Введение к работе
Актуальность темы. Концепция математического моделирования включает в себя разработку и применение качественных методов исследования изучаемых явлений, которые позволяют получить предварительную информацию о многих фундаментальных свойствах объектов, конструктивно указать возможные режимы их поведения, найти тесты для отладки методик и программ. Роль этих методов особенно важна, если учесть, что в нелинейной математической физике используется ограниченный набор уравнений (данный факт отражает универсальность математических моделей). Сочетание и взаимообогащение численных и аналитических методов увеличивает эффективность исследований, позволяет обнаруживать и изучать неизвестные ранее качественные эффекты, которыми богаты нелинейные явления.
Одним из наиболее плодотворных подходов к исследованию нелинейных дифференциальных уравнений математической физики, в частности, уравнений газовой динамики, является отыскание и изучение инвариантных решений - к ним относятся широко применяемые автомодельные решения. Автомодельные решения не только дают описание процессов в некоторых частных случаях, позволяют изучить их определенные качественные стороны и свойства, но и могут описывать их общий характер на развитой стадии, когда становятся несущественными начальные условия или иные входные данные [Баренблатт Г.И., Зельдович Я.Б. Промежуточные асимптотики в математической физике. УМН, 1971, т.2б, Т2, с.115-129]. Более того, автомодельные решения позволяют разграничить классы решений нелинейных уравнений, описывающие процессы с принципиально различными свойствами [Самарский А.А., Курдюмов СП., Галактионов В,А., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. - М.: Наука, 1987. - 477 с. и Змитренко Н.В., Курдюмов СП., Михайлов А.П. Теория режимов с обострением в сжимаемых средах //Совр. проблемы математики. Новейшие достижения., М., 1986, Т.28, с. 3-94].
Наиболее полное исследование сложных моделей математической физики возможно при сочетании качественных методов и вычислительного эксперимента, позволяющего проверить теоретические выводы, провести количественные оценки явлений, изучить устойчивость рассматриваемых процессов. Данный подход широко используется в настоящей работе.
Изучение одномерных автомодельных течений совершенного газа впервые было проведено Седовым Л.И. [Седов Л.И. О некоторых неустановившихся движениях сжимаемой жидкости. - Прикл. мат. мех., 1945, т.9, вып. 4, с. 293-311] и Д. Тейлором [Taylor G.I. The air wave surrounding an expanding sphere. - Proc. of the Roy. Soc, 1946, A 186, N100, p. 70-109] на примере задачи о вытеснении покоящегося однородного газа поршнем, движущимся с постоянной скоростью. Эта тема получила
развитие в исследованиях других авторов. В работе Крашенинниковой Н.Л. [Крашенинникова Н.Л. О неустановившемся движении газа, вытесняемого поршнем. - Изв. АН СССР,ОТН, 955, Т.8, с. 22-36] для случая сферической симметрии рассмотрена аналогичная задача в предположении, что скорость поршня является степенной функцией времени и дан сравнительный анализ результатов для значений 1=-0.5, -0.1,
1 (где / - параметр в законе движения поршня V - V0t ) при показателе
адиабаты у=1.4. В работе Кочиной Н.Н. и Мельниковой Н.С. [Кочина
Н.Н., Мельникова Н.С. О неустановившемся движении газа,
вытесняемого поршнем без учета противодавления; - Прикл. мат. мех.,
1958, т. 22, вып. 4, с. 444-451] исследовалась автомодельная задача о
плоском, цилиндрическом и сферическом поршне, движущимся в среде с
постоянной начальной плотностью, для широкого диапазона чисел 1>-0.5
при различных значениях параметра у. Эти работы показали, что в
зависимости от соотношений между параметрами N (N- показатель
геометрии), у и / наблюдается разная картина движения газа перед
поршнем. В работе Григоряна С.С [Григорян С.С. Предельные
автомодельные одномерные неустановившиеся движения газа (задача Коши и задача о поршне). - Прикл. мат. мех., 1958, т. 22, вып. 6, с. 301 -310] из условий конечности энергии, сообщаемой газу поршнем получены ограничения на параметр /:/>/* гдеА<0 - показатель соответствующий сильному точечному взрыву. В работах Волосевича П.П., Леванова Е.И., и других авторов [см., например, Волосевич П.П., Дарьин НА., Леванов Е.И., Схиртладзе Н.М. Задача о поршне в газе с источниками и стоками (автомодельные решения). Тбилиси. Изд-во Тбилисского университета. 1986, 239с] было показано, что на поведение газодинамических величин перед поршнем большое влияние оказывает распределение начальной плотности по пространственной координате. В этих работах проведен асимптотический анализ автомодельного решения соответствующего О.Д.У., построены поля интегральных кривых. Однако вопросы существования и единственности решения рассматривались в основном численно. Заметим, что переменная начальная плотность газа имеет место для многих физических задач, таких как задача о сильном взрыве [Коробейников В.П. Задачи теории точечного взрыва. - М.: Наука, 1985], кумуляции, о движении газа в трубах переменного сечения, для ряда астрофизических задач, задач термоядерного синтеза в случае неоднородных лазерных мишеней и других.
Несмотря на весьма широкое аналитическое исследование, проведенное в цитируемых выше работах, существование решений (или их отсутствие) и их свойства установлены далеко не для всех допустимых значений /, а, у. Это связано с нелинейностью и сингулярностью обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (к нему сводятся исходные уравнения), для которого необходимо не только знать общий качественный вид полей интегральных кривых, но и строить решение конкретной двухточечной краевой задачи для всего диапазона
параметров І, а, у. Тем самым, хотя картина возможных типов одномерных автомодельных течений в газовой динамике, вообще говоря, известна, [Седов Л.И, Методы подобия и размерности в механике. - М.: Наука, 1981 - 447 с.) строгий и завершенный анализ конкретных случаев зачастую остается нетривиальной задачей.
Автомодельный подход также может успешно применяться для
задач, связанных с изучением эволюции со временем начальных
распределений в газе - т.е. для задачи Коши. В работе Григоряна С.С.
[Григорян С.С. Предельные автомодельные одномерные
неустановившиеся движения газа (задача Коши и задача о поршне). -Прикл. мат. мех., 1958, т.22, вып.6, C.301-31OJ рассматривалась задача Коши в плоском случае, когда давление и скорость в начальный момент времени - степенные функции эйлеровой координаты. Было показано, что для параметров задачи, совпадающих с параметрами точечного взрыва, решения не существует. В этой работе был рассмотрен переход степенной автомодельности в экспоненциальную, для которой и были получены некоторые результаты. Более детальные исследования автомодельных задач Коши для уравнений газовой динамики не проводились.
Цель работы - подробное аналитическое и численное изучение одномерных плоских нестационарных автомодельных решений уравнений газовой динамики для задачи о поршне и задачи Коши. Выяснение вопросов существования и единственности решений для всего диапазона параметров и изучение их пространственно-временные свойств.
Научная новизна работы
1. Подробно аналитически исследовано трехпараметрическое
семейство автомодельных решений, описывающих движение ударной
волны по веществу с распределенным степенным образом фону плотности
во всем диапазоне параметров. Установлены области параметров, при
которых решение существует, и доказано, что оно единственно. Для
доказательства была получена и использовалась нетрадиционная форма
записи О.Д.У., описывающего поведение автомодельных функций.
Исследованы пространственно-временные характеристики решений, в
частности, установлены условия их немонотонности.
2. Предложена постановка задачи об одномерных плоских
непрерывных течениях газа, возникающих при эволюции начальных
распределений величин (задача Коши). Определены все начальные и
конечные состояния газа допускаемые степенной автомодельностью.
Получены все асимптотики данной трехпараметрической задачи. Путем
построения соответствующих полей интегральных кривых выяснено, когда
решение автомодельной задачи Коши существует и единственно.
Установлены пространственно-временные характеристики течений как
для задач разлета, так и для задач сжатия (ранее эти течения подробно не
исследовались).
3. Численным моделированием установлены количественные условия
реализации автомодельных решений при (всегда существующих)
нарушениях условий автомодельности входных данных. Исследована
устойчивость и получены критерии выхода течений на автомодельный режим.
Методы исследования основаны на понижении размерности уравнений газовой динамики, включают в себя исследование асимптотических свойств решений автомодельных краевых задач, анализ полей интегральных кривых ОДУ первого порядка, прямое численное моделирование автомодельных режимов с помощью хорошо апробированных методик расчетов уравнений газовой динамики.
Практическая и теоретическая ценность.
-
В задаче о поршне, в зависимости от начальных данных и параметров движения поршня, установлен общий характер течения и другие пространственно - временные характеристики (включая немонотонности). Эти результаты могут быть полезны при изучении некоторых задач механики и физики плазмы. Полученные решения являются также хорошими тестами для численных методик. С помощью не применявшейся ранее замены получена нетрадиционная форма О.Д.У. первого порядка, которая может быть использована для анализа других автомодельных задач газовой динамики.
-
Для заданных начальных распределений газодинамических величин выяснены характеры порождаемых ими течений, отличающиеся большим разнообразием, в том числе с точки зрения их пространственно-временных свойств. В частности, найдены новые режимы разлета и сжатия газа. Эти результаты можно использовать при изучении эволюции со временем начальных распределений газодинамических величин в соответствующих физических процессах (например в задачах лазерного термоядерного синтеза), а построенные решения - как тесты для численных методик.
Апробация работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-5], докладывались и обсуждались на конференциях по физике плазмы и УТС (Звенигород, 1994, 1995,1996 г.г.), на семинарах ф-та ВМиК МГУ, ИММ РАН.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из Введения, трех глав, списка литературы, содержит 103 стр. текста, 15 рисунков, 11 графиков, 14 таблицы, 60 библиографических ссылок.
