Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Введение 4
1 Транспортные свойства электрона в наноструктурах 4
2 Теория рассеяния 9
3 Метод согласования асимптотических разложений 13
4 Элементная база квантового компьютера 18
5 Формулировка задачи и предшествующие результаты 22
6 Структура работы 27
Глава 2 Плоские волноводы, связанные через отверстия: асимптотики резонанса 29
1 Теорема о существовании резонанса 29
2 Асимптотические разложения резонанса для случая кон ечного количества соединяющих отверстий 34
3 Обоснование асимптотических разложений 43
4 Периодическая система соединяющих отверстий 47
Глава 3 Задача рассеяния в системе плоских связанных волноводов 51
1 Общий случай: п соединительных отверстий 51
2 Частные случаи 55
Глава 4 Криволинейные волноводы 57
1 Влияние отверстия на связанное состояние, вызванное кривизной 58
2 Смещение резонанса, вызванного отверстием связи, при искривлении волновода 60
Глава 5 Модели для двухчастичных задач 64
1 Функция Грина для двух частиц в волноводе 64
2 Связанные волноводы в поперечном электрическом поле... 69
Глава 6 Применение полученных результатов к моделированию элементов квантового компьютера 74
1 Возможные интерпретации кубитов 74
2 Операции,при «волноводной» интерпретации кубита 76
3 Операции при «спиновой» интерпретации кубита 81
Глава 7 Заключение 86
Список литературы
- Метод согласования асимптотических разложений
- Асимптотические разложения резонанса для случая кон ечного количества соединяющих отверстий
- Смещение резонанса, вызванного отверстием связи, при искривлении волновода
- Операции,при «волноводной» интерпретации кубита
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена математическому моделированию слабосвязанных наноструктур и исследованию возможности создания элементной базы квантового компьютера на их основе. Ниже будут приведены необходимые предварительные сведения и определения, относящиеся к данной теме.
Метод согласования асимптотических разложений
В задачах математического моделирования очень редко удается получить точное решение, то есть функцию, являющуюся комбинацией элементарных функций. Появление и усовершенствование асимптотических методов [93, 80, 81, ПО, 101, 92] значительно улучшают ситуацию. В случае если исследуемая задача близка к некоторой, имеющей известное решение (в каком-либо виде), часто вводят малый параметр, характеризующий величину отклонения, и исследуют поведение решения новой задачи при изменении малого параметра. Эту зависимость часто бывает удобно искать в виде асимптотического приближения, что и позволяют делать асимптотические методы. Таким образом, в результате для искомой функции получают либо асимптотический ряд полностью, либо несколько его первых членов.
Особый интерес представляют сингулярно возмущенные краевые задачи, то есть краевые задачи, в которых асимптотическое разложение искомой функции отсутствует или меняется в окрестности некоторой области (неоднородности). Тогда возможно использование метода согласования асимптотических разложений.
Ниже приведены основные понятия, необходимые для использования асимптотических методов и краткое описание метода согласования асимптотических разложений. Основные понятия Асимптотической или калибровочной последовательностью называется последовательность функций hk(a), к = 0,1,2,..., определённых и положительных в некоторой окрестности точки 0 при а 0, если для всех к выполнены соотношения a hk(a) Говорят, что функция /(a), определённая в окрестности точки О, разлагается в асимптотический ряд к=0 (или данный ряд является асимптотическим разложением функции f(a)), если для любого натурального п /(а)- сккк(а) = о(кп(а)) прия- 0. (1.3.2) к=0 Асимптотическое разложение обозначается следующим образом: со ДА)=2 Ы«). а- - (L3-3) к=0 Данный ряд в общем случае расходится, причём очень часто изучаются асимптотические ряды (1.3.3), расходящиеся для всех а О. Если функция / зависит, кроме а, ещё от переменных zl,z2...,zN, то коэффициенты ск также зависят от z = (z,,z2,...,zjV). В случае, когда соотношения (1.3.2) выполнены равномерно относительно ZGK, говорят, со что функция f(a,z) разлагается в асимптотический ряд ck(z) h к(а) к=0 равномерно относительно z є К. Аналогичным образом асимптотический ряд и калибровочные функции определяются для случая, когда функции f(x), hk (а) определены на множестве Л є іН , для которого х0 является предельной точкой (в частности, бесконечно удалённой): со к= Доказано (например, [ПО]), что для фиксированной калибровочной последовательности hk(a) асимптотическое разложение функции вида (1.3.1) единственно. Общая постановка задачи Пусть требуется решить дифференциальное уравнение L(x,f,a) = 0, хейсГ, (1.3.4) с некоторыми граничными условиями; а О — малый параметр, f(x, а) — искомое решение данной задачи. Предполагается, что для каждого а О существует единственное решение f(x,a) нашей задачи, но в явном виде его получить не удается. Нас интересует поведение решения при а — О. Предполагается построить функцию, приближённо удовлетворяющую уравнению и краевым условиям. Рассмотрим ряд F=5 7 ( ) о-3-5) такой, что его частные суммы Fn(x,a) удовлетворяют неравенствам /.( ,/ ( :, д),а) Ма" и аналогичным неравенствам для граничных условий.
Ряд (1.3.5) называется формальным асимптотическим решением дифференциального уравнения (1.3.4) или, если функции Fn{x,a), приближают ещё, кроме того, и граничные условия, то он называется формальным асимптотическим решением краевой задачи. Ряд (1.3.5) является асимптотическим рядом решения /(х,я)при д—»0, если функции Fn(x,a) хорошо приближают и(х,а) при малых а. Зависимость F от малого параметра а называется регулярной, если ряд (1.3.5) является асимптотическим разложением равномерно относительно xeQ. Задачи, для которых асимптотическое представление (1.3.5) отсутствует, или справедливо не всюду в О., называются сингулярно возмущёнными. Сингулярно возмущённые задачи представляют наибольший интерес для исследования. Рассмотрим задачу, решение которой имеет асимптотическое разложение вида (1.3.5) всюду в Q., кроме пограничного слоя (малая окрестность части Г границы д1). Ряд (1.3.5) называется внешним асимптотическим разложением. Нас будет интересовать поведение решения и построение асимптотического разложения в области Г2 и пограничном слое.
Асимптотические разложения резонанса для случая кон ечного количества соединяющих отверстий
Рассмотрим систему двух плоских волноводов Q+, Q шириной d+ и d_, соответственно, соединенных конечным числом отверстий малых размеров (рис. 1(6)), при граничном условии Неймана, то есть, исследуем следующую краевую задачу: А ,2 г. ди Ли + к и = 0, — = 0. (2.2.1) ш дп
Наличие соединяющих отверстий приводит к возникновению резонансов (квазисобственных значений), близких ко второму (третьему и т.д.) пороговому значению (нижней границей непрерывного спектра является нуль). В этом параграфе будут получены первые члены асимптотических разложений (по размеру отверстий) этих резонансов. Для построения асимптотик будем использовать метод согласования асимптотических разложений, описанный в 3 главы 1.
Пусть волноводы соединены малыми отверстиями с центрами в точках (хч,0), q = \,...,п, диаметры которых равны 2aq=2awq (а - малый параметр). Будем считать, что волноводы различны, т.е. d+ d. (случай одинаковых волноводов будет рассмотрен позже). Построим асимптотическое у 9 9 разложение резонанса к , который лежит близко к точке тґ/ d+ , в виде: — -к2а =zl\n-\a/d__) + T2\n 2(a/d_) + .... (2.2.2) d Задача состоит в нахождении коэффициентов тх,т2 в асимптотическом разложении (2.2.2). Для нахождения формального асимптотического решения задачи (2.2.1) необходимо знать выражение для функции Грина в волноводе без отверстия с граничными условиями Неймана:
G±{XXiX2, к) =X + -cos -cos -expf- lx,- !) , $ d±y;(Sn+\) d± d± V / (2.2.3) где = l n = 0 " 0, n 0, 2 2 ± № ,2 где X - (xl5 ,), X2 = (x2,y2) - декартовы координаты. Обозначим у = —-к2 г =,fc- 2. Асимптотические разложения функции Грина в окрестности особенности (0,0) лежащей на границе области, при значениях /с, близких к тс/ d+ , имеют вид: 1пх,++ОіЛ) ж G+(X,0,yy = —cos -exp1 - [Xi d+7a d+ 4 d+ra n G (X,0,ka) = \n\X] \+g-(xuka), (2.2.4) где функции g {xx,ka\ g (xl5A:a) не имеют особенностей во всей области волноводов. Тогда асимптотическое разложение квазисобственной функции у/а(х) (то есть, решение уравнения Гельмгольца, в рассматриваемой области, соответствующее квазисобственному значению спектрального параметра) ищем в виде: W = ±ratd qG {x,(x4,0),ka) + -, eQ± , q=\ Л v0 + v\ - -In 1(a/d_) + ..., xeS2 , (2.2.5) где Sjf — круг радиуса R с центром в середине q-ro отверстия, aq — некоторые коэффициенты. Метод согласования для старших членов, фактически, сводится к поиску таких «склеивающих» функций v 0(x/a), v[[xla), удовлетворяющих краевым условиям Неймана, что члены соответствующих порядков в асимптотических разложениях решения (2.2.5) будут совпадать в областях: (Q+\S )nS 2 , (Q"\S ) nS 2 . Учитывая тот факт, что функция ц/а{х) является решением уравнения Гельмгольца (2.2.1), для функций v 0 [xl a), vj (х/а) можно записать: а + i- [vJGf) + vK ln-1 (a/d_) +...] + 2 \ — fhT2(a/d_)-... H() + v№)\n-](a/d_) + ...) = 0. Отсюда получаем, что функции v x/a), v{(x/a) являются решениями уравнения Лапласа: A/t Q () = О, Ал [() = 0 с граничными условиями Неймана. Далее, чтобы определить вид этих функций, будем сравнивать коэффициенты при соответствующих степенях а в разложении (2.2.5). Опишем подробнее эту процедуру. Полученная матрица М является симметрической. Следовательно, она имеет, по крайней мере, одно вещественное собственное число, которое будет соответствовать одному из резонансов. Теперь рассмотрим случай одинаковых волноводов (d+ =d_=d). Тогда функции Грина в верхнем и нижнем волноводе будут одинаковыми (ср. с (2.2.4)): G+(X,0,ka) = G (X,0,ka) = G±(X,0,ka), G±(X,0,ka) = —-cos- -exp(- x,) \n(a/d_) lnp + g ( ж X\, \ d. Выполняя аналогичные процедуры, получаем значение коэффициента Тх, и элементы матрицы М = \p iq \, собственным значением которой является коэффициент т2: пп d П d VUq = \ л п +—In G(x\xq,k) W; dYk П d к= i\ (2.2.13) Следует отметить, что данный результат не получается предельным переходом из (2.1.8) и (2.1.10) при d+- d_. Это можно объяснить тем, что при d+ — d_ их разность также является малым параметром, сравнимым с а, по которому строятся асимптотические ряды, а значит нельзя использовать прежние выражения для асимптотических рядов (2.2.6).
Смещение резонанса, вызванного отверстием связи, при искривлении волновода
Так как резонанс возникает и в прямых соединенных волноводах (благодаря наличию отверстия связи), то необходимо изучить, какие изменения происходят при искривлении одного или обоих волноводов. Эти исследования проведены в данном параграфе настоящей главы.
Рассмотрим искривленный волновод Q+ шириной d+ и присоединенный к нему прямой волновод ОТ шириной d_ (рис. 4(a)). Пусть а — радиус соединительного отверстия. Будем считать, что в некоторой окрестности отверстия кривизна границы волновода равна нулю.
Будем рассматривать случай, когда d+ d_. Тогда для получения асимптотических оценок резонанса ка, близкого ко второму порогу непрерывного спектра AQ (для прямого волновода со смешанными 9л;2 граничными условиями это значение равно —-), будем использовать метод Adl согласования асимптотических разложений, примененный нами в главах 2 и 3. То есть, будем искать коэффициенты следующего асимптотического разложения: r(W = yl -%= ito l(a/d_) + T2\n2(a/d_) + o{]n-2(a/d_)). (4.2.1) Отличие будет состоять в том, что в формулах для функции Грина (2.2.3), (2.2.4) собственные функции теперь неизвестны. Запишем асимптотику функции Грина в окрестности точки (0,0) следующим образом: ( ) (4.2.2) G-(X,0,ka) = --\n\xl\+g-(xl,ka), где функция у/ - собственная функция по поперечной координате. Дальнейшие вычисления абсолютно аналогичны приведенным в гл.2, 2. Приведем результат, а именно, значения коэффициентов в асимптотическом разложении (4.2.1): г1=! 2(0), (4.2.3) 2=Т1 ( +(0Л) + "(0А)) + 1п2 Теперь рассмотрим систему, в которой ширины волноводов равны, т.е. d+-d_=d. Если присоединенный волновод Q_ прямой, то для коэффициента г, получаем ж 1 2 Y о\ Г(0) + - (4.2.4) V а) Если присоединенный волновод тоже искривлен, то формула (4.2.4) преобразуется к виду: = (0) + (0)), (4.2.5) 2 где ц/+,цг_ - собственные функции по поперечной координате в верхнем и нижнем волноводах. Заметим, что формула (4.2.4) является следствием (4.2.5), так как квадрат значения волновой функции в нуле для прямого волновода равен 2/ d. Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 4.2.1. Асимптотическое разложение резонанса ka, близкого ко второму порогу непрерывного спектра AQ в системе связанных искривленных волноводов при условиях Неймана - Дирихле на границах имеет вид: ТЛ)- = 1п l(a/d_) + T2\n 2(a/d_) + o(ln 2( я/ і_)), На рис.4(б) показан график зависимости коэффициента т{ от радиуса кривизны XIк при предположении постоянства кривизны в окрестности отверстия. В качестве единицы измерения выбрана ширина верхнего волновода. Следующая теорема дает оценки коэффициента тх. Теорема 4.2.2. Для коэффициента тх в условиях теоремы 4.2.1 и d+ d_ имеют место неравенства: ( З Л„2 7ud к к 7id V тх + Л) Л (4.2.6) V 4(\ + icd+y
Доказательство Будем считать, что кривизна волновода к меняется очень медленно вблизи отверстия. Тогда в выражении (4.0.2) для V{s,u) можно пренебречь двумя последними слагаемыми и разделить переменные в выражении (4.0.1) для лапласиана Н. Получаем следующую краевую задачу для собственной функции по поперечной координате ц/(и), соответствующей собственному значению Лц: к где 4(1 + ик)
Используя формулу Ньютона-Лейбница, интегрирование по частям и уравнение (4.2.7), получаем -i//(Q) = i//(d+)-y/(Q) = Pi// (u)du = i// (u)(u-d+)f + - Г+ (u-d+)i//"(u)du = = -(u-d+)(V-Aa)iy(u)du. (4.2.8) Следовательно, ,//(0)= (+(d+-u)(V-Ad)i (u)du. (4.2.9) Учитывая естественные ограничения на V: 2 2 к -у (4.2.10) 4(\ + fcd+y 4 и используя неравенство Буняковского, получаем 2(0) (Ло + лг2/4) + (d+ -uf du Гif/2{u)du =( + /с2/4) - . То есть, правая часть неравенства (4.2.6) доказана. Далее, можно считать, что 0. Тогда из (4.2.7) следует (//" 0. Имеем (w) —— {d+ - и). Следовательно, (d+-«)lKu)du g (d+-«)2du= - . (4.2.11)
Здесь мы использовали неравенство (0) d+U2, которое следует из условия нормировки. Возводя равенство (4.2.9) в квадрат и учитывая неравенства (4.2.10-11) получаем левую часть неравенства (4.2.6). Теорема доказана.
В данном параграфе было исследовано влияние искривления волновода на положение резонанса. Доказанная теорема показывает, что при искривлении одного или двух волноводов смещается порог непрерывного спектра (Лд) и меняется положение резонанса, близкого к этому порогу, что оказывает влияние на электронный транспорт в подобных структурах.
Для описания многокубитовых операций квантового компьютера необходимо решать многочастичные задачи в системах волноводов. Эти задачи являются довольно сложными. В настоящей главе сделаны первые шаги в решении таких задач. В частности, в первом параграфе исследуется функция Грина для системы двух невзаимодействующих частиц, находящихся в бесконечном прямом двумерном волноводе шириной d с условиями Неймана на границе. Решение такой задачи является необходимым этапом для изучения задачи рассеяния взаимодействующих частиц. Во втором параграфе предложен способ изучения взаимного влияния двух заряженных частиц в приближении среднего поля. А именно, рассматривается поведение электрона в волноводах под действием среднего поля, создаваемого другим электроном.
Операции,при «волноводной» интерпретации кубита
Кубит в данной интерпретации представляет собой состояние электрона в двух близко расположенных квантовых слоях. Нахождение электрона в одном из слоев в этом случае выбирается в качестве нулевого базисного состояния, а в другом — единичного. Когерентная суперпозиция состояний получается в случае, когда носитель волновой функции электрона не сосредоточен только в одном из слоев, то есть, электрон находится с некоторой вероятностью в каждом из них. При этом очень важно, чтобы разделительный барьер был достаточно большим, чтобы время декогерентизации превышало время выполнения вычислительных алгоритмов.
Для приготовления начального состояния )0,,02,03---0,) достаточно ввести по одиночному электрону в нулевые каналы всех кубитов. В настоящее время это можно сделать с помощью электронного насоса. Принцип его действия основан на том, что между источником электронов и потребителем располагают несколько квантовых точек (островков), разделенных между собой туннельными барьерами. Параметры квантовых точек таковы, что в каждой из них может разместиться только один электрон. Последовательно подавая напряжение на островки в направлении от источника можно добиться перемещения одного электрона из источника в приемник [45]. Такие насосы располагаются возле нулевого слоя каждого кубита.
Для осуществления двухкубитовых операции необходимо, чтобы электроны в различных каналах перемещались синхронно и одновременно приходили в зону взаимодействия. Этого можно добиться, согласованно подавая напряжение на электронные насосы. Также требуется, чтобы их скорости (энергии) совпадали, этого можно добиться, фильтруя через двойной потенциальный барьер, который пропускает только электроны со значением энергии равным связанному состоянию внутри барьера. В конце вычислений нам необходимо определить наличие электрона в одном из двух слоев для каждого канала. Эту операцию можно осуществить с помощью подсоединенного к слою одноэлектронного транзистора, который чувствителен к приходу единственного электрона [24, 68, 61]. Основной недостаток такой схемы - очень большое время отклика одноэлектронного транзистора.
Рассмотрим возможные операции. Однокубитовые операции, изменяющие волновую функцию одного электрона, могут быть реализованы за счет соответствующей конструкции системы. Основой для двухкубитовых гейтов является кулоновское взаимодействие электронов. Рассмотрим однокубитовые операции. Пусть основное состояние поперечной компоненты системы — четная функция \ц/е) (с энергией а)е), а первое возбужденное - нечетная \ys0) (с энергией а)0), им соответствуют четная и нечетная собственные функции соответственно. Сумма и разность этих функций представляют собой волновые функции электрона, полностью локализованного в верхнем или нижнем слое, то есть: l) = (l e) + l o)) (электрон в верхнем слое) (6.2.1) о) {\ч/е) Woj) (электрон в нижнем слое)
Пусть между слоями одного кубита есть соединяющее окно, в котором потенциал достаточно мал и расстояние между слоями в окне связи существенно меньше ширины слоя. Тогда, в соответствии с [8, 9], четная составляющая волновой функции начнет осциллировать между слоями с периодом 2ж/(со0 - о)е). На границе окна эти осцилляции прекращаются и волновая функция снова разделяется на верхнюю и нижнюю составляющую. Таким образом, если t - время, проведенное электроном в области окна взаимодействия, то поперечные состояния изменятся в соответствии с формулами: вЛ( в ехр(-/7у0 )ехр /— cos—loW/sin-v 2і \0) - QXv{-iO)ot)(QXp[i((Uo-(Ue)t]\l//e) + \y/o)) = О -+-j=exp(-i(Dot)(GXp[i(u)0 - G)e)f\\y/C) - \у/0)) = ґ вх ехр(-/&у)ехр z— zsm—0) + cos—l) , V 2 2 у 6», (6.2.2) где в = (со0 - a e)t. Значения энергий сое и а 0 определяются геометрическими параметрами системы, а время взаимодействия - размерами окна связи и полной энергией электрона. Легко видеть, что данный тип операции представляет собой, помимо общего сдвига фазы, не изменяющего состояния кубита, реализацию матрицы Rx(&).
Рассмотрим другую однокубитовую операцию — фазовый сдвиг между двумя компонентами кубита, соответствующий матрице трансформации R:{6). Для ее осуществления необходимо создать в одном из слоев потенциальный барьер, высота которого V не превышает энергии электрона Е. Чтобы уменьшить отражение волны, необходимо выбрать ширину барьера п кратной половине длины волны электрона L = —A, «eN [35, 100]. Тогда сдвиг фазы волновой функции будет иметь вид: (6.2.3) ) Аналогичного эффекта можно добиться, используя потенциальную яму, вместо барьера. В этом случае величина сдвига фазы будет иметь вид:
