в отличающихся по степени урбанизации населенных пунктах [28]- В демографических исследованиях "семейный подход реализуется в прогнозе семейной структуры общества [77], анализе функций полезности семей [33,58] и в решении других задач.
Истоки демоэкономичесого моделирования относятся к моделям Нельсона (1956) и ЛеЙбенштейна (1957) [7], исследовавшим условия влияния демографических процессов на экономический рост [66].
В дальнейших работах, связанных с демоэкономическим моделированием, исследуются экономические аспекты так называемого демографического оптимума [15], изучается влияние демографических факторов (численность и темпы роста населения, его демографическая структура) на развитие производства [17], анализируется зависимость национального дохода от темпов роста населения и его возрастной структуры [53, 74].
В современных моделях, описывающих эволюцию национальных экономик [20,84], для определения демографических факторов (а именно, трудовых ресурсов) используются различные нелинейные модели с равновесной популяцией [42], учитывается связь трудовых фондов с фондом потребления [55,58].
Свойства решений динамической дискретной модели
Будем рассматривать некоторый регион как систему, состоящую из двух взаимодействующих подсистем: производственной и демографической. Экономика региона представлена в общем случае производствами, выпускающими несколько видов товаров. Население представляет совокупность семей, обладающих общим доходом. Трудовые ресурсы представлены работоспособной частью населения региона. Доходы работающего населения и иные доходы (пенсии, социальные выплаты и т.п.) распределяются в семьях между: детьми, взрослыми, престарелыми.
Задача состоит в определении влияния уровня доходов и способа их распределения на динамику и структуру населения при оптимальной организации функционирования региона. Оптимальность функционирования подразумевает такую организацию деятельности производственной и демографической подсистем, при которой выполняются некоторые критерии оптимальности. Регион, таким образом, представляет сложную управляемую систему с участием людей. Управляемые системы с участием людей - это такие системы, в которых большое количество людей, управляя некоторыми процессами, взаимодействуют между собой так, что сами являются и объектами управления [39]. Все общественные системы относятся к такому типу. В философии, экономике, социологии давно сложились методы исследования общественных систем. Применение математических методов в таких исследованиях позволяет не только более глубоко и полно изучить качественные особенности поведения этих сложных объектов, но и прогнозировать будущее развитие.
Система представляет собой структуру, на которую в определенные моменты времени оказывается внешнее воздействие, в результате которого порождается некоторая выходная величина. Входные воздействия принадлежат некоторому множеству, выбор которого диктуется природой объекта, по чаще всего он определяется математическими потребностями. Любое мгновенное значение выходной величины также принадлежит некоторому фиксированному множеству. Одного знания текущего значения входного воздействия может оказаться недостаточным для предсказания выходной величины. Предыдущие входные воздействия, подававшиеся на систему, могли изменить ее настолько, что это приведет к изменению выходной величины. Внутреннюю характеристику системы, значение которой в настоящий момент времени определяет текущее значение выходной величины и оказывает влияние на ее будущее, рассматривают как состояние системы [36]. Входное воздействие, или управление, переводит систему из одного состояния в другое. Функция состояний определяет движение системы. В зависимости от того, как сменяются состояния системы, различают динамические системы с непрерывным и дискретным временем. В первом случае множество возможных моментов времени совпадает с множеством вещественных чисел, во втором - с множеством целых чисел. Если структура системы не меняется во времени, то система стационарна.
Цель управления состоит в том, чтобы изменить динамику поведения системы в соответствии с желаниями человека. Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи. 1. Получить математическое описание динамических свойств системы, подлежащей управлению. 2. Найти средство достижения желаемого поведения управляемой системы.
Первая задача представляет собой задачу моделирования: необходимо предсказать динамику поведения объекта с помощью математической модели. Для решения второй задачи к модели управляемой системы добавляется модель принятия решения [39].
Примером управляемой системы с участием людей являетсяпроиз-водственно- экономическая система. В такой системе человек не только субъект управления, но и объект управления, элемент системы управления. Через трудовую деятельность людей производственные процессы оказываются связанными с социальными процессами вне производства и подвержены их влиянию. Поэтому деятельность управляемых экономических систем существенно зависит от течения социальных процессов, а, следовательно, от управления социальными процессами. Социальные процессы взаимодействуют с демографическими процессами и с процессами потребления благ, определяющими условия жизни людей и влияющими на их социальное поведение.
Поэтому модель управляемой системы с участием людей представляет собой модель социально-экономической системы, включающей в себя модели технологических процессов и модели процессов деятельности и взаимодействия групп людей. Действия людей, влияющих на течение процессов, зависят от состояния самих процессов. Следовательно, экономическая структура определяет структуру обратных связей, действующих в социально-экономической системе. Эти обратные связи - экономические механизмы регулирования процессов в системе - существенно влияют на течение процессов.
Вычислительный эксперимент на данных по Приморскому краю
Применение математических методов в экономике, демографии, социологии и других общественных науках имеет давнюю традицию. Проблемы, возникающие в различных областях деятельности человека, и потребности ее рациональной организации почти всегда были объектом исследования в математических моделях. При описании производственного и социального аспектов этой деятельности учитывают специфику процессов и явлений, применяя различные математические методы. Рассмотрим основные характеристики, определяющие социально-экономическое развитие.
Экономика является динамической системой. Поэтому при модели-ровании развития экономических систем, составления планов и прогнозов необходимо учитывать фактор времени. Различают модели, в которых переменные изменяются дискретно (например, в качестве интервала рассматривается год) и непрерывно. Математический аппарат для решения задач с дискретным и непрерывным временем различен. Для описания процессов развития в первом случае применяются разностные уравнения, во втором случае - дифференциальные уравнения.
Эффективное применение в экономике математических методов, вычислительной техники, автоматизированных систем управления возможно только при условии достаточно точно формализованного, более того - количественного анализа экономических явлений, закономерностей, процессов. Результат процесса производства складывается под влиянием многочисленных факторов.
С помощью качественного анализа можно установить, какие факторы влияют на результат производства, а иногда и определить направление этого влияния. Для измерения характера и степени такого влияния, для получения количественных оценок и выводов необходимо построение математических моделей экономических явлений и процессов. Одним из ведущих направлений экономико-математического описания зависимостей в сфере производства является построение производственных функций [56].
Производственная функция - это описание связи между затратами факторов производства и максимально возможным выпуском продукции при этих затратах и при существующем относительно устойчивом уровне технологии и организации производства.
Производственные функции применяются для анализа влияния различных сочетаний факторов на объем выпуска в определенный момент (статический вариант) и для анализа, а также прогнозирования соотношения объемов ресурсов и объема выпуска в разные моменты времени (динамический вариант) на различных уровнях экономики - от отдельного предприятия до экономики страны в целом.
Математически предполагается, что производственная функция должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой. Экономические предположения состоят в следующем: при отсутствии хотя бы одного производственного ресурса производство невозможно; рост использования ресурсов приводит к росту результата производства; увеличение затрат одного ресурса приводит к снижению эффективности его использования.
Математически производственные функции могут быть представлены в различных формах - от столь простых как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фактора; до весьма сложных систем уравнений, включающих рекурентные соотношения, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени.
В общем виде зависимость объема произведенной продукции у от затраченных ресурсов, описываемую с помощью производствениой функции, можно представить в виде: где х = (xi,..., хп) - вектор затрат, каждая компонента которого означает количество определенного вида ресурса (продукта), использованного в процессе производства. При этом продукты, использованные и произведенные считают "чистыми". Под "чистым продуктом" понимают либо однородный продукт (продукт одного вида), либо агрегированный. Агрегирование - объединение, укрупнение показателей по какому-либо признаку. Сущность агрегирования - в соединении однородных элементов в более крупные [54]. Агрегирование имеет большое значение в методе межотраслевого баланса, где оно означает объединение различных производств в отрасли, продуктов - в обобщенные продукты [41]. В макроэкономических моделях при описании экономики страны в целом в качестве обобщенного продукта выступает валовый национальный продукт.
