Содержание к диссертации
Введение 6
1 Математические модели, используемые для описания волн
на воде 18
-
Модель Кортевега — де Бриза для описания волн на воде 18
-
Одномерная модель пятого порядка для описания волн на воде . . 26
-
Двумерная модель для описания волн на поверхности воды .... 30
-
Уравнения Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами 34
-
Результаты первой главы 37
2 Методы Пенлеве для исследования нелинейных уравнений 38
-
Тест Ковалевской — Пенлеве для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений с положительными индексами 38
-
Метод Конта — Форди — Пикеринга для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений с отрицательными индексами ... 44
-
Метод усечённых разложений для анализа нелинейных уравнений 49
-
Инвариантный Пснлеве-анализ 52
-
Результаты второй главы 55
3 Точные решения одномерной модели пятого порядка для описа
ния волн на воде 66
3.1 Методы поиска частных решений для нелинейных дифференциаль
ных уравнений 56
-
Модифицированный метод усечённых разложений для поиска частных решений нелинейных дифференциальных уравнений 61
-
Решения одномерной модели пятого порядка в виде уединённых волн 63
-
Решения одномерной модели пятого порядка в виде кноидальных волн 74
-
Результаты третьей главы 75
4 Аналитические свойства уравнений Кадомцева — Петвиашвили
с переменными коэффициентами 76
4.1 Анализ уравнений Кадомцева — Петвиашвили на свойство Пеплеве 76
-
Уравнение Кадомцева — Петвиашвили 76
-
Модифицированное уравнение Кадомцева — Петвиашвили 79
4.2 Вывод иерархии уравнений Кадомцева — Петвиашвили с перемен
ными коэффициентами 82
-
Иерархия модифицированных уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами 82
-
Иерархия уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами 88
4.3 Преобразования Бэклунда и пары Лакса для уравнения Кадомцева
— Петвиашвили с переменными коэффициентами 93
-
Преобразования Бэклунда 93
-
Пары Лакса 96
-
Редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к системам двумерных уравнений 98
-
Связь уравЕїений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами и уравнений Пенлеве 102
-
Результаты четвёртой главы 104
5 Аналитические свойства обыкновенных дифференциальных урав
нений, связанных с нелинейными моделями для описания волн
на воде 105
5.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения, возникающие при
описании волн на воде 105
5 Л. 1 Связь одномерной подели пятого порядка для описания волн
па воде с точно решаемыми моделями 105
-
Обыкновенные дифференциальные уравнения, связанные с семейством модифицированных уравнений Кортевега — де Вриза 108
-
Обыкновенные дифференциальные уравнения, связанные с семейством модифицированных уравнений Каупа — Купер-шмидта 110
5.2 Анализ на свойство Пеплеве обыкновенных дифференциальных урав
нений четвёртого порядка, используемых при описании воли па водеІІЗ
5.2.1 Анализ обыкновенных дифференциальных уравнений, по
лученных из модифицированного уравнения Кортевега —
де Вриза '. 113
5.2.2 Анализ обыкновенных дифференциальных уравнений, по
лученных из модифицированного уравнения Каупа — Ку-
першмидта 118
-
Пары Лакса для обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с модифицированным уравнением Кортевега — де Вриза . 122
-
Преобразования Бэклунда для обыкновенных дифференциальных
уравнений, встречающихся при описании волн на воде 125
5.4.1 Преобразования Бэклунда для семейства обыкновенных диф
ференциальных уравнений, полученных из иерархии моди
фицированных уравнений Кортевега — де Вриза 125
5.4.2 Преобразования Бэклунда для семейства обыкновенных диф
ференциальных уравнений, полученных из иерархии моди
фицированных уравнений Каупа — Купершмидта 128
-
Частные решения обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, возникающих при описании волн на воде .... 130
-
Точные разностные уравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде 134
-
Рекуррентные формулы для решений обыкновенного дифференциального уравнения, полученного из модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза 134
-
Рекуррентные формулы для решений обыкновенного дифференциального уравнения, полученного из модифицированного уравнения Каупа — Купершмидта 139
5.7 Результаты пятой главы 143
Заключение 145
А Уравнения иерархий Кадомцева — Петвиашвили с переменными
коэффициентами высших порядков 147
А.1 Модифицированное уравнение Кадомцева — Петвиашвили, пятое
уравнение иерархии 147
А.2 Модифицированное уравнение Кадомцева — Петвиашвили, четвёр
тое уравнение иерархии 150
А.З Уравнение Кадомцева — Петвиашвили, пятое уравнение иерархии 151
А.4 Уравнение Кадомцева — Петвиашвили, четвёртое уравнение иерар
хии 153
А.5 Преобразования Бэклунда для пятого уравнения иерархии Кадом
цева — Петвиашвили 154
А. 6 Преобразования Бэклунда для четвёртого уравнения иерархии Ка
домцева — Петвиашвили 156
A.7 Редукции модифицированного уравнения Кадомцева — Петвиашви
ли с переменными коэффициентами к системам двумерных урав
нений 157
А.8 Редукции уравнения Кадомцева — Петвиашвили с переменными
коэффициентами к системам двумерных уравнений 159
Литература 160
Введение к работе
Объектом исследования диссертационной работы являются математические модели высокого порядка, используемые для описания нелинейных волн на воде. Основное внимание уделено обобщениям модели Кортевега — де Вриза, позволяющим более точно передавать физическую картину распространения волн ма поверхности воды. Рассмотрены два обобщения модели Кортевега — де Вриза, а именно: одномерная модель пятого порядка, описывающая длинные волны на воде с учётом сил поверхностного натяжения; двумерная модель с переменными коэффициентами, описывающая длинные волны на поверхности жидкости (модель Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами).
Актуальность работы определяется непрерывно возрастающей ролью нелинейных математических моделей, которые используются для описания различных по своей природе физических явлений. На протяжении последних десятилетий нелинейные модели постепенно вытесняют линейные, преобладавшие в естествознании ещё полвека назад. Основным недостатком линейных моделей является то, что они могут давать, как правило, лишь общее представление о физических процессах. Между тем стремительно растёт число задач, для которых такого представления явно недостаточно. Более того, постоянно расширяется перечень физических явлений, которые вообще не могут быть поняты в рамках линейных теорий.
Опыт показал, что многие физические задачи о нелинейных волнах описываются сравнительно небольшим числом универсальных математических моделей. Проблемы взаимодействия воли большой амплитуды, возникающие в физике плазмы, нелинейной оптике, физике ферромагнетиков и в некоторых других разделах физики, имеют с формальной точки зрения много общего как между собой, так и с классической задачей о нелинейных волнах на поверхности тяжёлой жидкости. Наиболее известной математической моделью, описывающей такие нелинейные волны, является модель Кортсвега — де Вриза, полученная в 1895 году. Эта модель хорошо согласуется с многочисленными экспериментальными данными, поэтому она широко используется в настоящее время.
Стремление как можно более точно передать физическую природу исследуемого объекта неизбежно приводит к усложнению математической модели и входящих в неё уравнений. Если ещё несколько десятилетий назад при моделировании волновых процессов в основном использовались эволюционные уравнения третьего порядка с одной пространственной переменной, то сейчас внимание исследователей привлекают уравнения пятого и более высоких порядков, уравнения и системы уравнений с несколькими пространственными переменными.
В этом отношении модель Кортевсга — де Вриза не является исключением. Одно из обобщений этой модели применительно к описанию волн на воде было получено П. Олвером в 1984 году. Сохранив одномерную структуру модели, он предложил учитывать слагаемые более высокого порядка малости. Это привело к усложнению уравнений, описывающих отклонение свободной поверхности жидкости от положения равновесия и скорость распространения волнового возмущения. При таком подходе появилась возможность учитывать глубину, на которой измерена горизонтальная скорость жидкости, что в рамках модели влечёт за собой появление различных уединённых волн на разных глубинах. Однако сложность модели Олвера привела к тому, что до недавнего времени она оставалась неизученной. Тем не менее в контексте задачи о распространении волн иа водо подход, позволяющий учитывать слагаемые более высокого порядка малости по сравнению с традиционными моделями, представляет несомненный интерес.
Другое, намного более известное обобщение модели Корте вега — де В риза было получено Б.Б. Кадомцевым и В.И. Петвиашвили в 1970 году при изучении вопроса об устойчивости уединённых воли по отношению к слабым поперечным возмущениям. Эта модель в силу наличия двух пространственных переменных более адекватно описывает распространение волн на поверхности воды. В то же время при её выводе используются слагаемые того же порядка малости, что и в случае модели Кортевега — де Вриза, так что усложнение модели происходит лишь за счёт введения дополнительной переменной. По этой причине модель Кадомцева — Петвиашвили часто называют двумерной моделью Кортевега — де Вриза, а область её применения почти так же широка, как и у классической модели Кортевега — де Вриза.
Несмотря на большое число работ, посвященных модели Кадомцева — Петвиашвили, её обобщению — модели Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами до настоящего времени не уделено достаточного внимания. Однако при моделировании реальной физической картины волн на воде не всегда можно считать постоянными такие характеристики, как глубину жидкости и давление воздуха у поверхности раздела сред. Если же предполагать эти величины изменяющимися по некоторому закону, то учёт соответствующих зависимостей приведёт к уравнениям с переменными коэффициентами. В связи с этим исследование модели Кадомцева— Петвиашвили с переменными коэффициентами представляет собой достаточно важную задачу, имеющую непосредственное физическое приложение.
Общеизвестно, что математические модели необходимы для достоверного предсказания поведения исследуемого объекта и для удешевления физического эксперимента, а иногда — и полной замены физического эксперимента численным. В настоящее время моделирование сколько-нибудь сложных явлений и проведение численных экспериментов немыслимо без использования ЭВМ. Поэтому неудивительно, что прогресс нелинейной науки во многом зависит от развития вычислительной техники и численных алгоритмов. Однако дифференциальные уравнения, входящие в математическую модель, и разностные схемы, применяе- ыые для расчётов на ЭВМ, имеют принципиально разную структуру и обладают различными свойствами. В силу этих различий и отсутствия универсального способа дискретизации дифференциальных уравнений построить корректный численный алгоритм по имеющейся математической модели очень трудно. В этом случае знание свойств исходной модели (например, наличие законов сохранении) может существенно облегчить задачу построения разностной схемы.
Будучи построенной, любая разностная схема нуждается в проверке. В том случае, когда моделируется хорошо изученное явление, результаты расчётов можно сравнить с экспериментальными данными и на этом основании вынести зяклео-чение о применимости разностной схемы. Однако при отсутствии экспериментальных данных, что нередко случается при попытке моделирования сложных процессов или совершенно новых явлений, такая проверка невозможна. Единственный выход в этой ситуации заключается в использовании аналитических решений математической модели для тестирования разностной схемы. Таким образом, даже в компьютерную эпоху исследование аналитических свойств дифференциальных уравнений и поиск их точных решений остаются задачей первостепенной важности.
Целью диссертационной работы является исследование аналитических свойств и поиск точных решений дифференциальных уравнений, входящих в одномерную модель пятого порядка для описания волн на воде и в двумерную модель с переменными коэффициентами для описания волн на поверхности воды (модель Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами).
В диссертационной работе решались следующие задачи: получить точные решения одномерной модели пятого порядка для описания волн па воде; изучить аналитические свойства двумерной модели с переменными коэффициентами для описания волн на поверхности воды; найти редукции нелинейных моделей для описания волн на воде к обыкновенным дифференциальным уравнениям и исследовать их свойства.
Научная новизна работы. Впервые получен полный перечень точных решений одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде. Предложен новый способ построения иерархии уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, сохраняющий сингулярную структуру решений двумерной модели для описания волн на поверхности воды. Для уравнений этой иерархии впервые найдены псевдопотенциалы Уолквиста — Эстабрука, пары Лакса и преобразования Бэклунда. Для двумерной модели с переменными коэффициентами специального вида найдено нелинейное преобразование переменных, приводящее к уравнениям с постоянными коэффициентами. Впервые получены редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к уравнениям меньшей размерности, в том числе и к системам линейных уравнений. С помощью методов Пенлеве впервые найдены необходимые условия отсутствия подвижных критических особых точек у решений обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде. Для этих обыкновенных дифференциальных уравнений впервые получены пары Лакса и преобразования Бэклунда. С помощью преобразований Бэклунда впервые построены точные разностные уравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде.
Обоснованность и достоверность результатов работы подтверждаются научными публикациями в рецензируемых периодических изданиях и апробацией основных положений работы на научных конференциях. Аналитические результаты, полученные в диссертационной работе, обосновываются строгостью исходных посылок и корректным применением математического аппарата, а также сравнительным анализом с известными результатами других авторов, близкими к тематике настоящего исследования.
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: на одиннадцатой международной конференции «Nonlinear evolution equations and dynamical systems», Крит, Греция, 18-28 июня 1997 года; на международной конференции по интегрируемым системам «Kruska! 2000*-, посвященной ссмидесятипятилетию М. Крускала, Аделаида, Австралия, 3-7 января 2000 года; на двадцать девятой летней школе «Актуальные проблемы механики», Санкт-Петербург, Россия, 21-30 июня 2001 года; на ежегодной научной сессии МИФИ в 1999, 2000, 2001, 2002 и 2004 годах.
Практическая значимость работы. Точные решения одномерной модели пятого порядка могут быть использованы в качестве теста при построении разностных схем для расчёта воли на воде. Пары Лакса, построенные для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, могут использоваться для решения задачи Коши методом обратной задачи рассеяния. Преобразования Бэклунда, найденные для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, полезны при поиске точных решений. Редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к уравнениям и системам уравнений меньшей размерности дают ещё один способ получения аналитических решений.
Связь, установленная между обыкновенными дифференциальными уравнениями и нелинейными моделями для описания волн на воде, может быть использована для восстановления решений нелинейных моделей по известным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений. Программы, применявшиеся для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений на свойство Пенле-вс, могут быть использованы для исследования других обыкновенных дифференциальных уравнений полиномиального типа. Пары Лакса и преобразования Бэклунда для обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде, могут применяться для поиска аналитических решений. Точные разностные уравнения для обыкновенных дифференциальных уравЕїений четвёртого порядка, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде, позволят избежать ошибок аппроксимации при вычислении решений на ЭВМ.
На защиту выносятся: точные решения одномерной модели пятого порядка для описания соли на воде; пары Лакса для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, необходимые для решения задачи Коши методом обратной задачи рассеяния; преобразования Бэклунда для уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами, которые могут быть использованы для построения точных решений; результаты анализа на свойство Пенлеве обыкновенных дифференциальных уравнений, встречающихся при описании волн на воде; пары Лакса и преобразования Бэклунда для обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при описании волн на воде; точные разностные уравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка, используемых при описании волн на воде.
Краткое содержание работы.
Первая глава посвящена выводу математических моделей, которые будут детально рассмотрены в последующих главах. С привлечением математического аппарата теории возмущений дан вывод классической модели Кортевега — де Вриза для описания волн на воде. Показано, что одномерная модель пятого порядка для описания волн на воде возникает в следующем после модели Кортевега — де Вриза нелинейном приближении. Приводится вывод уравнения Кадомцева — Петвиашвили, обобщающего модель Кортевега — де Вриза на случай двух пространственных измерений. Показано, что решения этого уравнения связаны с решениями модифицированного уравнения Кадомцева — Петвиашвили посредством двумерного аналога нелинейного преобразования Миуры. Также приведён вывод уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами при условии, что известна сингулярная структура решений соответствующих уравнений с постоянными коэффициентами.
Вторая глава посвящена описанию методов анализа дифференциальных уравнений на свойство Пенлеве, которое заключается в отсутствии подвижных критических особых точек в общем решении дифференциального уравнения. Изложен метод Ковалевской — Пенлеве для анализа обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод основан на разложении решения уравнения вблизи подвижного некритического полюса в ряд Лорана, Для того, чтобы иметь возможность анализировать решения дифференциальных уравнений с подвижными некритическими существенно особыми точками, излагается метод Копта — Форди — Пикеринга. Этот метод является обобщением метода Ковалевской — Пенлеве и основан на применении техники теории возмущений. Приведены обобщения методов Ковалевской — Пенлеве и Конта — Форди — Пикеринга па случай уравнений в частных производных. Рассмотрен инвариантный формализм тестирования уравнений па свойство Пенлеве, позволяющий в ряде случаев существенно упростить вычисления.
Изложен метод усечённых разложений Вейсса — Табора — Карнсвейля, основанный на усечении рядов Лорана для решений дифференциальных уравнений до неположительных степеней. На примере уравнения Кортевега — де Вриза показано, что для некоторых точно решаемых уравнений этот метод позволяет построить пары Лакса и преобразования Бэклунда. Метод усечённых разложений также может быть использован для поиска аналитических решений нелинейных дифференциальных уравнений, в том числе и для уравнений, не относящихся к классу точно решаемых.
Третья глава посвящена исследованию одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде. В начале главы приведён обзор методов, используемых для поиска аналитических решений дифференциальных уравнений. Особое внимание уделено прямым методам, показано, что часть из них сводится к методу усечённых разложений. Детально рассматривается модификация метода усечён- ных разложений, предложенная Контом и Мюсетт в 1992 году. Фактически этот метод сводится к поиску частных решений дифференциального уравнения в виде полинома по степеням двух функций, обладающих общими полюсами первого порядка и удовлетворяющих системе двух связанных уравнений Риккати. Формально метод Конта — Мюсетт можно рассматривать, как разложение решения дифференциального уравнения по элементарным уединённым волнам (солитопу и кинку).
Остальная часть третьей главы посвящена точным решениям одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде. Показано, что рассматриваемое уравнение не обладает свойством Пенлеве, т.е. не является точно решаемым. Тем не менее метод Конта -— Мюсетт позволяет найти ряд решений, имеющих вид уединённых волн. Для поиска точных решений одномерной модели пятого порядка для описания волн на воде, выражающихся через эллиптические функции, использован метод Кудряшова, предложенный в 1990 году. С помощью этого метода найдены периодические решения исследуемой модели, имеющие вид кно-идальных волн.
Четвёртая глава посвящена исследованию аналитических свойств уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами. Представлен анализ па свойство Пенлеве уравнения Кадомцева — Петвиашвили и связанного с ним модифицированного уравнения, необходимый для выявления сингулярной структуры их решений. На основе полученной информации строится иерархия псевдопотенциалов Уолквиста — Эстабрука, условие совместности которых приводит к иерархии уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами. Уравнения для псевдопотенциалов в силу линейности представляют собой скалярные пары Лакса для исследуемых уравнений. Тем самым уравнения Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами оказываются точно решаемыми (интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния), как и уравнения с постоянными коэффициентами. Для переменных коэффициентов специального вида найдено нелинейное преобразование, переводящее решения уравнений с переменными коэффициентами в решения уравнений с постоянны- ми коэффициентами.
Существование двух различных псевдопотенциалов используется для редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами к системам уравнений меньшей размерности. Показано, что одна из простейших редукций уравнения Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами приводит к первому уравнению Пенлеве, а редукция модифицированного уравнения — к второму уравнению Пенлеве. Также показано, что редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков приводят к высшим аналогам уравнений Пенлеве.
Пятая глава посвящена исследованию аналитических свойств обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде. Показано, что при определённом выборе коэффициентов одномерная модель пятого порядка для описания волн на воде сводится к уравнению Кортевега — де Вриза пятого порядка или к уравнению Каупа — Купершмид-та. Решения упомянутых уравнений могут быть получены с помощью преобразования Миуры по известным решениям соответствующих модифицированных уравнений. Наряду с модифицированными уравнениями Кортевега — де Вриза и Каупа — Купершмидта приведены соответствующие им уравнения сингулярных поверхностей, которые возникают при использовании метода усечённых разложений. Показано, что эти семейства эволюционных уравнений после перехода к автомодельным переменным приводят к четырём различным семействам обыкновенных дифференциальных уравнений.
Приведены результаты анализа па свойство Пенлеве рассматриваемых обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка с использованием метода Конта — Форди — Пикеринга. Для двух семейств обыкновенных дифференциальных уравнений, связанных с нелинейными моделями для описания волн на воде, построены пары Лакса (необходимые для решения задачи Коши методом обратной задачи рассеяния). Для двух семейств рассматриваемых обыкновенных дифференциальных уравнений найдены преобразования Бэклунда, позволяющие строить бесконечный набор точных решений; приведены некоторые точные реше- пия, полученные этим способом. На основе найденных преобразований Бэклунда для двух обыкновенных дифференциальных уравнений четвёртого порядка построены их точные разностные аналоги.
В прилооїсепие вынесены результаты, относящиеся к уравнениям Кадомцева — Петвиашвшш с переменными коэффициентами высших порядков. Выписаны сами эти уравнения, соответствующие им псевдопотенциалы Уолквиста — Эс-табрука и преобразования Бэклунда. Также представлены редукции уравнений Кадомцева — Петвиашвили с переменными коэффициентами высших порядков к системам двумерных уравнений.
Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях: Kudryashov N.A., Suharev M.B. Backhand transformations for some nonlinear equations // Препринт МИФИ 011-95. 1995. Kudryashov N.A., Soukharcv M.B. The variable coefficient Kadomtsev — Petviashvili hierarchies and constraints to some equations // Препринт МИФИ 017-96. 1996. Kudryashov N.A., Soukharev M.B. Uniformization and transcendence of solutions for the first and second Painleve hierarchies // Physics Letters A. 1998. V. 237. P. 206-216.
Кудряшов H.A., Сухарев M.B. Аналитические решения двумерного уравнения Курамото — Сивашипского // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 1999. Т. 1. С. 178-179.
Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Применение теста Пенлеве для одного уравнения четвертого порядка // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 1999. Т. 1. С. 180-181.
Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Точные решения одного леинтегрируемого нелинейного уравнения пятого порядка // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 2000. Т. 7. С. 94-95.
7. Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Свойство Пенлеве для одного из уравнений четвертого порядка // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов.
2001. Т. 7. С. 62-63.
Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 5. С. 884-894.
Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Метод полюсных особенностей для поиска точных решений нелинейных уравнений в частных производных // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 2002. Т. 7. С. 105-106.
10. Kudryashov N.A., Soukharev М.В. Discrete equations corresponding to fourth- order differential equations of the P% and K? hierarchies // ANZIAM Journal.
2002. V. 44. P. 149-160. Kudryashov N.A., Soukharev M.B,, Siroklin S.A. Exact solutions of the fifth-order nonlinear water-wave equation // Актуальные проблемы механики, труды XXIX летней школы / ред. Д.А, Индейцев. Санкт-Петербург. 2002. С. 406-416.
Кудряшов Н.А., Сухарев М.Б. Метод эллиптических пробных функций // Научная сессия МИФИ. Сборник научных трудов. 2004. Т. 7. С. 120-121.
Похожие диссертации на Математические модели для описания волн на воде и их свойства
