Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор работ и состояние проблемы 25
1.1. Кинетическая модель и теоретическая оптимизация . 28
1.2. Учет влияния неопределенности в кинетических исследованиях 50
1.3. Моделирование реакторов и технологическая оптимизация 54
1.4. Задачи исследования С2
Глава 2. Математические и алгоритмические вопросы моделирования и теорети ческой оптимизации каталитических процессов 64
2.1. Математические модели кинетики многостадийных реакций G4
2.2. Математические модели оптимизации каталитических процессов 74
2.2.1 Вычислительные алгоритмы моделирования и оптимизации каталитических процессов 81
2.2.2 Сравнительная характеристика приближенных методов решения задач оптимизации процессов 94
2.3. Вычислительный эксперимент 98
2.3.1 Моделирование и оптимизация реакции олигомеризации а-метилстирола 98
2.3.2 Моделирование неизотермического процесса дегидрирования изопеитана 115
2.4. Выбор промышленного реактора по результатам теоретической оптимизации 122
Глава 3. Чувствительность результата теоретической оптимизации к вариации кинетических параметров 133
3.1. Анализ влияния неопределенности в константах равновесия на результаты теоретической оптимизации равновесных процессов 134
3.1.1 Обратимая реакция первого порядка: оптимальная температура, влияние неопределенности в константах равновесия 141
3.1.2 Последовательные обратимые реакции: анализ чувствительности к колебаниям констант равновесия 147
3.1.3 Параллельные обратимые реакции: вариация констант и оптимальная температура 155
3.2. Оптимизация нестационарных процессов в условиях неопределенности кинетических параметров 160
3.2.1 Обратимая реакция: анализ влияния неопределенности в кинетических параметрах на расчет оптималь ного температурного режима 165
3.2.2 Анализ чувствительности оптимального температур ного режима к колебаниям кинетических констант для последовательных реакций 174
3.2.3 Влияние неопределенности в кинетических константах на расчет оптимального температурного режима для параллельных реакций 179
Глава 4. Математические и алгоритмические вопросы моделирования и оптимизации процессов в каталитических реакторах 185
4.1. Математические модели гетерогенных процессов в катали
тических реакторах 185
4.2. Вычислительные алгоритмы оптимизации для задач с фазовыми ограничениями 194
4.3. Вычислительный эксперимент для промышленного процесса гидрирования а-пинена 206
4.3.1 Кинетическая и математическая модели 206
4.3.2 Анализ и выбор типа реакторов 210
4.3.3 Вариация режимных параметров 219
4.3.4 Результаты технологической оптимизации 221
Глава 5. Комплекс программ математического моделирования и оптимизации каталитических процессов 228
5.1. Принципы и средства разработки 228
5
5.2. Общие сведения о комплексе программ 233
5.2.1 Оболочка комплекса программ 238
5.2.2 Интерфейс программы 250
5.3. Модули, процедуры, функции 255
5.3.1 Модуль «Математическое моделирование гомогенных реакций в реакторе идеального смешения» 255
5.3.2 Модуль «Строковый анализатор» 259
Заключение 268
Литература
- Учет влияния неопределенности в кинетических исследованиях
- Математические модели оптимизации каталитических процессов
- Обратимая реакция первого порядка: оптимальная температура, влияние неопределенности в константах равновесия
- Вычислительные алгоритмы оптимизации для задач с фазовыми ограничениями
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Каталитические процессы распространены в природе и находят широкое применение в технике. В настоящее время свыше 90 процентов вводимых в действие многотоннажных химических процессов являются каталитическими. Каталитические реакции лежат в основе производства серной и азотной кислоты, аммиака, водорода, гидролизных и пищевых производств, в процессах нефтепереработки, гидрирования и дегидрирования углеводородов, получения полимеров. Перечень сфер использования катализа в технике этим не ограничивается. В последнее время он получил значительное распространение в решении энергетических проблем: каталитическое получение энергоемких веществ — водорода и кислорода, применение катализа в процессе сжигания топлива, каталитическое получение моторного топлива из угля и т.д. Такое широкое применение каталитических процессов обусловлено тем, что катализ является одним из важнейших способов интенсификации химических реакций. Кроме того, катализаторы позволяют направлять химическое превращение в сторону образования определенного продукта из нескольких возможных.
Исследование любого каталитического процесса состоит из последовательных этапов: формулировка цели и постановка задачи; изучение всей информации о процессе, начиная с молекулярного уровня; построение физико-химической структуры модели каталитического процесса; предварительное построение математической модели; создание математического
обеспечения; решение задач по поиску оптимальных режимных параметров процесса и оптимальных конструкционных параметров реактора; проведение вычислительных экспериментов в стационарных и нестационарных условиях; планирование натурного эксперимента; осуществление натурного лабораторного эксперимента; сопоставление результатов натурного и вычислительного экспериментов.
В результате проведения последовательности вышеперечисленных этапов возникает модель технологического объекта, готовая к промышленной реализации. Поэтому большую актуальность приобретает разработка программ моделирования каталитических процессов и реакторов, которые бы обладали большой гибкостью и универсальностью и могли при минимальной доработке быть применены для исследования любых сложных химико-технологических процессов. Особенно большое значение моделирующие программы имеют при оптимальном проектировании, когда требуется оценить оптимальные параметры проведения процессов в различных условиях.
Из множества предлагаемых на рынке программных средств моделирования химико-техпологических процессов и химико-технологических схем лидирующее место занимают следующие моделирующие программы: ASPEN PLUS, HYSYS (фирма AspenTechnology Inc., USA, , ), CHEMCAD (фирма Chemstations Inc., USA, Texas, ). Среди Российских программ следует отметить две разработки: КОМФОРТ(фирма ВНИИГАЗ) и GIBBS (фирма "Топэиергобизнес"). К достоинствам большинства из описанных пакетов следует отнести: обширные базы данных, включающие десятки тысяч ве-
ществ; развитый графический интерфейс, позволяющий достаточно просто создавать и изменять топологию технологических схем. Несмотря на их достоинства, применение подобных программ в ряде случаев затруднительно. Причинами могут быть: серьезные затраты на приобретение и поддержку программ (десятки - сотни тысяч долларов США); ограничение набора аппаратов типовыми или идеализированными моделями; невозможность использования оригинальных авторских разработок, в некоторых случаях, например, по кинетике каталитического превращения в реакторе.
Методические основы математического моделирования каталитических процессов были заложены в 60-70 годах в Институте катализа СО РАН в работах выдающихся отечественных ученых академика РАН Г.К. Борескова и чл.-корр. РАН М.Г. Слинько [30, 255, 256], а также зарубежных исследователей Н. Амундсопа и Р. Ариса [11, 12]. Они базировались на общей схеме математического моделирования, сформулированной академиком РАН А.А. Самарским [249, 250] и приведенной к задачам химической технологии М.Г. Слинько. В основе этой схемы лежит подход, заключающийся в расчленении сложного химико-технологического процесса на ряд составляющих (физических и химических), раздельное их изучение и последующий синтез общей математической модели из математических моделей отдельных частей сложного процесса.
Главным критерием правильного выбора математической модели является умение предсказывать поведение исследуемого объекта при изменении его параметров в достаточно широких пределах. Такими являются модели, которые построены на глубоком знании физико-химической сущности изучаемого процесса. В работах М.Г. Слинько [254], В.И. Быкова [37, 38J,
Г.С. Яблонского [302, 303, 304] , А.Н. Горбаня [82, 83], Г.М. Островского [224], Ю.С. Снаговского [268] показано, что кинетический уровень является основным уровнем описания химического реактора. Он включает перечисление реагентов, отдельных стадий превращения, задание скоростей стадий, характеризующих зависимости скорости элементарных реакций от концентраций реагирующих веществ, температуры и давления в достаточно широких областях, охватывающих условия реализации процесса. Эти зависимости, как правило, определяются экспериментально в условиях отсутствия искажающего влияния на скорость реакции процессов переноса вещества и тепла.
Острая необходимость в кинетических моделях возникает при осуществлении каталитических процессов в промышленности. Учитывая, что в промышленных процессах участвуют сотни различных веществ, реагирующих по многим направлениям (например, процессы нефтепереработки), построение кинетической модели из индивидуальных веществ становится нереалистичным из-за громоздкости системы. Поэтому при составлении кинетической модели промышленных процессов рационально пользоваться групповыми компонентами. Так как кинетическая модель дает всю необходимую информацию для моделирования и управления каталитическим реактором, то разработка моделей сложных процессов, адекватно отражающих механизмы их протекания и пригодных для практического использования, разработка методов, алгоритмов и программ их численного анализа является актуальной задачей.
Другой важной задачей является определение теоретического оптимального режима проведения реакции на основе кинетической модели. За-
дача теоретической оптимизации состоит в возможности дать оценки предельных показателей реальных технологий. Одними из первых исследований по оптимизации каталитических процессов и аппаратов были работы Г.К. Борескова, М.Г. Слинько [29, 30, 31, 255, 256], К. Денбига [311], Ф.М. Нагиева [217], Г.М. Островского, Ю.М. Волина [68, 71, 72], А.И. Бояри-нова [32], В.В. Кафарова [122, 123, 124, 127], B.C. Балакирева [17], B.C. Бескова, А.В. Федотова, В.И. Быкова [37, 38, 41, 290] и др. Но в исследованиях по оптимизации каталитических процессов остаются актуальными следующие задачи. Это увеличение числа принимаемых в расчет варьируемых параметров и различных технологических ограничений, которые влияют на процесс; использование более точных и, следовательно, более сложных математических моделей; разработка алгоритмов решения задач оптимизации с учетом ограничений на переменные управления и фазовые переменные. Вместе с тем, задачи оптимизации реальных каталитических процессов с учетом различных технологических ограничений изучены значительно меньше, несмотря на их практическую значимость.
Следует отметить, что теоретическая оптимизация проводится па основе кинетической модели, точность которой существенно зависит от значений входящих в нее параметров: констант скоростей реакций и энергий активации, определяемых из экспериментальных данных, т.е. априори содержащих в себе некоторую погрешность. Взаимосвязь между результатами оптимизации и неточностью кинетических параметров — задача недостаточно ясная даже для простых реакций [40,142,143, 144]. Актуальность ее решения определяется прежде всего запросами технологической практики, поскольку неопределенность в кинетических параметрах может при-
вести не просто к некоторому отклонению от выбранного пути реализации технологии, а к принципиальному изменению всей стратегии ведения процесса. Также важна и другая задача — получение гарантированных оценок, т.е. необходимо оценить размеры участка неопределенности оптимального режима, получаемого как результат неопределенности кинетических параметров при отсутствии информации статистического характера (закона распределения и т.п.) от исходных данных.
Работа посвящена решению этих актуальных проблем. Она имеет теоретическую направленность, а также содержит примеры практического использования предложенных моделей и методик для исследования и оптимизации каталитических процессов.
Цель работы. Данная работа преследует следующие цели.
Построение математических моделей химических реакций в присутствии катализатора с учетом физико-химических закономерностей.
Разработка комбинированных методов и алгоритмов решения задач оптимизации промышленных каталитических процессов, в том числе с учетом ограничений на технологические (фазовые), конструктивные параметры процессов и параметры управления.
Разработка алгоритмов анализа влияния неопределенности в кинетических константах па результаты оптимизации в равновесном и нестационарном случаях.
Создание комплекса программ численной реализации методов и алгоритмов на языках высокого уровня современных операционных систем на базе персональных компьютеров.
5. Проведение обширного вычислительного эксперимента для ряда промышленных каталитических процессов на базе разработанного комплекса программ.
Научная новизна. В настоящей работе впервые разработаны новые математические модели сложных и многостадийных каталитических реакций высокой размерности, учитывающие изменение свойств реакционной среды в ходе протекания химических реакций.
Для разработанных моделей сформулированы и решены задачи оптимального управления с ограничениями на переменные управления и фазовые переменные. В качестве метода решения предложен принцип максимума Понтрягина. Для численного решения краевых задач принципа максимума разработаны комбинированные алгоритмы, которые программно реализованы. Сделаны сравнения с известными аналитическими решениями, показавшие эффективность разработанных алгоритмов. Найдены оптимальные режимы, позволяющие оценить предельные возможности реальных технологий. По результатам оптимизации проанализирован выбор реакционных аппаратов.
Формализовано понятие «качество оптимального температурного условия», как отношение эквивалентности на множестве возможных решений, порожденное представлением кинетических параметров интервальными числами, и дана технологическая интерпретация понятия «качество», как типа проектируемого реактора. Показана необходимость проведения анализа неопределенности в два этапа: получение условий качественной неизменности (постоянства стратегии ведения процесса) и количественное определение границ оптимальных температурных условий в предположе-
пни качественной неизменности. Построены алгоритмы анализа влияния неопределенности в кинетических константах на результаты теоретической оптимизации в равновесном и нестационарном случаях, являющихся объектами нелинейного программирования и оптимального управления. Для ряда модельных схем проведен анализ чувствительности как в равновесной, так и в кинетической ситуациях. Разработанные алгоритмы реализованы в комплексе программ автора.
Практическая значимость. Работа имеет теоретическое и практическое значение. Разработанные модели могут быть использованы для моделирования и расчета сложных и многостадийных реакций в присутствии различных типов катализаторов. Предложенные комбинированные методы и численные алгоритмы оптимизации позволяют эффективно решать задачи проектирования новых каталитических процессов.
Проанализированы математические проблемы при проектировании промышленных процессов, задач планирования и математической обработки результатов химического эксперимента: оптимальные изотермические и неизотермические условия окисления двуокиси серы па платиновом катализаторе; условия создания защитной пассивационной пленки на никелевых катализаторах в кратчайшее время. Проведенные расчеты позволили оценить надежность технологических решений, следующих из результатов математического моделирования соответствующих процессов.
Проведен обширный вычислительный эксперимент ряда промышленных каталитических процессов: олигомеризации а-метил стирол а, дегидрирования изопентана, гидрирования а-пинена. Полученные расчеты позволили выбрать конструкцию реактора для осуществления процессов в про-
мышлеиных условиях.
Разработан комплекс программ по моделированию и оптимизации гомогенных и гетерогенных процессов. Разработанные алгоритмы и программы являются инструментом проведения научных исследований в лабораториях Института нефтехимии и катализа РАН, а также в учебном процессе Стерлитамакской государственной педагогической академии (США) при изучении вопросов математического моделирования и численного решения задач математической химии. Исследование выполнено в рамках реализации гранта РФФИ №05-01-97908 "Математическое моделирование каталитических процессов и реакторов", а также грантов Стерлитамакской государственной педагогической академии № 237/238-02 "Математическое моделирование многофазных потоков физико-химических процессов", № 293/34-04 "Моделирование каталитических процессов с изменяющимися свойствами реакционной среды", JV* 330/19-06 "Математическое моделирование реакций промышленного катализа и определение оптимальных технологических решений".
Результаты диссертационных исследований внедрены в практику работ научно-производственных подразделений ГУП "Опытный завод Академии наук Республики Башкортостан"(г. Уфа), научно-исследовательской лаборатории ЗАО "Каучук"(г. Стерлитамак), использованы в научно-исследовательской работе лабораторий математической химии и структурной химии Института нефтехимии и катализа РАН (г. Уфа), отдела физико-математических и технических наук Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан, а также в научной и учебной работе физико-математического факультета Стерлитамакской государствен-
ной педагогической академии.
Произведена отраслевая и государственная регистрация программных средств в фонде алгоритмов и программ Министерства Образования и Науки Российской Федерации (ОФАП МОиН РФ) и во Всероссийском научно-техническом информационном центре (ВНТИЦ).
Защищаемые положения.
Математические модели сложных и многостадийных каталитических реакций высокой размерности с учетом технологических ограничений.
Постановки задач оптимального управления каталитическими процессами, которые учитывают различные виды встречающихся на практике ограничений и начальных значений.
Формулировка алгоритмов, позволяющих находить оптимальные режимные и конструктивные параметры процессов и реакторов и оценивать предельные возможности технологий.
Методика анализа чувствительности оптимального температурного режима к вариации кинетических параметров.
Программный комплекс для IB М-компьютера численной реализации алгоритмов (вычислительные модули, библиотеки подпрограмм, интегрирующая оболочка).
Результаты вычислительных экспериментов по исследованию промышленных каталитических процессов.
Объем и структура работы.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Полный объем составляет 360 страниц машинописного текста, включая 45 рисунков, 13 таблиц, библиографию, содержащую 346 названий, и приложение на 43 страницах, включающее акты внедрения и передачи, регистрационные карты программных средств фонда алгоритмов и программ МО РФ и ВНТИЦ.
Публикации. Основные результаты опубликованы в 104 печатных и 19 электронных работах, в том числе 22 работы представлены в журналах, входящих в перечень ВАК изданий, отражающих основные результаты докторских диссертаций; 7 программных продуктов, зарегистрированных в отраслевом фонде алгоритмов и программ Министерства Образования Российской Федерации и во Всероссийском научно-техническом информационном центре; 1 монография; глава в коллективной монографии "Обратные задачи в приложениях", посвященной 100-летию со дня рождения академика РАН А.Н. Тихонова, а также статьи в материалах и трудах Международных и Всероссийских конференций.
Апробация работы. Основные положения работы обсуждались и докладывались на:
Международных научных конференциях „Математические методы в технике и технологиях" - ММТТ-14 (Смоленск - 2001), ММТТ-15 (Тамбов - 2002), ММТТ-16 (Санкт-Петербург - 2003), ММТТ-17(Кострома - 2004), ММТТ-18 (Казань - 2005), ММТТ-19 (Воронеж — 200б)(руководитель — д.ф.-м.н., профессор B.C. Балакирев);
Международной научной конференции „Спектральная теория диф-
ференциальных операторов и смежные вопросы", посвященной 70-летию академика РАН В.А. Ильина (СФ АН РБ, СГПИ, Стерлитамак - 1998);
Международной конференции „Спектральная теория дифференциальных операторов и родственные проблемы", посвященной 75-летию академика РАН В.А. Ильина (СФ АН РБ, СГПИ, Стерлитамак — 2003);
Международных конференциях „Дифференциальные уравнения и их приложения" (руководитель — д.ф.-м.н., профессор Е.В. Воскресенский) (СВМО, МГУ, Саранск - 1994, 2004, 2006);
Международных конференциях „Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Стерлитамак-1996, Уфа-2000);
Международных конференциях по химическим реакторам (Ярославль-1994), Chemreactor-16 (Berlin, Germany-2003);
Международной научной конференции „Оптимизация численных методов", посвященной 90-летию со дня рождения С.Л. Соболева (ИМВЦ УНЦ РАН, Уфа - 2000);
Международных научных Школах „Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (руководитель — д.ф.-м.н., профессор Е.В. Воскресенский) (Средневолжское математическое общество (СВМО), МГУ, Саранск - 2003, 2005);
Всероссийской научной конференции МО РФ по научно-техническим прогнозам (Уфа — 1999);
Всероссийских научно-практических конференциях „Математическое моделирование биолого-химических процессов" (Бирск — 1998, 2000, 2004);
Всесоюзных научно-технических конференциях „Математические методы в химии" (Казань — 1991, Тула — 1993);
Всероссийской научно-теоретической конференции „ЭВТ в обучении и моделировании" (Бирск — 2004);
Всероссийской научно-практической конференции „Современные проблемы химии, химической технологии и экологической безопасности" (Стсрлитамак — 2004);
Всероссийской конференции „Современные проблемы физики и математики" (Стсрлитамак — 2004);
V Российской конференции с участием стран СНГ „Научные основы приготовления и технологии катализаторов" и IV Российской конференции с участием стран СНГ „Проблемы дезактивации катализато-
ров"(Омск-2004);
Всероссийской научно-практической Школе-семинаре „Обратные за
дач в химии" (руководитель — д.ф.-м.н., профессор СМ. Усманов)
(Бирск - 2003);
Всероссийской научно-практической Школе-конференции „Обратные
задачи в приложениях", посвященной 100-летию со дня рождения академика РАН А.Н. Тихонова (Бирск — 2006);
II-VII Всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике - ВСППМ (Самара, Йошкор-Ола — 2001, Сочи — 2002, Кисловодск - 2004, 2006, Санкт-Петербург - 2005);
III Всероссийской научной школе-конференции „Лобачевские чтения" (Казанское математическое общество, Казань — 2003);
На научном семинаре „Интегральные уравнения и их приложения" (руководители — д.ф.-м.н., профессор Е.В.Захаров, д.ф.-м.н., профессор И.К. Лифапов) (ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва - 2006);
На научном семинаре „Обратные задачи математической физики" (руководители — д.ф.-м.н., профессор А.Б. Вакушинский, д.ф.-м.н., профессор А.В. Тихонравов, д.ф.-м.н., профессор А.Г. Ягола); (НИ ВЦ, МГУ, Москва - 2006);
Объединенных научных семинарах кафедр вычислительной математики и математического моделирования БашГУ (Уфа — 1989-1994, 2000-2006), отдела вычислительной математики ИМ с УНЦ РАН и кафедры вычислительной математики БашГУ (Уфа — 2003-2006);
Научных семинарах кафедр прикладной математики и механики (руководитель — чл.-корр. АН РБ Шагапов В.Ш.) и математического моделирования (руководитель — д.ф.-м.н, профессор В.Н. Криз-ский)(Сторлитамак - 2002-2006);
Научном семинаре Стерлитамакского филиала Академии наук РБ (руководитель — чл.-корр. АН РБ Сабитов К.Б.)(Стерлитамак — 2004-2006);
Ученом Совете Института нефтехимии и катализа РАН (руководитель - чл.-корр. РАН Джемилев У.М.)(Уфа - 2003-2006);
Объединенных научных семинарах лабораторий математической химии и приготовления катализаторов Института нефтехимии и катализа РАН (руководители — д.ф.-м.н., профессор СИ. Спивак, д.х.н., профессор Б.И. Кутепов)(Уфа - 2003-2006);
Школе-семинаре Стерлитамакского филиала Академии наук Республики Башкортостан „Дифференциальные уравнения и механика многофазных систем"(руководитель — академик РАН Р.И.Нигматуллин)(СФ АН РБ, Стерлитамак - 1999, 2001);
Научном семинаре Института математики Средневолжского математического общества (руководитель — д.ф.-м.н., профессор Е.В. Воскресенский) (Институт математики СВМО, Саранск — 2006).
Научном семинаре Всероссийского научно-исследовательского института экспериментальной физики (руководитель — д.ф.-м.н., профессор Ю.Н. Дерюгин)(РЯЦ, ВНИИЭФ, Саров - 2006).
Работа выполнена на кафедре математического моделирования Стер-литамакской государственной педагогической академии (зав. кафедрой — д.ф.-м.н., профессор В.Н. Кризский) и в лаборатории математической хи-
мий Института нефтехимии и катализа РАН (зав. лабораторией — д.ф.-M.H., профессор СИ. Спивак).
Результаты работы конструктивно обсуждались коллективами кафедр вычислительной математики (д.ф.-м.н., профессор Н.Д. Морозкин), математического моделирования (д.ф.-м.н., профессор СИ. Спивак) Башкирского государственного университета, кафедры информатики и программирования (д.ф.-м.н., профессор P.M. Асадуллии) Башкирского государственного педагогического университета, сотрудниками отдела вычислительной математики Института математики УНЦ РАН (д.ф.-м.н., профессор М.Д. Рамазанов), кафедр физико-математического факультета Стерлитамакской государственной педагогической академии (д.ф.-м.н., профессор, чл.-корр. АН РБ К.Б. Сабитов; д.ф.-м.н., профессор А.И. Филиппов; д.ф.-м.и., профессор И.А. Калиев). Всем им автор выражает глубокую благодарность.
Автор искренне признателен заслуженному деятелю науки Республики Башкортостан, д.ф.-м.н., профессору Спиваку Семену Израилевичу, под руководством которого были произведены первые научные исследования в данном направлении, а также защищена диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 05.13.16—"Применениевычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях".
В разработке программных средств, реализующих предложенные автором численные методы и алгоритмы, и в проведении вычислительных экспериментов также принимали участие его ученики: к.х.н., доцент Э.О. Иремадзе, к.ф.-м.н., ст.преп. Ю.А. Валиева, к.ф.-м.н., доцент Э.Р. Максю-
това, к.ф.-м.н., асе. Р.С. Давлетшин, Д.Ю. Смирнов, А.И. Байтимерова, Ю.В. Афанасьева, И.В. Чеботарев, которых также благодарит соискатель.
Учет влияния неопределенности в кинетических исследованиях
Практически все кинетические параметры определяются на основе полученной совокупности экспериментальных данных. Способы получения такой информации достаточно разнообразны. Это и непосредственное измерение [149, 284], и анализ литературных данных [39, 42], и обработка результатов косвенных измерений [21]. Всем им присуща определенная ошибка измерения. Причины могут быть как благоприобретенного порядка: погрешность аппаратуры, использование знаний округлённых параметров (тг, є и т.д.), так и наследственного типа: ошибки, определяемые методикой расчёта (например, при численном или дифференциальном интегрировании); погрешность, определяемая выходом за пределы применимости эмпирических зависимостей (например, уравнения Менделеева-Клапейрона в предположении идеальности газа). Поэтому, вообще говоря, на практике имеем дело не с цифрами, а с некоторыми интервалами.
Во многом результаты теоретической оптимизации определяются кинетическими характеристиками химической реакции [223,269, 270]. Может возникнуть ситуация, когда небольшие неточности в кинетических данных, а, следовательно, в параметрах математической модели, могут привести к результатам, технологическая интерпретация которых резко противоположна по своему качественному содержанию. К примеру, один набор энергий активаций из данного доверительного интервала даёт, как самый оптимальный режим производства — изотермический режим, а другой — наоборот, как наилучший предполагает неизотермические условия процесса.
Отсюда вытекает необходимость и актуальность проведения исследований условий гараитированности прогноза этапа теоретической оптимизации в условиях неопределенности кинетических констант, построения соответствующих оценок границ изменения оптимальных решений.
Применение традиционного аппарата теории чувствительности, например, в случае жесткости исходных кинетических уравнений, значительно усложняет задачу. Однако построение специальных методов получения двусторонних оценок, основанных на апостериорной оценке сглаженного разностного уравнения химической кинетики, дает возможность решить поставленную задачу.
Способ получения двусторонней гарантированной оценки решения в случае, когда кинетические константы есть интервальные числа, основан на следующей формуле [40, 39]: х\ = Si + [-1, l]sf} + a SJl\ і = М, (1.30) где Si, S\ , S\ — некоторые L - сплайны, a1 — [—a, a] — некоторая интервальная константа.
Существует ряд работ, строящих методы работы с неопределенностью по другим параметрам процессов [69, 126]. Направление этих работ — учет неопределенности, как при проектировании локального узла, так и при оптимизации всей химико-технологической схемы. В любом случае, задача оптимизации с неполной информацией имеет вид [69]: т т $ t-F(s.p ) = T,Qifi - mjn (L31) i=l i=\ m&xHi(x,p) 0,г — l,m, (1.32) peP P = {p = (PuP2, ,Ps), ai pi bt}, (1.33) где F — критерий оптимизации детерминированной задачи, Q;— весовые коэффициенты, Pi — частично неопределенные параметры задачи, 2aiFl — дискретная аппроксимация математического ожидания F, Щ — функция Поитрягина. Схема решения подобной задачи представляет собой решение детерминированной задачи, приближенно аппроксимирующей исходную: т VaiF rain, (1.34) Hi(x,p(v)) 0, і = ї її, v = Ї7Ж, (1-35) где Pk = {р }—набор кинетических точек, на которых еще выполняются ограничения (1.32).
После нахождения решения х на основе серии минимизационных задач Щх ,р) — max, і = l,m (1.36) и выбора из них р , который доставляет наибольший максимум функции Щ: Hi(x ,p ) = maxmaxtfj(:r ,р), (1.37) г рР подправляют набор р и переходят к первому этапу.
Подобная постановка имеет определенный технологический смысл, связанный с принятием проектных решений, которые позволяют достигать приемлемых выходов в технологических процессах даже в случае неполной информации о параметрах процесса.
Таким образом, существует два направления решения задачи анализа чувствительности параметров процесса к неопределенности значений используемых данных: получение ответа в виде интервала [134,145, 148, 317] (интервальный анализ) и подходы, основанные на приближении исходной задачи детерминированными задачами методами оптимизации с ограничениями [138, 118] .
Математические модели оптимизации каталитических процессов
Следующим шагом создания адекватной модели является теоретический анализ, который позволяет уяснить поведение химической реакции и определить оптимальный теоретический режим ее проведения. Теоретический оптимальный режим является научно обоснованным эталоном выбора типа реактора для промышленного осуществления химической реакции.
Теоретический оптимальный режим осуществляется на основе кинетической модели. На этом этапе определяются наилучшие, в смысле выбранного критерия оптимальности, условия, независимо от возможности их осуществления. Часто теоретический оптимальный режим определяется из условия максимальной интенсивности процесса при заданном выходе полезного продукта, либо из требования максимума выхода целевого продукта.
Основными оптимизирующими воздействиями при проведении химических реакций являются температура и давление. Роль технологических или экономических ограничений могут играть следующие факторы: физические свойства реакционной среды (температура кипения жидкой фазы и т.п.); свойства конструкционных материалов реактора (механическая прочность при нагреве, термостойкость, прочность против коррозии при температуре осуществления процесса); стоимость нагрева реагентов до требуемой температуры и поддержания желаемых температурных условий.
Рассмотрим математические модели оптимальных задач и сформулируем условия оптимальности в форме принципа максимума [14, 165, 222].
Принцип максимума имеет два аспекта применения. С одной стороны, с его помощью может быть проведена качественная оценка вида оптимального решения. С другой стороны, принцип максимума служит основой для построения эффективных алгоритмов численного решения оптимальной задачи.
Пусть имеется система, состояние которой определяется вектором х = (xi,..., хт), а закон изменения состояния по независимой переменной t задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений (2.17). Для общности обозначим правые части системы дифференциальных уравнений (2.17) через функции ff(x, и), где и = (щ,..., us) - вектор управлений. Тогда закон изменения состояния системы будет иметь вид:
Их — - = fi{x, и), 0 f, і = 1, m, (2.19) с краевыми условиями: ) = 0, 1 = Х,р , ip {xl) = О, д = 1,р, (2.20) rptex = x(0) = (xWl...,xm0),x1 = x{t) = (Xii,...,Xmi).
Вектор х принадлежит га-мерному пространству Ет, а вектор управлений и принадлежит заданному множеству G для s-мерного пространства управлений Es. При этом выделяется класс А допустимых управлений, которому должен принадлежать вектор u(t). Для приложений достаточно ограничиться рассмотрением класса кусочно-непрерывных управлений. Этот класс и будет предполагаться в дальнейшем. Требуется найти в классе А такое управление u(t), лежащее в области G, и начальное значение я0, чтобы для соответствующего решения x(t) системы (2.19) выполнялись краевые условия (2.20) и величина Q = xl(t) (2.21) принимала максимальное значение. Функции , dfi , „ д(р, дір і о " предполагаются непрерывными. Для решения сформулированной задачи введем вспомогательную систему дифференциальных уравнений, называемую сопряженной системой: и функцию Понтрягина т H=Y,M- (2-23) 1=1 Принцип максимума утверждает, что если u(t),x(t) - решение оптимальной задачи, то существует вектор-функция ф(і), удовлетворяющая системе (2.22) и условиям
Обратимая реакция первого порядка: оптимальная температура, влияние неопределенности в константах равновесия
Выведем условия на разброс в константах, позволяющие однозначно говорить о присутствии только одной из ситуаций типа а) - в). С этой целью проведем анализ неопределенности на качественную неизменность. Выделим два качества: 1) оптимальная температура находится внутри интервала; 2) оптимальная температура находится только на границах интервала. Введение качества эквивалентно введению отношений эквивалентности (3.11)-(3.12). Исследование па качественную неизменность проведем для случая (3.25). Анализ случаев а) — в) показывает существование трех ти пов аргументов, доставляющих тахо : У\ = ffnin}, V2 — {Гтах}, Vz = [Ттт,Ттах]. (3.36)
Отсюда следует, что все возможные значения оптимальной температуры являются качественно неизменными, так как ни один из возможных ответов задачи теоретической оптимизации не содержит только внутренние точки температурного отрезка. Все множества Ц эквивалентны между собой в смысле качества 1. Тогда
а) всякие интервальные значения кинетических констант являются множе ством качественной неизменности;
б) при анализе местоположения температурного экстремума ( на границе или внутри отрезка) точность определения несущественна.
Рассмотрим второе качество «ОТ находится только на границе интервала». Исследуем множество значений минимумов функций Л(Т): I 1 ЄСШ УІ = {ГтІп} или PW, ,00_. minA(T) = (3.37) І О, ЄСЛИ V3 = [Ттіп, Гщах]. Отсюда, max А(Т) + min А(Г) = 2, max \{Т) + min Х(Т) = 2, Vi Vi Уі Кг maxA(T) + тіпА(Г) = 1. (3.38) V% V3
Из (3.38) следует, что множества У\ и V-j качественно неизменны по отношению к (3.12). Как видно из (3.38), не всякий интервальный ответ определяет множество качественной неизменности. Решением задачи этапа идентификации множеств качественной неизменности является следующее утверждение.
Теорема 3. Для того, чтобы Е[х Е% х {к)1 х (к)1 являлось множеством качественной неизменности, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: ?-В? ДЯі + Д2, (3.39) причем, если ? - Щ Д?! + ДЯз, то ОГ = Гтах, (3.40) Е% -Е? АЕХ + Д2, то ОТ = Tmin. (3.41) Доказательство. Необходимость. Пусть Е{ х Е2 - множество качественной неизменности. Отображение ір в случае реакции (3.21) есть ip : R2 — U, (EhE2) VU = {VhVbV,}-Отношение (3.11)- (3.12) порождает два класса эквивалентности: Ai = {VhV2}, A2 = {VZ}. (3.42) Пусть р(Е[ х El) С Лі. Если ip(E{ х ?) = V2, то при всех значениях энергий активации Q Ф" 0. Значит, это верно и для наименьших возможных значений Q = E? Ef- АЕг - АЕ2. Отсюда вытекает неравенство (3.40). Соотношение (3.41) получается аналогичным путем в случае tp(E{ х Е{) = V\- Обобщением этих неравенств является неравенство (3.39). Достаточность. Пусть выполняется условие (3.39). Рассмотрим условие (3.40).
Вычислительные алгоритмы оптимизации для задач с фазовыми ограничениями
Рассмотрим второй этап решения задачи оптимизации — это технологическая оптимизация или расчет оптимального управления для выбранного реактора. Цель данного этапа заключается в подборе оптимальных, конструктивных и режимных параметров реактора: изометрических размеров, форм, узлов, скорости изменения температуры, давления, концентрации и т.д. В математическом плане такие системы изучены значительно меньше. Кроме того, в подобных задачах допустимые значения, как управлений, так и фазовых переменных обычно ограничены технологическим пределом. Например, из соображений сохранности катализатора или технологического оборудования может быть нежелателен подъем температуры в реакторе выше некоторого значення. В сильно экзотермических процессах, особенно протекающих с изменением объема, вследствие возможности гидродинамических ударов могут быть введены ограничения на скорость подачи и входную температуру исходного сырья. Тогда в математической формулировке задача оптимизации процесса сводится к нахождению экстремума некоторого функционала от большого числа переменных, на область изменения которых наложены разного рода ограничения. При этом наличие ограничений на фазовые переменные, как правило, значительно усложняет решение оптимальной задачи.
Существуют различные подходы решения задач оптимизации с фазовыми ограничениями [172, 218, 246, 274, 275]. Один из них состоит в получении точных необходимых условий оптимальности и построении на их основе вычислительных процедур. Необходимые условия оптимальности при наличии фазовых ограничений получены в работах Понтрягина Л. С, Дикусара В. В., Милютина А. А. [102, 236, 222]. Однако, что вычислительные процедуры, найденные на основе необходимых условий для задач с фазовыми ограничениями, достаточно сложны и трудноприменимы. По этому чаще применяется другой подход, при котором задача с фазовыми ограничениями посредством метода штрафов сводится к задаче без фазовых ограничений [225].
Алгоритмы, построенные на основе необходимых условий оптимальности принципа максимума.
Рассмотрим вспомогательную задачу. Пусть интервал изменения независимой переменной разбит на N интервалов: h = [ о ==0, 1, h = [ti,t2\,..., IN = [ijv_i,ijv = І]. Закон изменения состояния системы для fe-ro интервала задаётся системой уравнений: fc j- iVV), -! « , i = l,m k = l,N. (4.16) dt где u = (u[ ,..., щк) Є G — вектор управления с краевыми условиями (2.20). Пусть задано фазовое ограничение вида 9(х) 0 (4.17) и заданы условия для промежуточных точек g[x (t/c)] = О, k = 1.ЛГ-1. Требуется найти точки разбиения i, ...,ijv_i и управления u (t)(k = 1,..., N), доставляющие максимум величине (2.21).
Очевидно, что на одних интервалах g[x(t)j 0 (за исключением концевых точек), а на других g[x(t)]=0. Первые из названных подынтервалов будем называть внутренними, а вторые — граничными. После внутреннего интервала может идти граничный интервал или снова внутренний интервал, а после граничного интервала обязательно идет внутренний интервал.
Точки стыка внутреннего интервала с граничным, граничного с внутренним и двух внутренних будем называть соответственно точками выхода на ограничение, точками схода с ограничениями и точками отражения траектории.
