Введение к работе
Актуальность темы. Неклассические задачи математической физики - это актуальный раздел математики. Многие из этих задач имеет лрко выраженное прикладное значение. Это, например, изучение математических моделей трансзвуковых режимов обтекания; определение характеристик вязких потоков газа, течений жидкостей при наличии излучения, ионизации; исследование явлений, происходящих при срыве потока, в следе за телом; различные задачи физики плазмы и т.д. Эти задачи, как правило, не поддаются аналитическому исследованию. В то же время разработано много различных методов их реализации, включая физические и вычислительные эксперименты. С другой стороны имеются классы задач, теоретически довольно хорошо исследованные, имеющие важное прикладное значение, но для которых численные алгоритмы реализации еще хорошо не изучены. К таким классам задач относятся, например, краевые задачи для уравнений смешанного типа, для вырождающихся уравнений, для уравнений, меняющих направление параболичности на решении, и т.д.
В данной работе из задач первого типа рассмотрена упрощенная система кинетических уравнений Власова. Из задач второго типа изучены различные краевые задачи для уравнений параболического типа с меняющимся направлением времени.
Цель работы: Разработка вычислительных алгоритмов для некоторых краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени и системы уравнений Власова-Максвелла.
Задачами исследования являются построение разностных схем; доказательство устойчивости и сходимости разностных схем; оценка точности численных алгоритмов; реализация численных алгоритмов.
Научная новизна:
1. Предложены, обоснованы и численно реализованы разностные схемы решения краевых задач для линейных
и нелинейных параболических уравнений с меняющимся направлением времени.
2. Для системы кинетических уравнений Власова пред
ложен прием, позволяющий уменьшить погрешность вычи
слений.
3. Разработаны комплексы программ для персональ
ных компьютеров, реализующие предложенные вычисли
тельные алгоритмы.
Достоверность выводов и результатов, полученных в диссертационной работе, обеспечиваются: -обоснованностью используемых математических моделей; -полученными априорными оценками;
-применением теоретически обоснованных и апробированных численных методов;
-проверкой работоспособности разработанных алгоритмов и оценкой погрешности счета программ на тестовых примерах;
-сравнением результатов, полученных в численных расчетах, с данными других авторов.
Практическая ценность. Полностью консервативный алгоритм в методе крупных частиц, рассмотренный в первой главе, может найти применение в различных задачах газовой динамики. Численные алгоритмы, рассмотренные во второй и третьей главах, могут применяться при расчетах противоточных течений в приближении пограничного слоя.
Апробация работы. Отдельные разделы и основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной школе-семинаре по неклассическим уравнениям (Новосибирск, 1981 г., Улан-Удэ, 1985 г.), на Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 1994), на Международной конференции по математическим моделям и численным методам механики сплошных сред (Новосибирск, 1996), на Международном семинаре по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Самара, 1996), на семинарах по дифференциальным уравнениям ИМ СО АН СССР, НГУ, ЯГУ.
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 8 работ. Работы [3]-[8] содержат формулировки основных результатов диссертации.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 75 наименований. Объем диссертации составляет 111 страниц машинописного текста.
