Введение к работе
Актуальность темы исследования. Непременным атрибутом современных технологий математического моделирования физико-механических процессов являются понятия и методы теории вероятностей и математической статистики. Разработка новых моделей указанных процессов, их обоснование, компьютерная реализация, исследование, оценка адекватности, не возможны без учета вероятностного характера исходных экспериментальных данных, параметров моделей. Кроме того, при применении современных моделей физико-механических процессов, прежде всего, синтеза материалов, в качестве результатов компьютерного моделирования могут быть получены структуры со случайным распределением параметров, которые требуют статистической обработки.
Наиболее важную роль в математическом моделировании многих явлений и процессов играет нормальный закон распределения (закон Гаусса). Этот закон применяется для анализа точности и стабильности технологических процессов, при решении задач надежности, в построении моделей расчетов предельных уровней тех или иных характеристик, используемых при проектировании систем обеспечения безопасности функционирования экономических объектов, технических устройств. На предположении нормальности построены классические модели регрессионного, дисперсионного и факторного анализов, а также метрологические модели.
Проблема проверки нормальности распределения данных модели является одной из фундаментальных в теоретических и эмпирических исследованиях. Критериям согласия (соответствия предполагаемому распределению) литературе уделено значительное внимание. Широко известны критерии согласия, основанные на близости эмпирической и теоретической функций распределения. Среди них отметим критерии Колмогорова-Смирнова, Крамера-Мизеса-Смирнова, Андерсона-Дарлинга и другие. Другая группа критериев проверки нормальности опирается на характеризацию распределения свойствами определенных статистик выборки. Теоретические основы таких критериев изложены в работах Б.В.Гнеденко, Д.Пойа, С.Н.Бернштейна, В.П.Скитовича и Ж.Дармуа, A.M.Кагана, Ю.В.Линника, С.Р.Рао, Я.И.Галамбоша, И.В.Островского, Ю.В.Прохорова и других. Следующая группа критериев - это тесты, основанные на моментах третьего и четвертого порядков нормального распределения. Наиболее известный представитель этой группы - критерий Жака-Бера. Еще одна группа критериев проверки нормальности - это корреляционно-регрессионные критерии. К ним относятся критерии Шапиро-Вилка, Эппса-Палли, Шапиро и Француа.
Между тем, несмотря на разнообразие критериев, нет методологии, которая для любого случая может дать ответ на вопрос, каким критерием
целесообразней пользоваться при проверке нормальности совокупности.
Отечественный стандарт ГОСТ Р ИСО 5479-2002 "Статистические методы. Проверка отклонения распределения вероятностей от нормального распределения", введенный в действие в 2002 г., представляет собой аутентичный текст международного стандарта ISO 5479-97. В нем рассматриваются графический метод проверки на нормальность с использованием вероятностной бумаги, критерии проверки на симметричность совокупности и на значение эксцесса, критерии Шапиро-Уилка и Эппса-Палли. Однако введенный стандарт не позволяет его пользователям сориентироваться в том, какой из критериев является предпочтительным, оказывается более мощным, против каких альтернатив и при каких объемах выборок конкретный критерий имеет преимущество.
Кроме того, в прикладных исследованиях нормальный закон распределения далеко не всегда является наилучшей моделью для описания реально наблюдаемых случайных величин. Особый интерес представляют модели, в которых распределение отличается от нормального. Нарушение предположения о нормальности таких величин по-разному отражается на распределениях статистик, используемых при проверке гипотез и построении доверительных интервалов параметров распределения модели. Поэтому нахождение интервальных оценок различных параметров моделей при нарушении предположения о нормальности исходных данных является фундаментальной задачей.
Из вышесказанного можно сделать вывод о том, что в настоящее время при разработке и применении прикладных вероятностно-статистических моделей вопросы определения выборочного закона распределения и построения доверительных интервалов параметров модели остаются важнейшими и актуальными. Так, при анализе свойств моделей материалов важнейшей задачей является определение вида статистического распределения размеров структурных элементов композиционных материалов и интервальных оценок параметров микроструктур для установления соответствия между реальными и синтезированными структурами.
Целью диссертационного исследования является разработка новых математических методов проверки статистических гипотез о нормальности исходной выборки при некоторых альтернативах, построение точных и приближенных доверительных интервалов для параметров и числовых характеристик моделей, когда истинное распределение отличается от нормального, а также использование этих методов при анализе математических моделей физико-механических процессов и явлений.
Для достижения поставленной в работе цели были сформулированы следующие задачи:
1) построение критерия сдвиго-масштабного инварианта для проверки
нормальности исходной выборки при таких альтернативах, как равномерное, показательное или гамма-распределение, и сравнение по мощности этого критерия с критериями Жака-Бера и Колмогорова-Смирнова при указанных выше альтернативах, а также нахождение распределения инвариантов по выборке из генеральной совокупности, имеющей нормальное, равномерное, показательное или гамма-распределение;
2) разработка метода построения доверительных интервалов для
математического ожидания и стандартного отклонения распределений,
основанного на асимптотическом разложении плотностей и функций
распределения нормализованных сумм, в случае распределения, отличного от
нормального;
построение оптимальных доверительных интервалов для параметров положения и масштаба распределений, максимизирующих доверительную вероятность, с помощью алгебраического метода нахождения центральных функций, предложенного П.Н.Сапожниковым1;
применение разработанных методов идентификации распределений для анализа моделей структурно-неоднородных сред.
Научная новизна работы. Изложенные в диссертации результаты являются новыми, имеют важное теоретическое и практическое значение. В работе разработаны новые методы идентификации распределений параметров вероятностно-статистических моделей: метод проверки соответствия распределения исходных данных модели нормальному распределению, основывающийся на критерии сдвиго-масштабного инварианта, методы построения интервальных оценок параметров и числовых характеристик распределения показателей модели, отличного от нормального.
Наиболее существенные положения, выносимые на защиту. Цель работы и решаемые в рамках поставленной цели задачи позволяют выделить следующие основные результаты:
критерий сдвиго-масштабного инварианта для проверки нормальности исходной выборки при таких альтернативах, как равномерное, показательное или гамма-распределение;
выражения функций и плотностей распределений сдвиго-масштабного инварианта по выборке из генеральной совокупности, имеющей нормальное, равномерное, показательное или гамма-распределение;
результаты сравнения мощности критерия сдвиго-масштабного инварианта с критериями Жака-Бера и Колмогорова-Смирнова при указанных выше альтернативах;
доверительные интервалы для математического ожидания и стандартного отклонения, построенные на основе асимптотического
1 Сапожников П.Н. Привлечение алгебраических свойств статистических моделей к нахождению распределений статистик / Статистические методы оценивания и проверки гипотез: межвуз. сб. науч.тр. / Перм.гос.ун-т.- Пермь, 1993, С. 200-216.
разложения функций и плотностей нормализованных сумм, в том случае, когда данные не имеют нормального распределения;
5) выражение для функции и плотности аналога распределения хи-квадрат,
построенного на основе нормализованных величин;
6) доверительные интервалы заданного размера для параметров
положения и масштаба различных распределений, максимизирующие
доверительную вероятность;
7) результаты численных расчетов проверки принадлежности выборки
размеров зерен нормальному закону для синтезированных микроструктур
композиционных материалов с зернистой структурой;
8) результаты численных расчетов интервальных оценок средних размеров
зерен и стандартных отклонений размеров зерен для указанных микроструктур.
Теоретическая и практическая значимость. В диссертации установлена принципиальная возможность применения разработанных в ней методов и схем к исследованию конкретных статистических моделей физико-механических процессов, возникающих в некоторых отраслях практической деятельности, в частности к исследованию моделей структурно-неоднородных сред. Разработанные в диссертации методы имеют фундаментальный характер и не ограничиваются применением только к моделям структурно-неоднородных сред.
Материалы диссертации вошли в курсы лекций и лабораторных практикумов для бакалавров и магистров механико-математического факультета Пермского государственного университета направления "Механика. Прикладная математика".
Методика исследования. Достоверность результатов. Для решения поставленных в диссертационной работе задач были использованы методы и результаты теории вероятностей, математической статистики, статистического моделирования, а также методы математического анализа и численные методы. В основе всех сформулированных теоретических положений - строгие математические доказательства. Кроме того, достоверность результатов подтверждена путем сравнения известных теоретических результатов с результатами, полученными в работе посредством метода статистического моделирования.
Апробация работы. Теоретические положения и прикладные результаты были изложены и обсуждались на следующих семинарах и конференциях: научный семинар кафедры теории вероятностей и математической статистики ПермГУ, руководитель: д.ф.-м.н., проф. Я.П.Лумельский (Пермь, 1995), XX International Seminar on Stability Problem of Stochastic Models (Poland, 1999), VI Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам (Самара, 1999), Международная научно-методическая конференция "Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке
качества продукции" (Москва, 2001), Международная научно-практическая конференция "Здоровье и образование. Медико-социальные и экономические проблемы" (Париж, 2004), научный семинар Международной лаборатории конструктивных методов исследования динамических моделей при кафедре информационных систем и математических методов в экономике ПермГУ, руководитель: д.ф.-м.н., проф. В.П.Максимов (Пермь, 2008), научный семинар кафедры высшей математики ПермГУ, руководитель: д.ф.-м.н., доцент И.Е.Полосков (Пермь, 2008), научный семинар кафедры высшей математики ПФ ГУ-ВШЭ, руководитель: д.ф.-м.н., проф. А.П.Иванов (Пермь, 2007, 2009), научный семинар кафедры механики композиционных материалов и конструкций ПермГТУ, руководитель: д.ф.-м.н., проф. Ю.В.Соколкин (Пермь, 2009), научный семинар кафедры математического моделирования систем и процессов ПермГТУ, руководитель: д.ф.-м.н., проф. П.В.Трусов (Пермь, 2010), научный семинар Института механики сплошных сред УрО РАН, руководитель: д.ф.-м.н., проф. А.А.Роговой (Пермь, 2010).
Публикации. Результаты исследований по теме диссертации представлены в 11 публикациях; основные публикации приведены в списке [1-7], три статьи ([5],[6],[7]) опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК.
Объем и структура диссертации. Диссертация объемом в 145 страниц, включает 33 таблицы, 14 рисунков, состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (112 источников) и 5 приложений.
