Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Численные инструменты для моделирования и исследования нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений 15
1.1. Устойчивость численного интегрирования дифференциальных уравнений с периодическими решениями 15
1.2. Численное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом 24
1.3. Решение систем параболических уравнений на отрезке 31
1.3.1. Схема решения, ее устойчивость и погрешность аппроксимации 31
1.3.2. Аппроксимация граничных условий для второй краевой задачи 35
1.4. Приближенный метод нахождения гомоклинических и гетероклинических решений особых точек в системах обыкновенных дифференциальных уравнений 37
1.4.1. Гетероклинические решения седло-узлов и седло-фокусов 37
1.4.2. Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-фокуса 46
1.4.3. Гомоклиническая петля сепаратрисы седло-узла 51
1.5. Другие численные инструменты 57
1.6. Выводы 61
Глава 2. Переход к хаосу в диссипативных нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений 64
2.1. Система уравнений Лоренца 64
2.1.1. Сценарий рождения аттрактора Лоренца через неполный двойной гомоклинический каскад бифуркаций 65
2.1.2. Сценарий рождения полного двойного гомоклинического аттрактора в системе Лоренца 78
2.2. Другие системы обыкновенных дифференциальных уравнений . 85
2.2.1. Системы уравнений Валлиса 85
2.2.2. Системы уравнений Рёсслера 93
2.2.3. Модель реакции Белоусова-Жаботинского 98
2.2.4. Модель Вольтерра-Гаузе 101
2.2.5. Система Чуа 104
2.2.6. Система "Simple" 108
2.2.7. Система Рабиновича и Фабриканта 110
2.2.8. Макроэкономическая модель Магницкого 114
2.2.9. Пример Магницкого 116
2.2.10. Система Рикитаки 117
2.2.11. Комплексная система дифференциальных уравнений Лоренца 122
2.3. Динамический хаос в дифференциальных уравнениях с запаздывающим аргументом 127
2.4. Неавтономные двумерные системы дифференциальных уравнений 129
2.4.1. Уравнение Дюффинга-Холмса 129
2.4.2. Уравнение Матье 131
2.4.3. Система уравнений Крокета 132
2.4.4. Уравнение Краснощекова 134
2.5. Выводы 135
Глава 3. Пространственно-временной динамический хаос . 137
3.1. Модель диффузионного хаоса в маломодовом приближении 138
3.2. Динамический хаос в распределенной системе дифференциальных уравнений 145
3.2.1. Переход к хаосу в пространстве коэффициентов Фурье 146
3.2.2. Переход к хаосу в фазовом пространстве уравнения Курамото-Цузуки 154
3.3. Диффузионный хаос в модели брюсселятора 163
3.3.1. Первая краевая задача 164
3.3.2. Вторая краевая задача 166
3.4. Выводы 167
Глава 4. Основы теории перехода к хаосу в диссипативных нелинейных системах дифференциальных уравнений 170
4.1. Динамика мультипликаторов в каскадах бифуркаций удвоения периода предельных циклов 170
4.2. Свойства особой точки "ротор" в двумерных неавтономных системах 174
4.3. Образование динамического хаоса в трехмерных диссипативных автономных системах дифференциальных уравнений 184
4.4. Динамический хаос в многомерных системах. Универсальность механизма образования хаоса в диссипативных системах дифференциальных уравнений 198
4.5. Структура решений. Классификация сингулярных хаотических аттракторов 201
4.5.1. Структура решений в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений 201
4.5.2. Классификация сингулярных хаотических аттракторов 206
4.6. Выводы 209
Глава 5. Применение теории динамического хаоса в математическом моделировании 212
5.1. Локализация и стабилизация неустойчивых решений в хаотических динамических системах 212
5.1.1. Стабилизация неустойчивых неподвижных точек в уравнениях с запаздывающим аргументом 213
5.1.2. Стабилизация термодинамической ветви в системах дифференциальных уравнений вида реакция-диффузия 219
5.1.3. Локализация и стабилизация неустойчивых циклов хаотических систем обыкновенных дифференциальных уравнений 228
5.1.4. Локализация и стабилизация неустойчивых циклов в уравнениях с запаздывающим аргументом 235
5.2. Бегущие волны в активных средах и динамический хаос 238
5.2.1. Бегущие волны в осциллирующей среде 240
5.2.2. Бегущие волны в уравнении вида реакция-диффузия с переносом 242
5.2.3. Бегущие волны в возбудимой среде 245
5.3. Идентификация динамической системы по траектории 247
5.4. Численный подход к исследованию гамильтоновых систем 258
5.5. Выводы 264
Заключение 266
Список литературы. 270
- Численное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом
- Другие системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Динамический хаос в распределенной системе дифференциальных уравнений
- Свойства особой точки "ротор" в двумерных неавтономных системах
Введение к работе
Важной задачей математического моделирования является познание закономерностей окружающего нас мира, будь то естественные или технические науки, экономические, социальные или экологические системы.
Огромное место в математическом моделировании занимают дифференциальные уравнения, так как наибольшая часть путей, связывающих абстрактные математические теории с приложениями в самых различных отраслях знаний, проходит через дифференциальные уравнения [4]. Хорошо известна, например, роль линейных дифференциальных уравнений в математическом моделировании. Несмотря на то, что линейные уравнения по-прежнему широко применяются в математическом моделировании даже в фундаментальных науках, тем не менее все большее значение уделяется нелинейным математическим моделям и, в частности, нелинейным дифференциальным уравнениям. Интерес к применению нелинейных математических моделей совершенно закономерен и обусловлен нелинейностью нашего мира — природных явлений, экономических и социальных отношений, экологических связей и многих других процессов. Стремление к более адекватному описанию различных явлений и процессов в физике, химии, в технических науках, в биологии экономике и в других отраслях знаний неизбежно требует учитывать более глубокие и, как правило, нелинейные связи и соотношения, что естественным образом находит отражение в использовании нелинейных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений.
Однако, в ходе все более широкого применения нелинейных дифференциальных уравнений в математическом моделировании было установлено, что нелинейные системы дифференциальных уравнений часто обладают чрезвычайно сложным, хаотическим поведением решений. Причем выяснилось, что такое поведение никоим образом не исключение, а типичное свойство многих систем. Это явление, имеющее место даже в сравнительно простых нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью, получило название динамического (или детерминированного) хаоса. Проблема образования хаотических режимов в нелинейных системах дифференциальных уравнений актуальна в связи с широким распространением таких систем при моделировании процессов и явлений в физике, химии, биологии, метеорологии, экономике, в социодинамике и в других областях научной и прак-
ВВЕДЕНИЕ
тической деятельности. Решение данной проблемы имеет большое значение как для правильной интерпретации результатов моделирования процессов и явлений, модели которых основаны на системах с хаотическими режимами, так и при использовании самих хаотических систем в моделировании сложных нерегулярных процессов, например, временных рядов, шума. Не менее актуальным является решение данной проблемы для использования нелинейных дифференциальных уравнений в системах управления, а также в задачах управления хаотическими системами.
Проблема перехода к хаосу является также одной из важнейших задач хаотической динамики - стремительно развивающейся области современной математики. Значительный вклад в решение этой задачи для консервативных и гамильтоновых систем дифференциальных уравнений связан с именами А.Н. Колмогорова, В.И. Арнольда, В.В. Козлова [3, 5, 28, 29], проблема хаоса в диссипативных дискретных отображениях решена в рамках теории гиперболических систем Д.В. Аносова [2]. Интересные исследования, начатые СП. Курдюмовым и А.А. Самарским [8] по стационарным диссипативным структурам, ведутся в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша.
В наименьшей степени проблема образования динамического хаоса оказалась разработанной для диссипативных нелинейных систем дифференциальных уравнений. Задача показать, совпадает ли поведение решений системы Лоренца с динамикой геометрического аттрактора, рассмотренного Р. Вильямсом, Дж. Гукенхеймером и Дж. Йорке [125, 150, 151], была сформулирована С. Смейлом как одна из 18 наиболее значительных математических проблем XXI столетия [99]. В связи с тем, что теоретические исследования за последние сорок лет не дали ощутимых результатов, для решения проблемы образования хаотических решений в диссертации принят подход, основанный на моделировании и численном исследовании хаоса в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений.
Целью настоящей диссертационной работы является решение проблемы образования хаотических решений в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений с гладкой правой частью.
Для решения этой проблемы автором были сформулированы конкретные задачи.
1. Разработка методики численных исследований нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическим пове-
ВВЕДЕНИЕ
дением для установления механизма перехода к динамическому хаосу в системах с непрерывным временем.
Разработка алгоритмов и оценка эффективности численных методов для решения нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением, в том числе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и уравнений в частных производных.
Разработка численных методов, алгоритмов и программ для определения спектральных свойств матрицы монодромии.
Разработка численных методов, алгоритмов и программ для нахождения гомоклиничсских и гетероклинических решений особых точек в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений.
Исследование механизма перехода к хаосу в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, в том числе в уравнениях с запаздывающим аргументом и уравнениях в частных производных.
Исследование динамического хаоса в решениях вида бегущей уединенной волны с целью установления механизма образования бегущих волн в активных средах.
7. Обоснование и разработка методов и алгоритмов решения при
кладных задач хаотической динамики: управление хаотическими систе
мами, их идентификация и использование для аппроксимации и прогноза
нерегулярных временных рядов.
Объектом диссертационного исследования являются диссипативные нелинейные системы дифференциальных уравнений с хаотическим поведением решений.
Для решения поставленных в диссертации задач использовались методы качественной теории дифференциальных уравнений, методы теории бифуркаций, теории устойчивости дифференциальных уравнений, а также методы численного анализа.
Все представленные в диссертации результаты являются новыми. Разработанная автором методика численного исследования нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением позволила установить каскады бифуркаций рождения устойчивых двумерных инвариантных торов, установить единый механизм перехода к хаосу в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, включая уравнения в частных производных параболического типа, установить механизм образования решений в виде бегущих волн в
ВВЕДЕНИЕ
осциллирующей активной среде.
Обоснованность выводов диссертации обеспечивается строгими доказательствами утверждений, приведенных в диссертации, обоснованными оценками погрешностей применяемых численных методов, а также публикациями статей в ведущих рецензируемых журналах в России и двух монографий, одна из которых издана за рубежом в издательстве Scientific World.
Автор выносит на защиту следующие научные положения:
Обоснована корректность использования численных методов интегрирования устойчивых периодических решений в хаотических системах и на этом основании разработана методика исследования нелинейных диссипативных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением, которая включает: анализ динамической системы методами качественной теории дифференциальных уравнений; исследование поведения системы методом численного продолжения по параметру устойчивых периодических и квазипериодических решений; численное определение спектральных характеристик матриц монодромии; исследование гомоклинических и гетероклинических решений - сепаратрис особых точек систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
На основании численного исследования спектральных свойств матриц монодромии периодических решений установлен единый механизм перехода к хаосу в диссипативных нелинейных системах дифференциальных уравнений, включая уравнения с запаздывающим аргументом и системы уравнений в частных производных параболического типа.
Предложена классификация хаотических аттракторов в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений, установлена структура устойчивых решений в нелинейных системах, которая определяется спектром показателей Флоке.
В рамках автомодельного приближения установлен новый механизм образования решения в форме бегущей волны в осциллирующей среде. Показано, что аналогичный механизм имеет также место при образовании бегущих волн в возбудимой среде.
Решены задачи стабилизации неустойчивых предельных циклов в нелинейных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и в уравнениях с запаздывающим аргументом, а также задачи стабилизации неустойчивых тривиальных решений в уравнениях с запаздывающим аргументом и термодинамической ветви в уравнениях с частными про-
ВВЕДЕНИЕ
изводными типа "реакция-диффузия". Разработаны алгоритмы и комплексы программ для их реализации.
6. Обоснован и разработан метод идентификации динамических систем, позволяющий использовать системы с хаотическим поведением для аппроксимации нерегулярных временных рядов и их прогнозирования. Созданы алгоритмы и комплексы программ для реализации метода.
Практическая ценность работы заключается в том, что научные выводы и предложения по проблеме образования динамического пространственно-временного хаоса в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений носят общий характер. Поэтому доказанные утверждения, разработанные методы и алгоритмы могут широко использоваться в научных исследованиях по математическому моделированию сложных систем, в том числе систем с хаотическим поведением, а также при исследовании консервативных и гамильтоиовых нелинейных систем дифференциальных уравнений, при исследовании проблемы турбулентности. Полученные в диссертации результаты могут служить основой для разработки методов управления хаотическими системами, методов аппроксимации временных рядов хаотическими системами, методов прогноза нерегулярных временных рядов.
Область применения результатов достаточно широка. Полученные результаты могут быть использованы в теоретических исследованиях, например, в теории дифференциальных уравнений, в хаотической динамике, в математическом моделировании, в частности, при идентификации динамических систем дифференциальных уравнений, при исследовании проблемы турбулентности, а также при решении ряда задач, имеющих прикладное значение: управление хаотическими системами, разработка методов аппроксимации и прогнозирования временных рядов.
Основное содержание диссертации изложено в 28 научных трудах, включая две монографии и 16 научных работ в центральных рецензируемых научных журналах по списку ВАК. Результаты диссертации также частично опубликованы в трудах всероссийских и международных конференций, в научных сборниках.
Основные результаты опубликованы в следующих работах: — монографии
1. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Новые методы хаотической динамики. - М.: УРСС, 2004. 320 с.
ВВЕДЕНИЕ
Автором на основе разработанной им методики проведено численное исследование хаотических систем нелинейных дифференциальных уравнений, включая дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, численно решены задачи стабилизации неустойчивых периодических решений, в том числе в уравнениях с запаздывающим аргументом, задачи стабилизации тривиальных решений в уравнениях с частными производными, модернизирована макроэкономическая модель Магницкого, разработан метод идентификации систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
2. Magnitskii N.A., Sidorov S.V. New Methods for Chaotic Dynamics.-
Singapure: World Scientific, 2006, 363 p.
К указанному выше автором решена проблема пространственно-временного (диффузионного) хаоса в системах дифференциальных уравнениях в частных производных параболического типа.
— публикации по перечню ВАК
Сидоров СВ. Об устойчивости численного моделирования периодических решений в нелинейных дифференциальных уравнениях. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 11. - М.: Изд.-во ЛКИ, 2007. — с. 78-84.
Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Новый взгляд на аттрактор Лоренца. Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37, №11, с. 1494-1506.
Магницкий Н.А., Сидоров СВ. О переходе к хаосу в нелинейных динамических системах через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов. Дифференциальные уравнения, 2002, т. 38, №12, с. 1606-1610.
Магницкий Н.А., Сидоров СВ. О нахождении гомоклинических и гетероклинических контуров особых точек нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, 2003, т. 39, №11, с. 1511-1520.
В работах [4] - [6] автором разработана и применена методика исследования, основанная на численном продолжении устойчивых решений дифференциальных уравнений по параметру, проведено численное исследование решений, созданы алгоритмы и комплекс программ нахождения гомоклинических и гетероклинических контуров особых точек для ряда нелинейных систем ОДУ.
7. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Актуальные проблемы хаотиче
ской динамики диссипативных систем нелинейных обыкновенных диф-
ВВЕДЕНИЕ
ференциальных уравнений. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 8. - М.: Едиториал УРСС, 2004, с. 41-84.
В работе [7] автором проанализированы проблемы в хаотической динамике нелинейных систем с учетом уже полученных результатов, намечены пути решения ряда задач, в том числе проблемы диффузионного хаоса.
8. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Особые точки типа ротор неавто
номных систем дифференциальных уравнений и их роль в образовании
сингулярных аттракторов нелинейных автономных систем. Дифферен
циальные уравнения, т. 40, №11, 2004, с. 1500-1514.
В работе [8] автором разработаны алгоритмы и комплекс программ для исследования систем с особой точкой типа ротор, проведено численное исследование этих систем.
9. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. О переходе к диффузионному ха
осу через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов: Чи
сленное исследование. Дифференциальные уравнения, т. 41, №11, 2005,
с. 1550-1559.
В работе [9] автором разработаны программы и численно исследован диффузионный хаос на примере уравнения Курамото-Цузуки, обоснован механизм перехода к диффузионному хаосу, построена бифуркационная диаграмма решений.
Сидоров СВ. Универсальность перехода к хаосу в динамических . диссипативных системах дифференциальных уравнений. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 9. - М.: Едиториал УРСС, 2006, с. 51-87.
Сидоров СВ. Диффузионный хаос в модели брюсселятора. Динамика неоднородных систем. Труды ИСА РАН. Вып. 10. - М.: Едиториал УРСС, 2006, с. 91-97.
Сидоров СВ. Появление хаотических решений в модели Вольтер-ра-Гаузе. Проблемы вычислений в распределенной среде: распределенные приложения, коммуникационные системы, математические модели и оптимизация. Труды ИСА РАН, т. 25, 2006, с. 217-221.
Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Динамический хаос в двумерных нелинейных неавтономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения т. 42, №11, 2006, с. 1507-1514.
В работе [13] автором применена разработанная им методика к исследованию неавтономных двумерных диссипативных систем дифферен-
ВВЕДЕНИЕ
циальных уравнении, выполнены численные исследования.
14. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Применение ФШМ-теории к ана
лизу гамильтоновых систем. Дифференциальные уравнения т. 42, №11,
2007, с. 1474-1479.
В работе [14] автором разработаны алгоритмы и программное обеспечение для исследования гамильтоновых систем, проведено численное исследование гамильтоновых систем с полутора степенями свободы, показана применимость разработанной технологии для исследования гамильтоновых систем.
Сидоров СВ. О динамическом хаосе в решениях вида бегущие волны. Дифференциальные уравнения т. 44, №8, 2008. с. 1148-1149.
Сидоров СВ. О хаотической динамике в решениях вида бегущие волны // Труды ИСА РАН, Динамика неоднородных систем. Вып. 12. -М.: Издательство ЛКИ, 2008, с. 176-184.
Евстигнеев Н.М., Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Новый подход к объяснению природы турбулентности вязкой несжимаемой жидкости // Труды ИСА РАН, Динамика неоднородных систем, т. 33, вып. 12. -М.: Издательство ЛКИ, 2008, с. 49-65.
В работе [17] применена разработанная автором методика к исследованию турбулентности вязкой несжимаемой жидкости за уступом.
18. Сидоров СВ. Бегущие волны и динамический хаос в активных
средах: численное исследование. Дифференциальные уравнения т. 45, №2,
2009. с. 250-254.
— публикации в других изданиях:
19. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. О переходе к хаосу в системе
Лоренца через полный двойной гомоклинический каскад бифуркаций. //
Нелинейная динамика и управление. Вып. 2: Сборник статей / Под ред.
СВ. Емельянова, С.К. Коровина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, с. 179-194.
В работе [19] автором разработаны алгоритмы и программное обеспечение, проведено численное исследование решений.
20. Магницкий Н.А., Сидоров СВ. Распределенная модель само
развивающейся рыночной экономики. // Нелинейная динамика и упра
вление. Вып. 2: Сборник статей / Под ред. СВ. Емельянова и С.К.
Коровина.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002, с. 243-263.
В работе [20] автор модифицировал макроэкономическую модель саморазвивающейся экономики, показал наличие хаотического поведения в решениях модели.
ВВЕДЕНИЕ
Сидоров СВ. Аппроксимация кривых решением дифференциальных уравнений в искусственном фазовом пространстве. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. научных трудов. Вып. 1./ РосЗИТЛП. М.: 2004, с. 168-178.
Сидоров СВ. Исследование диффузионного хаоса. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. научных трудов. Вып. 2./ РосЗИТЛП. М.: 2005, с. 151 - 165.
Сидоров СВ. О механизме перехода к диффузионному хаосу. Первая Международная конференция " Системный анализ и информационные технологии". 12-16 сент. 2005 г. Переславль-Залесский, Россия. С. 124 - 129.
Сидоров СВ. О каскадах бифуркаций в нелинейных дифференциальных уравнениях параболического типа. Известия РАЕН: Дифференциальные уравнения, №11, 2006, с. 197-199.
Магницкий Н.А., Сидоров СВ. О некоторых новых подходах к решению проблемы диффузионного хаоса. Нелинейная динамика и управление. Вып. 5: Сборник статей / Под ред. СВ. Емельянова, СК. Коровина. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005, с. 109-124.
В работе [25] автором предложен метод исследования решений систем параболических уравнений в пространстве коэффициентов Фурье и в фазовом пространстве с использованием отображения Пуанкаре для исследования решений на двумерных инвариантных торах. Проведено сравнение результатов полученных решений с решениями маломодового приближения.
Сидоров СВ. Некоторые свойства особой точки типа ротор. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. науч. трудов. Вып 3. / РосЗИТЛП. М.: 2007, с. 190 - 197.
Сидоров СВ. Образование хаотических режимов в нелинейных химических системах. Новое в науке и производстве текстильной и легкой промышленности. Сб. науч. трудов. Вып. 3 / РосЗИТЛП; М. 2007, с. 198 - 202.
28. Сидоров СВ. О структуре решений в диссипативных систе
мах нелинейных дифференциальных уравнений. Вторая Международная
конференция "Системный анализ и информационные технологии". 10-14
сент. 2007 г. Обнинск, Россия. С. 280-284.
Диссертация содержит введение, пять глав, заключение и список используемой литературы из 152 наименований, включает 122 рисунка
ВВЕДЕНИЕ
и одну таблицу.
Первая глава содержит теоретическое обоснование и описание численных методов и алгоритмов, лежащих в основе методики исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений с хаотическим поведением. Приведены оригинальные численные методы, разработанные в ходе исследования изучаемых динамических систем. На основе разработанной методики во второй главе проведено численное исследование решений нелинейных диссипативных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с хаотическим поведением и показано, что все рассмотренные системы, в том числе и дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом имеют один общий сценарий перехода к хаосу через каскады бифуркаций удвоения периода, субгармонический и гомоклинический каскады бифуркаций циклов.
В третьей главе показано, что тот же сценарий имеет место и при образовании диффузионного хаоса - пространственно-временного динамического хаоса в нелинейных распределенных диссипативных системах дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с тем отличием, что в этих уравнениях каскады указанных бифуркаций могут порождать все более сложные решения в виде двумерных инвариантных торов. В четвертой главе дано теоретическое обоснование установленного выше единого механизма перехода к динамическому хаосу в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений. На основании численного исследования динамики мультипликаторов при эволюции динамической системы в пространстве параметров и особенностей спектра матрицы монодромии нелинейной системы в каскаде бифуркаций удвоения периода цикла обоснован единый универсальный механизм образования динамического хаоса в нелинейных диссипативных системах дифференциальных уравнений.
В пятой главе показано, что представление о хаотических аттракторах, основанное на траекторном подходе, позволяет обоснованно подойти к решению ряда задач хаотической динамики, таких как управление хаотическими системами, их идентификации, по-новому рассмотреть образование решений в виде уединенных бегущих волн в осциллирующей активной среде и решения в гамильтоновых системах.
Численное решение дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом
При численном решении дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом где т 0 - постоянное запаздывание, задача заключается в аппроксимации непрерывного решения x(t) при t to при условии, что x{t) — p(i) при to — г t to, где cp(t) Є С [to — r, to] - заданная непрерывная функция, называемая начальной функцией. Отрезок to — т t to, на котором задана начальная функция, называется начальным множеством St0. Обычно предполагается, что (to) = ж (to + 0) [115].
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом относятся к классу функционально-дифференциальных уравнений. Несмотря на то, что эти уравнения давно широко применяются в описании и математическом моделировании различных процессов и систем с последействием, тем не менее даже для линейных функционально-дифференциальных уравнений нет общих методов нахождения решений в явном виде [107]. Численные методы интегрирования таких уравнений также не так хорошо развиты, как для обыкновенных дифференциальных уравнений. Литературы, за исключением отдельных статей и недавно вышедшей монографии А.В. Кима и В.Г. Пименова [24], посвященной численным методам решения функционально-дифференциальных уравнений почти нет.
При выборе численного метода решения уравнения (1.14) автор ориентировался на задачи, поставленные в настоящей работе. Поэтому к методу интегрирования предъявлялись следующие требования: возможность применения метода для численного продолжения устойчивых решений по параметру, в том числе и по параметру запаз дывания г без изменения погрешности метода и объема вычислений; возможность определения спектральных характеристик матрицы монодромии; экономичность метода, позволяющая обеспечить заданный, например, четвертый порядок аппроксимации решения при небольшом количестве вычислительных операций и небольшом объеме оперативной памяти компьютера.
Особенностью численного интегрирования уравнения (1.14) является то обстоятельство, что множество St0 — дискретно, хотя начальная функция p(t) может быть задана аналитически для всех моментов времени —т t 0. Поэтому естественным методом численного решения задачи (1.14) представляется метод, аналогичный методу шагов [115], используемому при аналитическом решении уравнения (1.14). На промежутке [—т, 0] в узлах равномерной сетки где At = т/т - шаг сетки, га — число отрезков разбиения промежутка [—т, 0], задается сеточная функция ipi так, что
Значения начальной функции щ, г = 0,1,..., га, хранятся в оперативной динамической памяти.
Процесс интегрирования уравнения (1.14) осуществляется следующим образом. На первом шаге вычисляется значение после чего переменной (pm присваивается значение x(to). Затем по уже известному значению x(t{) вычисляется ж( ), а переменной ipm-i присваивается значение x(ti). Таким образом, при интегрировании уравнения (1.14) на отрезке [to, to + т] происходит процесс обновления элементов множества значений начальной функции на множестве Et0 путем присвоения им новых значений /?т_г- = x(ti), г = 0, га. После ТОГО, как будет вычислен последний элемент (fo = x(tm) — x{t + г), процесс интегрирования может быть продолжен таким же образом на следующем отрезке [ о + т, 0 + 2т].
Недостатками такого способа интегрирования уравнения (1-14) являются, прежде всего, высокая погрешность Е О (At), так как изложенный способ решения уравнения (1.14) представляет по существу явный метод Эйлера, и отсутствие конструктивного алгоритма вычисления матрицы монодромии.
Более эффективным является метод, основанный на применении метода Рунге-Кутты 4 порядка аппроксимации. Применение этого метода предполагает, как показано выше, использование значении начальной функции в промежутках между узлами сетки u&t. Однако, чтобы получить 4-ый порядок аппроксимации необходимо обеспечить погрешность интерполяции начальной функции ср на множестве t0 не ниже О (At4). Этого можно достичь, используя для интерполяции либо кубические полиномы Лагранжа, либо кубические сплайны. Однако и то и другое значительно усложняет вычислительную процедуру. Кроме того, этот подход также не является конструктивным для вычисления матрицы моно-дромии в случае периодических решений.
Для решения поставленных в работе задач, связанных с необходимостью использования производных решения по начальным условиям и по параметрам наиболее эффективным представляется подход, основанный на идее Н.Н. Красовского рассмотрения дифференциально-разностных уравнений как полугрупп преобразований [30].
Пусть С[—т] 0] - пространство непрерывных вещественных функций (), задающих на интервале [—т; 0] начальные условия уравнения (1.14). При этом уравнению (1.14) с начальным условием ж($) = ($), — т # 0, в функциональном пространстве С[—т; 0] непрерывных функций с нормой ж(#) = sup(rc(i?) j, —т -д 0) соответствует система уравнений с операторной правой частью
В этом случае систему (1.16) можно представить в виде конечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [113]. Для этого поделим интервал [—т; 0] на m одинаковых частей и обозначим
Другие системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Оо появляются две другие точки 0\ и Ог, состояния равновесия которых определяются корнями характеристического уравнения Согласно критерию Рауса-Гурвица точки 0\ и О2 устойчивы до значения /І /І = (б3 + 462)/2(6 — 2). При значениях // /І уравнение (2.13) имеет один отрицательный корень и два комплексно сопряженных с положительной вещественной частью и, следовательно, точки 0\ и Оі являются седло-фокусами. Отметим, что в системе El-nino наблюдается та же ситуация, что и в системе Лоренца, а именно: в момент потери устойчивости одной из точек появляются две новые неподвижные точки, которые остаются устойчивыми фокусами до некоторого критического значения параметра // . По-видимому, следует ожидать, что сценарий рождения хаотического аттрактора в системе El-nino будет аналогичен сценарию в системе Лоренца. Численные эксперименты показывают, что это действительно так. Мы ограничимся обсуждением тех общих механизмов в картине рождения нерегулярных аттракторов, которые имеют принципиальное значение для большого класса динамических диссипативных систем, описываемых дифференциальными уравнениями.
При указанных выше фиксированных значениях параметров 6 = 10 и с = 12 в системе El-nino на интервале значений параметра ц, Є (346, оо) имеется единственный аттрактор - цикл Со, охватывающий обе точки 0\ и 02- При значении /І РЬ 346 этот цикл теряет устойчивость и в результате бифуркации образуются два других устойчивых цикла CQ и CQ , которые при дальнейшем уменьшении параметра ц в ходе субгармонического каскада бифуркаций (о чем свидетельствуют циклы CQ периода 3 при значении /х = 231.5) образуют на множестве /х Є (224, 230) аттракторы в виде двух лент (рис. 2.20), порожденных бесконечным числом неустойчивых циклов. При [і « 223.9 обе ленты сливаются в один аттрактор. На множестве значений параметра \± Є (138.7, 150.5) наблюдается цикл Сц. Завершается первая стадия гомоклинического каскада рождением цикла С\ при /л яз 100.69.
Субгармонический каскад бифуркаций цикла С\ при указанных выше фиксированных значениях параметров 6 = 10, с — 12 в системе El-nino завершается при значении fi — 99.327 образованием цикла СЇ периода 3. При этом критическое значение fi — 87.5. Иными словами, уже первая стадия гомоклинического каскада завершается вблизи изменения состояния устойчивости неподвижных точек 0\ и Ог- Поэтому здесь затруднительно проследить образование полного гомоклинического аттрактора. Можно только констатировать, что в системе El-nino аттрактор образуется в результате двойного гомоклинического каскада бифуркаций.
В заключение отметим, что в интервале fi є (Ь/2с, /І ), ТО есть в случае, когда неподвижная точка OQ остается неустойчивой, а неподвижные точки О] и 0% являются устойчивыми, обнаружены следующие циклы го-моклинических каскадов: цикл С п при fi Є (83.58,83.62), цикл С\% при fi Є (77.345,77.350) и цикл С 2 при fi є (68.92,68.97) (рис. 2.21). Все эти циклы имеют свои субгармонические каскады. Мы уже встречались и встретимся в дальнейшем с системами, где гомоклинические каскады существуют вне окрестностей устойчивых особых точек. Существование таких особенностей свидетельствует о том, что ведущую роль в образовании нерегулярных аттракторов играют не особые точки и не гомоклинические и-гетероклинические контуры седло-узлов и седло-фокусов, а некоторые циклы, которые дают начало в первую очередь каскаду бифуркаций удвоения периода циклов.
Рёсслером [12, 141] предложен ряд нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений для моделирования некоторых гипотетических химических реакций, обладающих хаотическим поведением. Остановимся на двух системах [55]. Наиболее известная из них имеет вид
Система (2.14) не является диссипативной всюду в фазовом пространстве, так как divF(x, у, z) = х + а — ji зависит от переменной ж, и плоскость х + а — ц — 0 делит все фазовое пространство на три области. Определим положение неподвижных (особых) точек системы (2.14) Оі(хї,уї,г?), г = 1,2, где Условие принадлежности точки 0\ к диссипативной области имеет вид
Динамический хаос в распределенной системе дифференциальных уравнений
Рассмотренные в предыдущей главе диссертации хаотические системы обыкновенных дифференциальных уравнений являются в ряде случаев конечномерными аппроксимациями бесконечномерных систем дифференциальных уравнений в частных производных. Ярким примером является классическая система уравнений Лоренца, полученная методом Галеркина в виде конечномерных аппроксимаций систем уравнений в частных производных Навье-Стокса, неразрывности и теплопроводности [114, 130]. Многие системы дифференциальных уравнений в частных производных были редуцированы к более простым системам обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых учтены только основные гармоники систем уравнений в частных производных, именно с целью понять сложное поведение решений исходных систем уравнений. Естественно предположить, что сложные нерегулярные режимы поведения присущи не только конечномерным, но также и бесконечномерным нелинейным системам дифференциальных уравнений.
Длительное время теории динамического хаоса в нелинейных системах дифференциальных уравнений с частными производными не уделялось достаточное внимание. Среди немногих результатов, полученных в этом направлении, следует выделить результаты А.А. Самарского, СП. Курдюмова и их учеников. В работах [6, 7, 8] рассмотрено возникновение нестационарных, пространственно неоднородных и непериодических решений (диффузионного хаоса) в уравнении Курамото-Цузуки, описывающем поведение решений системы уравнений "реакция - диффузия" в окрестности ее стационарного однородного состояния. Однако результаты, касающиеся появления динамического хаоса в уравнении Курамото-Цузуки, были получены преимущественно с использованием маломодового приближения путем редукции этого уравнения к некоторой трехмерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом остался открытым вопрос об адекватности описания систем дифференциальных уравнений в частных производных с помощью маломодового приближения. Суть вопроса состоит в том, совпадает ли, хотя бы качественно, поведение решений сложных систем дифференциальных уравнений в частных производных с решением более простых маломодовых приближений, полученных при редукции исходных уравнений к более простым системам обыкновенных дифференциальных уравнений путем выделения наиболее существенных гармоник, например, с помощью метода Галеркина.
Как было показано выше во второй главе, при переходе к аппроксимациям большей размерности ситуация становится менее ясной, так как в сценариях перехода к хаосу начинают принимать участие не только циклы, но и торы. Следует также отметить, что сложность хаотической динамики существенно зависит также и от размеров пространственной области. Поэтому ответ на вопрос об адекватности решений маломодовых приближений решениям систем дифференциальных уравнений в частных производных представляется далеко не очевидным. В этом отношении интерес к проблеме образования диффузионного хаоса существенно возрастает [59, 135]. В настоящей главе на примере широко используемой модели Гинзбурга-Ландау исследованы решения мало-модового приближения данной модели и самой распределенной задачи, заданной на отрезке [60, 61]. Кроме того, исследовано образование динамического диффузионного хаоса в параболических нелинейных системах уравнений в частных производных на примере модели Гинзбурга-Ландау и предложенной брюссельской школой И.Р. Пригожина модели автокаталитической реакции с диффузией, названной брюсселятором [108, 129].
Огромный класс физических, химических и биологических сред, широко изучающихся нелинейной и хаотической динамикой, описывается системой уравнений в частных производных реакция-диффузия где di и d,2 коэффициенты диффузии, f(u,v,fi) и g(u:v,fi) - нелинейные относительно переменных и и v скалярные функции, зависящие от скалярного параметра /І. В системах вида (3.1) по одной из переменных существует, как правило, положительная обратная связь. Такая переменная называется активатором. Вторая переменная, которая замедляет действие активатора, называется ингибитором.
При изучении систем уравнений реакция-диффузия наибольший интерес представляет анализ таких краевых задач, для которых при всех значениях скалярного системного параметра fi /IQ система (3.1) имеет устойчивое стационарное и однородное по пространству решение (U, V), называемое термодинамической ветвью. При fi JIQ термодинамическая ветвь теряет устойчивость, а поведение решений определяется спектром линеаризованной на термодинамической ветви краевой задачи в окрестности точки бифуркации до Если при значении д = до у линеаризованной на решении (U, V) задачи одно простое собственное значение оператора линеаризации проходит через ноль, а остальной спектр остается лежащим в левой полуплоскости, то в системе возникают пространственно-неоднородные стационарные решения (стационарные диссипативные структуры). Такая бифуркация впервые была обнаружена А. Тьюрингом при исследовании математической модели морфогенеза и носит его имя [146]. Если при /J, = до у линеаризованной на термодинамической ветви задачи два комплексно сопряженных собственных значения оператора линеаризации проходят слева направо через мнимую ось, а остальной спектр остается лежащим в левой полуплоскости, то происходит бифуркация Андронова-Хопфа рождения цикла [108]. В этом случае при ц до термодинамическая ветвь теряет устойчивость, а точки отрезка [0,1] начинают совершать периодические колебания. При значительном удалении значений параметра д от fiQ в системе (3.1) возникают более сложные, в том числе пространственно неоднородные и непериодические решения, которые получили общее название "диффузионный хаос". Таким образом, под диффузионным хаосом понимают хаотическое поведение или наличие нерегулярных хаотических аттракторов в диссипативных нелинейных системах в частных производных параболического типа.
В работе [128] было показано, что любое решение системы уравнений в частных производных параболического типа " реакция-диффузия", возникающее в окрестности термодинамической ветви в результате ее бифуркации при д до, может быть выражено через комплекснознач-ную функцию W(r,r), удовлетворяющую уравнению где сі и C2 - действительные постоянные, значения которых определяются коэффициентами dA, о?2, функциями /(«, г;, д), g(u, v, д) и их производ ными, вычисленными на термодинамической ветви. Уравнение (3.2), называемое уравнением Курамото-Цузуки или зависящим от времени уравнением Гинзбурга-Ландау, играет важную роль в изучении и понимании процессов, происходящих в нелинейных диссипативных средах диффузионного типа.
Изучение диффузионного хаоса в уравнении (3.2) было начато группой СП. Курдюмова и А.А. Самарского. Для нахождения пространственно неоднородных решений обычно рассматривается вторая краевая задача для уравнения (3.2). В цикле работ [6, 7, 8] были найдены области изменения параметров С\ и с2, в которых вторая краевая задача для уравнения (3.2) на отрезке [О, R] с условиями имеет нестационарные непериодические и неоднородные по пространству решения - диффузионный хаос.
Однако в работах [6, 7] рассматривалась более простая, хотя и обладающая хаотической динамикой, система из трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, полученная в результате редукции уравнения (3.2) и представления его в так называемом "маломо-довом" приближении. Идея получения решений такого вида состоит в использовании галеркинских маломодовых аппроксимаций
Свойства особой точки "ротор" в двумерных неавтономных системах
Этому состоянию задачи (3.3) соответствует неподвижная точка (ро 0,0, ...0) в пространстве коэффициентов Фурье. В фазовом пространстве переменных (и, v) для этого же интервала параметра С2 траектория представляет собой окружность, что свидетельствует об одинаковой амплитуде колебаний переменных u(t) и v(t).
При 1.81 в задаче (3.4) наблюдается би фуркация, в результате которой однородное периодическое решение теряет устойчивость, и рождается другое устойчивое решение — неоднородное по пространству и периодическое по времени. В пространстве коэффициентов Фурье этой бифуркации соответствует потеря устойчивости неподвижной точки (ро, 0, 0, ...0) и появление другой неподвижной точки с отличными от нуля значениями переменных pi. С этой неподвижной точкой в пространстве коэффициентов Фурье связана круговая орбита в проекции (U(XO),V(XQ)) фазового пространства, где хо Є [0;/]. Круговая орбита свидетельствует об одинаковой амплитуде колебаний переменных u(t) и v(t) в любом сечении отрезка. Таким образом, после потери устойчивости однородного периодического решения в задаче (3.4) рождается другое устойчивое периодическое по времени и пространству решение.
Это неоднородное по пространству решение остается устойчивым при уменьшении параметра сч до значения С2 —2.66, при котором в проекции (po,Pi) отмечается рождение предельного цикла. При величине С2 —4.617 происходит бифуркация удвоения периода данного цикла, и начинается каскад бифуркаций Фейгенбаума. Так, при значении с2 — —4.8 наблюдается цикл учетверенного периода, при сі = —4.815 — цикл 8-кратного периода, при с і = —4.820 — цикл 16-кратного периода и т.д. Каскад бифуркаций удвоения периода, порожденный этим циклом, завершается аттрактором Фейгенбаума при значении параметра с2 « -4.8225.
При меньших значениях параметра решения в пространстве коэффициентов Фурье имеют сложный хаотический характер. Однако существование решений с кратностью периодов 5 и 3 соответственно при значениях параметра сг = —4.894 и сч = —4.955 свидетельствует о существовании в задаче (3.4) субгармонического каскада бифуркаций Шар-ковского. Причем отметим, что эти же циклы с той же кратностью периодов 3 и 5 снова регистрируются соответственно при значениях параметра С2 = —5.20 и С2 = —5.26. Последнее обстоятельство свидетельствует о том, что в пространстве коэффициентов Фурье системы (3.4), как и в трехмерных диссипативных системах обыкновенных дифференциальных уравнений существует точка накопления, то есть такое значение бифуркационного параметра, при котором хаотический аттрактор имеет наиболее сложную структуру (см. [22, 58, 136]). По обе стороны от точки накопления, как уже было показано в [22], сценарий образования хаотического аттрактора одинаков. При дальнейшем уменьшении значений параметра с происходит упрощение решений системы (3.4) в обратном каскаду Фейгенбаума-Шарковского порядке вплоть до появления устойчивой неподвижной точки При Значении С2 —6.42.
Таким образом, результаты, полученные в пространствах одинаковых переменных относительно упрощенной системы (3.3) и исходной задачи (3.4) для уравнения Курамото-Цузуки позволяют сделать следующие выводы. Во-первых, переход к хаотическому поведению в уравнении Курамото-Цузуки для решений в пространстве коэффициентов Фурье осуществляется по тем же сценариям, что и в нелинейных диссипативных системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, а именно через каскады бифуркаций Фейгенбаума удвоения периодов циклов и далее через субгармонические каскады бифуркаций рождения устойчивых циклов, кратность периода которых определяется согласно порядку Шарковского. Во-вторых, имеются существенные количественные расхождения в значениях бифуркационных параметров, которые характеризуют каскады бифуркаций рождения устойчивых циклов в системе маломодового приближения (3.3) и в решении задачи (3.4) в пространстве коэффициентов Фурье.
С целью дальнейшего изучения этого вопроса проанализируем решения задачи (3.4) в фазовом пространстве.
Рассмотрим сценарий образования хаотических режимов второй краевой задачи (3.4) для уравнения Курамото-Цузуки (нестационарного уравнения Гинзбурга-Ландау) (3.2) в фазовом пространстве переменных (u,v). Для анализа решений этого уравнения в бесконечномерном фазовом пространстве используем сечение данного пространства гиперплоскостью и(1/2) = 0 и рассмотрим отображение Пуанкаре в координатах (w(0),v(l/2)) этой гиперплоскости. Исследование решений проведено также методом продолжения по параметру устойчивых решений. В качестве фиксированной переменной снова выбрана переменная сі, а переменная сг варьировалась в той же области, которая рассмотрена в предыдущем разделе. Начальные условия для решения второй краевой задачи (3.4) приняты однородными.
Вначале рассмотрим сценарий образования хаотических режимов второй краевой задачи для уравнения Курамото-Цузуки в фазовом пространстве переменных (it, v) при фиксированных параметрах сі = 2.5, I = тт. В диапазоне С2 Є [—1.85; 0] вторая краевая задача (3.4) имеет однородное периодическое решение с одинаковой амплитудой колебаний переменных u(x,t) и v(x,t). При значении параметра С2 —1.851 это однородное решение теряет устойчивость, но рождается другое устойчивое периодическое по времени и неоднородное по пространству решение, которому соответствует одинаковая амплитуда колебаний по переменным u(xQ,t) и v(xQ,t): где XQ Є [0,1]. При значении С2 —2.803 периодическое неоднородное решение также становится неустойчивым, и в задаче (3.4) появляется устойчивый двумерный инвариантный тор, представленный топологическим произведением двух циклов - первичного исходного (внутреннего) цикла и внешнего (вторичного) цикла, родившегося в результате повторной бифуркации Андронова-Хопфа после потери устойчивости исходного цикла. Появление двумерного инвариантного тора подтверждается отображением Пуанкаре. Вид этого тора в сечении и{1/2) = 0 при значении параметра С2 = — 3 и С2 = —3.133 показан на рис. 3.12а и 3.126. При значении С2 —3.134 происходит
Данная бифуркация дает начало каскаду бифуркаций удвоения периода двумерных инвариантных торов по внутреннему циклу. Так, при значениях сі Є [—3.6186; —3.537] решением задачи (3.4) является двумерный инвариантный тор учетверенного по внутреннему циклу периода, при С2 Є [-3.6409; —3.6187] - тор периода кратности 8, при С2 Є [—3.64623; —3.6410] - тор периода кратности 16 по внутреннему циклу и т.д. Каскад удвоения периода двумерных торов по внутреннему циклу завершается образованием аттрактора Феигенбаума при значении с2& -3.65 (рис. 3.13).
