Введение к работе
Актуальность темы. Множество различных научных, технических и социально-экономических процессов и явлений могут быть описаны системами нелинейных дифференциальных уравнений. Решения таких систем могут быть представлены в фазовом пространстве различными топологическими структурами, такими как особые точки, предельные циклы, инвариантные торы, а также значительно более сложные нерегулярные притягивающие множества, названные нерегулярными аттракторами. Особым точкам в фазовом пространстве соответствуют стационарные, не меняющиеся со временем структуры, предельным циклам и инвариантным торам — различные периодические и квазипериодические волновые режимы, а нерегулярным аттракторам — сложные нерегулярные решения, названные динамическим хаосом. Нерегулярные во времени и неоднородные по пространственным переменным решения нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными называют пространственно-временным и, в частности, диффузионным хаосом.
Исследование перехода к диффузионному хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений с частными производными является актуальной проблемой в связи с широким распространением таких систем при моделировании процессов и явлений в физике, химии, экологии, экономике и других областях. Также эта проблема имеет большое значение для развития теории пространственно-временного хаоса в бесконечномерных нелинейных системах дифференциальных уравнений, которая на данный момент практически не разработана. В этом направлении были получены результаты А.А. Самарского, С.П. Курдюмова и их учеников о возникновении нестационарных, пространственно неоднородных непериодических решений в уравнении Курамото-
Цузуки. Результаты, касающиеся сценариев перехода к пространственно- временному хаосу в некоторых системах уравнений типа реакция-диффузия, были получены в работах Н.А. Магницкого, С.В. Сидорова, А.В. Дернова.
Огромный класс физических, химических и биологических сред, широко изучающихся нелинейной хаотической динамикой, описывается системой уравнений в частных производных реакция-диффузия. Для описания конкретных систем в экологии, химической кинетике, физике плазмы и многих других областях было предложено множество таких моделей. Особый интерес представляют задачи типа реакция-диффузия, поведение которых таково, что при всех значениях скалярного системного параметра меньше некоторого бифуркационного значения система реакция-диффузия имеет устойчивое стационарное и однородное по пространству решение, называемое термодинамической ветвью. При значениях скалярного системного параметра больше этого бифуркационного значения термодинамическая ветвь теряет устойчивость, а поведение решений усложняется. Это могут быть стационарные диссипативные структуры, периодические колебания или нерегулярные непериодические нестационарные структуры, называемые диффузионным хаосом, а также биологической (или химической) турбулентностью.
В диссертации рассматриваются системы типа реакция-диффузия с таким поведением, а именно: автоколебательные среды, описываемые уравнением Курамото-Цузуки, возбудимые среды, и экологические системы. Уравнение Курамото-Цузуки представляет собой сложный математический объект, оно может иметь стационарные, периодические и более сложные хаотические решения. Уравнение Курамото-Цузуки играет важную роль в изучении и понимании процессов, происходящих в нелинейных диссипативных средах диффузионного типа, представляет большой интерес при моделировании ветровых волн на воде и ионно-звуковых волн в плазме. Системы уравнений типа ФитцХью-Нагумо описывают нелинейные процессы, происходящие в так называемых возбудимых средах. Это — распространение импульсов в нервном волокне и сердечной мышце, а также различные виды автокаталитических химических реакций. Частным случаем систем уравнений реакция-диффузия также являются различные экологические модели, попадающие в класс динамических систем, обладающих диффузионным хаосом, в частности, рассматривается замкнутая трофическая цепь длины два.
В работе проводится исследование перехода к диффузионному хаосу в описанных выше видах систем реакция-диффузия и устанавливаются соответствия сценариев перехода к хаосу универсальной бифуркационной теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого (ФШМ). Согласно этой теории переход к диффузионному хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений с частными производными типа реакция-диффузия происходит через каскад бифуркаций устойчивых циклов и двумерных или многомерных торов: каскад бифуркаций Фейгенбаума удвоения периода исходного цикла (тора), затем через субгармонический каскад бифуркаций Шарковского рождения циклов (торов) любого периода вплоть до периода три, затем через гомо- клинический (гетероклинический) каскад бифуркаций Магницкого рождения циклов (торов) в соответствии с гомоклиническим или гетероклиническим порядком.
Цели диссертационной работы. Целью диссертационной работы является исследование перехода к пространственно-временному (диффузионному) хаосу в нелинейных системах дифференциальных уравнений с частными производными типа реакция-диффузия, а также выяснение того, соответствует ли этот переход универсальному сценарию ФШМ. Для этого поставлены следующие задачи:
Провести численное исследование уравнения Курамото-Цузуки, описывающего автоколебательные среды в двумерном случае, и установить связи между возникающими в нем структурами — спиральными волнами и видом решений в фазовом пространстве. Выяснить, соответствует ли сценарий перехода к диффузионному хаосу в уравнении Курамото-Цузуки в двумерном случае универсальной бифуркационной теории ФШМ.
Провести анализ решений системы уравнений типа ФитцХью-Нагумо, описывающей возбудимые среды, сведением ее к трехмерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) при помощи автомодельной замены переменных. Показать, что диффузионный хаос в системе уравнений типа ФитцХью-Нагумо описывается сингулярными аттракторами полученной системы ОДУ, и выяснить, соответствует ли переход к диффузионному хаосу в этой системе универсальной бифуркационной теории ФШМ.
Найти условия рождения периодических решений системы уравнений, описывающей модель экологической системы — трофическую цепь длины два, а также провести численное исследование решений этой системы. Выяснить, соответствует ли переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы универсальной бифуркационной теории ФШМ.
Научная новизна работы. Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
Найдены области значений параметров, при которых уравнение Курамото- Цузуки, описывающее автоколебательные активные среды в двумерном
случае, имеет плоские волны, спиральные волны или режимы диффузионного хаоса. Установлено, что спиральным волнам соответствуют двумерные и трехмерные торы в разных подпространствах фазового пространства решений. Установлено также, что при приближении значений параметров к области диффузионного хаоса, уравнение Курамото-Цузуки в двумерном случае имеет устойчивые трехмерные торы и более сложные решения, соответствующие развитию и образованию пространственно- временного хаоса. Показано, что сценарий перехода к диффузионному хаосу в автоколебательных активных средах в двумерном случае происходит в соответствии с универсальной бифуркационной теорией Фейгенбаума- Шарковского-Магницкого (ФШМ).
Показано, что система дифференциальных уравнений с частными производными типа ФитцХью-Нагумо, описывающая возбудимые среды, при фиксированных значениях параметров имеет бесконечное число различных устойчивых волновых решений, бегущих вдоль пространственной оси с произвольными скоростями, а также бесконечное число различных режимов диффузионного хаоса. Эти решения порождаются каскадами бифуркаций циклов и сингулярных аттракторов в соответствии с теорией ФШМ в трехмерной системе ОДУ, в которую переходит система уравнений типа ФитцХью-Нагумо при соответствующей автомодельной замене переменных.
Найдены условия рождения периодических пространственно неоднородных решений системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными, описывающей модель экологической системы — трофическую цепь длины два. Показано, что переход к диффузионному хаосу в рассматриваемой модели экологической системы осуществляется в полном соответствии с универсальной бифуркационной теорией ФШМ через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов.
Теоретическая и практическая значимость. Разработанные в диссертации подходы и методы анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными диффузионного типа имеют как теоретическую, так и практическую значимость для исследования и управления хаотическими режимами широкого класса автоколебательных и возбудимых сред, подходящих для описания многочисленных сложных физических, химических и биологических систем. Так, впервые доказана и подтверждена численными расчетами на основе разработанного в диссертации программного продукта универсальность ФШМ-сценария перехода к хаосу во всех системах рассмотренного класса. Впервые теоретически доказана возможность одновременного существования в системах уравнений с частными производными диффузионного типа бесконечного числа как периодических, так и хаотических решений. Результаты, полученные в диссертации, могут быть использованы на практике при анализе хаотических режимов поведения и подавлении диффузионного хаоса, а также химической и биологической турбулентности в таких практически важных задачах, как управляемый термоядерный синтез и синтез новых элементов в ускорителях заряженных частиц, создание новых веществ в автокаталитических химических реакциях и поддержание численности и требуемых характеристик различных сосуществующих биологических видов и экосистем.
Основные методы исследования. В работе использованы методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, теории бифуркаций, хаотической динамики, а также численные методы решения нелинейных систем дифференциальных уравнений.
Основные результаты и положения диссертации, выносимые на защиту:
Метод фазового пространства анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия, описывающих двумерные автоколебательные активные среды.
Результаты численного моделирования, подтверждающие наличие в уравнении Курамото-Цузуки в двумерном случае устойчивых трехмерных торов, а также каскадов бифуркаций устойчивых двумерных торов в соответствии с универсальной бифуркационной теорией ФШМ.
Метод анализа решений нелинейных систем дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия, описывающих возбудимые активные среды, путем их сведения к системам ОДУ.
Результаты численного моделирования, подтверждающие наличие в уравнениях типа ФитцХью-Нагумо бесконечного числа различных устойчивых волновых решений, а также бесконечного числа различных режимов диффузионного хаоса, порожденных каскадами бифуркаций устойчивых циклов в соответствии с универсальной бифуркационной теорией ФШМ.
Метод обнаружения скрытых бифуркационных параметров в нелинейных системах дифференциальных уравнений типа реакция-диффузия.
Бифуркационный анализ конкретной возбудимой среды, являющейся химической реакцией окисления молекул оксида углерода на поверхности платины.
Метод бифуркационного анализа моделей распределенных экологических систем типа «хищник-жертва».
Результаты численного моделирования, подтверждающие наличие в уравнениях, описывающих трофическую цепь длины два, сценария перехода к диффузионному хаосу в соответствии с универсальной бифуркационной теорией ФШМ через субгармонический каскад бифуркаций устойчивых предельных циклов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и научных семинарах:
конференции «Тихоновские чтения 2010», 25-29 октября 2010 г., Москва;
четвертой международной конференции «Системный анализ и информационные технологии», 17-23 августа 2011 г., Башкирия;
конференции «Тихоновские чтения 2011», 14 июня 2011 г., Москва;
конференции «Ломоносовские чтения 2011», 14-23 ноября 2011 г., Москва;
девятнадцатой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», 30 января - 4 февраля 2012 г., Дубна;
конференции «Ломоносовские чтения 2012», 16-19 апреля 2012 г., Москва;
международной конференции <Динамические системы и их применение», 16-18 мая 2012 года, Киев;
конференции «Тихоновские чтения 2012», 29 октября - 2 ноября 2012 г., Москва;
научном семинаре <Нелинейная динамика: качественный анализ и управление» под руководством академика РАН С.В. Емельянова, 29 октября 2012 г., Москва.
Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в 11 работах. Из них 5 опубликованы в изданиях, удовлетворяющих требованиям ВАК [1-5], и 6 — в материалах конференций [6-11].
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Главы разбиты на разделы и подразделы. Объем работы составляет 134 страницы текста, включая 51 рисунок. Библиография включает 52 наименования.
