Содержание к диссертации
Введение
1. Вынужденные периодические колебания многомассовой упругой системы сложной структуры. модификация метода матричной прогонки 22
2. Вынужденные нелинейные периодические колебания многомассовой системы с разрывными упругими связями. уравнения колебаний и дополнительные условия разрыва 40
3. Метод Ньютона - канторовича для решения задачи о нелинейных периодических колебаниях многомассовой упруго-демпферной системы 50
4. Исследование существования решения нелинейного уравнения и оценка сходимости итерационного процесса ньютона- канторовича 63
5. О методе галеркина для решения линеаризованных уравнений 76
6. Вынужденные периодические колебания двигателя внутреннего сгорания 102
6.1. Алгоритм расчета 102
6.2. Исходные данные и результаты расчетов 108
Заключение 123
Список использованных источников 125
- Вынужденные периодические колебания многомассовой упругой системы сложной структуры. модификация метода матричной прогонки
- Вынужденные нелинейные периодические колебания многомассовой системы с разрывными упругими связями. уравнения колебаний и дополнительные условия разрыва
- Метод Ньютона - канторовича для решения задачи о нелинейных периодических колебаниях многомассовой упруго-демпферной системы
- Исследование существования решения нелинейного уравнения и оценка сходимости итерационного процесса ньютона- канторовича
Введение к работе
На практике нередко встречаются задачи о колебаниях сложных машин и механизмов, которые адекватно могут рассматриваться как многомассовые упруго-демпферные системы с разветвленной структурой. Примером может служить двигатель внутреннего сгорания (ДВС) большой мощности, состоящий из нескольких роторов, соединенных зубчатыми колесами. Двигатель обычно представляется как система тонких абсолютно жестких дисков, совершающих крутильные колебания относительно собственных осей. Эти диски соединяются торсиопами - упругими связями, работающими на кручение. К числу дисков относят и зубчатые колеса, упругая связь которых определяется упругостью зубцов.
Условная схема такого двигателя изображена па рис. 1. На этом рисунке диски условно изображены кружками, а упругие связи - пружинками. Соответствующая схема расположения зубчатых колес приведена на рис. 2.
При исследовании динамики систем с разветвленной структурой могут возникать трудности при составлении алгоритма расчета и при реализации вычислительного процесса. Но сложность решения задач о колебаниях ДВС большой мощности определяется не только их конструкцией и характером действующих сил. Другой важной причиной, которая существенно осложняет решение задач динамики этих двигателей, является наличие люфтов в соединениях зубчатых колес. Причем, эти люфты не есть ошибки в исполнении колес, они заложены в конструкцию, так как иначе зубцовые соединения не
Рис. 1. Динамическая модель двигателя внутреннего сгорания.
собрать. Вместе с тем, наличие люфтов в соединениях зубчатых колес может существенно менять динамическое поведение коробки зубцовых передач и всего ДВС в целом. Это обстоятельство объясняется возникновением виброударных колебаний, которые могут сопровождаться увеличением в разы динамических усилий в элементах ДВС, повышенным шумом и даже могут приводить к поломке зубцов. С приципиальной точки зрения люфты превращают ДВС с зубчатой системой передач в механическую систему с разрывными связями, а задача о колебаниях такой системы становится нелинейной.
Рис. 2. Коробка передач ДВС.
10 К уравнениям колебаний при этом добавляются условия контакта-разрыва для
всех зубцовых соединений колес. Эти уравнения и условия определяют
движение рассматриваемой механической системы с разрывными связями.
Вместе с тем, в процессе движения сама колебательная система, вообще говоря,
не остается раз и навсегда заданной, а в ней многократно и во всех зубцовых
соединениях контакты могут переходить в их разрывы и наборот.
Длительное время колебания ДВС с учетом люфтов считались не
поддающимися расчету [5 - стр 339]. Однако, в последние десятилетия, в связи
с развитием вычислительной техники, в исследовательских центрах и на
крупнейших моторостроительных предприятиях такие расчеты стали
повсеместно выполняться. При этом, насколько известно, всюду применялся
примерно один и тот же алгоритм, основанный на численном решении задачи о
нестационарных колебаниях при заданных начальных условиях. Иначе говоря,
задача о колебаниях многомассовой упруго-демпферной механической системы
с разрывными связями решается так называемым "методом припасовывания" с
использованием процедуры типа Руиге-Кутты [3], [31], [32], [33].
В стационарном режиме работы двигателя внутреннего сгорания на роторы
двигателя действуют периодические крутящие моменты. Цикл изменения
моментов равен длительности одного или двух оборотов двигателя.
Однако, при решении задачи о колебаниях ДВС с учетом люфтов методом типа
Рунге-Кутты рассчитываемое движение, как правило, не стремится к
периодическому, а получается пучек движений, который можно увидеть,
например, на фазовой плоскости. Средне-взвешенное значение амплитуд
перемещений дисков и усилий в связях используется, обычно, для оценки интесивности вибрационного и напряженного состояния ДВС. Такой способ решения задачи о динамическом поведении ДВС с учетом люфтов в соединениях зубчатых колес является весьма трудоемким. Это объясняется, в частности, тем, что для получения устойчивого результата обычно требуется выполнить расчет для большого числа (нескольких десятков) циклов. Кроме того, эта трудоемкость существенно зависит от числа учитываемых степеней свободы (числа масс в замещающей схеме ДВС) и от демпфирования колебаний.
Между тем, экспериментальные исследования показывают, что в стационарном режиме работы ДВС, когда на роторы действуют периодические крутящие моменты, изменение его вибрационного состояния также носит периодический характер. Поэтому возникает вопрос: нельзя ли отказаться от решения трудоемкой задачи о многоцикловых нестационарных колебаниях и сразу решать задачу о периодических колебаниях за один цикл работы ДВС? В связи с этим спрашивается, во-первых, какие физически обоснованные коррективы требуется ввести в идеальную зависимость коитакпого усилия от взаимного перемещения зубцов для того, чтобы задача о периодических колебаниях ДВС при наличии люфтов в зубцовых соединениях допускала бы периодическое решение? Во вторых, каким наиболее эффективным методом эта задача может быть решена?
Ответам на эти вопросы посвящена настоящая работа [27, 28, 29, 30]. Остановимся на ее основных положениях.
1). Идеальная кривая зависимости контактного усилия от взаимного перемещения зубцов представлена на рис 3. При отсутствии контакта между зубцами это усилие равняется нулю.
Рис. 3. Идеальная зависимость контактного усилия от взаимного перемещения зубцов при наличии люфта в зубцовом соединении ДВС.
На рис. 3 f— контактное усилие, ls— относительное перемещение зубцов, h —
размер люфта, S — номер связи; контакт - двусторонний.
В данной работе, для того, чтобы обеспечить существование периодического решения, предполагается, что и в случае отсутствия контакта между смежными зубцами сохраняется пусть как угодно слабая упругая связь.
13 Физически ясно, что сохранение очень слабой связи зубцов при разрыве их
контакта не может существенно изменить картину вибраций двигателя
внутреннего сгорания. Но это допущение существенно используется при
доказательстве существования периодического решения задачи о колебаниях
ДВС при наличии люфтов в зубцовых соединениях в случае действия
периодических внешних нагрузок.
Второе предположение касается узкой зоны перехода от разрыва к контакту и
наоборот. В этой зоне при идеальной зависимости контакного усилия от
относительного перемещения зубцов происходит скачкообразное изменение
жесткости зубцового соединения от нулевого значения до величины,
определяемой упругими свойствами зубцов. В действительности такого скачка
не происходит, поскольку зубцы имеют выпуклую поверхность, и при контакте
жесткость зубцового соединения нарастает (или убывает) плавно, аналогично
тому, как это имеет место в задаче Герца [12]. Это обстоятельство позволяет
сгладить переход между состояниями разрыва и контакта, что также
существенно используется при доказательстве существования периодического
решения. На основании сказанного используемая в работе зависимость
контактного усилия от взаимного расположения зубцов приобретает вид,
изображенный на рис. 4.
Рис. 4. Сглаженная зависимость контактного усилия от взаимного
расположения зубцов.
2). Задача о нелинейных колебаниях многомассовой упруго-демпферной механической системы с разрывными связями решается итерационным методом Ньютона-Канторовича [10]. При составлении итерационного алгоритма осуществляется линеаризация исходного нелинейного уравнения колебаний многомассовой упруго-демпферной механической системы, схематизирующей ДВС. Обобщенной искомой неизвестной является векторная функция времени. Число проекций векторной функции равняется числу масс (дисков) механической системы; время меняется в пределах одного периода колебаний рассматриваемой механической системы. Линеаризация уравнения
15 выполняется путем дифференцирования оператора нелинейного уравнения по
обобщенной неизвестной. Жесткости зубцовых соединений линеаризованной системы уравнений оказываются, вообще говоря, зависимыми от времени, и эта зависимость изменяется от приближения к приближению при реализации итерационной процедуры Ныотона-Капторовича. Поскольку исходная нелинейная связь между усилием в зубцовом соединении и относительным перемещением зубцов записывается в аналитическом виде, то и линеаризованная жесткость может вычисляться по простой аналитической формуле, что существенно облегчает составление линеаризованного уравнения колебаний. Отметим, что на возможность применения метода Ньютона-Канторовича для расчета нелинейных крутильных колебаний валов указано в работе [5 - глава 13].
3). Согласно процедуре Ныотопа-Канторовича каждый шаг итерационного процесса сводится к решению линеаризованного (линейного) уравнения, о котором говорилось выше. Искомое решение является функцией, дважды дифференцируемой по времени, поскольку в задаче о колебаниях, естественно, учитываются силы инерции. Кроме того, решение должно быть периодической функцией времени, так как ставится задача отыскания именно периодического движения. Указанными свойствами обладают гармонические функции с основным периодом, равным периоду одного цикла работы ДВС. Поэтому приближенное решение отыскивается в виде разложения в конечный ряд по гармоническим функциям времени. При этом, для удобства построения
решения, используются экспоненциальные функции с чисто мнимыми степенями. Таким образом, задача сводится к отысканию комплексных амплитуд по числу удерживаемых гармоник для всех степеней свободы (для всех дисков) рассматриваемой механической системы.
Всего требуется определить S векторов с (2N+1) комплексными проекциями, где S - число степеней свободы и (27V+1) - число гармонических составляющих в разложениях.
4). Для составления системы алгебраических уравнений относительно указанных векторов, представляющих собой, как уже сказано, совокупность амплитуд гармонических составляющих периодического движения, используется метод Галеркина, именуемый иначе проекционным методом. Получаемая таким путем общая матрица состоит из блоков - квадратных матриц порядка (27V+1). Эти квадратные матрицы обладают важным свойством: каждая следующая по номеру строка получается из предыдущей путем смещения ее на одну ячейку вправо. Такая матрица является частным случаем матрицы Теплица [Toeplitz]. Для ее формирования достаточно вычислить только элементы первой строки, и тогда элементы всей матрицы могут быть получены моментально с помощью, например, программы "toeplitz"
при использовании языка MatLab.
6). Поскольку при использовании итерационного метода Ньютона-Канторовича полученную систему алгебраических уравнений высокого порядка
17 требуется решать многократно, весьма важным является выбор эффективного
метода решения этой системы уравнений.
Известен и широко используется при решении задач о периодических колебаниях механических систем так называемый метод прогонки [7], который является частным случаем метода последовательного исключения неизвестных Гаусса. Этот весьма эффективный метод непосредственно применим только к механическим системам цепного вида (рис. 5).
IS-? IS
iS+1
&ОФФФ
Рис. 5. Цепная система.
Если последовательно пронумеровать узлы цепной системы, то окажется, что
каждый узел связывается только с предыдущим и последующим узлами. В
18 цепной системе процедуру исключения неизвестных удобно производить в
определенном порядке: двигаясь вдоль цепи, сначала определять динамическую
жесткость пройденной части системы (прямая прогонка), а затем, перемещаясь
в обратном направлении, вычислять величины самих характеристик колебаний
(обратная прогонка). Для этого могут использоваться удобные рекуррентные
формулы. Первоначально метод прогонки, иначе называемый методом цепных
дробей, в применении к расчету крутильных колебаний валов был предложен
Терских В.П. [26].
Ыо метод Терских был предложен для одпочастотпых гармонических колебаний, а как уже сказано, действующие на роторы ДВС крутящие моменты и отыскиваемые колебания являются не гармоническими, а периодическими, то есть полигармоническими функциями времени. Ограничиваясь при реальных расчетах конечным числом гармонических составляющих колебаний, приходим к задаче относительно векторных неизвестных, размерность которых определяется числом удерживаемых гармоник. И в этом случае могут быть применены рекуррентные формулы так называемой векторной прогонки.
Вместе с тем, для механических систем со сложной структурой методы типа прогонки не могут быть использованы непосредственно. Можно прямо решать получаемую систему алгебраических уравнений высокого порядка, равного S(2N+l). Ыо при большом числе степеней свободы и учитываемых
гармоник расчеты с использованием таких матриц являются значительно более трудоемкими, чем в случае цепных систем, для которых применимы методы
19 прогонки. Это важно учитывать в многовариантных расчетах и особенно при
рассмотрении задач с нелинейными связями, когда надо многократно решать
линеаризованные уравнения при осуществлении итерационных процессов.
В настоящей работе предлагается такая модификация метода векторной прогонки [27], которая пригодна для решения задач о колебаниях многомассовых механических систем со сложной структурой, типа той, которая изображена на рис. 1. Эта модификация основывается на том, что указанная сложная структура представляется в виде основной цепи с боковыми ответвлениями, и вводятся фиктивные элементы с нулевой инерцией и нулевой жесткостью, которые превращают разветвленную механическую систему в цепную. Для полученной цепной механической системы вводится сквозная нумерация ее элементов (рис. 6), и решение получаемой системы линейных алгебраических уравнений осуществляется методом типа прогонки.
Отличие предлагаемой модификации метода прогонки, кроме введения фиктивных элементов, заключается в том, что в процессе как прямой, так и обратой прогонки выполняются условия присоединения боковых ответвлений в исходной разветвленной модели к ее основной цепи.
В процессе прогонки приходится S раз обращать матрицу (2JV+1) порядка, что значительно менее трудоемко, чем даже один раз обратить полную матрицу порядка S(2N+Y).
Рис. 6. Динамическая модель ДВС. Расчетная схема. Номера узлов: 11, 14, 15, 23, 24 - зубчатые колеса, 9, 1 7, 30 - демпферы, 1 - реактивная нагрузка, 8, 12, 16-фиктивные узлы. Черные кружки соответствуют узлам основной цепи, белые - боковым ответвлениям.
7). Известен способ Сорокина учета внутреннего трения в материале при гармонических колебаниях, который сводится к введению комплексного модуля упругости [25, 20]. В рассматриваемом случае полигармонических колебаний этот способ в данной работе формально применяется к каждой гармонике в отдельности, и полученные результаты складываются. Такой
21 подход, по крайней мере, не противоречит способу Сорокина, когда одна из
гармоник становится превалирующей.
Расчет колебаний ДВС, схема которого изображена на рис. 6, с помощью пакета программ, разработанных на основании предложенного метода, выполняется в течение нескольких секунд, то есть практически мгновенно, в то время как расчет широко используемым методом Рунге-Кутты может занимать несколько десятков минут, что существенно при выполнении многовариантных расчетов.
Вынужденные периодические колебания многомассовой упругой системы сложной структуры. модификация метода матричной прогонки
Начнем с рассмотрения цепной системы (без ответвлений), у которой некий 5-ый узел связан только с предыдущим (5—1) - ым и с последующим (5+1) - ым узлами. Схема такой системы изображена на рисунке 5. Момент, скручивающий торсион, расположенный между 5-ым и 5+1-ым узлами, обозначим через Ls. Тогда уравнения крутильных колебаний системы можно записать так: S - полное число дисков; Js , ф5 - момент инерции и угол поворота 5-ого узла-диска при вращении относительно собственной оси; cs - жесткость участка (5, 5+1 ) на кручение; bs — коэффициент внешнего трения (предполагается, что моменты сил внешнего трения прилагаются к дискам); Мs - внешний крутящий момент, действующий на S- ый узел - диск. Точкой обозначено дифференцирование по времени t. При решении задачи о колебаниях исходной системы со свободными краями в уравнениях (1.1) следует положить: В то же время Для предотвращения поворотов системы со свободными краями как целого тела присоединим крайний правый узел s= S очень податливой пружиной к неподвижной стенке так, как это изображено на рис. 6. Тогда граничные условия примут вид: а соотношения (1.2) будут справедливы для всех участков системы, включая правый участок (5, 5+1) . Предполагая, что действующие на диски внешние моменты А/Д/) являются периодическими функциями времени периода Т} — , перейдем к со безразмерному времени т = (х) t.
Тогда при 0 / Т{ , 0 т 2тг. Вид уравнений не изменится при переходе к безразмерному времени, если в них произвести следующую замену: В данной главе примем, что характеристики инерции дисков и упругости торсионов являются постоянными, то есть не зависящими от времени, и будем искать периодическое решение задачи о стационарных колебаниях рассматриваемой многомассовой упругой системы с тем же периодом Т = 2п. То есть будем считать, что Соединения зубчатых колес. Преобразование уравнений. Рассмотрим крутильные колебания цепной системы, состоящей из двух валов 1 и 2, соединенных зубчатыми колесами (рис. 7). Приведем уравнения колебаний всех элементов системы, включая зубчагые колеса, к единому виду. Обозначим радиус зубчатого колеса 1 через R} и зубчатого колеса 2 через R2. Введем в качестве новых неизвестных для вала 1 (для дисков с номерами от 1 до s) окружные перемещения, которые в дальнейшем назовем просто перемещения: и для вала 2 (для дисков с номерами от 5+1 до S , где S - полное число дисков обоих валов) перемещения иначе где k=\ для вала 1 и к— 2 для вала 2.
Как уже сказано, упругие свойства соединения колес определяются упругими свойствами зубцовых слоев. Будем здесь считать, что усилие в месте контакта зубчатого колеса вала 1 и зубчатого колеса вала 2 пропорционально разности их перемещений: где помер S соответствует диску зубчатого колеса вала 1. Приняв в уравнениях (1.1), (1.2), согласно (1.6), (ps = Xs/ Rk и разделив уравнение (1.1) на Rk, получим единую для обоих валов систему уравнений: где Формулы (1.9) относятся ко всем дискам, кроме зубчатых колес. Уравнение же вида (1.8) справедливо и для зубчатых колес, но для них следует принять qs — О, поскольку на них не действует внешнее (не контактное) усилие и, кроме того, значение жесткости контактного соединения колес Cs следует взять из формулы (1.7) Формулы (1.8), (1.9) годятся при любом числе валов: индекс к=\,...,К, где К- общее число валов. При этом формула (1.7) относится как к соединениям зубчатых колес, так и соединениям дисков. К уравнениям (1.8) следует присоединить граничные условия, аналогичные (1.3): и условия периодичности, которые, согласно (1.3) - (1.5), имеют вид:
Для построения решения задачи (1.8), (1.10), (1.11), (1.12) используем процедуру метода Галеркина [17, 22]. По методу Галеркина выбирается последовательность так называемых координатных функций. Эти функции должны обладать определенными свойствами решения. В нашем случае они должны удовлетворять условиям периодичности (1.11), (1.12) и быть дважды дифференцируемыми по времени, как это следует из уравнения (1.8). Кроме того, последовательность координатных функций должна обладать полнотой в том смысле, что с помощью их линейной комбинации можно было бы как угодно приблизиться к решению, например, по оценке квадратичной погрешности. Такими свойствами в нашей задаче обладает последовательность функций е п , 77=+0,1,2,.... Разложение по функциям е/л равносильно разложению по синусам и косинусам nt, но более удобно при выполнении необходимых выкладок.
Вынужденные нелинейные периодические колебания многомассовой системы с разрывными упругими связями. уравнения колебаний и дополнительные условия разрыва
В реальных конструкциях нередко имеются такие соединения деталей, которые воспринимают только сжимающие усилия и не работают на отрыв. В качестве примера такой системы может служить двигатель внутреннего сгорания, состоящий из нескольких роторов, связанных зубчатыми колесами, Схема такого двигателя внутреннего сгорания приведена в главе 1 (рис. 1). Вид системы зубчатых колес с торца изображен на рис. 2. Зубцы этих колес, вступая в контакт, передают только сжимающие усилия, и если в зубцовых соединениях имеются люфты (а это обязательно, иначе конструкцию не собрать), то на каких-то отрезках времени может происходить разрыв этой связи. Как обычно, в любой момент времени зубец одного из колес располагается между двумя смежными зубцами другого колеса и за счет люфта имеет свободный ход в его пределах. Наличие люфтов в соединениях зубчатых колес может существенно влиять па вибрационное состояние двигателей, приводить к повышенным вибрациям и даже вызывать поломки зубцов [32]. Соединения всех дисков, за исключением соединений зубчатых колес, по-прежнему являются линейно-упругими связями. Согласно (1.7), Cs - постоянная во времени приведенная жесткость участка s,S+l , связанная с жесткостью на кручение с5 с помощью соотношений (1.9). В то же время соединение зубчатых колес при наличии люфтов характеризуется уже нелинейной зависимостью контактного усилия fs от относительного перемещения колес ls= (xs+] — xs). Идеально эта зависимость представляется в виде кусочно-линейной функции, изображенной на рис. 3.
На этом рисунке hs характеризует величину люфта, горизонтальная линия = 0 относится к случаю разрыва соединения зубчатых колес, а наклонные линии соответствуют контакту этих колес. Причем, угол наклона в каждом соединении зубчатых колес будет таким же, что и в формуле (1.7). Очевидно, такая функция может быть представлена в виде Функция (2.3) однозначная, непрерывная, дифференцируемая, однако, у этой функции нет однозначной обратной функции. То есть любому значению относительного перемещения зубчатых колес /у = (л +1 — xs), согласно (2.3), соответствует единственное значение контактного усилия fs . Но, как видно из рисунка (2.2), когда = О, значение величины ls вовсе не будет однозначным, а может лежать в интервале — hs 12 ls hs 12.
Это означает, что в случае разрыва контактного соединения колес не будет определенным их относительное перемещение. Для того, чтобы устранить эту неопределенность, будем считать, что и в случае разрыва контакта смежные зубчатые колеса остаются связанными пружинами, но очень малой жесткости. При этом ОС - малое число (при расчетах в главе 6 принято а = 0.05). Можно ожидать, что введение очень слабой связи смежных зубчатых колес в случае разрыва их контакта мало повлияет на динамическое поведение рассматриваемой механической системы. Однако при этом функция (2.4) становится взаимнооднозначной. Сделаем еще одно дополнение к выбору функции fs (ls ). Выше было сказано, что жесткость соединения зубчатых колес определяется жесткостью зубцовой зоны. Но контактные поверхности зубцов выпуклые, а при контакте двух упругих тел с выпуклыми поверхностями эквивалентная жесткость нарастает постепенно (вспомним контактную задачу Герца [12]). То есть реально нет резкого перехода с изломом от линии с малым углом наклона к линии с большим углом наклона. Строгое решение задачи о контакте зубцов зубчатых колес выходит за рамки настоящей работы. Для того, чтобы имитировать плавный переход от состояния отрыва к состоянию контакта зубцов, используем полином третьей степени и подберем коэффициенты полинома так, чтобы обеспечить непрерывность изменения усилия и его производной в точках /s= (1 — a)hsl2 и ls— (1 + а)Д./2; для конкретности примем а = 0.2. В результате получим кривую с плавным переходом от линии с малым наклоном к линии с большим наклоном (рис. 4). Для получения аналитического описания этой кривой рассмотрим сначала только.правую ветвь характеристики (/5 0) и заменим ее в интервале 0.8 —— /5 1.2— или, что то же, 0.4 Д. -4 0.6 hs, следующим полиномом третьей степени
Метод Ньютона - канторовича для решения задачи о нелинейных периодических колебаниях многомассовой упруго-демпферной системы
Заметим, что в уравнении (3.1) пишется R(x) вместо Rx, как это было в уравнении (1.36), для того, чтобы указать на нелинейный характер функции R{x). Перейдем теперь к рассмотрению метода приближенного решения нелинейного уравнения (3.5), (3.6) при условиях периодичности (3.7), (3.8). Для этой цели используем обобщение метода Ньютона, предложенное Л.В. Канторовичем [10]. Но прежде, чем приступить к изложению метода Ньютона-Канторовича применительно к уравнениям (3.1), нам потребуется ввести понятие сильной производной нелинейного оператора (производной Фреше). А для этого необходимо использовать понятие . банахова (метрического, линейного, нормированного) пространства [14]: а) Множество превращается в метрическое пространство, если определить метрику-расстояние между элементами (точками) множества.
Расстояние р(лг1,лг2) между двумя точками множества х1 и х2 должно обладать свойствами: б) В линейном метрическом пространстве допускается сложение элементов (с допущением их перестановки местами) и умножение на скалярный множитель. в) Для того, чтобы линейное метрическое пространство превратилось в банахово пространство, следует для каждого его элемента X определить его норму ,Y , причем так, чтобы В линейном нормированном пространстве метрика вводится посредством равенства Легко убедиться, что введенное расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики. После введения метрики определяется сходимость последовательности элементов { хп } к предельному элементу х, а именно: если Банахово пространство представляет собой линейное нормированное пространство, полное в смысле указанной сходимости по норме (любой предельный элемент принадлежит этому же пространству).
В нашем случае функция представляется формулой (3.6). Здесь аргумент x=(xs), 5=1,2,...,5 xs— xs(f), 0 t Т - есть векторная функция времени. Также векторной функцией времени будет ее значение у= А(х). Норму вещественной векторной функции x(t) определим следующим образом: Расстояние между двумя векторными функциями xx(f) и x2(t) по-прежнему представим в виде Нетрудно увидеть, что при норме по формуле (3.15) выполняются все свойства (3.9),(3.10). Для вещественной функции у— А(х) аналогично: При введенных нормах как область определения, так и область значений функции у— А(х) относятся к банаховым пространствам. При этом следует отметить, что область определения, согласно (3.6), (3.7), (3.8), принадлежит более узкому классу функций непрерывных, дважды дифференцируемых и удовлетворяющих условиям периодичности. Складывая такие две функции, получим функцию, обладающую теми же свойствами, и если x(f)- функция периодическая, то, согласно (3.6), (3.14), периодической является также функция у— у(1), но эта функция необязательно должна быть дифференцируемой и даже непрерывной. Таким образом, мы ввели банаховы пространства X и У, которым принадлежат соответственно область определения и область значений нелинейной функции у— Л(х) :
Исследование существования решения нелинейного уравнения и оценка сходимости итерационного процесса ньютона- канторовича
При реализации процесса Ньютона-Канторовича значение xn(f), вообще говоря , меняется с номером итерации П, а следовательно, меняется и матрица жесткости Cn(f). Кроме того, эта матрица зависит от времени t, 0 t T, T=2TZ. В противоположность этому в линейном случае (при неразрывных упругих связях) матрица жесткости не менялась во времени. Сюда надо добавить, что решение уравнения (5.5), (5.9) в случае разрывных связей следует осуществлять многократно, на каждом шаге итерационной процедуры. Погрешность при вычислении последовательных приближений может суммироваться и приводить к существенному искажению результата. Поэтому здесь следует использовать метод, позволяющий эффективно строить решение уравнения (5.5), (5.9) с необходимой точностью. Таким методом является подробно рассмотренный в первой главе метод Галеркина. Подтверждением этого утверждения является приводимое ниже доказательство сходимости метода, а также тестовые расчеты реальных прикладных задач. Рассмотрим, в чем состоит особенность применения процедуры Галеркина к решению линеаризованного уравнения (5.5), (5.9), которое содержит переменное, зависящее от времени слагаемое D Cn{t) D .
Отметим, что указанное уравнение составлено не относительно /7-го приближения перемещения хп , а относительно поправки Д/; из (5.6). Перепишем задачу (5.5), (5.9), опустив для простоты номер приближения л и введя обозначение при условиях периодичности Уравнение такого вида мы уже получали в главе 3. Здесь пойдет речь об его решении. В главе 1 было показано, как метод Галеркина может быть применен к решению задачи о колебаниях многомассовой упруго-демпферной механической системы сложной структуры с неразрывными связями. Эффективность метода достигалась за счет сведения механической системы сложной структуры к ленточной и использования метода прогонки для решения задачи о колебаниях замещающей системы.
Применим этот подход к решению линеаризованного уравнения в задаче о колебаниях указанной механической системы, но при наличии разрывных упругих связей. Отличие здесь заключается в том, что в случае разрывных упругих связей матрица жесткостей C(f) является функцией времени, которая в процессе Ньютона-Канторовича может меняться от приближения к приближению. В результате при неразрывных связях гармонические составляющие периодических колебаний определяются, по существу, независимо друг от друга, а при наличии разрывных связей эти составляющие взаимосвязаны (если суммарное периодическое движение представлять в виде суперпозиции гармонических колебаний). Это обстоятельство существенно усложняет решение уравнения (5.12), (5.13).
Изложенный в 1 главе эффективный способ решения задачи о периодических колебаниях механической системы со сложной структурой с неразрывными связями включал в себя: а) преобразование механической системы со сложной структурой в цепную систему, б) использование процедуры Галеркина с представлением периодического движения в виде гармонического ряда, в) определение коэффициентов гармонического ряда методом прогонки. Этот же подход может быть применен и для решения линеаризованного уравнения (5.12), (5.13) на каждом шаге итерационного процесса Ньютона-Канторовича. Рассмотрим, в чем особенность процедуры метода Галеркина при решении уравнения (5.12), (5.13) с переменной во времени матрицей жесткости C(f). Согласно методу Галеркина, представим приближенное решение задачи (5.12),(5.13) в виде
Похожие диссертации на Динамика многомассовой упруго-демпферной системы с разрывными связями
