Содержание к диссертации
Введение
1 Математические модели бесконечно длинных панелей. 23
1.1 Математическая модель и алгоритм расчета бесконечных упругих панелей с учетом геометрической нелинейности и упругопластических деформаций при внешнем нагружении. 23
1.2 Алгоритм по учету разгрузки и вторичных пластических деформаций (циклическое нагружение) 29
1.3 Математическая модель и алгоритм расчета бесконечной панели с учетом геометрической нелинейности при параметрическом возбуждении 35
Выводы по главе 40
2 Некоторые методы сведения бесконечномерной задачи к конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений . 42
2.1 Метод Бубнова-Галеркина 42
2.1.1 Обший подход метода Бубнова-Галеркина 42
2.1.2 Применение метода Бубнова-Галеркина в задаче колебаний бесконечной панели с учетом геометрической нелинейности 43
2.2 Метод конечных разностей 47
2.2.1 Явная и неявная схемы 47
2.2.2 Вычисление разностных производных 49
2.2.3 Аппроксимация функций и их производных на сетке 57
2.3 Псевдоспектральный метод на Чебышевской сетке 61
Выводы по главе. 64
Численное интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений . 66
3.1 Постановка задачи численного интегрирования 66
3.2 Метод Эйлера 67
3.3 Основные требования предъявляемые к явным методам интегрирования ОДУ 68
3.4 Сходимость, порядок аппроксимации, устойчивость 70
3.5 Класс методов Рунге-Кутта 72
3.6 Вопрос практической сходимости методов Рунге-Кутта 79
Выводы по главе 84
Характеристические показатели Ляпунова . 87
4.1 Алгоритм вычисления спектра Ляпуновских показателей. 87
4.2 Упрощение алгоритма на случай системы малой размерности 89
4.3 Достоверность результатов полученных на основе анализа спектра Ляпуновских показателей . 92
4.4 Анализ устойчивости системы на основе спектра Ляпунов-ских показателей и максимального прогиба. 94
Выводы по главе 97
5 Численный эксперимент исследования колебаний бесконечно длинных гибких панелей. 98
5.1 Численный эксперимент на основе метода Бубнова-Галеркина 98
5.2 Численный эксперимент на основе метода конечных разностей 117
5.2.1 Сходимость разностной схемы 117
5.2.2 Результаты численного эксперимента для задачи с защемлением 125
5.3 Численный эксперимент для задачи колебаний бесконечной панели с учетом геометрической и физической нелинейности 130
Выводы по главе 139
6 Новые аспекты перехода механических систем из состояния регулярных колебаний к хаотическим. 142
6.1 Существование периодичности Шарковского в хаотических колебаниях бесконечно длинных гибких панелей. 142
6.2 Фазовые переходы "хаос - гипер хаос - гипер-гипер хаос". 148
6.3 Достоверность существования зон хаоса, гипер хаоса и гипер-гипер хаоса 159
Выводы по главе 164
Заключение
Литература 171
- Алгоритм по учету разгрузки и вторичных пластических деформаций (циклическое нагружение)
- Применение метода Бубнова-Галеркина в задаче колебаний бесконечной панели с учетом геометрической нелинейности
- Основные требования предъявляемые к явным методам интегрирования ОДУ
- Упрощение алгоритма на случай системы малой размерности
Введение к работе
Актуальность темы. Значительные успехи, достигнутые в 80-90-е годы прошлого века в области численного решения нелинейных уравнений в частных производных (УЧП), позволили использовать нелинейные теории механики деформируемых тел для расчета базовых конструктивных элементов сложных механических систем.
Гибкие упругие панели являются широко распространенным элементом сложных конструкций и различных машин. Динамическое нагруже-ние таких элементов - одна из базовых задач расчета поведения всей конструкции. Особый интерес представляет зависимость динамического режима колебаний от параметров внешнего нагружения и дисперсионных свойств среды. Задачи расчета подобных конструкций привели к необходимости построения и исследования их математических моделей. Моделирование колебаний гибких панелей под действием продольных и поперечных знакопеременных нагрузок является одной из актуальных задач современной механики.
Вопросам нелинейных колебаний пластин и оболочек посвящены монографии В.Л. Агамирова, В.В. Болотина, А.С. Вольмира, В.Г. Баженова, В.А. Крысько, Ю.Г. Коноплева и других авторов. В работах этих авторов приведены нелинейные уравнения колебаний пластин и оболочек, однако вытекающие из них решения исследованы лишь для случая импульсных нагрузок и режима собственных колебаний.
Получившие широкое распространение в последние десятилетия методы анализа детерминированного хаоса позволили по-новому подойти к описанию нелинейных колебаний пластин и оболочек. Заметный вклад в исследования по данному направлению внесли сотрудники Саратовского государственного технического университета. Следует отметить работы следующих авторов: В.А. Крысько, А.В. Крысько, Е.В. Салий, Т.В. Вах-лаевой, А.А. Сопенко, Ю.В. Чеботаревского и др. Данная работа является частью глобального исследования, проводимого научной группой В.А. Крысько, и посвящена ранее не исследовавшимся колебаниям гибких бесконечно длинных панелей под действием знакопеременных нагрузок. В известной нам литературе не рассматривались нелинейные колебания
бесконечно длинных гибких панелей с тснЛеврвнвдйвадйЙщедй динами-
I БИБЛИОТЕКА і
3 1^1
ки и качественной теории дифференциальных уравнений.
Таким образом, представляется важной и актуальной задача исследования колебаний бесконечно длинных гибких панелей как упругих, так и с учетом физической нелинейности под действием периодической знакопеременной нагрузки.
Целью работы является построение и исследование математической модели нелинейных колебаний бесконечно длинных гибких панелей. Таким образом, перед нами стоят следующие задачи:
-
Разработка математических моделей для сложных колебаний бесконечно длинных панелей под действием продольной и поперечной знакопеременной нагрузки с учетом только геометрической нелинейности, геометрической и физической нелинейностей, геометрической нелинейности и упругопластических деформаций.
-
Изучение сценариев перехода в состояние хаоса колебаний бесконечно длинных гибких панелей в зависимости от типа краевых условий и параметров внешней знакопеременной нагрузки.
-
Выявление новых закономерностей в зонах хаотических колебаний. Научная новизна работы заключается в следующем:
-
Впервые предложена математическая модель для расчета колебаний бесконечно длинных гибких панелей под действием внешней параметрической нагрузки с учетом упругопластических деформаций и идеального эффекта Баушингера.
-
Упрощенная математическая модель, учитывающая только геометрическую нелинейность, исследована рядом численных методов: метод Бубнова-Галеркина, метод конечных разностей с явной и неявной разностной схемой, псевдоспектральный метод на Чебышевской сетке. Показано, в частности, что псевдоспектральный метод на Чебышевской сетке требует меньшего объема вычислений по сравнению с конечно-разностными методами для задачи с несимметричными краевыми условиями. Для задачи с шарнирным закреплением краев наиболее экономичным с вычислительной точки зрения оказался метод Бубнова-Галеркина.
-
Разработана оригинальная методика построения "карт" колебаний на основе эвристического анализа спектра мощности. Построены "карты" зависимости характера колебаний от управляющих параметров (А,ш), для бесконечно длинных гибких пластин находящихся под действием периодических знакопеременных нагрузок вида A smut.
-
Впервые обнаружена и изучена периодичность Шарковского для нелинейной системы непрерывного типа.
-
Установлено, что при колебаниях бесконечно длинных гибких панелей с несимметричными краевыми условиями имеет место достижение положительных значений не только вторым Ляпуновским показателем (гиперхаос), но и третьим (гипер-гиперхаос).
Достоверность полученных результатов обеспечивается корректной физической и математической постановкой задачи, применением известных численных методов, а также качественной теории дифференциальных уравнений и методов нелинейной динамики. Сравнение результатов различных численных методов также подтверждает достоверность.
Практическая ценность и реализация результатов. Предложенная математическая модель позволяет решать широкий класс задач нелинейной динамики для геометрически и физически нелинейных бесконечно длинных панелей с произвольными краевыми условиями. Разработанный алгоритм позволяет исследовать колебания механических систем в зависимости от управляющих параметров.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на XII и XIII межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2002, 2003), на IV Международной конференции по структурной динамике EURODIN (Munich, Germany, 2002), на Международной конференции "Нелинейные колебания механических и биологических систем" (Саратов, 2003), на VII Международной конференции "Dynamical systems - Theory and Applications" (Lodz, Poland, 2003), на XIII зимней школе молодых ученых по механике сплошных сред (Пермь, 2003), на XXI Международной конференции по теории пластин и оболочек (Саратов, 2005).
В законченном виде диссертационная работа докладывалась на научном семинаре "Численные методы расчета пластин и оболочек" кафедры "Высшая математика" СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д.т.н., профессора В.А. Крысько (Саратов, 2005), на межкафедральном семинаре по математическому моделированию "Численные методы и комплексы программ" СГТУ под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д.ф.-м.н., профессора В.Б. Байбурина (Саратов, 2006).
На защиту выносятся следующие результаты и положения:
-
Математические модели гибких упругих оболочек позволяют исследовать нелинейные диссипативные колебания бесконечно длинных гибких панелей с произвольными краевыми условиями под действием периодических продольных и поперечных знакопеременных нагрузок.
-
Алгоритмы, методика и комплекс прикладных программ для расчета и анализа колебаний бесконечно длинных гибких панелей при действии продольных и поперечных знакопеременных сил с произвольными граничными условиями.
-
Выявлено новое явление при колебании бесконечно длинных гибких панелей с несимметричными краевыми условиями, когда положительных значений достигает не только второй Ляпуновский показатель (гиперхаос), но и третий (гипер-гиперхаос).
Публикации. Основное содержание диссертационной работы и результаты исследований опубликованы в 8 научных работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка используемой литературы, включающего в себя 104 наименования. Общий объем работы 185 страниц, в том числе 44 рисунка и 5 таблиц.
Алгоритм по учету разгрузки и вторичных пластических деформаций (циклическое нагружение)
Рассмотрим зависимость между деформациями и напряжениям для изотропного материала. &хх — Б хх + хх (1- 4)
В качестве критерия текучести примем критерий текучести Мизеса, так как согласно работе [69], данная гепотеза находится в великолепном соответствии с экспериментальными данными для мягких ковких материалов, например, меди, алюминия, железа, стали со средним содержанием углерода и легированной стали.
В теории малых упругопластических деформаций скалярные свойства зависимости между напряжениями и деформациями определаяются функцией: Vi = f(ei) (1.25) где 7; - интеснсивность напряжений, е - интенсивность деформаций (рис. 1.2).
Предполагаяется, что эта формула не зависит от вида напряженного состояния и находится экспериментально при растяжении-сжатии цилиндрических образцов. Приведем некоторые аналитические варианты зависимости TJ = /(ег): 1. Идеально упругопластическое тело: и і — 3GQei, при еі es as, при ЄІ es (1.26) 2. Упруго-пластическое тело с линейным упрочнением: ЗС?оЄг, (Ті = при Єі es 3G0es + 3Gi(ej-es), при єі е3 (1.27) 3. Диаграмма для чистого алюминия [70]: (Ji = as [1 - exp(-ei/es)] (1.28) 4. Зависимость Бюльфингера [71]: (Ti = Aef, 0 m l (1.29) где А и т определяются из эксперимента. 5. Кубическая зависимость [72]: ai = Eei-me] (1.30) где Е и т константы материала. 6. Полином пятой степени [71]: &І = Еві — mie? — т2е (1.31) где Е, ті и гаг константы материала. 7. Закон Соколовского [73]: АР Щ = , , (1.32) 8. Закон Рамберга-Осгуда [74]: т = Еа + Aef (1.33)
Кроме перечисленных зависимостей сг (е ) в литературе имеется еще ряд формул. Однако для предлагаемого алгоритма расчета упругопластиче-ских деформаций зависисмость 7j(ez) может быть произвольной, в частности она может быть задана в виде таблицы, полученной при испытании стандартных образцов на растяжение-сжатие.
Вернемся к зависимости СГІ(ЄІ), график которой приведен на рис. 1.2. На упругом участке: Gi = 2,GQei (1.34) где Go - характерное значение модуля сдвига в недеформированном состоянии. За пределом упругости при активном процессе нагружения ( іег- 0) агі{еі) определяется по (1.25). При разгрузке (с?ег- 0) /согласно работе [75], 7і(еі) определяется из соотношения: 7; = 3G0e", Є ! = ЄІ-Є\ (1.35) где ef - остаточные деформации в элемнте в момент разгрузки.
Выражение (1.35) определяет ОІ{ЄІ) в том случае, когда в элементе при разгрузке не возникают вторичные пластические деформации. В области вторичных пластических деформаций (ЄІ es) интенсивность в обшем случае определяется функцией: i = h{ei) (1.36) функция /і(еі) - также, как и /(е ) не зависит от вида напряженного состояния и определяется экспериментальным путем при деформировании цилиндрических образцов. Используя геометрическую интерпретацию процесса деформирования в плоскости ОІ — os, величну є" можно представить в виде:
Применение метода Бубнова-Галеркина в задаче колебаний бесконечной панели с учетом геометрической нелинейности
Рассмотрим решение уравнения (1.46) с краевыми условиями в виде шарнирного опирання (1.47). В качестве набора базисных функций метода Бубнова-Галеркина возьмем: {sin7r(2i + 1)Ж}І=І...ЛГ. Очевидно, что эти функции удовлетворяют данным краевым условиям. Таким образом, будем искать решение в виде: N w(x, t) = 2 Ai(t) sin(7r(2z + l)x) (2.4) г=1 Подставим это представление в уравнение (1.46), получим: N N Y (А + еЛ) sin(7r(2i + 1)аг) = -Л Д(тг(2г + I))4sin(7r(2z + 1)х) г=1 г=1 N (6AL ({ }f) - Px(t)) Y, МФІ + І))2 8іп(тт(2г + 1)х) + q(x, t) (2.5) Где: L (Ш?) = J { Е Ацг(2і + 1) со8(тт(2г + l)x) \ dx = 0 U=l J N N 1 ЕЕ/ {AiAjTT2(2i + l)(2j + 1) cos(7r(2i + 1)х) COS(TT(2J + 1)х)} dx = г=1 j=lО Е / {АІТГ(2І + 1) cos(7r(2i + 1)х)}2 dx = Е(Л(2г + І))2 г =1 0 г=1 (2.6) Помножим обе части уравнения (2.5) на sin(7r(2j + 1)х) и проинтегрируем по ж от 0 до 1. Получаем: N / .. . ч 1 Е ( АІ + ЄАІ І / sin(7r(2z + l)z) sin(7r(2j + 1)х) dx = N 1 -А Е AM4 / sin(7r(2z + 1)х) sin(7r(2j + 1)х) dx+ і=1 N ! (2.7) + (6AL ({A}f) - Р ()) Е Л(тгг)2 / sin(Trirc) sin(7rja;) cte+ г=1 О +5(3:, ) f sm(7rjx) dx+ o
Учитывая, что функции {sin(mx)}i взаимно ортогональны на интервале [0:1], получаем следующее уравнение: Aj+sAj = -XMnj)4- (ЗАтг2f z)2 - Px(t) J (тгі)2 + (z,t) (2.8)
Таким образом, получили N обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка. Подстановкой A j(t) = Aj(t) сводим систему к 2JV обыкновенным дифференциальным уравнениям 1-го порядка. Полученную систему можно решить методом Рунге-Кутта. Aj = Aj . А , = -еА ЩМ4 (г\ и)2-Рх(АА )2+ (2.9)
Отдельно следует рассмотреть задачу продольного нагружения при отсутствии поперечной силы (q(x, t) = 0). Очевидно, что в случае отсутствия начального прогиба, решением системы будет тождественный 0. Поэтому начальные условия возьмем в виде (1.50), где WQ - некоторый малый прогиб. Изучая структуру уравнения (2.9), можно заметить, что начальное возмущение первой гармоники не распространяется на гармоники более высоких порядков и коэффициенты при гармониках высших порядков являются тождественными 0. Таким образом, система уравнений (2.8) вырождается в 1 уравнение: 4і + єЛ1 = - (Лтг2(1 + ЗА?) - Px(t)) Ацг2 (2.10) Это хорошо изученное уравнение Дуффинга [80]
Рассмотрим решение уравнения (1.46) с краевыми условиями в виде жесткого защемления (1.48). В качестве набора базисных функций метода Бубнова-Галеркина возьмем: {cos27ria; — 1}Z=O..JV. То есть будем искать решение в виде:
Для сведения дифференциальных уравнений в частных производных (1.46) к обыкновенным дифференциальным уравнениям применим к пространственной координате х метод конечных разностей. В сеточной области: GN = {0 xt 1, ХІ = i/N, i = 0,...,N} заменим частные производные их разностными аналогами. щ + ещ = -XAx4(wi) + 6Л / A2x(wi) dx Л ) - Px(t)Ax2(wi) + q(ih,t) (2.17) Интеграл в уравнении (2.17) можно найти численно, например по формуле Симпсона. Для краевых условий (1.48), (1.47): 1. для шарнирно закрепленного края (.)_j = — (.)j 2. для защемленного края (.)_ = (.)г-Введение замены переменных щ = \ (2.18) сводит уравнение (2.17) второго порядка к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка по времени для прогиба Wi и скоростей ги[\ w[ + w i = -\Axi(wi) + 6Л I / A2x(wi)dx \ Ax2{wi) - РхЦ)Ах2(т{) + q(ih,t) (2.19) Для построения неявной схемы также как и в явном методе рассмотрим регулярную сетку GN- На этой сетке запишем уравнение (1.46) в виде трехслойной разностной схемы с весами - метод Кренка-Николсана. aj = І {ЧМ}2 dx, о Z = -ХАкх і) + {6\а-Рх(і)}Акх2(щ), (220) + 1 = aZi + (l-a)Zi+1 + q(ih,t)
Верхние индексы соответствуют слоям по времени, а нижние разбиению по пространству. Производные по времени аппроксимированы с точностью 0(т2), а пространственные производные брались с аппроксимациями 0(h2), 0{hA) и 0(/6). Вычисление коэффициента а и учет краевых условий делаются по аналогии с явным методом.
Следует заметить, что в отличие от явного метода интегрирование по времени ведется не методом Рунге-Кутта, а путем решения системы линейных уравнений. Матрица системы - ленточная и ее ширина зависит от порядка аппроксимации производных. Для аппроксимации 0(h2) - матрица 5 диагональная, для 0{hA) - 7 диагональная и для 0(h6) - 9 диагональная.
Основные требования предъявляемые к явным методам интегрирования ОДУ
Следует отметить, что для численного решения ОДУ не достаточно только формулы для вычисления значения на следующем шаге. Важно принимать во внимание и другие факторы: промежуточные значения: необходимы эффективные методы интерполяции промежуточных значений, а не только значений в узлах сетки t0, ti, t2, ... определение точки выполнения некоего условия: например, необходимо определять точки локального минимума/максимума решения. параллельные вычисления: желательно, чтобы алгоритм можно было эффективно распараллеливать для вычислений сразу на нескольких компьютерах/процессорах. оценка погрешности: необходимо иметь оценку погрешности каждого шага и интегральную оценку для всего интервала интегрирования. выбор шага интегрирования: размер каждого шага вычисляется так, чтобы погрешность вычислений на данном шаге не превосходила некоторого заданного значения. Таким образом, можно сократить объем вычислений, сохраняя необходимую точность. адаптивное изменение порядка точности: это развитие идеи интегрирования с переменным шагом, что призвано сократить объем вычислений.
Существует ряд методов, не укладывающихся в описанную выше схему и некоторые из них перечислены ниже: методы, использующие производные более высоких порядков. К таким методам следует отнести метод Эрмита-Обрешкова и метод Фе-хельберга [84]. методы для дифференциальных уравнений второго порядка. Как было показано выше, дифференциальные уравнения более высоких по рядков можно свести к системе ОДУ вида (3.1). Данный подход имеет право на жизнь, но в некоторых случаях не дает оптимального результата. Поэтому существуют методы для интегрирования непосредственно уравнений второго порядка - например, метод Ней-стрема [85].
Численные методы - это не только выведение новых формул, но также исследование полученных аппроксимаций. Основной вопрос данного анализа - вопрос сходимости (действительно ли численное решение приближает реальное решение). Второй вопрос - насколько точно численное решение приближает искомое решение. И наконец, насколько устойчив метод, т.е. необходимо убедиться, что ошибки аппроксимации затухают и не могут привести численное интегрирование к коллапсу.
Сходимость
Считается, что численный метод сходится, если численное решение приближается к реальному решению при стремлении шага интегрирования h к 0. Более строго это можно записать в виде: для любого ОДУ типа (3.1) с Липшецевской функцией / и любого момента времени t 0:
Величину, стоящую в правой части уравнения называют локальной невязкой метода. Для описанных выше явного и неявного метода Эйлера порядок равен аппроксимации 1. В большинстве приложений используются аппроксимации более высоких порядков. По аналогии с локальной невязкой, вносимой методом на каждом шаге, существует понятие общей невязки, т.е. ошибки накопленной за те шаги, которые необходимы для достижения некоторого заданного времени t. Т.е. общая невязка за время t равна: ум — у (і), где N = [(t — to)/h\. Общая ошибка одношагового метода (метод типа (3.9) с к = 1) р-го порядка равна 0(hp). Как одно из следствий данного факта, можно назвать устойчивость такого метода.
Продемонстрируем, как вычисляется порядок аппроксимации на примере метода Эйлера. Разложим решение в ряд Тейлора в окрестности точки to: y(to + h) = y{to) + y'{tQ)h+0{h2). Как видим, формула Эйлера отличается на 0(h2), таким образом, это метод первого порядка точности.
Упрощение алгоритма на случай системы малой размерности
Показатели Ляпунова играют важную роль в теории диссипативных динамических систем. Они дают возможность вычислять количественную меру хаотизации. Помимо этого существует тесная связь между показателям Ляпунова и другими характеристиками хаотичности процесса, такими как энтропия Колмогорова или динамическая размерность .ПГеорияпо связь между показателями Ляпунова и механическими колебаниями пластинных конструкций. На этом вопросе мы остановимся позже. /
Теория показателей Ляпунова использовалась Оселедецом [88]. Связь показателей Ляпунова с энтропией Колмогорова рассматривалась Бенеттином и др. [89] и была установлена Песиным [90]. В литературе по исследованию хаотических колебаний различных динамических систем широко используется алгоритм предложенный Бенеттином и др. [89]. Приведем краткое описание алгоритма и трудности его численной реализации.
Выбирается произвольная система из п n-мерных векторов Х{ (п-размерность фазового пространства). Исходная система дифференциальных уравнений интегрируется на некотором интервале. Далее рассматривается линеаризированная система для начальной точки интервала инте грирования. Эта система интегрируется п раз с начальными условиями в виде векторов Х{. Получаем новую систему из п векторов. Далее эта система ортонормируется по алгоритму Грамма-Шмитта и служит новой системой векторов Х{ для следующего шага. Логарифмы коэффициентов нормировки для каждого из векторов усредняются на достаточно большом количестве таких итераций и пределы этих последовательностей образуют спектр Ляпуновских показателей. Следует заметить, что исходная система изначально должна находиться в некотором устоявшемся состоянии и фазовая точка конца интервала каждого шага интегрирования служит начальным условием для следующего интервала.
В работе Бенеттина было показано, что выбор начальной системы векторов ХІ может быть произвольным, и не влияет на предельные значения Ляпуновских показателей.
На практике численное интегрирование линеаризированных систем необходимо производить тем же методом, что и для основной нелинейной системы. Это означает, что вычислительная сложность алгоритма в п + 1 раз больше, чем для интегрирования исходной системы. Практика также показала, что ортогонализацию системы необходимо производить на каждый шаг метода Рунге-Кутта для достижения необходимой точности. Увеличение интервала, на котором производится интегрирование линеаризированных систем, приводит к тому, что углы между векторами ХІ становятся малы и процесс ортонормирования дает большую погрешность. В связи с этим также значительно увеличивается вычислительная сложность алгоритма.
При этом не следует забывать, что хі и Х2 вообще говоря комплексные, и на практике формула имеет различное представление для комплексных и полностью действительных х- Таким образом решения лине-аризированых систем можно находить не прибегая к численному интегрированию, используя формулу (4.2). Это значительно сокращает объем вычислений и теоретически повышает точность. Сравнение этих двух способов показало, что они практически эквивалентны. Различие в результатах составило не более 0.1%.
Вид решения (4.2) лежит в основе второго метода определения характеристических Ляпуновских показателей. Из формулы видно, что длина векторов Х{ экспоненциально растет/уменьшается в соответствии с действительными частями хь Х2- Поэтому вычисление Ляпуновских показателей можно производить прямым осреднением действительных частей собственных значений матрицы Якоби системы вдоль фазовой кривой [91]. Этот метод более близок к определению сути Ляпуновских показателей в отличие от классического метода, который является приближенной численной реализацией. В целом второй метод применим для довольно узкого круга задач: в тех случаях, когда легче вычислить собственные значения матрицы Якоби, чем реализация классического метода.
