Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Математическое моделирование процесса развиїия лесонасаждений
1. Устойчивость динамических систем 24
2. Непрерывная модель динамики развития лесонасаждений . 27
3. Дискретная модель с возмущёнными коэффициентами 30
4. Анализ динамической сисіемьі, описывающей процесс развития лесонасаждений 33
5. Схема обработки сіаіисгических данных по Тверской и Архангельской областям 41
6. Характеристики динамической системы для Тверской и Архангельской областей 46
ГЛАВА 2. Численное моделирование стохастического дифференциального уравнения характеризующего динамику развития лесонасаждений
1. Общий вид непрерывных моделей стохастической динамики 49
2 Сильная сходимость унифицированного разложения Тейлора-Ито 52
3. Модель с возмущённым коэффициентом росі а 54
4. Модель с двумя возмущёнными коэффициентами 66
ГЛАВА 3. Оптимальное управление в модели использования лесонасаждений.
1. Управляемая модель динамики развития лесонасаждений 74
2. Особое опшмальное управление 81
3. Численная реализация решения задачи оптимального управления 82
4. Анализ влияния параметров на решение задачи оптимального управления 86
Заключение 92
Список литературы
- Непрерывная модель динамики развития лесонасаждений
- Схема обработки сіаіисгических данных по Тверской и Архангельской областям
- Сильная сходимость унифицированного разложения Тейлора-Ито
- Особое опшмальное управление
Введение к работе
Современная наука неотделима от математическою моделирования, сущность которого состоит в замене исходного объекта его "образом" -математической моделью - и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютере вычислительно-логических алгоритмов. Этот метод конструирования сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью даеі возможность безболезненно, огносигельно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях. В то же время вычислительные (компьютерные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в досі а точной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам.
Модель - один из важнейших инструментов научного познания, условный образ объекта исследования или управления, который оюбражает основные характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры), существенные для цели исследования
В настоящее время математическое моделирование вступает в важный этап своего развития, "встраиваясь" в структуры так называемого информационного общества. Прогресс средств переработки, передачи и хранения информации способствует усложнению и взаимному проникновению различных сфер человеческой деятельности. Без владения информационными "ресурсами" нельзя и думать о решении проблем, стоящих перед мировым сообществом. Однако "информация", как таковая, мало что даёт для анализа и прогноза, для принятия решения и контроля за
их исполнением. Нужны надёжные способы переработки информационного "сырья" в готовый "продукт", т.е. в точное знание.
Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, не всегда поддаются исследованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретическими методами Прямой натурный эксперимент над ними долг, дорог, часто либо опасен, либо просто невозможен, так как мноіие из этих систем существуют в "единственном экземпляре". Цена ошибок и просчётов в обращении с ними недопустимо высока.
Модель создаётся на основе предварительного изучения явления и выделения его существенных характеристик. Теоретический и экспериментальный анализ модели позволяет сделать качественные выводы о поведении объекта. Математические модели - это упрощенные версии реального мира, которые сокращают в той или иной степени основные черты реальности. Это позволяет использовать абстрактную математическую модель для анализа, предсказания или прогноза тех или иных явлений, выявления общих закономерностей. Однако следует учитывать то, что любая математическая модель отражает лишь основные стороны реальности. Результаты необходимо проверять опытом. Всегда необходимо сравнивать, анализировать и синтезировать результаты качественного анализа, численного эксперимента с реальными явлениями и процессами.
В настоящее время задачи экологии приобретают первостепенное значение. Одним из важных этапов решения этих задач является разработка математических моделей экологических систем.
Одной из наиболее остро стоящих экологических проблем, в последние десятилетия является проблема сохранения восстанавливаемых и природных ресурсов. К таким ресурсам относится лес.
Модели динамики одновозрастного древостоя можно классифицироваїь на модели с пространственным усреднением и без него Первые модели динамики численности одновозрастных насаждений не учитывали размеров деревьев [1,2,3] и представлялись в виде.
at где N(t) - плотность древесной популяции в возрасте /, d(t) - функция смертности В качестве функций смертности d{t) брались, к примеру, следующие функции [1,3]:
d(t) = d(tQ)eM,n, d(t) = l,
где A,q - константы самоизреживания древостоя, те константы, характеризующие естественное оширание части древостоя Терсковым И А получено уравнение роста продуктивности одновозрастных древостоев при светолимитированном росте (росте, который напрямую зависит от наличия света) в виде ступенчатой параболической зависимости количества деревьев от возраста насаждений [3]. Рост продуктивности древосюя рассматривался по периодам его развития.
По мере усложнения моделей древесных популяций сіали учитываться конкурентные связи. Возникла необходимость рассматривать наряду с плотностью древостоя пространственные параметры особей. Поэтому следующим этапом в развитии моделирования лесных насаждений стало введение размерных характеристик деревьев.
В своей работе Землис II И. и ІІІвирт Д.И. [4] предполагали, что через отношение суммы боковых поверхностей стволов на единицу площади G к некоторому максимально возможному в данных условиях её значению К(/ можно выразить лимитирование роста древостоя и
интенсивность отпада деревьев Если D - среднее арифметическое диаметра на высоте 0 1Я, где Н - средняя взвешенная относительно
диаметров высота, N - плотность древостоя, то сумму боковых поверхностей можно вырази іь функцией:
G = J Н D N. (1)
Динамика древостоя, с учётом (1), описывается системой дифференциальных уравнений*
D = ruD"{\-al — -a1D),
Н = гиНр(1-а3~а<Н), (2)
N = -a5 — N,
здесь, rD,ill,a,P,al = const>Q, / = 1,5.
В работе Лекиса B.C., Крючюса А.А. [5] приводится схема взаимодействия продукіивности взаимодействия одновозрастных древостоев, и соответствующая этой схеме дискретная модель, связывающая средние показатели древостоя с показателями прироста.
Для описания хода роста насаждений по высоте, диаметру, биомассе ряд авторов [6] использовали уравнение Берталанфи, согласно когорому скорости построения (анаболизма) и разрушения (катаболизма) организма описывается степенными функциями от биомассы этого организма. На основании уравнения Берталанфи с і роилась модель популяции с учетом конкурентных связей:
N =
А \ max J
-WV
т = а A(R) та -cm Здесь W,V - плогносіно независимый и плотностно зависимый компоненты выживаемости, A(R) величина, характеризующая конкурентную свя?ь за ресурс, причём R является функцией от листовой
и/или корневой поверхности популяции; m(t) - биомасса организма в момент времени /; a,U,t = const >0.
Одним из основных объектов анализа динамики древостоя является зависимость фотосинтеза от интенсивности радиации [7,8,9]. В модели Бугровского В.В с соавюрами [10] используется предположение о том, чю дерево растёт за счёт избьпка нродукіивности фотосинтеза над расходом органического вещества, которое іраїится на поддержание жизни. Этот избыток делится между листьями, стволами, корнями, определяя годовой прирост. Необходимость учёта самозатемнения полога приводит к разбиению его на слои.
Процесс, имитирующий формирование структуры древесного яруса в условиях конкуренции за свет, был предложен в модели Санковского А.Г., Ташринова Ф.А. [11]. Прирост каждою дерева в модели зависиі оі
диаметра дерева D', возраста / и светового довольствия уп :
AD/= 0,7(0^%J,
где /(/) зависит о г породы дерева и условий роста; Q,Q() - суммарная
радиация, поглощённая растением за единицу времени в условиях затенения и на открытой местности соответственно. Высота дерева определяется выражением:
Крона дерева аппроксимируется цилиндром с посюянным соотношением длины и радиуса Её протяжённость определяется приростом в высоту и отмиранием нижней части при недостатке ФАР (фогосинтетически активная радиация). Отмирание дерева происходит в результате уменьшения относительной скорости роста до критического значения.
Существует небольшое число моделей оптимального онтогенеза [12,13,14], целью которых является получение кривой плодоношения от качества местообитания и плотности популяции. Оптимальная стратегия состоит в распределении ресурса на рост, размножение и защиту, исходя из условия максимальної о числа семян, произведённых популяцией.
Среди моделей динамики одновозрастных древостоев отдельно стоят модели с оісугсівием пространства усреднений, оперирующие индивидуальными деревьями с конкретными координатами [15,16]. В модели Корзухина М.Д. в начальный момент времени в фиксированный квадрат бросается N(0) равномерно распределённых точек (координат деревьев). Затем растения начинают расти по некоторому закону изменения радиуса. Одновременно с этим используется модель корневой конкуренции между особями.
В работе [17] Галицкий В.В., Крылов А.А. строят модель на плоскости. Величина, занимаемой расіениями площади определяется с помощью построения полигональной мозаики Вороного, которая представляет для дискретного множества точек на плоскости разбиение на плотную систему выпуклых многоуюльников-полигонов. Суть функционирования модели состоит в том, что биомасса каждого растения, расположенною в своей ячейке мозаики, зависит от других растений сообщества до тех пор, пока данное растение не погибнет После этого наступает перераспределение участков полигона между соседними растениями. Эта модель описывается дифференциальным уравнением:
B(t) = k?-4, (4)
где В - количество живой биомассы растения, / - возраст, - затраты, необходимые для поддержания биомассы растения, к^ - ресурсы
предоставленные для роста, = min| /А (t\A-> А(1) ~ количество средств
существования растения, Af(t) - количество средств существования,
коюрое получает свободно растущее растение.
В рамках диффузионного подхода (подход, в котором процесс
распространения рассматривается как свободный,
стихийный и неуправляемый, подобно диффузии) отметим работу Джансеитова и К.К., Кузьмичёва В.В. [18], в которой проводятся теоретическое и эксперименгальное обоснование того, чю перемещение физиологически активной части массы древостоя и считать своеобразной диффузией, а всю совокупность биомассы на достаточно большой площади - распределенной системой с диффузионным типом связи, в которой существуют автоволновые процессы
Другой подход, интегро-дифференциальный, принимает гипотезу, что растения взаимодействуют друг с другом с интенсивностью, обратно пропорциональной расстоянию между ними и прямо пропорционально их размерам [19,20] Растения распределены по однородному пространству с плотностью биомассы u{x,t) в момент времени t, где х - координата точки пространства. В каждой точке х пространства происходят два процесса: рост биомассы со скоростью Р{х) и деградация биомассы со скоростью D(x). Уравнение скорости изменения плотности биомассы имеет следующий ВИД"
^=ад-о(.>,
dt где скорости Р п D вычисляются интегрированием по всему рассматриваемому пространству произрастания растений, соответственно, прироста биомассы в точке х. Авторы пытаются объяснить механизм пятнистости пространственного распределения растений.
Кареев Г.П. и Тресков С А. с і роят модель одновозрастного сообщества с учётом групповых эффектов и влияния границы на рост расіения, применяя теорию Марковских процессов [21].
Модель Грабарника П.Я изреживания древостоя без возобновления основана на применении процедуры прореживания к однородному точечному процессу Пуассона [22]. Точки пуассоновского процесса независимо друг от друга маркируются положительными марками т и і (сооїветствующие размеру дерева и радиусу взаимодействия), имеющими заданные функции распределения. Процедура прореживания состоит в том, чіо каждая точка хе<р с марками т(х) уничтожается, если на расстоянии, не превосходящем г(х), найдётся точка, имеющая марку т больше, чем т{х).
Таким образом, в настоящее время существует широкий спектр методов моделирования одновозрастных насаждений. Эю непрерывные, дискретные по времени системы уравнений, интегральный, диффузионный и другие подходы. Многие из моделей были верифицированы и получили хорошую оценку, другие носят исключительно теоретический характер.
Разновозрастные насаждения. Во многих обзорах способов моделирования возрастной динамики лесного ценоза условно выделяют модели аналитические [23,24,25,6], имитационные [26,27,28,29] и аналитико-имитационные модели [30,31,3].
Для изучения качественного поведения системы, не требующею точного воспроизведения динамики, используют аналитические модели, которые часто классифицируют на непрерывные и дискретные по времени и по возрасту. Примером непрерывной модели является модель эволюции возрастных распределений r](t,r)
Tt"Tr~-d{UT)n (5)
/7(/,0)= \p{t,z)r]{t,z)dz
Здесь г - возраст дерева; / - текущее время; d{t,r),p{t,t) - функции смертносш и плодовитосіи, сооїветственно. Уравнение типа (5) исследовалось в работах [33,34,35].
Моисеев Н.Н и Хмелевский ІО.И. выписываю і модель [36], аналої ичную (5), для описания динамики плотности биомассы деревьев v,(/,r) возраста т популяционной іруппьі і, і = \,п\
(-^- + ^L = a,(t,r)-dl(t,T)xl
d/ От (6)
x, (/,0) = J/з, (/, z)x, (/, z)dz,
здесь, a,(/,r) - скорость рос і а биомассы при оптимальных условиях.
Система (6) обобщалась авторами для случая проведения контроля вырубок деревьев. При этом в систему вводилась характеристика, равная доле биомассы деревьев типа і возраста г, вырубаемых в момент времени /, и формулировалась соответствующая ошимизационная задача
Другой способ моделирования заключается в разделении всех деревьев в биосистеме на вофасгные (ярусы) когорты с последующим описанием динамики каждой ірупиьі деревьев отдельным уравнением [37,38] Примером модели такого типа является система уравнений Корзухина М.Д.
Среди аналитических моделей отметим также работу Ринальди С. [39], предназначенную для изучения на качественном уровне влияния кислотных отложений в почве на динамику лесной экосистемы. Состояние равновесного разновидового древостоя в момент времени / описывается количеством общей лесной биомассы г(/) без дальнейшей детализации структуры растительной популяции Резервный запас (пул) питательных веществ почвы описывается концентрацией N(t) некоторого питательного вещества. Предполагается, что скорость синтеза новой биомассы зависит от концентрации 5(/) питаїельного вещества в биомассе деревьев. С другой стороны, питательное вещество, содержащееся в умерших деревьях, по крайней мере, частично восстанавливается в питательном пуле в результате разложения. При предположении, что общее количество
питательною вещества в биомассе живых деревьев равно Q-T S, автором сформулирована следующая модель:
= -mT + e(S) h(T) Т, dt
(7)
dN_ dt
^- = Р N T-m Т S, dt
= W-a N-p N T-v m T S
Здесь, m - интенсивность гибели деревьев, зависящая в общем случае от переменных, имеющих отношение к кислотным отложениям: концентрации пиіательньїх веществ N в почве и в биомассе растений S, потока питательных веществ W из источников, отличных от разложения деревьев.
Большинство дискретных моделей базируется на матричной модели Лесли [40]:
F.
-і
о о о о
'К+1
'2/+1
/;, i\ *\
о /> о
F \(п \
1 - "а:
(В)
Р*х 0
\nnti\J
\Пш;
где п, - количество особей /-ой возрастной группы в момент времени /; Pt - вероятность перехода из / в / + 1 класс; F, - число молодых особей, появившихся в период [/,/ + 11 от одной особи /-ой возрастной группы в момент времени t. Предположения о постоянстве коэффициента выживаемости и плодовитости в этой модели применимо лишь в отдельных случаях. В работе Ашера [41] коэффициент плодовитости предеіавляет собой количество, которое может быть размещено на месте одного изъятого дерева. В модели Александрова Г.А [24], в отличие от модели Ашера, динамика численности подроста зависит от количества ресурса (свет, пространство и т.д.) использованного к рассматриваемому моменту времени старшими поколениями.
Корзухин МД., Мацкявичюс В.К., Антоновский М.Я. [42] в уравнение динамики численности возрастной когоріьі вводят плотност no-зависимый компонент выживаемости V и плотностно-независимый компонент смертности W. В модели предполагается, что каждый класс подавляется только более старшими классами деревьев:
nt(t + \) = W0 У(а0) f n2(t + \) = Wx V((TX) /7,(/)
пт(/ +1) = WT_X V{aT.x) nT ,(/)
Здесь, //,(/ + 1) - численность г-ой когорты в момент времени /;
<7l{t)-Sl+xnl+x(t)+ +STnT(t) (/ = 0,1, г-1) - суммарная площадь листовой
поверхности деревьев с / +1 -го по последующий класс.
Иной подход описания динамики древостоя, включающий в рассмотрение не юлько уравнение динамики численности особей п, но и уравнение роста их биомассы т, развит в другой работе Корзухина М.Д., Мацкявичюса В.К., Антоновского М.Я.
/7(/ + 1,1) = л, +Я(/,г,л,т) n(t,T),
//7(/ + 1,1) = /77,, ,jqv
n(t + \,T+\) = Y(t,r,n,m) n{t,r), /77(/ +1,74-1) = m(t,r) + g(t,T,n,m),
Здесь, Y(t,T,n,m), B(t,r,n,m) - функции, характеризующие выживаемость и плодовитость деревьев возраст т в момент времени /, функция g{t,T,n,m) характеризует прирост биомассы. Эта система является обобщением модели Лесли.
Алексеевым А.С. [43] разрабоїана теория, позволяющая описывать процесс формирования основных типов рашерных структур популяций древесных растений (распределения особей по какому-либо размерному признаку). Проанализированы семь основных распределений особей по размерным классам: экспоненциальные, Гомперца, нормальное, мономодальное, и три бимодальных Уравнение, определяющее динамику
количества особей размера х популяции при стационарных условиях,
имеет вид
*Ы = *Мп{х) (П)
dx В
Здесь, А(х) описывает детерминированную скорость роста размеров особей, В соответствует интенсивное і и случайных отклонений. Авторами показано, что когда определяющий тип рос і а размеров особей линейный (Л(х) - линейная функция), то имеем экспоненциальное распределение особей, характерное для разновозрастных древостоев. Когда же определяющий тип размеров особей носит затухающий характер, приходим к нормальному распределению, так как оно соответствует типу роста с ограничением Утверждается, что нормальное распределение деревьев по г оліцине характерно для спелых и перестойных одновозрастных древостоев
Ещё одним направлением математического моделирования лесных экосистем является имитационное моделирование, в частности имитационные гэп-модели. Гэп - условная "географическая" ячейка-участок фиксированной площади, на котором имитируется рождение, росі и гибель каждого отдельною дерева. Гэп-модели эффективно используются для кратко- и среднесрочных прогнозов динамики конкретных лесных экосистем, находящихся в определенных внешних условиях на относительно небольших (1-1000 га.) территориях. Основой всех гэп-моделей являеіся модель отдельного ізпа, описывающая динамику деревьев на участках фиксированной площади (обычно 10x10 м.). В каждый момент времени каждое дерево заданной породы характеризуеіся определённым набором переменных: высота, диаметр и і.п. Уравнение роста зависит от светового режима, температуры и других парамеїров среды; може і учитываться также конкуренция деревьев за ресурсы. Влияние соседних гэпов в подавляющем большинстве моделей не
учитывается. Возобновление и гибель деревьев на участке задаю і ся каким-либо случайным процессом, случайным является также начальное распределение. Поскольку модель является стохастической, прогнозируемое состояние гэпа вычисляется как среднее по достаточно большому (80-100) числу независимых реализаций.
Первой гэп-моделью была модель JABOWA [44], создававшаяся как большая имитационная компьютерная система, в которой декларировалось намерение "ввести минимальное число предположений и найги простейшее математическое выражение для каждого фактора, которое совпадало бы с наблюдениями". Модель строилась, начиная с рос га отдельного дерева в оптимальных условиях, с последующим учётом влияния на рост и численность деревьев уменьшения количества света и питательных веществ вследствие конкуренции. Модель JABOWA послужила прообразом для построения в дальнейшем гэп-моделей FORET [45,46], ZELIG [47], FORSTKA [48,49] и других, предназначенных для прогноза динамики лесных экосистем в различных условиях произрастания. Все эти модели имеют общую методологическую основу; их программная реализация и проведение расчётов требуют достаточно мощных современных компьютеров и значительных затрат времени.
В модель ZELIG учитывается процесс взаимодействия (конкуренции за свет) деревьев, находящихся в соседних гэпах. В остальных, менее детальных моделях с гэпами больших размеров, предположение об отсутствии существенного взаимодействия между деревьями их разных гэпов представляется оправданным, что подтверждают результаты расчётов по моделям, в которых принято это предположение, а именно: 1) с помощью гэп-моделей, не учитывающих взаимодействия между гэпами, получены удовлетворительные прогнозы динамики различных лесных экосистем, от бореальных до влажных тропических лесов; 2) отсутствие взаимодействий влечёт бьісірую сходимость распределения ансамбля
ячеек к стабильному распределению, что наблюдается в компьютерных экспериментах с моделями, учиїьівающими явно процессы взаимодействия.
Попадюк Р.В., Чумаченко СИ. достаточно детально моделируют развитие многовидового разновозрастного лесного ценоза с учётом его объёмной структуры [50,51]. Учёт взаиморасположения особей позволяет более точно рассчитывать неоднородность светового поля и размещение особей подчиненных ярусов. Модели состоят из двух подмоделей: отдельного дерева и древостоя. Всё пространство делится на параллелепипеды, и для каждої о осуществляется расчёт светового режима с учётом географической широты местности, количества солнечных и пасмурных дней, прозрачности соседних ячеек.
Модель Богатырёва Б.Г., Кириленко А.П., Гарко A.M. [52], предназначенная для описания одновидовых лесных популяций с возрастной структурой, основана на балансовом соотношении типа Берталанфи. Развитие древостоя определяется температурой, иніенсивностью ФАР (фотосиніеіически активная радиация), количеством питательных вещее і в, влиянием скорости ветра и другими факторами. Гибель деревьев происходит в результате старения и при неблагоприятном сочетании природных факторов.
Совершенно новый подход предлагается в работах Кареева Г.П. Рассматривая различные концепции построения моделей, Кареев показывает [53], что все эти направления являются составными частями теории структурных моделей. Структурная модель имеет два уровня описания. На первом, индивидуальном уровне, определяется динамика состояния каждого дерева, интенсивность его гибели, интенсивность появления от этого дерева и распределение молодых сеянцев, влияние внешних факторов на рост этою индивидуума. На втором, популяционном уровне, определяется начальное распределение деревьев, задаётся
уравнение на текущее распределение популяции и интегральное условие, описывающее процесс возобновления популяции. В общем случае динамика модели описывается [30] функцией плотности числа особей l(X,t,a), имеющих в момент времени t возраст а и набор внутренних состояний X, которая описывается с помощью системы:
(12)
а/ ді_
dt да
= F{a,X,Q,{t)), а = \, at
— + — + di v(!F) = -ju(a, X, Q, (/))/,
l(X,0,a) = l(l(X,a), с начальными условиями:
l(X,t,0) = ^{](X,Y,a,Q2(t))l(Y,t,a)dYcla,
f 0
Здесь, первое уравнение системы задаёт динамику состояния отдельного участка; X = (х{,х2,...,хп) - векюр сосюяния отдельного
участка, компоненты которого могут быть, например, запас, численность деревьев на участке, среднее значение высоты и диаметра деревьев и т.п.; jU(a,X,Q3(t)) - интенсивность гибели гэпов, р(Х ,У,a,Q2(t))
интенсивность рождаемости особей в сосгоянии X 01 родителей возраста а, находящихся в состоянии Y, Е - множество возможных значений X. Реіулирующие функционалы Ql описывают влияние популяции "в целом"
на процессы роста и гибели отдельного дерева, в частности, могут описьіваїь результаты процессов конкуренции за внешние ресурсы. Автором получено описание асимптотического поведения модели на основе теории марковского восстановления
Совместное использование некоторых результатов аналитического и имитационного моделирования воплотилось в модели ДМХР-2 [54], предназначенной для описания динамики однопородных древостоев Большим преимуществом эюй модели является небольшое число входных параметров (в сравнении с гэп-моделями), блочная сірукіура.
В диссертационных исследованиях Щедриной Т.Л. [80] и Кузнецова В.И. [81] рассматриваются точечные и пространственные модели, описывающие процесс развития лесонасаждений, учитывающих конкуренцию за световые и водные ресурсы, рассматриваются модели, в которых на развитие древостоя влияет влажность почв, деятельность насекомых-вреди гелей.
Следует отметить, чго авторы приведённых выше моделей не предлагали методик для определения коэффициентов моделей. Не каждый автор после построения модели проводил исследования условий существования системы, допустимых значений параметров, харакіерньїх режимов системы, наличия особых состояний.
Авторы, перечисленных моделей, учитывают многие факторы, влияющие на развитие древостоя. Эти попьпки являются интересными, важными и очень ценными. Для учёта биологических, экологических, геоірафических, климатических и антропогенных факторов, наиболее подходящей для описания, видиіся имитационная модель либо сложная аналитическая. Каждая из них наиболее полно смогла бы описать процессы развития лесонасаждений. Заметим, что одной из наиболее сложных и актуальных проблем моделирования реальных процессов является определение параметров модели, которые бы наиболее точно оіражали состояния и развитие системы. Чем сложнее модель, чем больше параметров она содержит, тем больше их зависимость и взаимовлияние друг на друга и тем сложнее становится их адекватный выбор. Поэтому, с одной сюроны, более сложная и структурированная модель является более полной и адекватной, а с другой сюроны, применение таких моделей для практических целей вьізьіваеі трудности, связанные с выбором значений большого количества параметров и их вычисления для конкретной ситуации.
Ещё одним немаловажным фактором является то, что приведённые выше модели описывают только динамику лесонасаждений. Во всех этих моделях не исследуется влияние человека на природу, управляющею фактора, коюрое должно учитывай^ как эффект использования, так и сохранения леса.
В настоящей работе исследовано несколько моделей, с помощью которых может быть описан процесс развития лесонасаждений. Для проведения своего исследования необходимо построить и обосновать ряд моделей: неуправляемых и управляемых, детерминированных и стохастических.
В работе обоснуем выбор непрерывной детерминированной модели, которая описывает естественную динамику развития лесонасаждений п-возрастного леса, которую мы будем описывать следующей системой дифференциальных уравнений:
-t=p{0)-yMxx -/;*„
dx -=f,xX,x-Y,{V,)x,-f,\>
-f- = L 2*r * - Y„ \(V* iK-, -К A P at
^5jl- f x -UX
где дгД/)- количество деревьев в і -ой возрастной группе в момент
времени t, і = 1 .. п ,п- количество классов разбиения; р(в) - функция, характеризующая скорость появления молодых деревьев (деревьев первой возрастной группы); у,(1//,) - функция, характеризующая интенсивность гибели деревьев 1-ю возрастного класса; J,= const>0 - интенсивность перехода деревьев /-ой группы в (/ + 1)-ую, i-\,n-\.
В частном случае, при п = Ъ получим следующую трехвозрасіную модель:
х = р z - y(z)x - fx y = fx-(q + d)y z = qy-hz
для которой в работе планируется провести исследования допустимости парамеїров, условий существования системы, а также выявлены её характерные режимы.
Наряду с непрерывной моделью имеет смысл рассмотреть дискретную модель, с помощью которой, по сіатистическим данным, удобнее видится процесс вычисления коэффициентов. Дискретная модель задаётся следующем образом:
хы = к'+МЧр' z'-y(z')x'- fx1), y"=/+A/'(>'-(^+J')y), z'+1 = z'+A/V/-/?'z'),
x - ^o' У - У<)> z ~ Z(l, где \',y',z' - численность деревьев младшего, среднего и старшего возрастов соответственно на 1-ом шаге. Функция y(z') - функция гибели подроста, то есіь иніенсивность его гибели под воздействием старшей возрастной группы и в результате естественной гибели подроста; d',h'-коэффициенты гибели деревьев второй и третьей возрастных групп на і-ом шаге; р' - коэффициент, характеризующий скорость рождаемости деревьев младшего возраста на 1-ом шаге, который зависит только от численности деревьев старшей во фас і ной группы.
Предполагая, что значения некоторых коэффициентов динамической системы в момент времени te[0,T] не являются однозначно определёнными вследствие их зависимости от множества непрогнозируемых природных факторов, целесообразным видится
рассматривать эти параметры как случайные процессы, матемаїические ожидания которых известны. Предполагая, что случайную составляющую имеют два коэффициента: коэффициент рождения р и коэффициент смертности деревьев второй возрастной группы d, получим следующую сюхастическую модель, описывающую процесс развития лесонасаждений:
U.X
— = pz-(azA +b)x- /х + сг, г \{t,(0)
dt
-j- = fx-(q + d)y-(72-y^2(t,CO)
dz .
— = qy-hz
dt
x(0,a)) = X0(co), y(0,co) = Y0(a>), z{0,a>) = Z0{a)),
где x(t,(0), ^2(t,co)e R[ - скалярные белошумные процессы; ox,o2 -
постоянные, характеризующие степень влияния случайного возмущения на значение коэффициентов.
Для стохастической модели особый интерес представляет построение численной схемы решения сюхастических дифференциальных уравнений, описывающих процесс развития лесонасаждений. В работе сіавится задача пос і роения численной схемы для моделирования решения стохасшческого дифференциального уравнения. Для разработки этою шпоритма планируеіся применить метод унифицированного разложения Тейлора-Ито по повторным стохастическим интегралам с их последующей аппроксимацией с помощью полиномиальной системы функций, предложенного Кузнецовым Д.Ф. [67].
Для стохастической модели, целесообразным видится проведение следующих исследований: изучение влияния возмущений на поведение фазовых траекторий, устойчивости положения равновесия в зависимости от интенсивности возмущений, выявление значений параметров сг,,<72,
при которых система допускает описание детерминированной моделью, и
значений, при которых система может быть описана только стохастической моделью.
Отметим, что запросы современной лесной промышленности, а также проблемы всё ухудшающегося экологического состояния природы, заставляют ставить вопрос о рациональной вырубке леса. В связи с этим, целесообразным является построение управляемой модели. Если в качестве исходной модели выбрать непрерывную модель, описывающую процесс рашишя лесонасаждений п -возрастного леса, а в качестве управления выбрать скорость вырубки леса в единицу времени, тогда управляемая модель запишеїся следующим образом:
-T = P-0-Y\(V\)xx-f\x\ at
-г = /,_,*,_, - Г, (У, )х, - /л - и, at
7Г ~ Jn-lXn-l ~ Yn-\ Wn-\ >Хп-\ ~ Jп-\Хп-\ ~ Un-\
—jj- = fn-\xn-\-hx„-un
с краевыми условиями:
xl(0) = Xil>, х,(Т)>ХЇ, / = й где функции управления кД/) - харакіеризуют скорость вырубки деревьев /-го класса в единицу времени и удовлетворяет ограничениям:
1/,(0 = 0, te[0,T], / = 1,/7-1
0 te[Q,T],
і р
где at - заданное максимальное значение вырубки деревьев /-го класса, зависящее от используемых технологий; р - номер возрастного класса,
начиная с которою вырубленный лес являеіся деловой древесиной и вырубается человеком.
Целью управления является максимизация функционала J (и), который выражает прибыль лесозаготавливающего предприятия, полученную от продаж вырубленного леса за данный интервал времени и учит ывает состояние лесної о массива в конечный момент времени:
J(u)=\fj\pi(xl)-cl(xl)b'l^ + t4blxl(T)
где р,{х,), i-pn - невозрастающая функция стоимости продаваемого
леса; с,(х(), i-pn- функция стоимости технологии добычи леса; bt,i = p п
- стоимость деревьев /-го возраст, оставшегося на конечный момент времени Т .
Исходя из всего вышесказанного целью диссертационной работы является:
Разработка многомерной деіерминированной модели, описывающей динамику развития лесонасаждений, построение стохастической модели: дискретной и непрерывной.
Обработка статистических данных и разработка метода, на основании которого можно получить значения параметров для моделей, харакіеризующих динамику развития лесонасаждений для Тверской и Архангельской областей.
3. Разработка численной схемы решения задачи оптимального
управления лесными ресурсами и численных методов решения
сюхастического дифференциального уравнения с возмущёнными
параметрами, описывающего процесс развития лесонасаждений.
Исследование зависимости решения задачи оптимального управления от параметров детерминированной модели.
Проведение анализа влияния возмущённых параметров сисіемьі на её поведение.
Непрерывная модель динамики развития лесонасаждений
Рассмотрим непрерывную модель, описывающую динамику развития лесонасаждений. Деревья разного возраста отличаются высотой, диаметром ствола, развитостью корневой системы, потребностью в свете и досіупностью к нему. В связи с этим для построения маїемаїическои модели, описывающей процесс раз-виїия лесонасаждений, целесообразно во времени жизни древесного растения выделить п возрастных групп.
Модель динамики развития лесною массива построим, опираясь на предположения:
1) Лесной массив развивается на замкнутой однородной территории, имеющей одинаковые климатические и географические условия;
2) Деревья, принадлежащие к разным возрастным группам, равномерно распределены по занимаемой территории.
3) Рассматривается однородный лес, либо смешанный лес без явного преобладания какого-либо вида, что обеспечивает оісутствие внутривидовой конкуренции.
4) Количество деревьев в каждой возрастной группе зависит іолько от времени (точеная модель, не учитывает пространственное распросіранение деревьев по занимаемой территории);
5) Появление молодых деревьев обусловлено количеством деревьев более старшего возраста, способных плодоносить;
6) По мере взросления деревья из одной возрастной группы переходя і в более старшую возрастную группу;
7) Смертность деревьев младшего возраста зависит не только от своего текущего состояния, но и от количества деревьев старшего возраста.
Обозначим за xt(t)- количество деревьев в / -ой возрастной группе в момент времени /, где / = 1 п , п - количество классов разбиения. Будем полагать, что р(0) - функция, характеризующая скорость появления молодых деревь ев (деревьев первой возрасіной группы). Показатель 0 отражает способность плодоношения деревьев, значение которого определяется численностями деревьев возрастных групп, способных давать семена. Пусть 1,1 + \,...,п номера возрастных групп деревьев способных плодоносить. Поскольку деревья каждой іруппьі с / по п имеют разные характерне і ики в скорое і и и количестве созревания семян, то целесообразно ввести положительные коэффициенты, отражающие величину "вклада" каждой группы в появление новых молодых деревьев. Величина показа-іеля в определяется суммой: в = к1х,+... + кпхп где постоянные к , j = l,n отражают степень влияния деревьев у-ой группы на появление молодых деревьев. Естественно потребовать выполнения условий: 0, /7(0) = 0. ав
Будем рассматривать две причины гибели деревьев, а именно, естественную смертность (смертность, связанную с влиянием природных факторов) и смертность, обусловленную подавлением деревьев старших возрастных групп. Подавление младших деревьев старшими связано с тем, что взрослые деревья имеют более развитую лиственную сие і ему, которая препятствует попаданию световых лучей в нижние ярусы леса, а также развитость корневой системы мешает развитию корневой системы молодых деревьев Пусть у,(1//,) - функция, характеризующая интенсивность гибели деревьев / -го возрастного класса обозначим за где г 0, j і - посюянные коэффициенты, которые оіражают влияние деревьев у-го возрастного класса на деревья /-го класса. Полагаем, что для всех і-\,п у,(0) 0 - интенсивность естественной гибели. Интенсивность естественной гибели деревьев самой старшей і руппы обозначим h - const 0. Пусть fl=const 0 - интенсивность перехода деревьев /-ой группы в (/ + 1)-ую, i-\,n-\. Тогда система, описывающая динамику численности деревьев п возрастных групп, будет записана в следующем виде: dx, -r = p{0)-Y\{V\)xx-f\Xx at -Г" = /.i V.- Г, (, )х, -f, х, at (2.1) dxn , , = J n ixn-i Y n-\W n-\)x n-\ - J „ \X„ і dx
В качестве функции p{0) выберем линейную функцию: р{в) = р-в, где p = const Q множитель, характеризующий вклад деревьев, способных плодоносить в процесс появления новых молодых деревьев.
Рассмотрим функцию /,( ,), i = \,n-\, она может быть задана двумя способами: ! Yi(i) = 1,я-1 - монотонная неубывающая функция. Этот выбор объясняется фактом, что скороеіь гибели молодых деревьев растёт с увеличением числа деревьев более стершего возраста Например, она может бьнь записана в виде: у, ((//,) = Ь, или у, {i//,) = а,!//, + bt или у, {y/l) = Aa v- + b,, где al,bl=cumt Q, A = comt \ положи і ельные параметры, Ъ{ -коэффициент естественной гибели деревьев 2« У, {у/,), і 1 л -1 - немонотонная функция, имеющая один минимум, при ненулевом значении величины у/1 Наличие подобного минимума обусловлено пороговым эффектом, когда до определённых значений величины у/1 деревья старших возрастных групп оказывают положительное влияние на выживаемость деревьев і -ой возрастной группы, а дальнейшее увеличение количества деревьев препятствует развитию деревьев / -ой группы и приводит к их і ибели.
Схема обработки сіаіисгических данных по Тверской и Архангельской областям
Для проведения эксперимента на реальной модели были взяты статисіиче-ские данные по состоянию лесонасаждений по Тверской и Архангельской областям. Информация предосіавлена "Рослесинфорг". Проблемой для моделирования явился тот факт, что стаїисіика ведется по фактическому состоянию лесосек, то есть, не г разделения данных по естественному развитию леса и развитию с участием человека, которое проявляется в виде вырубок, посадок и прореживания леса. Іаким образом, полученная информация была непригодна для непосредственного проведения численных экспериментов и требовала предварительной обработки Работа с предоставленной информацией велась по следующим этапам: 1 Вычисление коэффициентов, связывающих площадь и объем, занимаемых лесными породами по каждой возрастной группе и по каждой области. 2. Получение данных по естественной динамике лесонасаждений по каждой области. Опишем каждый из этапов подробно.
Вычисление коэффициентов, связывающих площадь и объём, занимаемых лесными породами по каждой возрастной группе по каждой области. Для получения коэффициентов, связывающих площадь и объём занимаемых всеми лесными породами по каждой области, вычисляем сначала соотношения между занимаемой лесами площадью и объёмом отдельно для хвойных и лиственных лесов по каждой области за несколько лет (1998, 2003 и 2005). Далее, находим среднее арифметическое полученных значений за несколько рассматриваемых лет. Заме-іим, что величины коэффициентов меняются не более, чем на 1%.
Коэффициенты для "Всех лесных пород" берутся в виде среднего взвешен-ноі о для хвойных и лиственных пород по каждой области.
Получение данных по естественной динамике лесонасаждений по каждой области Для того чтобы получить данные по динамике возрастной структуры лесов суммируются данные по общему количесіву хвойных и лиственных древосто-ев соответствующих возрастов по каждой области.
Для нахождения количества вырубленного леса в каждый временной период в тыс. га. взяты данные по фактической вырубке леса (в предположениях сплошной рубки) по каждой области в тыс.кбм. Количество общей вырубки распределено по возрастам с учётом процентного возрастного состава и с учётом нормативов по вырубке молодняка (60% молодняка должно быть оставлено на делянке). Далее все данные переведены из іьіс.кбм в тыс.га., для чего использовались найденные ранее коэффициенты соотношения площади и объёма для каждой возрас тной группы и по каждой области. Помимо этого учитывается рубка ухода в мо лодняках за каждый временной период. В итоге получена общая сводная таблица "Вырубка леса по возрастам" для Тверской и Архангельской областей. Вырубка леса по возрастам тыс.га присыпающие cut її і с и iitpttioiiiii іе 71 0 200 0 1188 40 3 38 7 39 1 40 8
В приведённой ниже таблице представлены данные, которые отражают ле-совосстановление за счёг посадки деревьев человеком. В данном случае идёт пополнение количества молодняка. Перевод лесных культур в покрытые лесом земли в периоды тыс.га
Для получения информации по ее гее і венной динамике возрастной структуры лесов Тверской и Архангельской областей взяты данные по динамике возрас-іной структуры каждой области, которые суммированы с вырубкой леса, а для молодняка ещё учтено (вычитанием) количество переведённых лесных культур в покрытые лесом земли Полученные результаты приведены в следующей таблице: Полученные результаты дают возможность пос і роений и оценки динамики развиїия лесонасаждений в каждой из областей. массивов Тверской и Архангельской областей
В Главе 1 работы рассматривается дискретная модель динамики развития лесонасаждений (3.1). Для получения оценок коэффициентов этой системы используем данные по естественной динамике лесов Тверской и Архангельской областям, полученные выше. Вычислим прирост за каждый временной период для каждой возрастной группы.
Сильная сходимость унифицированного разложения Тейлора-Ито
Предположим, чго условия теоремы 1.1 выполнены. Тогда справедливо с верояїносіью 1 разложение (1.5). Рассмотрим на основе разложения (1 5) усечённое унифицированное разложение Тейлора-Иіо вида ч о где сохранён смысл обозначений, входящих в (1 5).
Рассмотрим разность n(s)-nir)(b,t)Hr (%,t). Согласно теореме 1 1 при всех у,/є[0,Г] s t, существует такая постоянная С,,, ,что M{{n(s)-nir,(s,t))2\ Crf](s) Покажем, чю при достаточно малой величине s справедливы следующие предельные соотношения. mnin(4,t) = n(s) при r- , hmt]ln(s,t) = n{s) при r- с (A
Для доказательства эюю факта сформулируем теорему, доказанную в [62].
Теорема 2.1. Пусть условия теоремы 1.1 выполнены при г = 0,1, Пусть также для всех (А.,у,/,, ,lk)eDr, г = 0,1, , всех ;,, ,ik=\, ,т, и любого 6e[t,s] выполнено условие м{(нрЬ СПг.Сак{л(0)}}\ С , (2.1) где HP{} = L{} при р = 0 и HP{} = G(I {} при р = \, ,т.Тогда для достаточно ма чого s существует такая постоянная С, , что выполняется следующая оценка. м{ф)- \ )]) СМтгГ , (2.2) (г + [у где т - размерность винеровского процесса f(r) Таким образом, в условиях іеоремьі 2.1 в достаючно малой окрестности t имеем M{{n(s)-ntr)(s,t)j\ 0, при /- оо, что по определению сходимости случайной последовательности в среднеквад-рагическом смысле означает 11 mrjlr)(s,t) = t](s) при г- . Согласно (2.2) получаем XM (v)- 4s,0)1 C1Z(4m2r1 = C1[eW( )-l] oo г-о г-а (г + 1)! На основании свойств сходимости случайных последовательностей делаем вывод, что в достаточно малой окрестности момента / усечённое разложение Тейлора-Ито rjlr){s,t) сходится к процессу Ито n{s) с вероятностью 1: hmn{r (s,t) = n(s) при г- ев 1 Заметим, что в теореме 2.1 делается существенное предположение о малости величины s, поэтому на практике для построения численных методов обычно используются несколько первых приближений унифицированного разложения Тейлора-Ито, т.е. число / выбирается небольшим (обычно г 5). В связи с этим наиболее важной характеристикой отдельного члена стохастического разложения является его малость по приращению времени, а не по индексу г
В Главе 1 исследовалась детерминированная модель, описывающая процесс развития ірехвозрастноіо леса, которая учитывает фактор влияния деревьев старшего возраста на смертность деревьев младшего возраста, описывающийся с помощью функции четвёртой степени. Эта модель описывается системой дифференциальных уравнений: - - = р z-{azA + b)x-fx, at =fx-(q + d)v, (3-І) at dz . — = qy- hz, at с начальными условиями: x(Q) = Xll, y(0) = Yn,z(0) = Z0 (3.2)
Рассматриваемая математическая модель является детерминированной и позволяет заранее рассчитывать изменение состояния изучаемой системы, на интересующем временном отрезке, путём решения задачи Коши (3 1)-(3.2). Можно предположить, что значения некоторых коэффициентов системы в момент времени te[0,T\ не являюіся однозначно определёнными, например, вследствие их зависимости о і множества непропюзируемых факторов и их можно рассматривать как случайные процессы, математические ожидания которых известны.
Предположим, что случайную составляющую имеет коэффициент рождения р, т.е. он может быть представлен в виде: p(t) = m(t) + a ((,0)), где m{t) - матемаїическое ожидание коэффициента р, полагаем его постоянным, т е. m{t) = р = const; c%t,a) - случайный процесс; а - постоянная, характеризующая степень влияния случайного возмущения на значение коэффициента р. = pz-(az +b)x-fx + a z ;{t,(Q) = fx- (q + d)y В этом случае маїематическая модель (3.1)-(3.2) примеї следующий вид: dx dt dy It (3 3) dz и — = ciy - hz dt ІУ x(0,co) - X0((o)t y(0,o)) = Yu(a)), z(0,co) = Z0(co) (3.4) При эгом состояние системы (x(t),y(t),z(t)) уже не является детерминированной векюр-функцией, а представляет собой векторный случайный процесс {x(t,a)),\(t,co),z(i,co)), є [О,Г]. В общем виде сие і ему (3.3)-(3.4) можно записать: dX(t,co) = A{X,t)dt + B(X,t)df(t,cv) (3.5) Х(0,й)) = Х0((о), (3.6) где Л.Л3х[0,Г]- Д3, В Л3х[0,Г]- /гм, f{t,(0) - скалярный винеровский про цесс; X{t) = (40] pz-(az4 +b)x-fx (azy y(t) eli\ A(X,t) = fx-(q + d)y є/г\ B(X,t) = 0 АЧ qy-hz ,o , eR\ c (t,co)eR\
Построим унифицированное разложение Тейлора-Ито для компонент решения X(t) системы (3.3)-(3.4) до малых порядка 0((sy2), то есть, будем строить разложение для процесса Ито /;(/) = X{t).
Определим сначала количество слагаемых в унифицированном разложении Тейлора-Ито (1.5). Так как задан порядок малости 0((sy2), то из теоремы 1.1 следует, что /- + 1 = 5, а г = 4 и для достижения заданной точности достаточно взягь пять слагаемых, т.е.
Особое опшмальное управление
Если (pk(t) = 0, к = \,2 на некоторых интервалах (г/,г, )є [О,Г] и (г,",г2")є [0,Т], то на этих интервалах реализуется особое оптимальное управление для м,(/) или u2(t)
Предположим, что в задаче (2.16)-(2.18), (2.21), а) существует особое управление для щ(() или u2(t), го есть имеется интервал (г, ,г2 )є[0,Г], на котором q){(t) = {) или интервал (г,",г2")є[О,Г], на котором tp2(t) = 0. Тогда на каждом из этих интервалов полная производная соответствующих функций # ,(/) или cp2{t) любого порядка будет равна нулю. Вычислим первую и вторую производные функций переключения. Р\ (0 = Mi (fx -ІЯ + %) -Р2(я + ) + ptf 7,(/) = /4ми, + Апи2 + Bl(x,y,z) p2(t) = Mi(4y-hz)-pSP- azix)-Prt p2(t) = A2lul + A22{x,z)u2 +B2(x,y,z) , ІДЄ Au=2pi(q + d), An - A2l = -p2q, A22 =2jil2h-\2ptaz2x, Bl(x,y,z) = tlif(/z-(az +b)-fx)il{q + d)(fx-{q + cl)y) + q(pJh-pl(p-4az3x)) -p2(q + d)2 -ptfiq + d), B2(v, v,z) = jil2q(fx-(q + d)y)-jil2h(qy-hz)-(p,(az4 +h-f)-pj){p-4az3x) + + h{pK{p - 4az3x) + p}h) + px [l 2oz2x(qy - hz) + az\pz - (az + b)x - fx)}
Возможны три случая возникновения особого оптимального управления «,(/), г7,(0 на интервале (Г,,Г2)Є[0,Г]. 1.) 7,(/) = (3,(/) = 0, /є (г,,т2), тогда - у,л _ B (x,y,z)A -B,{x,y,z)An - , ч_ B,(x,y,z)Ar -B,{x,y,z)A22{x,z) Л,,Л2,(х,2)-Л,2/1,і " AnA22(x,z)-A[2A2l 2) ,(/) = 0, ,(/) 0, /є(г„г2),тогда /72(0 - удовлетворяет принципу максимума, u x(t) - (u2(t)An + Bx(x,y,zj)A x ; 3.) ,(/) 0, (p2(t) = 0, /є(г,,г2), тогда і?! (/) - удовлетворяет принципу максимума, u 2(t) = (ul(t)A2l + B2(x,y,z))A22 Найденное в каждом из рассмотренных вариантов управление должно удовлетворять условию допустимости 0 uk(t) ak, /: = 1,2, /е[0,Г] и условию оптимальности Келли Д» с//" Эй Для рассматриваемой задачи это условие означает неотрицательную определённость вдоль оптимального процесса матрицы вида:
Для построения численной схемы приближённого решения, поставленной задачи оптимального управления динамикой лесных массивов, при п = 3, проведём дискретную аппроксимацию непрерывной задачи. Разобьём отрезок [0,Г] точками /;=/-А/, i = \,q на q частей. Обозначим значения фазовых функций и функций управления в точках разбиения v(/,) = х , y(t,) = y , z(tl) = z , //,(/,) = //, , u2(tl) = u 2. Для вычисления производной фазовых функций используем конечную разность: .uy.x(tl+At) x(t1)_x -xl At At Для вычисления интеграла в целевом функционале (1.21) используем формулу левых прямоугольников. Гогда дискретная задача оптимального управления, аппроксимирующая непрерывную (1.16)-(1.18), (1.21), с точностью o(At), запишется в виде M = II , -cJ(y ,zl)]u JAt + -by -b2z" + Mimax(0,XT -х")2 + (-0/=1 (3.1) + M2max(0,F7 -/)2 + M3max(0,Z7 -z1 )2, x +]=x +A((pz -(a(z )4 +b + f)xl), /+I = yl +A(fxl-(q + d)y -u\\ (3.2) z +l =z +A(qyl-hz -u,2\ x=X0, y = YQ, z=X0, (3.3) 0 u k(t) ak, k = \,2, / = 0,(/-1. (3.4)
Далее, применив к полученной дискретной задаче (3.1)-(3 4) правило множителей Лагранжа и выписав функцию Лагранжа 1{х,у ,их,иг,Х рх,рг,ръ), из условия стационарности по фазовым переменным получим рекуррентные соотношения для вычисления сопряжённых переменных: Pi=p?-bt(p Mz y+b-f)-p ;lf) Р\ = р? -д/(-д i,[ + p ;\q + d)-P!;\) (3.5) Р\ = р ;х -д/(-//2 u,2-pl;\p-Aa{zl)lxl) + pl; h) рчх=-2Мхттф,Хт-х"\ р\ = -2М2тах(0,Уг-/) + / ,, (3.6) р\ = -2М3 max(0,ZT-z") + b2 В [64J показано, что = V 110ЭТ0МУ Для решения задачи можно du ди использовать метод проекции градиента по управлению. Для вычисления шага спуска используем метод с дроблением шага. Алгоритм метода проекции градиента. 1. Задаём начальное приближение управления - допустимый выбор: кГ=к0,0,,-.и/И0)1 0 и ак, k = \,2,i = Q \; 2 Строим начальные іраектории [vJ" = [ Г\..., « 1 \укГ = \уГ -,УГ\ [гкГ = [z(r,...,zl( l,\ по формулам (3.2)-(3.3): х»т = хт + At(p z.(o, _ {фту + А + f)xm J у+ко) = у (о, + д ,(0) _ {q + d)ym _ и,т ко) = 2.(0) + д( /(0)_hzm _ит} -0(0) _ у 0(0) _ у 0(0) _ у Х _Л0 / _r0 Z -Л0 3. Вычисляем начальное приближение целевой функции /( } по формуле (3.1): /( = I tlPj -c;(У(0,,z (0,)]w;0,Ar + - l/(0, - V9 0 + М, max(0,Xr -х"(0 )2 + /0/1 + M2max(0,Yr -y4i")2 + М,тах(0,гг -г У; 4 Вычисляем сопряжённые переменные по формулам (3.5)-(3.6): р[ = р? - At(-К u[W+ (1 + 4)- ) р\ = р? -Д/(-//2 «Г - (/7-4 ) ) + ) pl=-2M,max{0,XT-xlW), рЧ, = -2M2max(0,Y7-yHi,") + bi, Pl = -2МУ max(0,Zr - z""f) + b2; dL{{)) 5. Вычисляем значения функции Лагранжа по управлению ——, к = 1,2: дик 7\TW = -&(р,-к,+м -р ; ) ды2 6. Задаём начальное значение шага спуска cck \ к = \,2 и организуем цикл по шагам градиентного спуска - реализуем метод автоматического выбора шага;
