Введение к работе
Настоящая работа посвящена разработке численных методов для поиска солитонных решений в различных многомерных нелинейных дифференциальных уравнениях и системах.
Актуальность диссертации
Уединенные волны, обычно называемые солитонами, служат объектом интенсивных теоретических и экспериментальных исследований во многих областях науки. Например, в гидродинамике, нелинейной оптике, физике плазмы, биологии и медицине.
Солитоны можно использовать для передачи информации, где основная идея состоит в использовании солитона в каждом битовом интервале для представления единицы в потоке двоичных сигналов. В эксперименте 1988 года использовалась волоконнооптическая петля длиной 42 км, которая позволяла передавать солитоны на 4 000 км. Этот эксперимент впервые продемонстрировал, что солитоны принципиально возможно передавать на трансокеанские расстояния.
В последние годы в связи с развитием оптических вычислительных систем стало активно развиваться математическое моделирование распространения лазерных фемтосекундных импульсов в нелинейных средах. В настоящее время лазерное излучение позволяет реализовать так называемые цветные солитоны, когда на нескольких частотах одновременно существуют и распространяются вместе оптические волны вдоль нелинейной среды. Эволюция этих солитонов описывается системами связанных уравнений Шредингера. Интерес к таким солитонам в литературе постоянно сохраняется в связи с многочисленными потенциальными приложениями их в задачах передачи информации оптическими методами. Выполненные экспериментальные исследования, по наблюдению солитонов в различных лабораториях, показали возможность практической реализации солитонов данного типа.
Актуальным направлением исследования солитонов является изучение конденсата Бозе-Эйнштейна. Конденсат Бозе-Эйнштейна – агрегатное состояние вещества, основу которого составляют бозоны, охлаждённые до температур, близких к абсолютному нулю. В таком сильно охлаждённом состоянии достаточно большое число атомов оказывается в своих минимально возможных квантовых состояниях, и квантовые эффекты начинают проявляться на макроскопическом уровне. Конденсат Бозе-Эйнштейна теоретически был предсказан как следствие из законов квантовой механики Альбертом Эйнштейном на основе работ Шатьендраната Бозе в 1925 году. И только в 1995 году, первый Бозе-Эйнштейновский конденсат был получен в Объединённом институте лабораторной астрофизики (JILA) Эриком Корнеллом и Карлом Виманом, за что они в 2001 г. были удостоены Нобелевской премии по физике. Ввиду, аналогичности уравнения Гросса-Питаевского в теории Бозе-Эйнштейновского конденсата и нелинейного уравнения Шредингера в нелинейной оптике, многие явления, предсказанные и описанные в нелинейной оптике, можно ожидать и в макроскопических квантовых состояниях конденсата Бозе-Эйнштейна, несмотря на кардинальные различия физических систем.
При исследовании формирования и динамики развития солитонов различной физической природы математическое моделирование является одним из наиболее актуальных инструментов исследований. Поэтому так важно развивать направление по разработке численных методов нахождения солитонных решений различных мод в многомерных нелинейных дифференциальных уравнениях и системах и получать высокоточные численные решения с помощью этих методов на параллельных вычислительных системах.
Цель работы
Целью настоящей диссертационной работы является разработка численных методов поиска солитонных решений нелинейных многомерных дифференциальных уравнений и систем, отвечающим следующим требованиям:
слабая зависимость от вида нелинейности,
отсутствие необходимости построения специального начального приближения,
простота в реализации алгоритма с возможностью переноса на параллельные вычислительные системы,
применимость к многомерным задачам и системам,
возможность построения области значений управляющих параметров, в которой существуют солитонные решения.
Положения, выносимые на защиту
1. Разработаны два новых итерационных метода поиска солитонных решений, гарантирующих сходимость итерационного процесса в случае существования солитонного решения и слабо зависящих от вида начального приближения. Исследовано применение этих методов к нахождению решений солитонного вида в многомерных нелинейных уравнениях.
2. Численно исследовано взаимодействие конденсата Бозе-Эйнштейна с препятствием на плоскости и найдены области существования основного и отраженного солитонов в двухмерном пространстве управляющих параметров.
3. На основе разработанных методов численно получено основное и отраженное солитонное решение в трехмерном уравнении Гросса-Питаевского и проведена визуализация динамики этих решений во времени на параллельных вычислительных системах.
Научная новизна работы
В настоящей диссертационной работе предлагаются два новых итерационных метода нахождения солитонных решений в различных многомерных нелинейных дифференциальных уравнениях и системах. С помощью этих методов производится поиск солитонных решений в одномерных задачах, имеющих аналитические решения, что позволяет сделать сравнение с ними численных результатов. Предлагаемые методы были применены к поиску солитонных решений уравнений Кортевега–де Фриза, sin–Гордона, нелинейного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью и к задаче распространения фемтосекундных импульсов в среде с кубической нелинейностью. При помощи разработанных в диссертации численных методов было исследовано существование солитонных решений в зависимости от значений управляющих параметров. После успешного применения методов к одномерным задачам, методы были применены к решению задачи взаимодействия конденсата Бозе-Эйнштейна с внешним потенциалом, которая описывается двухмерным уравнением Гросса-Питаевского. При этом проводилось сравнение численных результатов с результатами, полученными другими авторами и с аналитическими решениями. Благодаря применению параллельных вычислительных систем, была построена двухмерная область значений управляющих параметров, в которой существуют как основные солитонные решения, так и отраженные. В диссертации впервые получено численное решение солитонного вида трехмерного уравнения Гросса-Питаевского. Новые численные методы позволили получить для трехмерного уравнения Гросса-Питаевского основное солитонное решение и отраженное, а также была исследована динамика полученных решений во времени. Итерационные методы были успешно применены к задаче распространения оптического излучения в среде с кубичной нелинейностью в аксиально-симметричном случае, которая описывается двухмерной системой нелинейных уравнений Шредингера.
Теоретическая и практическая значимость
Работа имеет как теоретическую, так и практическую значимость. Теоретическая значимость заключается в получении двух новых численных методов поиска солитонных решений многомерных нелинейных дифференциальных уравнений и систем, которые по стандартной схеме могут применяться к различным видам нелинейности дифференциального оператора.
Практическая значимость состоит в возможности применения разработанного программного комплекса для решения конкретных прикладных задач в различных областях науки таких как: гидродинамика (моделирование волн-убийц, цунами), биология, медицина (офтальмология, кардиология), физика (нелинейная оптика, моделирование оптических компьютеров, квантовая механика, сверхтекучесть).
Апробация работы
Результаты работы докладывались на научно-исследовательских семинарах кафедры, а также на всероссийских и международных конференциях:
-
“Математика. Компьютер. Образование”: XVII международная конференция, 2010.
-
XVIII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», посвященная памяти К.И. Бабенко, Абрау-Дюрсо, 2010.
-
“Математика. Компьютер. Образование”: XVIII международная конференция, 2011.
-
“Математика. Компьютер. Образование”: XIX международная конференция, 2012.
-
“Ломоносовские чтения”, Москва, МГУ, 2012, секция вычислительной математики и кибернетики.
-
“Тихоновские чтения”, Москва, МГУ, секция вычислительной математики и кибернетики, 2012.
-
“Математика. Компьютер. Образование”: XIX международная конференция, 2013.
-
“Ломоносовские чтения”, Москва, МГУ, 2013, секция вычислительной математики и кибернетики.
-
XIV Всероссийская школа-семинар “Физика и применение микроволн”, Красновидово, 2013, секция нелинейной динамики и информационных систем.
Личный вклад автора
Личный вклад автора состоит в разработке и исследовании представленных в диссертации двух новых численных методов поиска решений солитонного вида нелинейных многомерных дифференциальных уравнений и систем, с помощью которых им были решены несколько прикладных задач, которые описывались двухмерным и трехмерным уравнениями Гросса-Питаевского, а так же двухмерной нелинейной системой уравнений Шредингера. Разработанный автором программный комплекс реализаций предлагаемых численных методов на параллельных вычислительных системах, позволил впервые провести визуализацию динамики основного и отраженного солитонных решений во времени.
Основные результаты, изложенные в диссертационной работе, были впервые получены автором. Постановка и ход научных исследований осуществлялись под руководством д.ф. – м.н. Савенковой Надежды Петровны. Основное содержание диссертационной работы и её результатов полностью отражено в 12 научных публикациях автора. В материалах совместных публикаций личный вклад автора является определяющим.
Публикации
Положения диссертации отражены в 12 публикациях автора, 3 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК [1 – 3].
Структура работы
Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трёх глав, заключения и списка литературы (95 наименований). Объём диссертации - 110 страниц.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю в.н.с. д.ф. – м.н. Савенковой Надежде Петровне за поддержку и постоянную помощь в работе и профессору Трофимову Вячеславу Анатольевичу за постановку прикладных задач.
