Содержание к диссертации
Общая характеристика работы
1. Роль конечно-элементного моделирования на современном этапе науки и техники 19
1.1. Развитие метода конечных элементов 19
1.2. Развитие нелинейной вычислительной механики 28
1.3. Краткий обзор программного обеспечения для конечно-элементного анализа 35
2. Матричные алгоритмы метода конечных элементов для решения пространственных задач теории упругости 42
2.1. Прямолинейный стержневой конечный элемент .42
2.2. Полилинейные изопараметрические конечные элементы в декартовых координатах 49
2.3. Поликубический элемент Эрмита 62
2.4. Ансамблирование объемных и стержневых конечных элементов .67
2.5. Выводы ко второму разделу 76
3. „Моментная" схема метода конечных элементов 77
3.1. Построение несовместных функций перемещений с помощью
вспомогательных аппроксимирующих полиномов 77
3.1.1. Полилинейный конечный элемент 77
3.1.2. Поликвадратичный конечный элемент 86
3.2. Аппроксимация компонент тензора деформаций 87
3.3. „Функции формы" объемных изопараметрических конечных элементов 90
3.4. Алгоритм формирования матрицы жесткости
объемных конечных элементов по „моментной" схеме 92
3.5. Алгоритм „моментной" схемы в цилиндрических координатах 101
3.6. Алгоритм формирования матрицы жесткости но „моментной" схеме для осесимметричной задачи 107
3.7. Алгоритмы вычисления напряжений 112
3.7.1. Метод сопряженных аппроксимаций 112
3.7.2. Вычисление напряжений в пластинах и оболочках 117
3.8. Выводы к третьему разделу 120
4. Численное исследование сходимости 122
4.1. Балки и кольца 123
4.2. Тонкостенные пластины 128
4.3. Толстостенные пластины 140
4.4. Оболочки 147
4.5. Выводы к четвертому разделу 160
5. Реологические модели упруговязкопластичсских сред 162
5.1. Основные соотношения линейной наследственной теории упругости в трехмерной постановке 163
5.1.1. Физические соотношения 163
5.1.2. Способы моделирования линейной ползучести с учетом изменения деформационных свойств материала 166
5.2. Вариационное уравнение равновесия для задач наследственного типа — 177
5.3. Шаговый алгоритм метода конечных элементов в перемещениях для решения задач линейной теории наследственности 178
5.4. Выбор расчетного значения шага по временной координате 180
5.5. Вычислительные особенности шагового алгоритма I 86
5.6. Матричное представление физических соотношений в рамках деформационной теории пластичности 1 88
5.7. Вычислительные особенности конечно-элементного решения упругопластических задач 198
5.8. Конечно-элементный алгоритм решения упруго вязкопластических задач 204
5.9. Выводы к пятому разделу 215
6. Численное исследование точности и сходимости шаговых процедур МКЭ, предназначенных для решений задач вязку пру гости и пластичности 217
6.1. Численное исследование точности и сходимости шаговой конечно-элементной процедуры решения задач вязко упругости 217
6.2. Тестирование шаговых конечно-элементных алгоритмов решения нелинейных задач 247
6.3. Тестирование шаговой процедуры при переменном нагружении 271
6.4. Компьютерное моделирование контактного взаимодействия системы „штамп-основание" в условиях полного сцепления 275
6.5. Выводы к шестому разделу 292
7. Численные методы решения прикладных задач динамической теории упругости 294
7.1. Матричное уравнение движения механической системы
в формулировке метода конечных элементов 295
7.2. Матрица масс объемного изопараметрического конечного элемента 298
7.3. Матрица масс пространственного прямолинейного бруса 299
7.4. Анализ частот и мод свободных колебаний пространственных конструкций 301
7.5. Примеры расчета частот и форм свободных колебаний 307
7.6. Конечно-элементный анализ вынужденных колебаний 317
7.7. Примеры конечно-элементных расчетов при динамическом нагружении 320
7.8. Модальный анализ шестиэтажного здания 339
7.9. Анализ частот и форм свободных колебаний коленчатого вала рядного дизеля в трехмерной постановке 339
7.10. Инженерный анализ крутильных колебаний валопроводов энергетических установок с приводом от поршневых двигателей внутреннего сгорания 345
7.11. Расчет напряженно-деформированного состояния дорожного покрытия в динамической постановке 352
7.12. Выводы к седьмому разделу 356
8. Расчетно-вычислительный комплекс POLYGON V для конечно-элементного моделирования пространственных конструкций и сооружений 358
8.1. Организация вычислительного процесса 358
8.2. Выбор расчетной схемы и ансамблирование 363
8.3. Описание основных параметров конечно-элементной модели 365
8.4. Структура исходных данных 372
8.5. Фрагментарный способ дискретизации массивных тел сложной формы 378
8.6. Визуализация результатов конечно-элеметного моделирования 380
8.7. Примеры конечно-элементного моделирования промышленных объектов с использованием
комплекса POLYGON V 380
8.8. Выводы к восьмому разделу 396
Заключение 398
Список литературы 403
Приложение 1 415
Приложение II 429
Приложение III
Введение к работе
На современном этапе развития науки и техники трудно представить процесс проектирования новых машин, зданий и сооружений без широкого использования программ конечно-элементного анализа. Общеизвестно, что для создания многофункционального расчетно - вычислительного комплекса на базе метода конечных элементов (МКЭ) требуются усилил многих специалистов в области строительной механики, прикладной математики и системотехники.
В последнее время повышенный интерес исследователей проявляется к трехмерным механико-математическим моделям, учитывающим вязкоупругое и упругопластическое поведение материала. Однако, вычислительные возможности МКЭ при решении пространственных задач механики деформируемого твердого тела ограничены степенью дискретизации исследуемого объекта на конечные элементы (КЭ). В существующих программных комплексах, как правило, рекомендуется трехмерную нелинейную модель упрощать, сводя ее к плоской или осесимметричной. Вместе с тем мало исследованными остаются подходы к построению новых объемных конечных элементов повышенной точности, позволяющих моделировать деформации и большие перемещения тонкостенных и толстостенных конструкций на грубых сетках.
Проблема усложняется при создании конечно-элементного приложения в рамках наследственной теории упругости. В этом случае встает вопрос о выборе схемы численного интегрирования и величины шага по временной оси для различных типов ядер релаксации.
Значительно расширить круг инженерных приложений МКЭ позволяет процедура формализации связанной краевой задачи упруго пластичности и вязко упругости при квазистатическом процессе па 7 гружения. Численная реализация данной процедуры открывает возможность исследования напряженно деформированного состояния объекта в процессе возведения (монтажа) и последующей эксплуатации. К сожалению, сейчас эта проблема практически не изучена.
Еще одной мало исследованной областью конечно-элементного анализа является направление, связанное с решением "слоевых" задач в физически и геометрически нелинейной постановке. Для расчета сэндвичевых структур требуется вводить различные параметры идентификации нелинейных моделей, характеризующих деформационные свойства отдельных фрагментов ("слоев"). В публикациях, посвященных численным расчетам с учетом пластичности, решений поставленной задачи не приводится.
Востребованной также является разработка МКЭ-программ для решения задач прочности упругопластических трехмерных систем при циклическом процессе "нагружение - разгрузка".
Существенно увеличить эффективность МКЭ позволяет процедура ансамблирования объемных и стержневых (балочных) конечных элементов. Последние позволяют моделировать ребра жесткости пластин и оболочек, рассчитывать на прочность массивные предварительно напряженные железобетонные конструкции, а также разрабатывать рекомендации по увеличению жесткости аварийных сооружений с помощью тяжей. Вместе с тем в литературе но МКЭ отсутствуют сведения об использовании объемно-стержневых моделей.
Необходимо указать на малое число работ, посвященных конечно-элементному анализу линейно упругих колебаний трехмерных механических систем при силовом и кинематическом воздействиях. В частности нет сведений о МКЭ-программах, предназначенных для модального анализа объемно-стержневых моделей.
Важнейшей частью конечно-элементного комплекса является банк тестовых и учебных примеров, включая нелинейные задачи. Данная информационная составляющая определяет качество и достоверность используемых механико-математических моделей материала, показывает вычислительную эффективность алгоритмов и создает благоприятные предпосылки для промышленного внедрения пакета прикладных программ.
Рассмотренные в настоящей работе вопросы развития теории МКЭ и его приложений к задачам механики деформируемого твердого тела и динамики и прочности машин связаны со следующими проблемами:
- существующие объемные конечные элементы требуют значительных вычислительных затрат при решении трехмерных задач теории упругости и не позволяют моделировать больших перемещений;
- для расчета на прочность упругопластических пекопсервативпых пространственных систем требуется разработать универсальный итерационный алгоритм МКЭ, индифферентный к величине параметра пластичности;
- трехмерные реологические модели сплошной среды, основанных на интегральной связи между компонентами тензоров деформаций и напряжений, требуют разработки шаговой процедуры МКЭ, основанной на пространственно-временной дискретизации краевой задачи;
- отсутствует алгоритм построения конечно-элементной модели, образованной из конечных элементов с различным числом неизвестных в узлах;
- требуется разработать концепцию МКЭ для решения связанной краевой задачи упруго пластичности и вязко упругости;
- отсутствуют МКЭ-программы для решения прикладных задач динамики объемно-стержневых механических систем;
- необходим банк тестовых примеров, обеспечивающих фундаментальность и гарантию качества конечно-элементного программного комплекса.
Эффективное решение этих проблем возможно на основе совершенствования существующих и разработки новых методов и алгоритмов конечно-элементного моделирования, что определяет актуальность рассматриваемой темы.
Резюмируя можно сформулировать следующую цель научных исследований.
Целью работы является решение важной научной проблемы, связанной с разработкой методов, алгоритмов и МКЭ-программ для расчета упруго вязкопластических объемно-стержневых систем и направленной на повышение качества проектирования в области машиностроения и строительства без привлечения дорогостоящих мульти-физических программных комплексов.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Анализ современных методов построения матриц жесткости объемных конечных элементов, способов формирования и хранения коэффициентов глобальной матрицы жесткости и алгоритмов решения результирующей системы уравнений с целью оценки их эффективности и разработки соответствующего математического и программного обеспечения.
2. Обзор механико-математических моделей упругопластических, вязкоупругих и упруго вязкопластических сплошных сред для
построения физических соотношений конечно-элементного алгоритма
в форме метода перемещений.
3. Построение матриц жесткости и тестирование новых универсальных объемных КЭ, позволяющих моделировать изгибные деформации тонкостенных и толстостенных пластин и тел вращения.
4. Разработка алгоритма и программы ансамблирования объемных и пространственных стержневых (балочных) КЭ.
5. Разработка программы генерации трехмерной сетки элементов и формирования соответствующих массивов топологической информации.
6. Создание программы решающего устройства, включающего формирование глобальной матицы жесткости ансамбля КЭ, решение результирующей системы алгебраических уравнений, вычисление внутренних усилий в стержневых и напряжений в объемных элементах.
7. Построение программного модуля пре- и постпроцессорной обработки информации.
8. Разработка и исследование сходимости нового метода конечно-элементного анализа напряженного состояния массивных тел, выполненных из линейно вязкоупругого материала при квазистатическом процессе нагружепия.
9. Разработка и исследование сходимости нового эффективного метода и МКЭ-программы решения пространственных задач теории пластичности при циклическом процессе нагружения.
10. Разработка нового метода решения связанной задачи упруго пластичности и вязко упругости.
11. Разработка пакета прикладных программ МКЭ для динамического расчета механических объемно-стержневых систем.
Диссертационная работа выполнена в рамках научных направлений Южно-Российского государственного технического университета (НПЙ) по темам: "Компьютерная оптимизация, ресурсосберегающие расчеты и управление состоянием строительных конструкций и оснований зданий и сооружений", "Совершенствование, разработка узлов, агрегатов, систем и программ расчета деталей, улучшающих эффективность и экономичность поршневых и комбинированных двигателей внутреннего сгорания". ф Методы исследований
В работе использовались:
- элементы тензорного анализа и вариационного исчисления (принцип Лагранжа), матричная алгебра, интерполяционные полиномы и сплайны;
- методы и алгоритмы решения больших систем линейных алгебраических уравнений с симметричными редко заполненными матрицами коэффициентов;
- алгоритмы экономичного хранения разреженных матриц высокого порядка в терминах теории графов;
- теория малых упругопластических деформаций;
- наследственная теория упругости;
- численные методы решения нестационарных задач теории упругости, включая модальный анализ;
- элементы дискретной и компьютерной (символьной) математики.
Основные научные результаты и положения, выносимые на защиту
1. Новые тензорно-матричные алгоритмы построения матриц жесткости "моментных" полилинейных КЭ.
2. Пространственные механико-математические модели упругопластических и вязкоупругих материалов.
3. Новые методы, алгоритмы и программы конечно-элементного ана лиза напряженно деформированного состояния трехмерных тел, выполненных из упругопластических и вязкоупругих материалов.
4. Оригинальная методика расчета объемно-стержневых механических систем при динамическом нагружении.
5. Программный комплекс POLYGON V и модули пре- и постпроцессорной обработки данных конечно-элементного расчета.
6. Числовые результаты исследований сходимости и точности разработанных алгоритмов и программ. Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов заключается в следующем:
1. Получены оригинальные соотношения для матриц жесткости "мо-ментных" трехмерных (в общем случае криволинейных) элементов, инвариантные по отношению к глобальному базису и учитывающие в процессе сложного деформирования смещения элементарных объемов "как жесткое целое". Отличительной особенностью предлагаемых элементов является вычисление физических компонент тензоров деформаций и напряжений относительно местных "сопутствующих" в общем случае неортогональных осей. Для случая, когда изменением метрики в объеме элемента можно пренебречь, представленные матричные выражения преобразованы к замкнутому виду.
2. Впервые создана процедура апсамблировання объемных и стержневых (балочных) конечных элементов, позволяющая решать задачи пространственного армирования и усиления конструкций и сооружений.
3. Выявлены новые важные особенности, возникающие при моделировании пластинчатых и оболочечных конструкций по толщине одно- и двухслойными схемами изопараметрических полилинейных КЭ, построенных на основе "моментного" и стандартного алгоритмов МКЭ.
4. Впервые исследованы вычислительные особенности алгоритма "глобального" сглаживания поля напряжений для трехмерного конечно-элементного ансамбля. На базе теории сопряженных аппроксимаций получены новые выражения для фундаментальных матриц объемных элементов с различным числом узлов. Разработан универсальный алгоритм вычисления физических компонент тензора напряжений "моментных" КЭ.
5. Разработан и апробирован на модельных задачах новый конечно элементный алгоритм решения задач линейной вязкоунругости с учетом переменного квазистатического нагружения и зависимости реологических характеристик материала от времени и температуры.
6. Формализована оригинальная механико-математическая модель сдвиговой ползучести стареющего материала, применительно к шаговой процедуре МКЭ в форме метода перемещений.
7. Исследована сходимость численного решения задачи наследственной теории упругости в зависимости от типа ядра релаксации, способа численного интегрирования и схемы дискретизации по временной оси.
8. Разработан и реализован эффективный алгоритм метода переменных параметров упругости в сочетании с процедурой предикации для решения задач теории пластичности. Предлагаемый новый ал-горитм позволяет исследовать пластический отклик конечно-элементной модели при циклическом нагружении.
9. Впервые разработано программное обеспечение, позволяющее в рамках единого вычислительного процесса использовать для отдельных фрагментов (конгломератов КЭ) ансамбля различные нелинейные модели материала.
10. Разработан конечно-элементный алгоритм прочностного расчета упруго вязкопластических тел, основанный на шаговой схеме процесса нагружения (разгрузки), инкрементальной нелинейною деформируемой модели материала и интегральной зависимости между результирующими тензорами напряжений и деформаций.
11.Создан метод динамического анализа объемно-стержневых механических систем. Сформулированы практические рекомендации но выбору шага по времени для различных способов возбуждения колебаний, обеспечивающие устойчивую сходимость процесса прямого интегрирования уравнения движения.
12. На базе нового стандарта Фортрана 90 разработано вычислительное ядро конечно-элементного комплекса POLYGON V, предназначенного для решения научно-исследовательских и промышленных задач в области машиностроения и строительства.
13. На основе графических функций системы компьютерной математики Maple V R5 созданы пре- и пост процессорные программные модули визуализации исходных данных (геометрия, топология) и результатов конечно-элементного анализа.
