Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Генератор с запаздывающей обратной связью. Возникновение мультистабильных состояний и их эволюция 18
1.1 Введение 18
1.2 Комплекс программ для численного простроения карт динамических режимов с учетом мультистабильности 20
1.3 Рассматриваемая модель 24
1.4 Устойчивость и бифуркации состояния равновесия системы. Условия возбуждения автоколебаний и их зависимость от времени запаздывания 27
1.5 Бифуркационный механизм формирования мультистабильности 34
1.6 Карта режимов. Эволюция мультистабильных состояний 41
1.7 Осциллятор Ландау - Стюарта с запаздывающей обратной связью
1.7.1 Рассматриваемая модель 54
1.7.2 Условия потери устойчивости и формирования мультистабильности 56
1.7.3 Бифуркационный механизм формирования мультистабильных состояний 61
1.7.4 Карта режимов с учетом мультистабильных состояний 67
1.8 Выводы к главе 1 74
Глава 2. Сложная динамика системы из двух связанных неидентичных осцилляторов Ланга-Кобаяши 76
2.1 Введение з
2.2 Стационарные решения системы. Анализ условий возбуждения различных колебательных мод 81
2.3 Характерные колебательные режимы в системе 83
2.4 Характерные бифуркации в системе. Бифуркационная структура пространства параметров системы и особенности формирования мультистабильности 85
2.5 Выводы к главе 2 93
Глава 3. Влияние запаздывания в канале связи на эффекты синхронизации, мультистабильности и гашения колебаний в двух взаимодействующих генераторах с инерционной нелинейностью 94
3.1 Введение 94
3.2 Исследуемая система двух генераторов с запаздывающей связью 96
3.3 Бифуркационные переходы и особенности формирования мультистабильности в конечномерной системе 98
3.4 Изменение бифуркационной структуры основной области синхронизации при увеличении запаздывания в канале связи (конечномерная модель) 101
3.5 Бифуркационные переходы и особенности формирования мультистабильности в системе с запаздыванием 116
3.6 Выводы к главе 3 130
Заключение 131
Благодарности 133
Список литературы 134
- Комплекс программ для численного простроения карт динамических режимов с учетом мультистабильности
- Условия потери устойчивости и формирования мультистабильности
- Характерные бифуркации в системе. Бифуркационная структура пространства параметров системы и особенности формирования мультистабильности
- Изменение бифуркационной структуры основной области синхронизации при увеличении запаздывания в канале связи (конечномерная модель)
Комплекс программ для численного простроения карт динамических режимов с учетом мультистабильности
Генератор ван дер Поля с запаздывающей обратной связью является одной из базовых моделей нелинейной динамики [25], демонстрирующей колебательные режимы и бифуркационные переходы, характерные для автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью различной природы, например, генераторов СВЧ диапазона [42], [75], [76], лазеров [44]- [47], медико-биологических [77], [78] и других систем.
Изучение особенностей динамики осциллятора ван дер Поля с запаздывающей обратной связью привлекало и привлекает внимание многих исследователей (см., например, [23], [25], [61], [63], [79]- [82]).
Уже давно и подробно исследовано поведение системы в окрестности точки бифуркации, выявлено разбиение пространства параметров системы на отдельные зоны генерации, внутри которых возникают автоколебания на различных частотах, исследовано влияние вариации управляющих параметров на характеристики возбуждаемых колебаний. Отмечено, что имеются области, в которых сосуществует множество аттракторов. Однако, при этом остается открытым вопрос, каким образом протекает процесс формирования мультистабильных состояний, какие при этом бифуркации претерпевают состояние равновесия и предельные циклы. Также представляется интересным исследовать динамику системы при больших значениях параметра надкритичности, вдали от точки рождения предельного цикла. Таким образом, в рамках первой главы будет проведен двухпараметрический анализ динамики рассматриваемой системы в широком диапазоне значений управляющих параметров и выявлен бифуркационный механизм формирования мультистабильности.
Для большей достоверности, уточнения и дополнения результатов, полученных для осциллятора ван дер Поля, в рамках первой главы также проводится бифуркационный анализ осциллятора Ландау - Стюарта с запаздыванием в цепи обратной связи. Данная модель часто используется для моделирования физических процессов, например, СВЧ-электроники (см. работы [3], [42] и литературу в них), а также в качестве нормальной формы бифуркации Андронова — Хопфа. Между рассматриваемыми системами существует соответствие „предельный цикл — состояние равновесия" и „тор — предельный цикл", что позволяет избежать трудностей, возникающих при бифуркационном анализе торов в осцилляторе ван дер Поля с запаздыванием.
Необходимо отметить, что осциллятор Ландау — Стюарта с запаздывающей обратной связью является автоколебательной системой, в которой возможно сосуществование устойчивых состояний равновесия и предельных циклов. В ранее проводившихся исследованиях отмечалось наличие нескольких сосуществующих устойчивых колебательных режимов при определенном выборе значений управляющих параметров [40], [41], [43]. Рассматривались задачи о возникновении мультистабильности при больших временах запаздывания [48] - [51]. Однако детального анализа последовательности бифуркаций, приводящих к появлению муль-тистабильных состояний, при малом и умеренном запаздывании в кольце обратной связи не проводилось. Поэтому представляется важным выявить закономерности формирования мультистабильных состояний в данной системе. 1.2. Комплекс программ для численного простроения карт динамических режимов с учетом мультистабильности
Моделирование динамики систем с запаздыванием является сложной задачей. Это связано с бесконечным числом степеней свободы. Поэтому для моделирования таких систем и получения достоверных результатов необходимо использовать совокупность нескольких методов: построение временных реализаций и фазовых портретов, расчет спектров, вычисление собственных значений и мультипликаторов, средства бифуркационного анализа.
Для построения временных реализаций и фазовых портретов ислледуемых в работе систем необходимо численно интегрировать дифференциально-разностные уравнения. Поэтому при задании начальных условий необходимо указать вид функции, задающей зависимость динамической переменной на отрезке времени t Є [—т;0]. Зная значения динамических переменных на интервале запаздывания, можно рассматривать задачу как обыкновенное дифференциальное уравнение с зависящей от времени правой частью. Решая это уравнение, можно определить значения динамических переменных на интервале t Є [0;т]. Полученные значения можно использовать в качестве начальных условий для решения уравнения на следующем интервале времени t Є [т;2т]. Продолжая выполнять описанные действия для последующих интервалов времени, получаем рекурсивный алгоритм для решения уравнения с запаздыванием. Для численного интегрирования исследуемых в работе систем использовался модифицированный метод Рунге-Кутта 4 порядка. Для задания начального состояния системы интервал (1.1) где At - шаг дискретизации численного метода. Таким образом, бесконечномерная система искусственно приводится к TV-мерной. Рассмотрим пример с математической моделью генератора ван дер Поля с запаздыванием в цепи обратной связи. В системе присутствует две динамические переменные. Коэффициенты метода Рунге-Кутта при этом вычисляются следующим образом:
Условия потери устойчивости и формирования мультистабильности
Колебательные режимы и бифуркационные переходы, наблюдаемые на базе цикла С\ (лист Ь\ на рис. 1.7), отличаются от динамики системы на других листах, при больших значениях задержки в цепи обратной связи. На рис. 1.11 представлена карта режимов для семейства Ь\, которое образуется на базе предельного цикла С\ в результате последовательности мягких бифуркаций и при наследовании начальных условий. Рождается этот цикл из неподвижной точки Р таким же образом, что и другие устойчивые предельные циклы (02,Сз,04,...) на других листах (L2, L3,L4,...). А именно, на отрезке аЪ линии llah наблюдается суперкритическая бифуркация Андронова-Хопфа, неподвижная точка теряет устойчивость, и в ее окрестности рождается устойчивый предельный цикл. Правее точки Ь на линии llah из седлового состояния равновесия рождается седловой предельный цикл С\, который становится устойчивым в заштрихованной области плоскости параметров при пересечении линии llns в результате субкритической бифуркации Неймарка-Сакера. При перемещении по плоскости параметров с увеличением є наблюдается не только рождение притягивающего двумерного тора Т\ и переход к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний, но и другие, в отличие от семейства на базе цикла С , последовательности бифуркационных переходов. На рис. 1.11 видно, что в верхней области плоскости параметров граница устойчивости цикла С состоит из отрезков линий красного цвета и отрезков линий синего цвета. При пересечении линий красного цвета происходит суперкритическая бифуркация Неймарка-Сакера, предельный цикл С\ теряет устойчивость, и в его окрестности рождается притягивающий двумерный тор Т\. При дальнейшей вариации параметров с увеличением подкачки происходит переход к хаосу через разрушение квазипериодических колебаний. Область хаотических колебаний для данного семейства режимов на рис. 1.11 обозначена А\. Области пространства параметров, нижняя часть которых ограничена линиями синего цвета, устроены более сложным образом. На рисунке они обозначены римскими цифрами /, II, III, IV, V, VI. Проведем бифуркационный анализ режимов в одной из таких областей, а именно, в области III в сечении Td = 1.16 при изменении параметра подкачки е.
На рис. 1.12 построена бифуркационная диаграмма на базе цикла С\ при изменении параметра є и постоянном времени задержки т = 1.16. Предельный цикл С\ является устойчивым в интервале значений є от 3.457 до 6.106. При переходе через верхнюю границу устойчивости (на диаграмме отмечено точкой Ър) старший мультипликатор цикла переходит через +1, однако при этом цикл не исчезает, а становится седловым. Происходит суперкритическая бифуркация вил, в результате которой в окрестности потерявшего устойчивость цикла С\ рождается пара устойчивых предельных циклов С\ и С\. Проекции фазовых портретов соответствующих предельных циклов показаны на рис. 1.13. Симметричные друг другу циклы наблюдаются в устойчивом виде до значения є = 6.31. При переходе через это значение старший мультипликатор циклов С\ и С\ переходит через -1, происходит бифуркация удвоения периода. Циклы становятся седловыми, а в их окрестности рождаются устойчивые циклы удвоенного периода 2С\ и 2С\. Дальнейшей цепочки удвоений периода не наблюдается. При є = 6.559 происходит обратная бифуркация удвоения периода, устойчивые циклы 2С\ и 2С\ стягиваются в циклы С\ и Cf, после чего они становятся устойчивыми. С ростом параметра при є = 6.571 каждый из циклов (С{ и Cf) претерпевает суперкритическую бифуркацию Неймарка-Сакера. Циклы становятся седловыми, и в их окрестности рождаются притягивающие двумерные торы Т/ и Tf. Эти два режима квазипериодических колебаний наблюдаются в ограниченном диапазоне параметров и разрушаются. В результате формируются хаотические аттракторы А\ и А\. Дальнейшее увеличение параметра є приводит к их объединению с хаотическим аттрактором А\, сформировавшимся на базе предельного цикла С\, в точке Ь = 6.602. Для того, чтобы проследить возникновение хаотического аттрактора А\, рассмотрим среднюю ветвь бифуркационный диаграммы на рис. 1.12. Как уже отмечалось, цикл С\ после бифуркации вил при є = 6.106 стал седловым с одномерным неустойчивым многообразием. С ростом параметра накачки в точке bsp = 6.311 старший мультипликатор цикл С\ входит в единичную окружность через +1, цикл становится устойчивым, а в его окрестности рождается пара седловых симметричных циклов С\ и С\. При обратном движении по параметру это соответствует субкритической бифуркации вил. Далее в точке bns = 6.512 с устойчивым циклом С\ происходит суперкритическая бифуркация Неймарка-Сакера, цикл становится седловым и в его окрестности рождается притягивающий двухмерный тор Т\. Увеличение параметра є приводит к разрушению тора и образованию хаотического аттрактора А\ в точке btb = 6.562. Далее, как уже отмечалось выше, имеет место объединение хаотически аттракторов А\1А\1А\ и формирование А- . Других бифуркаций в рассматриваемом диапазоне изменений є не наблюдается.
Характерные бифуркации в системе. Бифуркационная структура пространства параметров системы и особенности формирования мультистабильности
Из анализа собственных значений следует, что неподвижная точка Е является седло-фокусом, у которого две пары комплексно-сопряженных собственных значений имеют положительные действительные части, и два других собственных значения являются действительными и отрицательными. Анализ мультипликаторов циклов показывает, что седловые циклы Сза и Сзь имеют трехмерные устойчивые и трехмерные неустойчивые многообразия. Седловой цикл С имеет четырехмерное устойчивое и двухмерное неустойчивое многообразия. Устойчивый цикл С\ и седловой цикл С 2 являются резонансными циклами, лежащими на двухмерном торе. При выходе из области синхронизации Si с изменением расстройки по собственным частотам р и фиксированном значении коэффициента связи є резонансные циклы Сі и Сч сближаются друг с другом, на бифуркационных линиях они сливаются. Здесь один из мультипликаторов каждого цикла становится равным +1, и за точкой бифуркации они исчезают в результате седло-узловой бифуркации. В фазовом пространстве существует двухмерный эргодический тор, фазовые траектории на нем нигде не замыкаются, наблюдаются квазипериодические колебания. При выходе из области синхронизации Si седовые циклы Сза, С ъ и седловая точка Е не претерпевают каких-либо бифуркаций и имеют трехмерные устойчивые и трехмерные неустойчивые многообразия. В области квазипериодических колебаний Q фазовый портрет состоит из притягивающего эргодического тора, седловых предельных циклов Сза,Сзь и неустойчивой неподвижной точки Е. На плоскости параметров при пересечении ISN,1 SN потеря (или возникновение) синхронизации происходит через седло-узловую бифуркацию резонансных циклов на торе. Область Si часто называют областью захвата, а процесс возникновения синхронных колебаний - синхронизацией через захват.
При выходе из области Si с увеличением коэффициента связи є синхронные колебания сохраняются, соответсвующий им устойчивый предельный цикл С\ никаких бифуркаций не претерпевает, однако при переходе из области Si в область Ss происходит разрушение резонансного двухмерного тора, который образован замыканием неустойчивых многообразий седлового цикла С на устойчивый цикл С\.
При увеличении коэффициента связи на линии ISR происходит субкритическая бифуркация вил. Седловые циклы С\а и С% приближаются к седловому циклу С 2 и влипают в него при значениях параметров на линии ISR. Выше бифуркационной точки седловой цикл С 2 остается, но имеет другой характер устойчивых и неустойчивых многообразий. Анализ мультипликаторов этих циклов показывает, что до бифуркационной точки седловые циклы Сза,Сзь имеют трехмерные устойчивые и трехмерные неустойчивые многообразия. Седловой цикл С имеет четырехмерные неустойчивые и двухмерные устойчивые многообразия, которые замыкаются на устойчивый предельный цикл, образуя двухмерный тор. После субкритической бифуркации вил седловой предельный цикл имеет трехмерные устойчивые и трехмерные неустойчивые многообразия. Это ведет к разрушению двумерного тора, на котором располагаются резонансные циклы. Для значений параметров из области, ограниченной бифуркационными линиями ISR и І2Н, фазовый портрет системы состоит из неустойчивой неподвижной точки Е, седлового предельного цикла С 2 и устойчивого предельного цикла С\. Выше бифуркационной линии ISR двухмерный тор не существует, он разрушается при субкритической бифуркации вил седлового предельного цикла (.
При дальнейшем увеличении значений коэффициента связи размер седлового предельного цикла уменьшается. На бифуркационной линии І2Н предельный цикл стягивается в неустойчивую неподвижную точку Е, наблюдается бифуркация Андронова-Хопфа. До бифуркации неподвижная точка Е имеет две пары комплексно-сопряженных собственных значений с положительными действительными частями и два действительных отрицательных собственных значения. После бифуркации точка Е имеет пару комплексно-сопряженных собственных значений с положительными действительными частями и пару комплексных собственных значений с отрицательными действительными частями, еще два действительных собственных значения остаются отрицательными. При сильной связи, выше линии І2н в области Ss, в фазовом пространстве существуют устойчивый предельный цикл С\ и неустойчивая неподвижная точка Е. Область синхронизации Ss часто называют областью подавления. В этом случае увеличение расстройки по собственным частотам (изменение параметра р) приводит к эффекту гашения колебаний (амплитудной смерти). С увеличением или уменьшением расстройки р размер предельного цикла плавно уменьшается, цикл стягивается в неподвижную точку Е в начале координат. При переходе из области Ss в область AD неподвижная точка Е превращается из неустойчивого седло-фокуса в устойчивый фокус, происходит супекритическая бифуркация Андронова-Хопфа. В области AD в фазовом пространстве имеется только один аттрактор - устойчивая неподвижная точка Е. Автоколебания отсутствуют, увеличение связи и расстройки по собственным частотам приводит к их подавлению, несмотря на то, что каждая из подсистем в отсутствии связи находится в возбужденном состоянии.
Изменение бифуркационной структуры основной области синхронизации при увеличении запаздывания в канале связи (конечномерная модель)
В настоящей главе предложены новые модели генераторов с инерционной нелинейностью, отличающиеся учетом запаздывания в канале связи. Рассмотрено две модели систем с запаздыванием: в виде дифференциально-разностных уравнений и в виде конечномерной системы, полученной в приближении малого запаздывания. Выявлено, что в конечномерной системе возникает мультистабильность, в фазовом пространстве сосуществуют устойчивые предельные циклы, соответствующие синфазной и противофазной синхронизации. Показано, что введение запаздывания существенно меняет картину синхронизации. С увеличением времени задержки в канале связи характерная структура языка синхронизации сохраняется только при малых значениях коэффициента связи. При больших значениях коэффициента связи наблюдается явление широкополосной синхронизации, для любых значений расстройки наблюдается устойчивый предельный цикл, вторая независимая частота не возбуждается.
Анализ динамики исходной системы также показал наличие мульти-стабильности, для малого запаздывания были выявлены схожие с конечномерной моделью бифуркационные переходы и структуры на плоскости управляющих параметров. Однако, для случая большого запаздывания наблюдаются существенные различия. Увеличение запаздывания приводит к расширению и перекрытию областей амплитудной смерти, подавление колебаний для больших значений коэффициента связи наблюдается для любых расстроек по собственным частотам.
Основные результаты и выводы диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:
1. Развиты математические модели бифуркационных механизмов формирования мультистабильности в автономных системах с запаздыванием, что позволило выявить механизм формирования мультистабильности.
2. Построена модель взаимодействующих генераторов с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи в виде дифференциально-разностных уравнений.
3. Построена модель взаимодействующих генераторов с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи в виде обыкновенных дифференциальных уравнений для случая малого запаздывания.
4. На основе математических моделей построены разностные схемы и эффективные алгоритмы для систем с запаздыванием, отличающиеся учетом массива значений переменной на интервале запаздывания, что позволило провести исследование мультистабильных состояний.
5. Реализован комплекс программ для численного моделирования мультистабильности и синхронизации в системах с запаздыванием, что позволило провести исследование динамики рассматриваемых систем в широком диапазоне управляющих параметров.
6. Впервые проведен совместный анализ полной и укороченной математических моделей генератора с запаздывающей обратной связью, что позволило выявить механизм формирования мультистабильности. При вариации управляющих параметров неподвижная точка в фазовом пространстве многократно претерпевает суперкритическую бифуркацию Андронова-Хопфа, что ведет к увеличению числа сед-ловых циклов. После первой бифуркации рождается устойчивый предельный цикл, а после каждой последующей - седловой предельный цикл. Устойчивость они приобретают после каскада субкритических бифуркаций Неймарка-Сакера.
7. В результате комплексного исследования неидентичных генераторов с запаздывающими обратными связями обнаружено явление мультистабильности, построены карты динамических режимов с учетом мультистабильности, проведен бифуркационный анализ.
8. Показано наличие мультистабильности в предложенных генераторах с инерционной нелинейностью с запаздыванием в канале связи. Выявлено, что введение запаздывающей диссипативнои связи приводит к тому, что явление синхронизации наблюдается только для малых значений коэффициента связи. Показано, что увеличение запаздывания в канале связи между генераторами с инерционной нелинейностью приводит к расширению и перекрытию областей амплитудной смерти, подавление колебаний при этом может происходить при отсутствии расстройки по собственным частотам.
Выражаю глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю профессору Владимиру Владимировичу Астахову за многолетнее научное руководство и всестороннюю поддержку. Благодарю профессора Л.А. Мельникова, профессора Н.М. Рыскина и к.ф.-м.н. СВ. Астахова за полезные замечания и обсуждение.
