Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Аналитические решения краевых задач для ЛГД уравнений на элементах графа . 16
1.1. Математическая модель сердечно - сосудистой системы. ...16
1.1.1. Уравнения гемодинамики. 16
1.1.2. Граф сосудов головного мозга. 17
1.1.3. Условия сопряжения и граничные условия.
1.2. Линеаризованная математическая модель гемодинамики на графе 20
1.2.1. Линеаризованные уравнения гемодинамики. 20
1.2.2. Линеаризованные условия сопряжения и граничные условия , 21
1.3. Краевая задача на графе из одного ребра; 23
1.3.1. Постановка задачи и ее аналитическое решение. 23
1.4. Краевая задача на графе из двух ребер. ...29
1.4.1. Постановка краевой задачи. 29
1.4.2. Метод продолжений в приложении к краевой задаче на графе из двух ребер... 30
1.4.3. Рекуррентные соотношения для волн скорости на графе из двух "равновременных" ребер 37
1.4.4. Постановка и решение разностной задачи для волн скорости на двух "равновременных" ребрах. 46
1.4.5. Решение краевой задачи на графе из двух ребер с кратными "характерными" временами . 50
1.5. Численное решение краевой задачи для уравнений гемодинамики на графе из двух ребер. 54
1.5.1. Постановка расчетной задачи. 54
1.5.2. Результаты расчетов в случае двух "равновременных"ребер. 55
1.5.3. Результаты расчетов в случае двух ребер с неравными "характерными" временами. 57
1.6. Краевая задача на графе «тройник» 58
1.6.1. Постановка краевой задачи. 58
1.6.2. Метод продолжений в применении к краевой задаче на графе «тройник» 60
1.6.3. Анаїитическое решение краевой задачи на графе из трех «равновременных» ребер. 65
1.6.4. Численное решен ие краевой задачи для уравнений гемодинамики на графе «тройник» 73
ГЛАВА 2. Исследование краевой задачи для ЛГД уравнений на произвольном графе . 76
2.1. Система функциональных уравнений с запаздывающими аргументами. 76
2.1.1. Рекуррентное соотношение для системы однородных функциональных уравнений 77
2.1.2. Рекуррентное соотношение для системы неоднородных фунщианашшх уравнений. 86
2.2. Краевая задача на произвольном графе ...87
2.2.1. Постановка краевой задачи. 87
2.2.2. Метод продолжений в приложении к краевой задаче на произвольном графе.. 88
ГЛАВА 3. Математическое моделирование гемодинамических факторов усиления пульсовых волн в артериальных сосудах 94
3.1. Стационарное течение в артериальной части церебрального кровообращения .94
3.1.1. Описание графа сосудов головного мозга. 94
3.1.2. Описание стационарного течения на графе церебрального кровообращения... 96
3.1.3. Изменение амплитуды пульсовых волн в участках ветвления сосудов в артериальной части церебрального кровообращения . 97
3.2. Моделирование гемодинамических факторов, способствующих образованию аневризм в сосудах Виллизиева круга и аорте
3.2.1. Аневризмы сосудов головного мозга. 101
3.2.2. Моделирование роста амплитуды пульсовых волн в вертебробазилярном бассейне сосудов головного мозга. 102
3.2.3. Моделирование роста амплитуды пульсовых волн в каротидной системе кровоснабжения головного мозга., 105
3.2.4. Моделирование роста амплитуды пульсовых волн в Виллизиевом круге сосудов головного мозга. 108
3.2.5. Моделирование роста амплитуды пульсовых волн в артериальной части большого круга кровообращения. 111
Заключение 116
Приложение 117
- Линеаризованные условия сопряжения и граничные условия
- Решение краевой задачи на графе из двух ребер с кратными "характерными" временами
- Рекуррентное соотношение для системы однородных функциональных уравнений
- Изменение амплитуды пульсовых волн в участках ветвления сосудов в артериальной части церебрального кровообращения
Введение к работе
Математическая модель кровообращения. Исследование кровеносной системы человека является одной из важнейших задач современной фундаментальной медицины. Заболевания кровеносной системы. приводят к большому количеству летальных исходов и часто поражают людей еще в молодом возрасте. В;связи с этим в последнее время появилось большое количество математических моделей, моделирующих процессы, происходящие в сердечно-сосудистой системе человека.
Развитие методов математического моделирования требует отображения в математических описаниях по возможности всей совокупности физиологических закономерностей и свойств при обоснованном ограничении детальности, специфики и объема включаемых в модель характеристик. Рассмотрим конкретные характеристики и закономерности, обычно отображаемые в моделях кровообращения.
Как правило, математическое моделирование сердечно-сосудистой системы основывается на возможности сопоставления ей некоторой структуры эластичных сосудов, вдоль которых движется кровь, нагнетаемая; сердцем [1,43,47]. В этом случае в основу математической модели сердечнососудистой системы закладываются физические законы, описывающие процесс движения крови по сосудам (уравнения гемодинамики).
В зависимости от степени детализации конкретных участков сердечнососудистой системы используются одномерные [1], двухмерные [33] и трехмерные [3 0], стационарные [64] и нестационарные [ 1 ] модели течения. Модели реологии крови также варьируются от однокомпонентной невязкой несжимаемой жидкости до многокомпонентной реагирующей смеси.
В случае, когда является важной пространственная картина течения, взаимосвязь между давлением и кровотоком описывают исходя из 2-х или 3-х мерных уравнений Навье-Стокса, либо их линейного аналога - уравнения Стокса [30,33,37,48]. Двух или трех мерные уравнения обычно используются при изучении сосудов большого диаметра: (аорта, полые вены), где важна геометрия течения.
Подобные модели требуют большого объема вычислений и сложны для аналитического исследования [42, 48]. При моделировании течения крови по мелким сосудам часто используют более простые модели [1,31,49, 53].
Часто при моделировании течения крови в сети сосудов уравнения упрощают вплоть до перехода к сосредоточенным параметрам [29,35,36,47]. В этом случае, как правило, используют обыкновенные дифференциальные уравнения [28,47,50]. Взаимосвязь между разностью давлений в начале и конце выделенного участка сосуда и объемной скоростью кровотока при использовании сосредоточенных параметров обычно описывают, опираясь на закон Пуазейля. Для отдельных участков сосудистого ложа дополнительно учитывают результаты исследования реологических свойств крови [57].
Зависимость давления от объема для отдельного сосудистого участка во многих моделях вслед за Франком [38] представляют отношением давление-объем в эластическом резервуаре. Отношение это опирается на закон Гука. В венозной системе, в отличии от артериальной, значительно меньше мышечных элементов. Важную роль играют клапаны, коллапсирование-сосудов, тканевое давление и давление в грудной полости.. В ряде моделей сделаны попытки отображения этой специфики [47].
Часто при моделировании течения крови в сети сосудов используют квазиодномерные модели [1,53], получаемые осреднением уравнений Навье-Стокса по поперечному сечению. Форма поперечного сечения сосуда предполагается обычно круглой, так как сосуды в нормальном состоянии наполнены и разность давлений внутри сосуда и снаружи положительна. Практически во всех работах по квазиодномерному приближению предполагается существование локального закона, связывающего площадь поперечного сечения сосуда и трансмуральное давление [40]. При этом игнорируются эффекты продольного растяжения и изгиба. Чтобы учесть упругое напряжение при продольном растяжении и изгибе, в закон добавляют зависимость от производной давления по пространственной переменной. Экспериментальные данные [46] свидетельствуют о том, что функция связи сечения и давления может менять направление выпуклости. Отсюда возможны такие эффекты, как формирование ударных волн сокращения и растяжения в сосуде при различных режимах [58]. Квазиодномерные уравнения гемодинамики похожи на уравнения газовой динамики. При этом закон связи давления и поперечного сечения играет роль уравнения состояния.
Таким образом, квазиодномерная модель, описывающая движения крови в сосуде, обычно состоит из трех уравнений. Первое и второе уравнение выражают закон сохранения массы крови и закон сохранения количества движения [I, 45]. Эти уравнения не зависят от физиологических свойств сосуда и справедливы для сосудов с любыми І характеристиками. В качестве третьего уравнения берут закон, связывающий площадь поперечного сечения сосуда и трансмуральное давление. Именно в этом уравнении учитываются все присущие данному сосуду свойства.
Полная математическая модель сердечно-сосудистой системы, помимо модели, описывающей течение крови по сосудам, должна содержать и модель участков бифуркации сосудов. При построении математической модели бифуркации сосуда обычно предполагают, что в области сопряжения сосудов выполняется закон сохранения массы крови и: закон сохранения энергии [32; 56]. Однако в виду того, что ряд исследований [54, 56] показывает, что в местах бифуркации сосуда нередки образования вихревых течений, которые приводят к диссипации кинетической энергии, часто вместо закона сохранения энергии используются различные полуэмпирические соотношения. Например, непрерывность давления в: сосудах вблизи их соединения, непрерывность величины интеграла Бернулли [1, 32, 45, 54].
Одной из общесистемных характеристик математической модели сердечно-сосудистой системы является регуляция кровообращения. Модели регуляции кровообращения чрезвычайно многообразны. Среди них встречаются модели в виде простых одноконтурных схем [16]. Многие модели представляются сложными; схемами, отражающими проявление реальных процессов, а также гипотетические предположения. Тем не менее необходимо отметить, что известные в физиологии концепции о регуляции кровообращения значительно более- многогранны, чем самые сложные модели [26, 60].
В данной работе используется иерархическая математическая модель кровеносной системы на графе эластичных сосудов предложенная А.П. Фаворским и др. [і]. В этой модели сердечно-сосудистую систему формально описывают графом, состоящим из набора ребер и вершин. Вершины такого графа- моделируют либо участки сопряжения сосудов, либо участки фильтрации крови через капиллярные сети мышечных тканей, либо отдельные органы организма (печень, почки и т.д.) Ребра графа соответствуют либо конкретным сосудам кровеносной системы, либо жгутам функционально однородных мелких сосудов [1]..
При использовании данной модели появляется возможность как. любой степени детализации выбранных участков сердечно-сосудистой системы, так и возможность их упрощения, для рассмотрения только качественной картины течения. Это позволяет для каждого конкретного случая подбирать наиболее приемлемый граф системы кровообращения. В этом состоит преимущество данной модели системы кровообращения.
Пульсовые волны. Математическая модель кровеносной системы на графе эластичных сосудов, в основу которой положены квазиодномерные уравнения і гемодинамики, позволяет моделировать функционирование сердечно-сосудистой системы при различных патологиях [5, II, 12]. Используя данную модель можно моделировать эффекты перераспределения потока крови при пережатии некоторых сосудов, изучать влияние различных органов на характеристики потока крови в сердечно-сосудистой системе. Система кровообращения была открыта У, Гарвеем в 17 веке. С этих пор изучение распространения волн давления и скорости по системе эластичных сосудов постоянно привлекало большое внимание исследователей. Начало теоретического анализа распространения волн давления по эластичным сосудам приписывается Young Т. [63], который в начале 19 века впервые вычислил скорость пульсовой волны в артерии человека.
В конце 19 века в работах Grashey Н [39] и Von Kries J. [62] была предложена концепция отражения пульсовой волны. Впоследствии концепция отражения пульсовой волны была модернизирована Hamilton W.P. и Dow Р [41]. В их работе было показано, что пульсовая волна отражается от участков бифуркации аорты и тазового деления, подвздошной артерии. Позднее McDonald D.А. и Taylor M.G.[51], установили эффект отражения волны давления и скорости от участков резкого изменения диаметра сосуда или эластичных свойств его стенки, а также от мест сопряжения сосудов.
Исследованию распространения пульсовой волны по системе кровообращения посвящен ряд других работ [32, 52] Результаты, полученные в указанных работах, помогли объяснить ряд явлений в кровеносной системе, например, отличия в форме волн давления и скорости крови; наблюдаемых в артериальной системе. Во всех указанных работах не отслеживается поведение отраженной волны при дальнейшем ее отражении и прохождении других элементов кровеносной системы.
Целый ряд работ посвящен исследованию течения жидкости по эластичной схлопывающейся трубке [44, 55, 59]. В этих работах описывается поведение малых отклонений давления и скорости от фоновых значений, являющихся решением стационарных квазиодномерных уравнений гемодинамики. Авторы отмечают возможность возникновения нестабильных колебаний давления и скорости, которые возникают вследствие особенностей в задании закона, выражающего упругие свойства сосудистой стенки и связывающего площадь поперечного сечения и давление внутри сосуда. Учитывая, что в этих работах рассматривается только один сосуд, полученные результаты можно использовать для математического моделирования распространения пульсовой волны на локальных участках кровеносной системы.
При математическом моделировании процесса распространения пульсовой волны по всей сердечно-сосудистой системе необходимо учитывать, что кровеносной системе сопоставляется сильно ветвящийся граф сосудов. Причем степень детализации отдельных фрагментов этого графа зависит от конкретных решаемых задач.
Актуальность результатов работы. Известно, что ряд заболеваний-сердечно-сосудистой системы происходят из-за нарушений в распространении пульсовой волны (в диссертации волны давления и скорости) и ее воздействия на стенки сосудов [18; 27, 34]. В связи с этим, является актуальной задача математического моделирования распространения волн давления и скорости по системе эластичных сосудов.
Результаты, полученные в диссертации, в рамках линейного приближения позволяют делать выводы о возможном характере распространения волн давления и скорости. Получено достаточное условие роста во времени: амплитуд волн давления и скорости на произвольном графе сосудов.
В диссертации аналитически решены задачи о распространении волн давления и скорости на графах из одного, двух и трех сосудов. Численный расчет гемодинамических течений на таких графах подтвердил выводы линейной теории.
В диссертационной работе установлена связь между местами локализации аневризм в артериальных сосудах и числовыми значениями характерных комбинаций коэффициентов отражения и прохождения пульсовых волн в вершинах графа. Сделана попытка объяснить патологические изменения в сосудистой стенке закономерностями распространения волн давления и скорости. Все это в целом обуславливает актуальность данной работы по математическому моделированию распространения волн давления и скорости по системе эластичных сосудов.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения, содержит 40 рисунков, 4 таблицы. Библиография насчитывает 64 наименования.
Во введении приведен обзор литературы по теме диссертации, излагается краткое содержание работы, сформулированы результаты, которые выносятся на защиту.
Первая глава диссертации, состоящая из шести параграфов, посвящена получению линеаризованной математической модели гемодинамики на графе эластичных сосудов и проведению, на базе полученной модели, линейного анализа распространения волн давления и скорости на графах из одного, двух и трех сосудов. Для этих графов найдено достаточное условие для развития колебаний с растущей во времени амплитудой волн давления и скорости.
В первом параграфе рассматривается математическая модель системы кровообращения. Сердечно-сосудистой системе ставится в соответствие некоторый граф, состоящий из набора занумерованных ребер и вершин.. Ребра графа соответствуют магистральным сосудам или жгутам функционально однородных мелких сосудов. Вершины графа моделируют участки сопряжения нескольких сосудов, участки фильтрации крови через мышечную ткань или отдельные органы, вход и выход из системы.
Используется предположение, что сосуды является достаточно протяженными по сравнению со своими поперечными размерами. Поэтому для описания движения крови в сосудах используется квазиодномерное приближение.
На каждом ребре графа предполагаются выполненными дифференциальные уравнения, выражающие законы сохранения массы и импульса. Для замыкания системы дифференциальных уравнений добавляется уравнение состояния, описывающее упруго-механические свойства сосуда и связывающее площадь поперечного сечения и трансмуральное давление. Трение и. сила тяжести в рассматриваемой в диссертации постановке задачи не учитываются.
В граничных точках ребер, образующих вершины графа, значения давления, скорости и площади поперечного сечения связываются дополнительными соотношениями. Во внутренних вершинах, моделирующих участки сопряжения нескольких сосудов, считается выполненным закон сохранения потока жидкости и условие непрерывности давления или интеграла Бернулли, а в вершинах, моделирующих мышечные ткани или отдельные органы -закон сохранения потока и закон фильтрации Дарси.
Во втором параграфе выводятся уравнения, описывающие эволюцию малых отклонений давления и скорости от стационарных средних значений. Для этого на фоне фиксированного стационарного решения уравнений гемодинамики проводится линеаризация системы квазиодномерных уравнений гемодинамики. Эти уравнения дополняются линеаризованными условиями сопряжения, заданными во внутренних и граничных вершинах графа. Показано, что общим решением линеаризованных гемодинамических уравнений (ЛГД) на каждом ребре графа является суперпозиция двух бегущих волн произвольного вида, распространяющихся в противоположных друг другу направлениях.
В третьем параграфе для графа, состоящего из одного ребра, получено аналитическое решение общей краевой задачи для ЛГД уравнений. Получены аналитические выражения для коэффициентов, связывающих амплитуды падающей на вершину и отраженной от вершины волны.
Показано, что качественный характер решения зависит от произведения коэффициентов отражения от обеих граничных вершин, получившего название коэффициента усиления. Если коэффициент усиления по модулю больше единицы, то амплитуда волн давления и скорости неограниченно растет с течением времени. Если коэффициент усиления по модулю меньше единицы, то решение является ограниченным.
В четвертом параграфе проводится анализ краевой задачи для ЛГД уравнении на графе из двух ребер, соединяющихся в одной вершине. В результате решения краевой задачи методом продолжений получены рекуррентные соотношения для волн скорости на рассматриваемом графе.
Отдельно рассматривается случай графа из двух ребер с равными «характерными» временами. Для такого графа; краевая задача сводится к разностной задаче для волн скорости. Получено решение краевой задачи на графе из двух «равновременных» ребер. Показано, что решение: краевой: задачи может иметь качественно различный характер. Получено достаточное условие неограниченного роста амплитуды колебаний волн давления и скорости с течением времени.
В пятом параграфе приводятся результаты численного решения уравнений гемодинамики на графе из двух ребер. Выводы линейной теории относительно качественных особенностей поведения решения полностью подтверждаются результатами численных расчетов.
В шестом параграфе проводится анализ краевой задачи для ЛГД уравнений на графе из трех ребер, соединенных в одной-вершине (граф «тройник»). Для графам «тройник» с равными «характерными» временами всех ребер получено аналитическое точное решение краевой задачи. Показано, что решение краевой задачи может иметь качественно различный характер. Получено достаточное условие для развития колебаний с растущей во времени амплитудой пульсовых волн.
Приводятся результаты численных расчетов на графе «тройник». Выводы линейной теории относительно качественных особенностей поведения решения подтверждаются результатами численных расчетов.
Во второй главе диссертации, состоящей из двух параграфов, получено достаточное условие развития колебаний с растущей во времени амплитудой волн давления и скорости на произвольном графе сосудов. В первом параграфе рассматривается система однородных функциональных уравнений с запаздывающими аргументами, к которой сводится решение краевых задач для ЛГД уравнений. Для данной системы доказывается утверждение, позволяющее представить решение этой системы в рекуррентном виде.
Во втором параграфе проводится исследование решения краевой задачи для ЛГД уравнений на произвольном графе сосудов.
Отдельно выделен случай графа, состоящего из ребер с равными «характерными» временами. Для такого графа краевая задачах помощью рекуррентных соотношений сводится к разностной задаче для волн скорости. В результате решения разностной задачи получено достаточное условие для развития колебаний с растущей во времени амплитудой волн давления и скорости.
Третья глава диссертации, состоящая из двух параграфов, посвящена описанию результатов математического моделирования гемодинамических течений с растущей во времени амплитудой пульсовых волн в сосудах Виллизиева круга головного мозга и магистральных артериях грудной и брюшной полости.
Математическое моделирование проводилось с использованием графа сосудов головного мозга, описанного в работе [17]. В первом параграфе главы приведены результаты расчетов стационарного решения уравнений гемодинамики на данном графе. Числовые значения параметров стационарного течения представлены в виде таблицы, где помимо стационарных значений давления и скорости течения приведен и ряд других параметров, характеризующих сосуды.
Для каждой вершины графа рассчитаны значения определителей матриц, составленных из коэффициентов прохождения и отражения. Установлено, что в Виллизиевом круге мозга находится ряд вершин, для которых эти определители по модулю больше единицы. Эти вершины соответствуют тем местам реальной сосудистой: системы, где наиболее часто возникают аневризмы.
Во втором параграфе приведены результаты численных расчетов гемодинамических течений в каротидном отделе Виллизиева круга мозга, в вертебро-базилярном отделе, в Виллизиевом круге в целом ив артериальной части большого круга кровообращения. Показано, что при определенных условиях в артериальной части сосудистой системы могут возникать колебания давления с растущей во времени амплитудой.
В заключении сформулированы основные результаты диссертации.
В приложения вынесены таблицы параметров стационарных течений для церебрального кровообращения и таблицы значений коэффициентов прохождения и отражения, рассчитанные для всех вершин артериальной части графа церебрального кровообращения.
Основные результаты.
1.В диссертации на основе линеаризованной модели гемодинамики поставлен и аналитически решен ряд краевых задач на графах, моделирующих характерные участки сердечно-сосудистой системы. Установлено достаточное условие неограниченного роста амплитуд волн давления и скорости с течением времени на произвольном графе.
2. Разработан и реализован в виде модуля программного комплекса CVSS алгоритм численной проверки выполнения достаточного условия роста амплитуд пульсовых волн на графе. Численным решением краевых задач для уравнений гемодинамики подтверждены выводы линейной теории.
3. В диссертации проведено математическое моделирование гемодинамических течений с растущей во времени амплитудой пульсовых волн в сосудах Виллизиева круга головного мозга и магистральных артериях грудной; и брюшной полости. Составлены таблицы коэффициентов прохождения и отражения для вершин графа сосудов головного мозга. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3] - [П]. Суммарный объем этих печатных работ 273с, машинописного текста. Результаты работы докладывались:
• на научно-исследовательском семинаре под руководством академика А.А. Самарского кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова;
• на международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов 2002";
• на школе-семинаре молодых ученых факультета ВМиК МГУ (г. Дубна, 2002).
В заключение автор выражает глубокую признательность научному руководителю к.ф.-м.н. Н.В .Соснину за внимание к работе, а также д.ф.-м.н. А.П. Фаворскому, д.б.н. В.Б.Кошелеву и к.ф.-м.н. С.И.Мухину за постоянную поддержку и ценные рекомендации в процессе работы.
Линеаризованные условия сопряжения и граничные условия
Из формул (1.4.35)-(1.4.38) следует, что для нахождения значений функций /t+ , /, , /2 ь /2 на всей области их определения достаточно знать значения функции / на отрезке (1Х — X\(tx +12) , /, ], значения функции /і" на отрезке [0, - 2AJ" (t1 +12)), значения функции У2+ на отрезке (/2 - Д2 (, +12), /2 ] и значения функции /2 на отрезке [0, - 2Я2 {t[ +1\)).
Функции /,+ , /j" , /2 » /2" на данных начальных отрезках обозначим как ФІ , ZY , Ф2+ , Ф2 соответственно. Они определяются с помощью метода продолжений по схеме, описанной в пункте 1.4.3 данного параграфа. Будем считать их известными функциями переменной z . Рассмотрим рекурентное соотношение для функции /i+, дополненное начальными условиями: где ак - константы, определяемые через начальные значения у0і У\ -" Ут+п-і а Pj частное решение неоднородного уравнения (1,4.40). Рассмотрим соотношение (1.4.42), которое дает значения функции /j+ в точках Zj, Это соотношение представляет собой сумму степеней некратных корней характеристического уравнения и сумму слагаемых вида jk q{ для кратных корней. Таким образом, из (1.4.42) следует, что если все корни характеристического уравнения (1.4.41) по модулю не больше единицы и нет кратных корней по модулю равных единице, то функция /,+ является ограниченной. Если хотя бы один из корней характеристического уравнения по модулю больше единицы или существуют кратные корни, по модулю равные единице, то функция f{ оказывается неограниченной. Заметим, что согласно следствию; из теоремы Виета д} —д/ =(-l)m+" detTg. Поэтому, если detrg 1, то хотя бы один из корней уравнения (1.4.41) по модулю больше единицы. Таким образом, ранее сформулированное достаточное условие неограниченности функции / справедливо и в случае двух ребер с кратными "характерными" временами. Так как коэффициенты в рекуррентных соотношениях для функций f\ f\ » /г » fi одинаковы, то соответствующие характеристические уравнения для функций f{ , /2+ » /г"» совпадают с уравнением (1.4.41). Поэтому достаточное условие неограниченного роста амплитуды бегущей волны ff справедливо для всех функций f , f\ , /2 ». В заключение заметим, что в данном параграфе установлена возможность существования на графе из двух ребер двух режимов эволюции пульсовых волн. В одном режиме амплитуда волн является ограниченной во времени, а во втором амплитуда волн растет неограниченно. условиями //, (0 = ju2 (0 = 0. Задача (1.5.1)-(1-5.3) решается численно с помощью комплекса программ CVSS [5]. Проводится сравнение численного решения задачи (1.5.1)-(1.5.3) с аналитическим решением задачи (1.4.1)-(1.4.5) на начальных этапах развития колебаний. В расчетах параметры стационарных, решений полагались равными Р\ =.02=100 мм.рт.ст., щ = й2 - 20 см/с, x=s2 = 6 см2. Параметры функции 5, (/) полагались равными Pminl =80мм.рт.ст., Ртлх] =120мм.рт.ст., ШІПІ=4см » ітшхі = 8см . Параметры функции S2(Р2) варьировались. Длина первого сосуда равна /, =5 см. Параметры функции i( ) полагались равными у}= 1см, у2=2см, Л = 1мм.рт.ст, Длина второго сосуда варьировалась для получения различных значении отношения. Результаты расчетов приведены в виде графиков зависимости давления от времени в фиксированной точке первого сосуда с координатой # = 4 см. Графики для скорости в первом сосуде и давление и скорость во втором сосуде имеют аналогичный качественный вид. 1.5.2. Результаты расчетов в случае двух "равновременных" ребер. В пункте 1.4.4 для случая t\ =t2 показано, что если корни , q2 характеристического уравнения различны и по модулю не превосходят единицы, то решение линеаризованной задачи является ограниченным. Если же хотя бы один из корней по модулю больше единицы, то амплитуда решения будет неограниченно расти во времени. Были: проведены расчеты для случая tx t2 =0,036с. Результаты численных расчетов подтверждают выводы, сделанные в 1.4. Проиллюстрируем полученные результаты на следующем примере. Будем варьировать параметры функции S2 {Р2) Для получения различных значений корней-.#1, #2, а длину /2 подберем из условия/, 2.
Решение краевой задачи на графе из двух ребер с кратными "характерными" временами
Кровоснабжение мозга осуществляется двумя парами магистральных артерий головы: по правой и левой внутренним сонным артериям (ребра графа с номерами 1-4, 77-80, 85-90) и по правой и левой позвоночным артериям (номера ребер 12,13). Причем две трети всего количества крови, притекающей к мозгу, доставляется по внутренним сонным артериям и одна треть поступает по позвоночным артериям. Первые образуют каротидную, вторые - вертебробазилярную систему кровоснабжения головного мозга.
На протяжении внутренних сонных артерий выделяются несколько отделов, одним из которых является супраклиноидный (ребра 1,2). От задней стенки супраклиноидного отдела отходит задняя соединительная артерия (ребра 21-24), играющая важную роль в замыкании артерий основания мозга и образовании Виллизиева круга (ребра 1-4, 10, 16, 19-24, 29-32). В этой же области происходит деление внутренней сонной артерии на среднюю мозговую артерию (ребра 17, 18, 39-42) и переднюю мозговую артерию (ребра 10, 16, 27, 28, 33-36). На своем протяжении передняя мозговая артерия делится на более мелкие ветви. Обе передних мозговых артерии соединяются между собой передней соединительной артерией (ребра 19, 20), формируя передние отделы Виллизиева круга.
Позвоночные артерии после входа в череп сливаются, образуя основную артерию (ребро 14). В своем дистальном отделе основная артерия делится на задние мозговые артерии (25, 26, 29-32, 45, 46, 49, 50), образуя бифуркацию основной артерии. На своем протяжении задняя мозговая: артерия, как и передняя мозговая артерия, делится на более мелкие ветви. От дистального отдела первого сегмента задней мозговой артерии отходит задняя соединительная артерия (ребра1 21-24), которая соединяет между собой вертебро-базилярный и каротидный бассейны (задние отделы Виллизиева круга). На каждом ребре графа предполагается выполненной система уравнений гемодинамики (1.1.1)-(1.1.3). В вершинах графа, соответствующих участкам ветвления кровеносных сосудов, предполагаются выполненными условия, выражающие закон сохранения потока жидкости и непрерывности давления. В вершинах графа, соответствующих участкам фильтрации жидкости через ткань, предполагаются выполненными условия, выражающие закон сохранения потока жидкости и закон; фильтрации Дарси. В граничной вершине с номером 80 задан стационарный поток жидкости равный Qm -100 мл/с, а в граничной вершине с номером 92 задается; стационарное давление равное Р92 = 0 мм.рт.ст. Параметры ребер графа взяты в соответствии с работой [17]. Стационарное течение на графе сосудов церебрального кровообращения рассчитывалось с помощью программного комплекса CVSS, Коэффициент кинематической вязкости жидкости полагался равным = 0.04см2/с. Начальные данные на графе выбирались согласно [17] кусочно -постоянными. Такие начальные данные не являются решением уравнений гемодинамики на рассматриваемом графе. Поэтому происходит перестройка течения, которое за время равное нескольким сердечным циклам выходит на стационарный режим. Так как расчеты проводились с кинематической вязкостью отличной; от нуля, то значения параметров установившегося стационарного режима течения в каждом сосуде зависят от пространственной координаты. Графики этих зависимостей имеют близкий к линейному вид. Параметры рассчитанного стационарного режима течения для графа, изображенного на рисунке 3.1.2, приведены в приложении в таблице 4.1.1. Известно, что пульсовая волна при прохождении участков ветвления сосудов претерпевает изменения своей амплитуды. При этом наблюдается частичное отражение пульсовой волны от участка бифуркации. Формулы для коэффициентов, связывающих амплитуды пульсовой волны до и после участка ветвления сосуда получены в работе [19]. В главе 2 каждой вершине ветвления сосудов сопоставлена матрица, составленная из коэффициентов прохождения и отражения, относящихся к конкретной вершине. Так, например, для вершины графа с номером /, образованной из п ребер с номерами 1,...,и эта матрица из коэффициентов прохождения и отражения имеет следующую структуру: Здесь к это либо коэффициенты прохождения для пульсовой волны давления, либо для волны скорости. Связь между этими коэффициентами такова, что модуль определителя матрицы Т1 имеет одно и тоже числовое значение как в случае коэффициентов прохождения для пульсовой волны давления, так и в случае использования коэффициентов прохождения для пульсовой волны скорости. В каждый момент времени по каждому из сосудов, входящих в вершину графа, на эту вершину падает пульсовая волна давления. Волны давления частично проходят через вершину графа, частично отражаются от нее, формируя таким образом в каждый момент времени пульсовые волны, уходящие от данной вершины. Матрица Т1 в каждый момент времени связывает между собой амплитуды волн давления, падающие на данную вершину графа и уходящие от данной вершины.
Рекуррентное соотношение для системы однородных функциональных уравнений
Для данного подграфа подсчитаем произведение модулей определителей матриц, составленных из коэффициентов прохождения и отражения для каждой вершины. Значения определителей для вершин с номерами 0, 30, 31, равные, соответственно, 1,026, 1,0 и 1,009, берем из таблицы Граничное условие д и в вершинах с номерами 6 и 35 дает значение соответствующего определителя, равное 1. Заданный поток в вершине с номером 43 приводит к значению определителя, равному 1,27.
В результате, произведение определителей матриц, составленных из коэффициентов прохождения и отражения всего подграфа равно 1,3. При этом следует ожидать роста с течением времени амплитуды внесенного возмущения.
Результаты расчетов, проведенных с использованием программного комплекса CVSS, приведены в виде графиков зависимости давления от времени в фиксированных точках каждого из сосудов выделенного подграфа. На рисунке 3.2.3а представлена зависимость давления от времени в правой задней соединительной артерии (ребра графа 21 и 22) в точке с координатой л: = 0.5 см. На рисунках 3.2.36, 3.2.3в и 3.2.3г представлены результаты расчетов в правой задней мозговой артерии (ребра 30, 26, 49) в точках с координатами х — 0.3 см, х = 0.1 см их — 0.3 см соответственно. Из приведенных графиков видно, что амплитуда пульсовой волны растет с течением времени. Также можно отметить, что характер нарастания амплитуды в сосудах задней мозговой артерии отличается от характера роста амплитуды пульсовой волны давления в сосудах задней соединительной артерии. В сосудах задней соединительной артерии рост амплитуды пульсовой волны происходит быстрее. Отметим, что задняя соединительная артерия отходит от супраклиноидного отдела внутренней сонной артерии, где по статистике наиболее часто встречаются аневризмы сосудов головного мозга. Рассмотрим граф головного мозга, описанный в 3.1. Выделим на нем подграф, состоящий из передних мозговых и передних соединительных артерий (сосуды, ограниченные вершинами с номерами 10, 12, 28, 34, 37), которые входят в каротидную систему кровоснабжения головного мозга (рис. 3.2.4) Как и 3.2.2, параметры ребер подграфа и начальные распределения давления и скорости возьмем из таблицы 4.1.1. Пусть на каждом ребре подграфа выполнены уравнения гемодинамики. В граничной вершине 10, соответствующей началу передней мозговой артерии зададим условие 8Q Л -т— -О. Это же условие зададим в граничной вершине 28. В вершине 37, соответствующей выходу из передней мозговой артерии, зафиксируем поток, равный стационарному. В сосуде, ограниченном вершинами 10 и 12 зададим начальное возмущение стационарного значения давления (р{х), определяемое формулой: р(х) = [Омм.рт.ст , если х є [0,0.2] и[0.4Д.35] 1 мм.рт.ст , если х є (0.2,0.4). Для данного подграфа произведение модулей определителей матриц, составленных из коэффициентов прохождения и отражения для каждой вершины подграфа, равно 1,15. Значения определителей для вершин с номерами 12 и 34 взяты из таблицы 4.2.1. Граничное условие z- = 0 в вершинах с номерами 10 и 28 дает значение определителя, равное 1, а заданный поток в вершине с номером 37 дает значение определителя, равное 1,13. На этом подграфе следует ожидать с течением времени роста амплитуды пульсовой волны, порожденной локальным начальным возмущением. Результаты расчетов приведены в виде графиков зависимости давления от времени в фиксированных точках каждого из сосудов выделенного подграфа. На рисунках 3.2.5а, 3.2.56 и 3.2.5в представлены зависимости давления от времени в правой передней мозговой артерии (ребра 10, 28 и 33) в точках с координатами х = 1 см, х = 0.3 см и х = 0.3 см соответственно. На рисунке 3.2.5г представлена зависимость давления от времени в передней соединительной артерии (ребро 19) в точке с координатой х = 0.1 см.
Изменение амплитуды пульсовых волн в участках ветвления сосудов в артериальной части церебрального кровообращения
На каждом ребре графа предполагается выполненной система уравнений гемодинамики (1.1.1)-(1.1.3). В вершинах графа, соответствующих участкам ветвления кровеносных сосудов, предполагаются выполненными условия, выражающие закон сохранения потока жидкости и непрерывности давления. В вершинах графа, соответствующих участкам фильтрации жидкости через ткань, предполагаются выполненными условия, выражающие закон сохранения потока жидкости и закон; фильтрации Дарси. В граничной вершине с номером 80 задан стационарный поток жидкости равный Qm -100 мл/с, а в граничной вершине с номером 92 задается; стационарное давление равное Р92 = 0 мм.рт.ст. Параметры ребер графа взяты в соответствии с работой [17].
Стационарное течение на графе сосудов церебрального кровообращения рассчитывалось с помощью программного комплекса CVSS, Коэффициент кинематической вязкости жидкости полагался равным = 0.04см2/с. Начальные данные на графе выбирались согласно [17] кусочно -постоянными.
Такие начальные данные не являются решением уравнений гемодинамики на рассматриваемом графе. Поэтому происходит перестройка течения, которое за время равное нескольким сердечным циклам выходит на стационарный режим. Так как расчеты проводились с кинематической вязкостью отличной; от нуля, то значения параметров установившегося стационарного режима течения в каждом сосуде зависят от пространственной координаты. Графики этих зависимостей имеют близкий к линейному вид. Параметры рассчитанного стационарного режима течения для графа, изображенного на рисунке 3.1.2, приведены в приложении в таблице 4.1.1. Известно, что пульсовая волна при прохождении участков ветвления сосудов претерпевает изменения своей амплитуды. При этом наблюдается частичное отражение пульсовой волны от участка бифуркации. Формулы для коэффициентов, связывающих амплитуды пульсовой волны до и после участка ветвления сосуда получены в работе [19]. В главе 2 каждой вершине ветвления сосудов сопоставлена матрица, составленная из коэффициентов прохождения и отражения, относящихся к конкретной вершине. Так, например, для вершины графа с номером /, образованной из п ребер с номерами 1,...,и эта матрица из коэффициентов прохождения и отражения имеет следующую структуру: Здесь к это либо коэффициенты прохождения для пульсовой волны давления, либо для волны скорости. Связь между этими коэффициентами такова, что модуль определителя матрицы Т1 имеет одно и тоже числовое значение как в случае коэффициентов прохождения для пульсовой волны давления, так и в случае использования коэффициентов прохождения для пульсовой волны скорости. В каждый момент времени по каждому из сосудов, входящих в вершину графа, на эту вершину падает пульсовая волна давления. Волны давления частично проходят через вершину графа, частично отражаются от нее, формируя таким образом в каждый момент времени пульсовые волны, уходящие от данной вершины. Матрица Т1 в каждый момент времени связывает между собой амплитуды волн давления, падающие на данную вершину графа и уходящие от данной вершины. Блочно-диагональная матрица состоящая из матриц коэффициентов прохождения и отражения всех вершин графа в каждый момент времени связывает между собой падающие и уходящие волны на всем графе. В главе 2 показано, что если определитель матрицы Т по модулю больше единицы, то амплитуда пульсовых волн, распространяющихся по графу, будет возрастать с течением времени. Модуль определителя матрицы Т равен произведению модулей определителей матриц коэффициентов прохождения и отражения всех вершин данного графа:Формула (3.1.3) показывает, что каждая вершина графа вносит свой вклад в формирование общей картины качественного поведения пульсовых волн на графе. В приложении в таблице 4.2.1 представлены значения коэффициентов прохождения и отражения и определителей матриц / , рассчитанные для всех вершин артериальной части графа церебрального кровообращения. Из данных таблицы 4.2.1 следует, что в артериальной части графа церебрального кровообращения находится ряд вершин, определители матриц коэффициентов прохождения и отражения которых по модулю больше единицы. На рисунке 3.1.3 треугольниками обозначены вершины артериальной части графа мозгового кровообращения, в которых определители по модулю больше единицы.
