Содержание к диссертации
Введение
1 Моделирование траектории частицы и оценка плотности распределения 20
1.1. Модель аномальной диффузии 20
1.2. Алгоритмы моделирования траектории частицы 23
1.3. Гшпограммная оценка плотности распределения 29
1.4. Локальная оценка плотности распределения 32
1.5. Сопостанленне алгоритмов гпстограммной и локальной оценок плотности распределения 39
2 Асимптотический анализ полуаналитическим методом Монте-Карло 45
2.1. Представление, скачкообразного случайного процесса в виде случайной суммы
2.2. Уравнение для плотности распределения
2.3. Оценка плотности дробно-устойчивых распределений .
2.3.1. Вычисление устойчивых плотностей методом Монте-Карло 55
2.3.2. Вычисление ДУ плотностей методом МопкьКарло . 58
2.4. Вычисление квантилей ДУ распределений 59
2.5. Оценка параметров ДУ распределений 01
2.5.1. Случай известного параметра масштаба 63
2.5.2. Случай неизвестного параметра масштаба 65
2.6. ДУ распределения в фігліке плазмы 09
3 Нормальная кинетика. Мезодиффузия 73
3.1. Кинетическое уравнение 74
3.2. Телеграфное уравнение 75
3.3. Трехмерное блуждание частицы в среде с плоской симметрией 79
3.4. Анизотропное блуждание 82
3.5. Фронтовой, всплеск 85
3.6. Выводы 89
4 Аномальная кинетика 91
4.1. Полеты Лени и пыль Леии 92
4.2. Интегральное уравнение процесса блуждания е коночной скоростью п ловушками 97
4.3. Ширина диффузионного пакета н её оценка методом Монте-Карло 98
4.4. Супердпффузпн 101
4.4.1. Уравнение супердпффузпн 104
4.4.2. Вычисление моментов распределения методом Монте-Карло 107
4.4.3. Аномальная кинетика с ловушками показательного типа о < 1 ПО
4.4.4. Аномальная кинетика с ловушками показательного тина а > 1 114
4.5. Субдпффузия 118
4.5.1. Уравнение субдиффузни 118
4.5.2. Учет влияния конечной скорости 121
4.6 Аномальная кинетика с ловушками u пробегами степенного типа 123
4.7. Выводы 127
5 Диффузия иа фракталах 131
5.1. Диффузия иа фракталах 131
5.2. Алгоритм моделирования 131
5.3. Статистическая оценка плотности 138
5.4. Выводы 144
Заключение 146
Приложения 152
- Алгоритмы моделирования траектории частицы
- Оценка плотности дробно-устойчивых распределений
- Трехмерное блуждание частицы в среде с плоской симметрией
- Интегральное уравнение процесса блуждания е коночной скоростью п ловушками
Введение к работе
Актуальность темы работы. Аномальной диффузией или
аномальным переносом называются явления переноса, при которых ширина диффузионного пакета Д() растет со временем t по закону
Д(«)~*\ /і>0, (1)
где показатель р. отличается от его значения при нормальной диффузии, равного 1/2. В случае, если ц > 1/2 мы получаем супердиффузию, если (1 < 1/2 - субдиффузию.
За последние несколько десятилетий явления такого типа были обнаружены при изучении многих явлений, таких как перенос заряда в аморфных полупроводниках1' , диффузия в турбулентных потоках3-'*, при изучении поведения стоимости акций на биржах5, перенос энергии в турбулентной плазме6, в квантовой оптике7 и т. д.
Для описания аномальной диффузии Монтролом и Вейсом8 в 1965 году была предложена модель скачкообразного случайного процесса, известного в западной литературе как Continuous Time Random Walk (CTRW). В этой модели предполагается, что частица может находиться одном из двух, последовательно сменяющих друг друга, состояниях: покой и движение. Причем, между двумя последовательными состояниями покоя частица перемещается мгновенно, а плотность распределения пробегов и времен покоя имеют тяжелые степенные хвосты вида г-"-1, где v > 0. В работе М. Котульского9 показано, что асимптотическое распределение (при t —» оо) координаты частицы при скачкообразном случайном процессе описывается дробно-
1 Harvey. Scher, Eliiolt.W. MontroL Anomalous *&ansit-Time Dispersion ід Amorpous Solidea. f/Phy». Rev. R v. 12, N 6, p. 2455 - 2477 (1975).
2Q. Gu, E.A. Schiff, S. Gienber, R. Schwartz. Non-Gaussian Transport MeasuremeEts and tie Einstein Relation in Amorphous SiEcon. //Phys. Rev. Utt-. v, 76, N 17, p. 3196 - 3199 (1996).
'Eric R. Weeks and Harry L. Swinney. Anomalous diffusion resulting from strongly asymmetric ran-doni walks. //My*. Rev. . v. 57, N 5, p. 4915 . 4920 (1998).
*M. F. Shlesinger, B. J. West, J. Kkfter. Levy Dynamics of Enchanted Diffusion: Application to Turbulence. //Phya. Rev. Lett. v. 53, N 11, p. 1100 - 1103 (1987).
s Hari M. Gupta, Jos R. Campanha. The gradually truncated tuvy fight far systems with power-law distributions. //Pkyiica A. v. 26S, p. 231 - 239 (1999).
*B. A. Сагтеш, V. E. Lynch, D. E. Newman, G. M. Zaslavsky. Anomalous diffusion in a running eandpile model. //Phya. Rev. E. v. 60, N 4, p. 4770 - 4778 (1999).
TS. SchauSer, W. P. Schleich, and V. P. Yakovlev. Keyhole Look at Levy Flights in Suorecoit Laser Cooling. //Pkys. Rev. Lett., v, 83, N 16, p. 3162 - 3165 (1999).
'E. W. Montroll, G. H. Weiss. Random Wall on Lattices. //J. Math. Phya.. v. 6, p. 167 - 1S1 (1965)
*M. Kotulski. Asymptotic behavior of generalized Levy walks. In: ChaosyThe Interplay Between Stochastic and Deterministic Behaviour (Gerbacseweki, P., Wolf, M., and Weron, A., Eds).. // Springer, Ber&n. p. 471-177 (1995)
YWfMJ ( Q\_
РОС НАЦИОНАЛЫ!** j БИБЛИОТЕКА СПс 9»
устойчивыми распределением. В работе В. В. Учайкина показано, что асимптотическое распределение частиц, при скачкообразном случайном процессе, и при степенных распределениях пробегов и времен покоя, описывается уравнением в дробных производных (обобщенным уравнением диффузии), а решение этого уравнение выражается через дробно-устойчивые распределения.
В настоящее время не существует методов решения уравнений в дробных производных. Применяя преобразование Фурье-Лапласа, удается получить решение этих уравнений лишь в пространстве Фурье-Лапласа. Обратное преобразование, выраженное через элементарные или специальные функции, удается получить лишь в некоторых частных случаях. Плотности дробно-устойчивых распределений так же выражаются через элементарные или специальные функции, лишь в некоторых частных случаях. Методов вычисления дробно-устойчивых распределений, на сегодняшний день, так же не существует. Поэтому представляется целесообразным разработать алгоритмы приближенного численного решения уравнений в дробных производных и алгоритм вычисления плотностей дробно-устойчивых распределений. Принимая во внимание то факт, что дробно-устойчивые распределения появляются как предельные распределения скачкообразного случайного процесса, приводит к выводу об использовании метода Монте-Карло для решения поставленной задачи.
Модель скачкообразного случайного процесса можно применять для описания блужданий в таких системах, в которых возможно мгновенное изменение координаты блуждающей частицы. Например, в пространстве энергий, когда в результате столкновения энергий частицы мгновенно изменяется на какое-то значение. При изучении переноса вещества, ни о каких мгновенных перемещениях речи быть не может. Поэтому, для применения этой модели к реальным физическим процессам необходимо ввести конечную скорость v свободного движения частицы между столкновениями, и изучить ее влияние на распределение частиц.
Цель работы. Построить и исследовать алгоритм для решения задач аномальной диффузии методом Монте-Карло. Разработать алгоритм моделирования ДУ случайной величины, а так же алгоритм оценки плотности ДУ распределений. Научиться определять параметры распределений. Исследовать влияние конечной скорости на асимптотическое распределение частиц.
10V. V. Ucbaiiin. Montroll-Weisa Problem, Fractional Equations, and Stable Distributions. //Intern. J. of Their. Fhus.. v. 39, N 8, p. 208T- 2105 (2000).
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
Разработать алгоритм метода Монте-Карло для решения задач аномальной диффузии.
Разработать алгоритм моделирования случайных величин, имеющих дробно-устойчивое распределение.
Разработать алгоритм вычисления плотностей дробно-устойчивых распределений.
Исследовать алгоритм оценки параметров распределений, принадлежащих к классу устойчивых и дробно-устойчивых законов, предложенный В. Е. Бенингом и В. Ю. Королевым.
Исследовать пространственные распределения в режимах нормальной диффузии, супердиффузии и субдиффузии и ЕЫЯВИТЬ эффект влияния конечной скорости на пространственное распределение частиц.
Научная новизна.
Впервые разработан алгоритм моделирования случайных величин, распределенных по дробно-устойчивому закону, предложен метод численной оценки плотности дробно-устойчивого распределения.
Исследован алгоритм оценки параметров дробно-устойчивых распределений по заданной выборке случайных величин, предложенный В. Е. Бенингом и В. Ю. Королевым.
Разработаны новые модификации метода Монте-Карло для моделирования аномальной диффузии, создана, программа, выполнены расчеты.
Показано, что созданная программа может быть использована для приближенного численного решения уравнений в частных производных дробного порядка.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация имеет теоретический характер. Численные результаты, относящиеся к распределениям, в настоящее время используются для описания локальных флуктуации частиц в магнитоактивной плазме в установке стеллараторе Л-2М в Институте общей физики АН.
Положения, выносимые на защиту:
Алгоритмы гистограммной и локальной оценок метода Монте-Карло для нахождения плотности пространственного распределения частиц в процессе аномальной диффузии. Вывод о применимости этих алгоритмов, в случае степенных распределений пробегов и времен покоя, к численному решению обобщенного уравнения диффузии (в дробных производных).
Вывод о том, что телеграфное уравнение, точно описывающее изотропное блуждание частицы вдоль прямой без ловушек с конечной скоростью свободного движения, в трехмерном случае хуже аппроксимирует точное решение, чем диффузионное приближение.
Вывод о том, что при супердиффузии, когда а Є (1,2], учет влияния конечной скорости приводит к уменьшению коэффициента диффузии в уравнении супердиффузии. Форма распределения при этом сохраняется. При а < 1 супердиффузионный пакет расплывается в пространстве быстрее, чем пакет свободно движущихся частиц, и решения супердиффузионного и кинетического уравнения имеют разные асимптотики. Установлено, что в уравнении субдиффузии, при бесконечном среднем времени покоя, учет конечной скорости движения не сказывается на решении уравнения субдиффузии.
Распределение частиц в одномерной задаче при диффузии на фракталах отличается по форме от распределения при фрактальной диффузии.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы бьии
представлены на:
международной конференции "Центры с глубокими уровнями в полупроводниках и полупроводниковых структурах", (Ульяновск 1997);
научной конференции "Математическое моделирование физических, экономических, социальных систем и процессов", (Ульяновск, 1998);
7th Vilnius Conference on Probab. Theory 22nd European Meeting of
Statisticians Abstracts, (Вильнюс, 2000);
четвертой международной научно-технической конференции "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов", (Ульяновск, 2001);
Восьмая всероссийская школа-семинар по математике/Второй Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике -2001, (зимняя сессия), (Йошкар-Ола, 2001);
"Восьмой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых"ВНКСФ-8, (Екатеринбург, 2002);
XXII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Seminar on Statistical Data Analysis (SDA'2002) (Varna, Bulgaria, 25 May-31 May, 2002)
международной конференции по вычислительной математике, (Новосибирск, Академгородок, 2002);
региональной научной конференции "Теоретические и прикладные проблемы физики", (Ставрополь, 2002);
Третьем Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя открытая сессия), (Сочи, 2002);
"Девятой Всероссийской научной конференции студентов-физиков и молодых ученых"ВНКСФ-9, (Красноярск, 2003);
на ежегодных конференциях студентов и аспирантов Ульяновского государственного университета.
Личное участие автора. Основные теоретические положения
разработаны совместно с научным руководителем профессором Учайкиным В. В. Разработка алгоритмов, составление и отладка программ, проведение расчетов и анализ полученных результатов выполнены автором самостоятельно.
Достоверность результатов. Достоверность представленных в
диссертации результатов проверялась путем сопоставлений решений одной и той же задачи, полученными разными независимыми способами, а так же путем сопоставления с частными случаями, решение для которых известно в аналитическом виде. Результаты хорошо согласуются друг с другом.
Публикации. По теме диссертации опубликовало 25 работ, в том числе 15 статей (7 из них в центральной печати) и 10 тезисов на международных, всероссийских и региональных конференциях.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из 5 глав,
Алгоритмы моделирования траектории частицы
Равномерно распределенная случайная величина на интервале (0, 1) получалась с помощью датчика псевдослучайных чисел, описанного в работе [S8]. Сам алгоритм приводится в Приложении АЛ.. Повторяя этот алгоритм шаг за шагом мы строим случайную траекторию частицы. Рассмотрим теперь алгоритм моделирования траектории частицы в модели блужданий без ловушек. Одномерное блуждание в среде без ловушек. При блуждании без ловушек алгоритм несколько упрощается вследствие того, что нам не нужно моделировать состояние покоя. Траектории начинается с выбора направления движения ил,- по формуле (1.2), после чего моделируется пробег частицы &- (рис. 1.2). Далее определяются координата и момент времени следующего рассеяния по формулам (1.3) п (1.4) соответственно. После определения координаты н времени следующего рассеяния вновь выбирается направление движения ЇГД,. п алгоритм повторяемся аналогичным образом.
Трехмерное блуждание частицы в среде с плоской симметрией без ловушек. Имеется бесконечный плоский изотропный источник, расположенный в плоскости Y0Z, и точечный приемник, расположенный в точке (x\y ,z ). Требуется найти пространственное распределение плотности вероятности радиус-вектора положении частицы R(f). Вследствие плоской симметрии распределение плотности вероятности случайного вектора R() зависит только от а координаты. Поэтому достаточно изучить лишь распределение проекции X(t) вектора ЩО па ось х.
Дли практических целей такие математические абстракции, как бесконечный плоский изотропный источник и точечный приемник являются трудно реализуемыми. Действительно, дли решения згой задачи методом Монте-Карло понадобилось бы с каждой единичной поверхности источника строить случайную реализацию траектории и смотреть попадет ли она в точку (x ,y ,z ) или нет. Принимая во внимание, что приемник точечный, вероятность зтого события равна нулю. Позтому обратим задачу и будем строить только те ] которые попали в приемник. Положим, что приемник находиться в начали координат R = 0, а источник в плоскости YZ на расстоянии х от начала координат. Задача состоит в нахождении распределении плотности вероятности проекции X(t ) радиус вектора Щ ) па ось х от точечного изотропного источника в момент времени Г. В результате мы приходим к задаче с точечным изотропным источником и плоским бесконечным приемником.
Рассмотрим алгоритм построения траекторий при трехмерном блуждании. Перейдем в сферическую систему координат, которая характеризуется радиальной переменной (пробег частицы) п двумя угловыми переменными 0 и ip (направление движения после; рассеянии).
В случае изотропного рассеяния направление движении частицы моделируется по известному алгоритму моделирования изотропного случайного единичного вектора [89]. Условимся характеризовать направление единичным вектором где ьз\ -f- w + w = 1. Нас интересуег такой случайный вектор, что дли любого телесного угла Q
В качестве такого вектора подходит направление радиус-вектора точки, равномерно распределенной в шаре (см. Приложение Л.2.). Поэтому ич (А.2) получаем формулы для ныбора случайного направления
Затем моделируется пробег частицы, распределенный с плотностью р(х). Отслеживать положении частити удобно в декартовой системе координат. Значения приращений, соответствующих пробегу , в декартовых координатах, вычисляются по формулам
Момент времени следующего столкновения вычисляется обычным способом, но формуле (1.4). Блок схема алгоритма совпадает с блок-схемой алгоритма блуждания без ловушек, представленной на рис. 1.2. Отличие заключается в том, что дли определения точки рассеяния требуется вычислять три неременные
Оценка плотности дробно-устойчивых распределений
Эти распределения называются дробно-устойчивыми распределениями с характеристическими показателями а п 0 и параметром асимметрии в. Впервые эти распределения были получены в работе М. Котульского [7G] как предельные распределения в модели CTRW, а название дробпо-устопчпвые распределения впервые было использовано и работах В. В. Учапкппа и В. ІО. Королева [79, 80, 81]. распределение плотности вероятности координаты частицы X(t)t совершающей случайное блуждание и модели скачкообразного случайного процесса, принадлежит к классу дробно-устойчивых распределений. Класс ДУ-распрсдсленнй включает в себя класс устойчивых распределений как подкласс при /5=1.
Как известно [91, 92] устойчивые распределения получаются при рассмотрении серий независимых (в сериях) случайных величин rnj, j = О,1,..., Кп п = 1, 2,..., которые образуют суммы
Это означает, что в каждой из такой сумм количество слагаемых Кп одинаково, при этом Кп — со. При рассмотрении скачкообразного случайного процесса количество слагаемых А {/) зависит от времени процесса и определяется из условия (2.3). В случае, если времена покоя распределены по закону с показателем /3 = 2, то существует первый и второй момент распределения времен покоя, Это приводит к тому, что при I оо флуктуации K(t) быстро спадают и в различных сериях в один п тот же момент времени t (при достаточно больших t) количество слагаемых K(t) будет одинаковым. На рис. 2.1 этому случаю соответствует группа кривых 4, которая содержит три различных серии случайных величин. К этому же результату приводи и случай когда 1 0 2. В этом случае условие (2.5) выполняется, но уже второй .момент бесконечен. Это сказывается только на скорости убывания флуктуации А (0 (группа кривых 3 на рис. 2.1). В случае, если 0 /3 1, то М т,- — оо и флуктуации K{i] при t — оо не убывают. Это приводит к тому, что при любых временах количество слагаемых в момент времени t в разных сериях будст различным, что хорошо видно из рис. 2.1 (группа кривых 1 и 2). Причем, чем меньше показатель /3, тем больше флуктуации. Таким образом, ДУ-распределения получаются при рассмотрении суммы независимых одинаково распределенных случайных величин случайного
Плана 2. Асимптотический" annnin полуншиїитпчпким метолом АІОІІТС-І\ІІ} ЛО 52 числа слагаемого.
Следует отметить, что при Р 1 скачкообразный случайный процесс можно рассматривать как процесс Пуассона при котором и моменты времени то, ТО+ТЇ, ..., то+тіН \ TK(t) происходит мгновенное изменение координаты на величину г,-, а сами эти времена интерпретируются как времена ожидания.
Пусть времена покоя имеют экспоненциальное распределение. Тогда Tj - независимые случайные величины, K(t) - процесс Пуассона, а самма сумма (2.2) описывает обобщенный пуассошшский процесс [91]
Рассмотрим случай произвольного распределения времени покоя. Плотность пространственного распределения p(x,t) случайной суммы (2.2) имеет вид характеристической (функции по превосходит 1
Легко нидію, что сумма в (2.10) не что иное как геометрическая прогрессия. С учетом этого (2.10) запишется в виде
Это уравнение является частным случаем боле ; общего уравнения (3) полученного в работах [52, 56, 59] для скачкообразного случаПпого процесса. Здесь -ф(к, А) - образ Фурье-Лапласа функции плотности перехода ф(х,і). В случае если частица совершает мгновенные прыжки, in время, прошедшее с начального момента і — 0, не зависит от пробега .частицы п функция плотности перехода имеет вид 1С viп чаппиа iiep v.ieiitru jcii in о/шоп ІІІЧКІІ ир.їгірангіна в другу:и конечной скоростью V, то в этом случае время, прошедшее с начала траектории, уже зависит от пробега частицы и функция плотности перехода записывается в виде [01]
Из предыдущих параграфов видно, что ДУ-распро делении имеют большое значение в вопросе описания аномальной кинетики. В предположении, что аномальный диффузия описывается скачкообразным случайным процессом, то асимптотическое
Трехмерное блуждание частицы в среде с плоской симметрией
Это позволяет говорить о памяти частицы, хотя с физической точки зрения памятью обладает не частина, а среда и которой последняя совершает блуждание. Если теперь взять экспоненциальное распределение то подставляя (4.4) в (4.3) получаем Таким образом, в случае экспоненциального соотношения мы получаем марковский процесс. Марковость означает статистическую независимость рассеивающих центров в элементарных объемах среды, т.е. вся совокупность рассеивающих центров представляет собой І Іуассоновсий ансамбль. Вначале главы 2 говорилось, что асимптотическое поведение при t — сю плотности распределения частиц можно получить двумя способами. В 2-й главе был рассмотрен способ, основанный па представлении скачкообразного случайного процесса в виде случайной суммы. В этой главі: будет рассмотрен второй способ, основанный на получении кинетического уравнения и последующего решения этого уравнения. Преимущество этого способа заключается в том, что здесь можно вести понятие скорости v движения частицы и проанализировать её влияние на формирование диффузионного пакета. Будем рассматривать одномерное фрактальное блуждание. В качестве модели блужданий выберем модель блуждания в среде с ловушками (см. п. 1.1.) со степенным распределением пробегов (4.1) и степенным распределением времени покоя Как указывалось в и. 1.1., если предположить что частица мгновенно перемещается in одной точки пространства в другую, то мы получаем скачкообразный случайный процесс, описываемый уравнением (2.11). Что бы показать это, получим кинетическое уравнение, описывающее; частицы в среде с ловушками и конечной скоростью движения.
В работе [61] так же рассматривался процесс блуждания с ловушками и конечной скоростью движения п для него была получена следующая система интегральных уравнений, описывающая пространственное распределение плотности вероятности Уравнение (4.G) описывает плотность пространственного распределения частиц, находящихся в момент времени / в состоянии покоя, уравнение (4.7) описывает частицы, находящиеся в момент времени t в состоянии движения, a FQ(X, І) - плотность вероятности что в интервале времени і до t + dt частица окажется в точке х. Уравнении (4.6), ( 1.7), ( 1.8) совпадают уравнениями, полученными в работе [56] для модели CTRW со спаренной функцией перехода. Положим теперь v — со. В этом случае процесс блуждания с ловушками переходит в скачкообразный случайный процесс, а уравнения (4.6), ( 1.7), (4.8) переходят в уравнение где плотность перехода уже не является спаренной функцией и время процесса уже не зависит от пробега. Переходя теперь в пространство Фурье-Лапласа, уравнение (4.10) принимает вид Легко видеть, что оно в точности совпадает с уравнением (2.11), полученным в главе 2 для плотности распределения координаты случайной суммы (2.2). При изучении нормальной диффузии за величину, характеризующую расширение диффузионного пакета со временем, принимают дисперсию. Дисперсию координаты частицы можно оцепить по формуло (1.15), в которой ,- - означает случайную координату частицы в некоторый момент времени V. В случае аномальной диффузии ситуация совершенно иная. Модель аномальной диффузии подразумевает, что распределение случайных пробегов частицы принадлежит к классу устойчивых законов. Как известно, абсолютные моменты плотностей устойчивых законов бесконечны при fi о [91, 92). Это означает, что дисперсия устойчивых законов бесконечна.
Этот (})акт приводит к необходимости использования другой меры, характеризующую ширину диффузионного пакета. В качестве такой меры можно использовать ширину пакета Др(0 содержащего фиксированную вероятность Остается определить какую именно вероятность должен содержать диффузионный пакет. В этом вопросе мы вольны в выборе и в качестве такого значении выберем вероятность определяемую интегралом Легко получить, что это вероятность р = 0.G8. Перепишем формулу (4.12) Сравнивая теперь эту формулу с формулой, определяющую квантили распределения (2.15) получим, что границы интервала Др(0 можно определить ігз уравнений Алгоритм решения этих уравнении методом Монте-Карло п])ішедеп в параграфе 2.-1.. Сле;гует заметить, что теперь и качестве случайной ветчины Xj выступает случайная координата частицы и момент нрсмсЕШ t. Или другими словами, генератором случайных чисел в этом случае служит алгоритм моделировании скачкообразного случайного процесса. Рассмотрим вначале зависимость До.сз(0 н случае скачкообразного случайного процесса. В работе [GO] показано, что применение распределении (4.1) и (4.5) в модели аномальной диффузии приводит к тому, что в законе (1) показатель степени 7 заменяется па отношение /З/о и мы приходим к четырем возможным случаям
Интегральное уравнение процесса блуждания е коночной скоростью п ловушками
Подставляя теперь эти выражении в (4.11) придем к выражению Производя обратное преобразование Фурье-Лапласа, аналогично тому, как это было сделано в параграфе 4.5.1., приходим к следующему выражению для р(х, і) где q{x;a,(3,e) - ДУ-распределение, определяемое соотношением (2.8). Вернемся к уравнению (4.36) и перепишем его в виде
Используя свойство дробной производной Римана-Лнувпллн (В.2) и дробной производной Рпсса (В.З) [62] можно произвести обратное преобразование Фурье-Лапласа. В результате приходим к уравнению и дробных производных
Это уравнение называется обобщєппші уравнение диффузии [GO]. При р — 1 и Q = 2, то это уравнение переходит в обыкновенное уравнение диффузии, при значениях /3 = 1, а Є (0,2) пли 0 Є (0,1), а = 2, то мы получаем уравнение супердиффузни (4.17) пли субдиффузин (4.33) соответственно.
Если учесть что обобщенное уравнение диффузии описывает асимптотическое (при t — ос) распределение х-координаты частицы в модели скачкообразного случайного процесса, то исходя из этого можно утверждать, что описанные выше в параграфах 1.3. и 1.4. гпстограммпый метод и метод локальной оценки плотности распределения частиц в модели скачкообразного случайного процесса в случае степенных распределении пробегов и времен покоя, являются алгоритмами численного решения обобщенного уравнения диффузии, т. е. уравнении в дробных производных. Этот вывод подтверждают и результаты численных расчетов, приведенные на рис. -1.22 н рис. 4.23. На этих рисунках построены решения уравнения ( 1.37) указанными методами в сопоставлении с точным решением -лого уравнения. Из этих рисунков видно хорошее согласие результатов моделирования и точного решения обобщенного уравнения диффузии. Различие результатов для a = 0.75 объясняется тем, что выбранного времени t еще недостаточно для наступления асимптотического режима.
Остается ответить на вопрос при каких значениях а и J решения кинетического уравнения и обобщенного уравнения диффузии будут совпадать. Как показано выше, асимптотическое поведение скачкообразного случайного процесса для произвольных значений а и /?, принадлежащих области их определения, описывается обобщенным уравнением диффузии, lb этого следует, что алгоритм моделирования процесса блуждания частицы с мгновенными прыжками будет алгоритмом численного решении уравнении ( 1.37) дли всех значений а (0,2] и 0 (0,1]. При учете конечной скорости движении частицы решение уравнения (4.37) и кинетических уравнении (4.6) - (4.8) совпадают не при всех значениях а и /?.
В параграфе 4.4.4. мы рассматривали блуждание частицы с конечной скоростью v при показательном распределении времени покои и степенном распределении пробега. Там было установлено что и случае, когда 0 а 1 и /? = 1 плотность распределении частиц никаким линейны преобразованием не приводится к решению уравнении (4.17) (см. рис. 4.18). Это происходит из-за того, что мы находимся в области супербаллистического режима {в/п 1) (см. п. 4.3.) в котором кинематическое; ограничение р{хЛ) = 0, \х\ vi является определяющим в формировании диффузионного пакета. Исходи из этого можно заключить, что при значениях л и /3 для которых выполнено условие Р/а 1 решение уравнения (4.37) никаким линейным преобразованием нельзя привести к решению кинетического уравнения, описывающее блуждание частицы с конечной скоростью в среде с ловушками. Это подтверждается результатами моделирования, приведенными на рис. 4.24 и рис. 4.2G. На этих двух рисунках точками обозначены результаты моделировании методом Монте-Карло процесса блуждании частицы со скоростью v = 1. Из зтих рисунков видно, что кинематическое ограничение играет решающую роль в формировании формы диффузионного пакета, и с уменьшением показателя а влияние конечной скорости па формирование формы пакета только увеличивается. Это приводит к тому, что асимптотики решений обобщенного уравнения диффузии п кинетического уравнении имеют совершенно различную форму. Для всех остальных значений о и р для которых выполнено условие Р/а 1, учет конечной скорости сводиться к изменению коэффициента диффузии с С на Cv в уравнении (4.37) и асимптотика решении кинетического уравнения совпадает с решением обобщенного уравнения диффузии.
В случае, если частица мгновенно перемещается из одной точки пространства в другую, то даже в случае супербаллпетнческого режима решения кинетического уравнения и обобщенного уравнения диффузии совпадают. Это хорошо видно из рис. 4.25 и рис. 4.27 на которых для тех же значении параметров a, p,t, что и на рис. 4.24, рис. 4.20, построены соответствующие плотности.
Уравнение суперднффузнп (4.17) описывает асимптотическое поведение скачкообразного случайного процесса с мгновенными независимыми приращениями, абсолютная величина которых распределена с плотностью ( 1-1), и временем покоя, распределенными по закону с конечным вторым моментом.
При а Є (1,2] уравнение супердпффузпи описывает и асимптотическое поведение распределения блуждающей частицы с. конечной скоростью v свободного движения (при условии замены С на Cv = (1 -Ь a/fv) lC, где а - средний пробег, а г - среднее время пребывании в ловушке). При а 1 суиердпффузнонный пакет расплывается в пространстве быстрее, чем пакет свободно движущихся частиц п решения суперднффузионного п кинетического уравнения имеют совершенно разные асимптотики. В последнем случае, когда а 0.G, показано, что асимптотическое распределение частиц при тгом может быть аппроксимировано функцией (4.24).
Уравнение субдиффузни (4.33) описывает асимптотическое поведение скачкообразного случайного процесса с мгновенными независимыми приращениями, абсолютная величина которых
