Содержание к диссертации
Введение
1 Исследование существующего математического и программного обеспечения геометрического моделирования процессов намотки . 9
1.1 Анализ предметной области 9
1.2 Выводы 17
2 Математическая модель линии укладки нити и ровницы на поверхности произвольной формы 19
2.1 Вводные замечания 19
2.2 Математическая модель линии укладки нити на поверхности произвольной формы 20
2.3 Оценка точности численного интегрирования линии укладки и алгоритм выбора шага интегрирования 50
2.4 Определение фрагмента линии укладки проходящей через две точки, в которых заданы касательные к линии укладки 61
2.5 Определение положений нитераскладывающего механизма намоточного станка при намотке ровницы 70
2.6 Выводы 77
3 Математические вопросы точности процесса формования изделий методом намотки 79
3.1 Математическое моделирование процесса укладки нити на гладкую поверхность произвольной формы 79
3.2 Математическое моделирование влияния малых возмущений на точность формования изделий при намотке на оправки произвольной формы 87
3.2.1 Постановка задачи 87
3.2.2 Использование системы первого приближения для оценки влияния малых возмущений траектории точки схода нити на линию укладки 92
3.2.3 Использование специальной системы координат для оценки влияния малых возмущений траектории точки схода нити на линию укладки 107
3.3 Выводы 129
4 Программное обеспечение геометрического моделирования процессов намотки 131
4.1 Алгоритмы геометрического моделирования процессов намотки 131
4.1.1 Алгоритм определения линии постоянного отклонения из точки, с полностью заданными граничными условиями до пересечения с координатной линией 131
4.1.2 Алгоритм определения угла геодезического отклонения для линии постоянного отклонения, соединяющей две точки на регулярной поверхности, при полностью заданных граничных условиях для одной из крайних точек 134
4.1.3 Алгоритм решения двухточечной краевой задачи для линии постоянного отклонения 141
4.2 Использование алгоритмов построения линии укладки в системах автоматизированного программирования намоточных станков с ЧПУ 147
Заключение 166
Литература 168
Листинги программных модулей 181
- Математическая модель линии укладки нити на поверхности произвольной формы
- Определение положений нитераскладывающего механизма намоточного станка при намотке ровницы
- Использование системы первого приближения для оценки влияния малых возмущений траектории точки схода нити на линию укладки
- Алгоритм определения угла геодезического отклонения для линии постоянного отклонения, соединяющей две точки на регулярной поверхности, при полностью заданных граничных условиях для одной из крайних точек
Математическая модель линии укладки нити на поверхности произвольной формы
Первое из ограничений (1.6), с одной стороны (С 0) обеспечивает неубывание угла закручивания (О а я ), ас другой стороны (С г) учитывает выражение (1.2). Второе из ограничений (1.6) используется при г" 0 и обеспечивает прилегание нити к поверхности оболочки. Оно следует из формулы Эйлера [92] и смысл его заключается в том, что нить прилегает к поверхности вращения с вогнутой образующей только в том случае, если угол ее намотки не меньше некоторого предельного. Для оптимизации по критерию (1.5) может использоваться известный метод дискретного динамического программирования, который, как показано в [72, 87], имеет простую схему и легко программируется, однако требует больших затрат оперативной памяти и времени счета ЭВМ.
Дальнейшее развитие методов расчета линий укладки получило в работах ученых Новочеркасского политехнического института Шукшунова В.Е., Чикильдина Я.Я., Душенко А.Г., Алексейчика В.В, Моргуна А.Н., Иванченко А.Н. и других авторов [6, 12, 28, 29, 90]. В основном исследования этих авторов были направлены на решение дифференциального уравнения (1.3) для конкретных типов поверхностей вращения.
В частности, в [12] был предложен быстродействующий алгоритм построения максимально устойчивых линий укладки для оболочек вращения с вогнутой образующей, а в [6] использовались кривые второго порядка для аналитического описания линии укладки на поверхностях вращения выпуклой формы.
Позднее возникла необходимость в создании методов построения линии укладки на поверхностях произвольной формы. В литературе известна система дифференциальных уравнений, описывающая геодезическую линию на поверхности произвольной формы [52]. Однако вопросу расчета не геодезической линии укладки к настоящему времени посвящено очень небольшое количество работ. Так, нам известна только одна математическая модель, позволяющая строить не геодезическую линию укладки на произвольной поверхности. Эта модель была опубликована в статье [47] и представляет собой не симметричную систему дифференциальных уравнений.
Известны методы определения положения ленты постоянной ширины на поверхностях вращения, основанные на расчете положения средней нити [27]. В [46] решается задача определения положения ленты постоянной ширины на поверхности произвольной формы при наличии предзаданной линии укладки средней нити ленты. Для намотки препрегом, поскольку его ширина практически постоянна, такой подход оправдан. Но при намотке ровницей сохранение постоянства ширины ленты неэффективно, так как не обеспечивает равномерности распределения армирующего материала по поверхности оправки. Так, при намотке изделий не цилиндрической формы лентой постоянной ширины, на оправке образуются зазоры (рис 1.1) и нахлесты (рис 1.2).
Существующий метод изменения ширины укладываемой ленты [12], заключающийся в задании закона изменения угла поворота укладчика вокруг вектора касательной к линии укладки, удобно применять в случае, когда ширина ленты на поверхности не задана. Например, такая ситуация может возникнуть при предварительном определении положения ленты на сложной поверхности. Для этого случая необходимо использование математической модели, определяющей линию укладки нити на поверхности сложной формы в зависимости от траектории точки схода нити. Если же ширина ленты на поверхности задана, то использование такого метода не всегда удобно.
Известные математические модели, предназначенные для определения линии укладки при заданных движениях рабочих органов [86], применимы только для поверхностей вращения с узким классом образующих, участки которых могут быть описаны кривыми второго порядка или основаны на приближенных геометрических моделях.
Вопрос построения траектории движения точки схода нити рассмотрен в теоретических трудах [24, 25, 39, 55, 71, 86, 90]. Вопрос определения законов движения рабочих органов намоточного станка рассмотрен в теоретических трудах [6, 7, 12, 14, 21, 27, 35, 56, 64, 65]. Эти два вопроса в данной работе не рассматривается.
Прочностные качества готового изделия из композиционных материалов можно оценить только путем натурного эксперимента. При этом, для достижения достоверных сведений о качестве изделий определенного вида (с характерной формой оправки, определенным рисунком намотки и т. д.), необходимо обеспечить повторяемость характеристик изделий данного вида, в том числе минимизировать погрешности намоточного процесса. Для точности реализации линии укладки может быть использована математическая модель процесса намотки нити, оценивающая отклонение реализуемой линии укладки от программной. Однако уравнения, определяющие погрешности воспроизведения линии укладки, приведенные в работе [17], получены при допущениях, которые не всегда выполняются. Например, если производится намотка сферы и точка схода всегда находится на постоянном расстоянии (то есть точка схода всегда находится на сфере большого радиуса), то длина свободной нити всегда постоянна, следовательно, Л- - / = О . Можно указать такие вариации точки схода ленты, при этом точка схода не находится на сфере К, что Я-1 будет малой второго порядка. Поэтому, предположение о том, что Л I малая первого порядка при всех вариациях и всех изделий не верно.
Определение положений нитераскладывающего механизма намоточного станка при намотке ровницы
На основании полученных в диссертационной работе результатов, создан программный комплекс геометрического моделирования процесса намотки. Комплекс включает в себя: модуль построения линии укладки при заданном угле геодезического отклонения; модуль построения линии укладки из фрагментов, для которых заданы граничные условия; модуль определения шага интегрирования; модуль построения линии укладки крайних нитей ровницы и определения положений исполнительного органа НС; модуль построения линии укладки на основании заданной траектории ТСН; модуль построения линии укладки при возмущении траектории ТСН.
Модули разработаны на языке программирования Object Pascal среды разработки Delphi 5. Для отображения промежуточных и окончательных результатов работы модулей использована библиотека трехмерной графики OpenGL.
Этот комплекс включен в состав системы автоматизированного программирования намоточных станков с ЧНУ (САП НС), внедренной в Центральном научно-исследовательском институте специального машиностроения (г. Хотьково, Московской обл.)
Использование алгоритмов, разработанных на основе полученных в диссертационной работе математических моделей, позволяет более равномерно располагать армирующий материал для изделий цилиндрической формы, например - труб.
При намотке труб на оправке выделяется три части: рабочая зона и две технологические зоны. Технологические зоны предназначены для разворота линии укладки и их длина зависит от максимально допустимого угла геодезического отклонения. В существующих САП НС линия укладки на рабочей зоне строится при постоянном угле геодезического отклонения. После отверждения изделия армирующий материал, располагаемый на технологических зонах, может быть удален или использован для соединения с другими трубами.
В известных САП НС намотки труб, участки линии укладки, расположенные на технологических зонах, в настоящее время строятся как показано на рис. 4.5 Участки АВ и СБ строятся при постоянном угле геодезического отклонения. Длина участка геодезической линии ВС зависит от выбранного рисунка намотки. При укладке армирующего материала происходит наложение участков ВС различных периодов линии укладки. Это приводит к тому, что армирующий материал скапливается на фланцах изделия (рис. 4.6). Такое скопление, при большом количестве армирующего материала, неустойчиво.
Для более равномерного распределения (рис. 4.7), точку разворота для разных витков имеет смысл располагать на разных поперечных сечениях. Развертку технической зоны, для этого случая, схематично можно представить в виде рис.4.8 (варьируется параметр Ь). Для сохранение конструктивных характеристик требуется сохранить рисунок намотки на рабочей зоне. Это требование означает необходимость сохранения углов намотки и «ширины» участка разворота /, поэтому для построения участка разворота желательно использовать алгоритм решения двухточечной краевой задачи построения фрагмента линии укладки. На рис 4.9 представлена развертка трубы с рассчитанной линией укладки одного витка. На рис. 4.10 приведен результат работы модуля. На рис. 4.11 приведена развертка трубы при вариации точкой разворота. Рис 4.12 приведен результат работы модуля для такого случая. На рисунке 4.13 приведена главная форма модуля. В связи с отсутствием САП НС для намотки изделий, не являющихся телами вращения, намотка фитингов до настоящего времени проводилась на специальных станках, предназначенных для намотки только такого класса изделий. Разработанный модуль расчета линии укладки на таких поверхностях позволяет проводить намотку на обычном намоточном станке с ЧПУ (например, КУ-489). Исходными данными для работы модуля являются: Габариты фитинга. Количество з астков линии укладки строящихся на оправке. Углы намотки, равные для всех участков линии укладки на сечении А (рис 4.14). Углы намотки, равные для всех участков линии укладки на сечении Б. Углы намотки, равные для всех участков линии укладки на сечении В. Для построения участка линии укладки применяется алгоритм решения задачи построения фрагмента линии укладки, проходящей через две точки с заданными касательными в этих точках. На рис 4.15 приведен результат работы модуля. Модуль САП НС, ориентированный на поверхности вращения с выпукло-вогнутой формой образующей предназначен для намотки баллонов давления, корпусов двигателей и т. п. При намотке подобных изделий конструктором задается количество углов намотки (не менее двух), их значение и расположение на поверхности оправки. Кроме того, задается максимально допустимый тангенс угла геодезического отклонения по абсолютному значению. Для построения линии укладки необходимо использовать второй способ, то есть строить линии укладки при заданных краевых условиях. Пусть, например, количество углов намотки равно двум и эти углы заданы на двух поперечных сечениях оболочки А и Б (рис. 4.16).
Использование системы первого приближения для оценки влияния малых возмущений траектории точки схода нити на линию укладки
Таким образом, необходимость развития существующих и разработк новой системы автоматизированного программирования для новых классо поверхностей определяет актуальность разработки нового математическог и программного обеспечения для геометрического моделирования процесс намотки.
Целью диссертационной работы является разработк математического и программного обеспечения геометрическог моделирования процесса намотки, а именно линий укладки нитей ленть определяемой на основании изменяемого угла геодезического отклонени или на основании заданных движений рабочих органов намоточного станкг
Поставленная цель и сформулированные проблемы потребовал решения следующих теоретических и прикладных задач: разработку математической модели, в форме систем] дифференциальных уравнений, линии укладки нити на поверхности; разработку алгоритма формирования фрагментов линии укладки, дл которых заданы граничные условия; расчет рабочих положений исполнительного органа намоточног станка, обеспечивающих намотку ровницы на поверхность таки] образом, чтобы уменьшить зазоры и нахлесты витков ровницы; создание математической модели линии укладки нити, реализуемо заданными движениями рабочих органов станка; создание математической модели линии укладки при малых отклонениях реализуемых от программных траекторий движений рабочих органов станка от заданных траекторий; алгоритм выбора шага интегрирования системы, описывающей линию укладки; разработку программного обеспечения для создания системы автоматизированного программирования намоточных станков для намотки поверхности; Методы исследования. Поставленные в работе теоретические задачи решены методами дифференциальной геометрии с привлечением математического анализа и дифференциальных уравнений. В прикладной части работы, при разработке программного обеспечения, применены методы теорий вычислений, решения обыкновенных дифференциальных уравнений, линейной алгебры, теории матриц, средства машинной графики. Научная новизна работы заключается: в разработанной математической модели линии укладки в форме системы дифференциальных уравнений, описывающей линию укладки на поверхности при заданном законе изменения угла геодезического отклонения; в разработанном алгоритме построения фрагментов линии укладки на поверхности произвольной формы при заданных краевых условиях и допустимом угле геодезического отклонения; в разработанном алгоритме расчета линий движения исполнительного органа намоточного станка, реализующего намотку ровницы с изменяемой шириной; в новой математической модели, в форме системы дифференциальных уравнений, определяющей линию укладки нити по заданной траектории движения исполнительного органа намоточного станка (модель процесса намотки); в новой математической модели, определяющей линию укладки в системе координат, связанной с программной линией укладки при малых отклонениях траекторий движения рабочих органов станка от программных траекторий. Практическая значимость состоит в создании математических моделей процесса намотки на произвольные поверхности и разработанных на их основе программных модулях, использованных в системе автоматизированного программирования намоточных станков. Реализация работы. Разработанные алгоритмы и программы моделирования процесса намотки включены в состав системы автоматизированного программирования намоточных станков, внедренной в Центральном научно-исследовательском институте специального машиностроения (г. Хотьково, Московской обл.). Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях: «Слоистые композиционные материалы - 2001» (Волгоград, 2001); «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике» (Новочеркасск, 2001). «Новые технологии управления движением технических объектов» (Новочеркасск, 2001) Также апробация работы проводилась на научных семинарах ЮРГТУ (НПИ) Публикации. Результаты теоретических и практических исследований были опубликованы в 6-х научных статьях. На защиту выносятся; математическая модель линии на поверхности, позволяющая определить линию укладки нити при заданном законе изменения угла геодезического отклонения; алгоритм построения линии укладки из фрагментов, для которых заданы граничные условия; алгоритм определения положений исполнительного органа намоточного станка, реализующих намотку ровницы при заданном законе изменения её ширины; математическая модель линии укладки нити, реализуемая заданными траекториями движения рабочих органов намоточного станка, математическая модель линии укладки (в системе координат, связанной с программной линией укладки), реализуемой при малых отклонениях действительных от программных траекторий рабочих органов (РО) намоточного станка (НС), предназначенная для оценки точности реализации линии укладки.
Алгоритм определения угла геодезического отклонения для линии постоянного отклонения, соединяющей две точки на регулярной поверхности, при полностью заданных граничных условиях для одной из крайних точек
Первое из ограничений (1.6), с одной стороны (С 0) обеспечивает неубывание угла закручивания (О а я ), ас другой стороны (С г) учитывает выражение (1.2). Второе из ограничений (1.6) используется при г" 0 и обеспечивает прилегание нити к поверхности оболочки. Оно следует из формулы Эйлера [92] и смысл его заключается в том, что нить прилегает к поверхности вращения с вогнутой образующей только в том случае, если угол ее намотки не меньше некоторого предельного. Для оптимизации по критерию (1.5) может использоваться известный метод дискретного динамического программирования, который, как показано в [72, 87], имеет простую схему и легко программируется, однако требует больших затрат оперативной памяти и времени счета ЭВМ.
Дальнейшее развитие методов расчета линий укладки получило в работах ученых Новочеркасского политехнического института Шукшунова В.Е., Чикильдина Я.Я., Душенко А.Г., Алексейчика В.В, Моргуна А.Н., Иванченко А.Н. и других авторов [6, 12, 28, 29, 90]. В основном исследования этих авторов были направлены на решение дифференциального уравнения (1.3) для конкретных типов поверхностей вращения.
В частности, в [12] был предложен быстродействующий алгоритм построения максимально устойчивых линий укладки для оболочек вращения с вогнутой образующей, а в [6] использовались кривые второго порядка для аналитического описания линии укладки на поверхностях вращения выпуклой формы.
Позднее возникла необходимость в создании методов построения линии укладки на поверхностях произвольной формы. В литературе известна система дифференциальных уравнений, описывающая геодезическую линию на поверхности произвольной формы [52]. Однако вопросу расчета не геодезической линии укладки к настоящему времени посвящено очень небольшое количество работ. Так, нам известна только одна математическая модель, позволяющая строить не геодезическую линию укладки на произвольной поверхности. Эта модель была опубликована в статье [47] и представляет собой не симметричную систему дифференциальных уравнений.
Известны методы определения положения ленты постоянной ширины на поверхностях вращения, основанные на расчете положения средней нити [27]. В [46] решается задача определения положения ленты постоянной ширины на поверхности произвольной формы при наличии предзаданной линии укладки средней нити ленты. Для намотки препрегом, поскольку его ширина практически постоянна, такой подход оправдан. Но при намотке ровницей сохранение постоянства ширины ленты неэффективно, так как не обеспечивает равномерности распределения армирующего материала по поверхности оправки. Так, при намотке изделий не цилиндрической формы лентой постоянной ширины, на оправке образуются зазоры (рис 1.1) и нахлесты (рис 1.2).
Существующий метод изменения ширины укладываемой ленты [12], заключающийся в задании закона изменения угла поворота укладчика вокруг вектора касательной к линии укладки, удобно применять в случае, когда ширина ленты на поверхности не задана. Например, такая ситуация может возникнуть при предварительном определении положения ленты на сложной поверхности. Для этого случая необходимо использование математической модели, определяющей линию укладки нити на поверхности сложной формы в зависимости от траектории точки схода нити. Если же ширина ленты на поверхности задана, то использование такого метода не всегда удобно.
Известные математические модели, предназначенные для определения линии укладки при заданных движениях рабочих органов [86], применимы только для поверхностей вращения с узким классом образующих, участки которых могут быть описаны кривыми второго порядка или основаны на приближенных геометрических моделях.
Вопрос построения траектории движения точки схода нити рассмотрен в теоретических трудах [24, 25, 39, 55, 71, 86, 90]. Вопрос определения законов движения рабочих органов намоточного станка рассмотрен в теоретических трудах [6, 7, 12, 14, 21, 27, 35, 56, 64, 65]. Эти два вопроса в данной работе не рассматривается. Прочностные качества готового изделия из композиционных материалов можно оценить только путем натурного эксперимента. При этом, для достижения достоверных сведений о качестве изделий определенного вида (с характерной формой оправки, определенным рисунком намотки и т. д.), необходимо обеспечить повторяемость характеристик изделий данного вида, в том числе минимизировать погрешности намоточного процесса. Для точности реализации линии укладки может быть использована математическая модель процесса намотки нити, оценивающая отклонение реализуемой линии укладки от программной. Однако уравнения, определяющие погрешности воспроизведения линии укладки, приведенные в работе [17], получены при допущениях, которые не всегда выполняются. Например, если производится намотка сферы и точка схода всегда находится на постоянном расстоянии (то есть точка схода всегда находится на сфере большого радиуса), то длина свободной нити всегда постоянна, следовательно, Л- - / = О . Можно указать такие вариации точки схода ленты, при этом точка схода не находится на сфере К, что Я-1 будет малой второго порядка.
