Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 6
ГЛАВА 1. КРАТКИЙ ОБЗОР ПОДХОДОВ К ПОСТРОЕНИЮ РАЗНОСТ
НЫХ СХЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 20
-
ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 20
-
ИНТЕРПОЛЯЦИОННО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА 23
Схема «Уголок» («Simple upwind») 23
Схема Лакса-Вендроффа 25
Схема bah Лира 27
Схема «Крест» («Leapfrog») 29
Схема «Кабаре» («Upwind leapfrog») 30
3. АЛГОРИТМЫ С НЕЛИНЕЙНОЙ КОРРЕКЦИЕЙ ПОТОКОВ 32
TVD-СХЕМЫ 32
ENO-СХЕМЫ 34
Алгоритм прьбккового переноса 35
4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ 36
Тест№1 36
Тест №2 38
Тест№3 40
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1 41
ГЛАВА 2. БАЛАНСНО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ С РАЗДЕ
ЛЕННЫМИ КОНСЕРВАТИВНЫМИ И ПОТОКОВЫМИ ПЕРЕМЕННЫ
МИ 42
-
СХЕМА «КАБАРЕ» 43
-
ДВУХСЛОЙНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СХЕМЫ «КАБАРЕ» 45
-
НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕКЦИЯ ПОТОКОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 46
-
НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕКЦИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 47
-
ЧЕТЫРЕХЭТАПНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ СХЕМЫ «КАБАРЕ» С НЕЛИНЕЙНОЙ КОРРЕКЦИЕЙ КОНСЕРВАТИВНЫХ И ПОТОКОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 48
-
ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ 50
-
БАЛАНСНО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СХЕМЫ «КАБАРЕ» 51
-
БАЛАНСНО-ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ С РАЗДЕЛЕННЫМИ КОНСЕРВАТИВНЫМИ И ПОТОКОВЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 53
-
РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ 55
Тест№1 55
Тест №2 : 56
Тест№3 56
-
ДИССИПАТИВНЫЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СВОЙСТВА НОВЫХ СХЕМ 57
-
ОТБРАКОВКА ПАРАЗИТНОГО КОРНЯ И СТАРТОВАЯ ПРОЦЕДУРА 60
-
СРАВНИТЕЛЬНЫЕ РАСЧЕТЫ 61
-
ПЕРЕМЕННОЕ ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ 63
14. НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕКЦИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ И ПОТОКОВЫХ ПЕРЕ
МЕННЫХ 65
15. УРАВНЕНИЕ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ 67
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 2 69
ГЛАВА 3. ОДНО КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕ
СКОГО ТИПА 71
-
СКАЛЯРНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА И ИХ СВОЙСТВА 71
-
ЗАДАЧА РИМАНА 72
-
СХЕМА «КАБАРЕ» ДЛЯ РАСЧЕТА ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ 73
-
АЛГОРИТМ ПРЫЖКОВОГО ПЕРЕНОСА ДЛЯ РАСЧЕТА УДАРНЫХ ВОЛН.. 75
-
ТОЧНОСТЬ РАСЧЕТА СИЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ 76
-
СИНТЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ «КАБАРЕ-ПРЫЖКОВЫЙ ПЕРЕНОС» ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ВЫПУКЛОЙ ФУНКЦИЕЙ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ 77
-
ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ 78
-
СИНТЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С НЕВЫПУКЛОЙ ФУНКЦИЕЙ СОСТОЯНИЯ 80
-
ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ 83
Задача№1 83
Задача №2 85
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 3 86
ГЛАВА 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОЛИТРОПНОГО ГАЗА В ЛА-
ГРАНЖЕВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 88
-
ПРОСТЕЙШАЯ СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (Р-СИСТЕМА) 88
-
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Р-СИСТЕМЫ. ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ 88
-
СХЕМА «КАБАРЕ» ДЛЯ РАСЧЕТА ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ ДЛЯ Р-СИСТЕМЫ.. 89
Дискретизация области 89
Разностная схема 90
Начальные данные и стартовая процедура 90
Граничные условия 91
-
СХЕМА «КАБАРЕ» С МОНОТОНИЗАТОРОМ 91
-
КОНСЕРВАТИВНЫЙ ВАРИАНТ СХЕМЫ «КАБАРЕ» 93
-
СРАВНЕНИЕ СО СХЕМОЙ «КРЕСТ» 93
-
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ Р-СИСТЕМЫ 95
-
АЛГОРИТМ ПРЫЖКОВОГО ПЕРЕНОСА ДЛЯ РАСЧЕТА УДАРНЫХ ВОЛН.. 96
-
ПОДСЕТОЧНОЕ РАЗРЕШЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН АЛГОРИТМОМ ПРЫЖКОВОГО ПЕРЕНОСА 99
-
ЗАДАЧА РИМАНА ДЛЯ Р-СИСТЕМЫ. РАСПАД ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 99
-
АВТОМОДЕЛЬНОЕ ПОДСЕТОЧНОЕ ВОСПОЛНЕНИЕ 101
-
ОБОБЩЕННАЯ ФОРМА АЛГОРИТМА ПРЫЖКОВОГО ПЕРЕНОСА 103
13. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАЧИ И ЭМПИРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СКОРОСТИ
СХОДИМОСТИ 107
Задача об ускоряющемся поршне 107
Две волны разрежения 109
Ударная волна и волна разрежения 111
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 4 112
ГЛАВА 5. ПОЛИТРОПНЫЙ ГАЗ В ЭЙЛЕРОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 114
-
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОЛИТРОПНОГО ГАЗА В ЭЙЛЕРОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 114
-
СХЕМА «КАБАРЕ» ДЛЯ РАСЧЕТА ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ 115
-
СХЕМА «КАБАРЕ» С МОНОТОНИЗАТОРОМ 118
-
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ 119
Вариант№1. Дозвуковая волна разрежения 119
Вариант №2. Сверхзвуковая волна разряжения 120
Вариант №3. Трансзвуковая волна разряжения 121
Вариант №4. Разлет газа в пустоту 122
-
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПОЛИТРОПНОГО ГАЗА В ЭЙЛЕРОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 123
-
ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 125
7. СИНТЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ «КАБАРЕ-ПРЫЖКОВЫЙ
ПЕРЕНОС» 126
8. ПОДСЕТОЧНОЕ РАЗРЕШЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН АЛГОРИТМОМ
ПРЫЖКОВОГО ПЕРЕНОСА 130
9. ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ И ЭМПИРИЧЕСКОЕ
ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ 131
Две волны разрежения 131
Ударная волна и волна разрежения 132
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 5 134
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 135
ПРИЛОЖЕНИЕ 140
ОСНОВНОЙ ИНТЕРФЕЙС 141
Главная форма 141
Окно вывода профиля функции 142
Кнопки управления отображением 142
Сетка 143
Равномерная сетка 143
Случайная сетка 143
«3 отрезка» 144
Функция.... 144
Занесение в библиотеку и загрузка из библиотеки 145
Введение к работе
Проблема аккуратного расчета переноса сеточных величин на эйлеровых сетках остается в настоящее время одной из наиболее значимых проблем вычислительной гидродинамики [1,11,20,21]. Основные трудности связаны с явлениями, проявляющимися на простейшем линейном уравнении переноса с постоянными коэффициентами. -^ + с-^ = 0, c = const>0 (0.1) dt дх
Ключевым вопросом, обуславливающим точность приближенного решения данного уравнения, является аккуратный расчет разрывов, которые могут иметь место в этом случае. Один из способов заключается в выделении разрывов в явном виде. Однако, такой подход хотя и обеспечивает необходимую точность, но является слишком сложным для реализации. В случае наличия нескольких пространственных измерений для нелинейных систем, типа уравнений газовой динамики, в реальных прикладных задачах достаточно трудно проследить за всеми возникающими разрывами.
Другим подходом является использование однородных разностных схем, позволяющих по единому вычислительному алгоритму проводить расчет как гладких решений, так и решений, содержащих разрывы [4,6,7,9,10]. Одним из основополагающих принципов здесь является разработанный в работах А.Н.Тихонова и А.А.Самарского принцип консервативности разностных схем [2,5]. Нарушение этого принципа при расчете разрывов может привести к ошибкам, которые не исчезают при измельчении шагов сетки. В настоящее время принцип консервативности является общепризнанным.
При аппроксимации уравнения (0.1) на регулярных расчетных сетках линейными, однородными разностными схемами, возникают т.н. фазовые и амплитудные ошибки [26], искажающие частные решения этого уравнения - бегущие волны. Амплитудные ошибки приводят к уменьшению амплитуды гармоник, проявляющемуся в явлении аппроксимационной вязкости, фазовые - к разбросу в скоростях их распространения и явлению вычислительной дисперсии [9]. Вычислительная дисперсия приводит к немонотонности численного решения, возникновению в процессе расчетов новых минимумов и максимумов. Она связана с недостаточной диссипацией используемых разностных схем и одним из распространенных способов устранения этого недостатка является введение так называемой искусственной вязкости - дополнительных членов в разностных уравнениях, имеющих вид формальных аппроксимаций вязких и других диссипативных процессов с коэффициентами, стремящимися к нулю при измельчении сетки [15,16]. Такой подход получил широкое распространение при решении задач газовой динамики в лагранжевых переменных [12,18]. Это связано с тем фактом, что само использование лагранжевых координат фактически выделяет контактные разрывы в явной форме, и остаются только разрывы типа ударных волн, что значительно облегчает правильный выбор коэффициентов искусственной вязкости.
Среди линейных, однородных разностных схем важное место занимают т.н. позитивные схемы, для которых выполняется принцип максимума. У позитивных разностных схем новые максимумы и минимумы не образуются. Классическим примером позитивной разностной схемы является схема "уголок" (Simple Upwind): tf"-«b+c.az5i.o (0.2)
Схема (0.2) является явной, двухслойной, имеет относительно большую область вычислительной устойчивости, определена на минимальном вычислительном шаблоне, обладает свойством транспортивности [20] и имеет первый порядок аппроксимации. Свойство транс-портивности гарантирует невозможность распространения возмущений вверх по потоку и корректность учета области влияния решения, выражающееся в естественности учета граничных условий. Схема «уголок» могла бы быть признана идеальной, если бы не присущая ей высокая аппроксимационная вязкость.
Не особенно греша против истины, можно сказать, что вся история работ по сеточному переносу связана с непрекращающимися попытками построения малодиссипативных схем, которые по всем остальным свойствам как можно меньше отличались бы от схемы (0.2) [3,13,17,19,21]. Важнейшим, среди этих свойств, признается свойство монотонности, вытекающее из свойства позитивности.
Чрезвычайно важную роль в формировании направлений развития сеточно-транспортных алгоритмов сыграла теорема Годунова [6], утверждающая, что линейные, позитивные разностные схемы не могут иметь порядок аппроксимации выше первого. Теорема Годунова фактически наложила запрет на поиск приемлемого решения в классе линейных алгоритмов и направила усилия математиков на построение и исследования нелинейных разностных схем, свойства которых зависят от получаемого решения. Впервые подобная схема было получена Дж. Борисом и Д.Буком [22], а в последние десятилетия на этом пути были получены впечатляющие результаты, связанные с развитием идей нелинейной коррекции потоков [28-40,47] и их применением к системам многомерных нелинейных гиперболических уравнений [23,25]. Это направление не исчерпало еще всех своих потенциальных возможностей и, по всей видимости, будет оставаться магистральным в течение ближайшего ряда лет.
Для квазилинейных систем уравнений гиперболического типа понятие монотонности в строгой форме не сформулировано, и, таким образом, можно говорить только о квазимонотонных схемах, т.е. о практическом отсутствии осцилляции за фронтом разрывов. Однако, несмотря на отсутствие строгих теоретических оценок, нелинейная коррекция потоков (TVD, ENO) привела к очень хорошим результатам и для уравнений типа уравнений газовой динамики и в настоящее время стало общепринятым.
Совершено новый подход к решению проблемы сеточного переноса обозначился на пути полного отказа от традиционного понятия аппроксимации - поиску решения в классе кусочно-постоянных функций. В работе Головизнина В.М. и Карабасова С.А. показано, что алгоритм прыжкового переноса на классе кусочно-постоянных функций даёт точное (не улучшаемое) сеточное решение задачи (0.1) в смысле интегральных средних по ячейке [27]. Уже сам факт существования точных алгоритмов даже для простейших случаев заслуживает особого внимания и требует всестороннего изучения и развития на более сложные классы задач.
Цель работы
Целью работы является разработка на основе алгоритма прыжкового переноса нового метода решения квазилинейных гиперболических уравнений, объединяющего балансный и характеристический подходы, обобщение полученного метода на простейшую квазилинейную систему уравнений, так называемую Р-систему, проявляющую свойства, присущие газодинамическим системам и исследование его свойств.
Научная новизна
Разработан новый подход к построению разностных схем для уравнений гиперболического типа - балансно-характеристический. Основанием для его создания послужила обнаруженная возможность записывать трехслойные схемы в двухслойном виде за счет введения двух наборов переменных. Один вид переменных относиться к узлам сетки, а второй к центрам расчетных ячеек. Переменные получили названия потоковых и консервативных соответственно. Консервативные переменные рассчитываются из уравнений баланса, а потоковые переносятся по характеристикам.
Представлены новые разностные схемы для решения простейшего уравнения переноса, разработанные на основе балансно-характеристического подхода - первого и второго порядка точности. Схемы являются линейными, однородными, консервативными. Схемы трехслойные, но записываются в двухслойном виде. Шаблоны схем определены в пределах одной пространственной ячейки. Схемы обладают улучшенными дисперсионными и диссипа-тивными свойствами. Предложена процедура нелинейной коррекции, которая избавляет от осцилляции и повышает транспортивные свойства схем.
При решении квазилинейных уравнений оказалось, что алгоритм прыжкового переноса не подходит для расчета волн разрежения, хотя точно переносит ударные волны. Решение этой проблемы было найдено в объединении алгоритма прыжкового переноса и схемы «КАБАРЕ». Полученный синтетический алгоритм имеет ветвление в расчете потоковых переменных, индикатором для которого служит условие устойчивости разрыва внутри ячейки, определяющее вид решения задачи Римана. В случае выпуклой функции состояния внутри ячейки всегда либо ударная волна, либо волна разрежения. Синтетический алгоритм обладает вторым порядком точности на волнах разрежения, а ударные волны воспроизводит точно.
В случае невыпуклой функции состояния может возникнуть ситуация, в которой решение задачи Римана является комплексом из ударных волн и волн разрежения. Тогда новое значение потоковой переменной находится из условия равенства скорости звука на границе и скорости разрыва. Разработанная методика гарантирует, что ни один сильный или слабый разрыв не будет утерян в процессе расчета.
При обобщении балансно-характеристического метода на уравнения течения политроп-ного газа в лагранжевых переменных мы воспользовались возможностью записи Р-системы в инвариантах Римана. Инварианты Римана стали основными переменными при расчете. Скорость, удельный объем (плотность) и прочие величины вычисляются через инварианты. Алгоритм также имеет ветвление, связанное с различиями в расчете ударных волн и волн разрежения. Для определения вида решения внутри ячейки были выведены соотношения, позволяющие не решать задачу Римана. Задача Римана решается только в стартовой процедуре согласования начальных значений переменных.
Новые элементы при переходе к эйлеровым переменным связаны только с возникновением трансзвуковых ячеек и заметно большим числом вариантов переноса информации из ячеек в узлы. Это приводит к некоторым усложнениям алгоритма, не имеющим принципиального характера.
Практическая ценность работы
Разработанный подход к построению разностных схем позволяет получать экономичные и простые алгоритмически схемы для решения уравнений конвекции-диффузии, скалярных квазилинейных уравнений и систем квазилинейных уравнений, имеющих инварианты Римана. По точности получаемого решения новые схемы заметно превосходят схемы Годунова, Лакса-Вендроффа и Мак-Кормака и не уступают схемам TVD. При этом отсутствуют недостатки, связанные с нелинейной коррекцией потоков. Полученные схемы обладают свойством монотонности, аппроксимируют гладкие решения со вторым порядком точности, а ударные волны воспроизводят точно. При этом решение задачи Римана требуется только на начальном этапе.
Результаты, представленные в данной работе, являются важным этапом в разработке новейшего метода решения газодинамических уравнений.
Структура и объем
Работа состоит из введения, пяти глав, списка литературы и приложения.
Во введении рассмотрен основной круг проблем, связанных с решением гиперболических уравнений, приведен краткий обзор литературы, отражающей современное состояние соответствующих вопросов и сформулирована цель работы, защищаемые положения и научная новизна данной работы.
Первая глава диссертации носит обзорный характер и посвящена рассмотрению и сравнению существующих методов построения разностных схем для решения дифференциальных уравнений гиперболического типа на примере простейшего уравнения переноса. Несмотря на кажущуюся простоту, это уравнение является серьезной проблемой для вычислителей. На уравнении переноса ярко проявляются особенности разностных схем, а простота в его исследовании позволяет сравнивать их свойства. Глава состоит из пяти параграфов.
В первом параграфе первой главы рассмотрен интерполяционно-характеристический подход к построению разностных схем. Показано, как на его основе могут быть получены следующие классические разностные схемы: «Уголок» (Simple Upwind), «Крест» (Leapfrog), схемы ван Лира и Лакса-Вендроффа, а также схема «Кабаре» (Upwind Leapfrog). Проведен анализ амплитудных и фазовых ошибок всех схем. Наиболее наглядным способом отобра жения амплитудных и дисперсионных ошибок является построение диссипативных и дис персионных поверхностей. При этом по оси Ох откладывается число Куранта г, по оси Оу - приведенное волновое число kh, по оси Oz - модуль перехода или приведенная фазовая ско рость. Таким же образом можно построить поверхность для групповой скорости , кото- рая показывает особенности распространения волнового пакета.
Второй, третий и четвертый параграфы первой главы посвящены результатам, достигнутым в данной области в мире за последние 10-15 лет. Это так называемые «схемы высокой разрешающей способности» - TVD и ENO. Кроме того, приведен алгоритм прыжкового переноса, дающий точное решение уравнения переноса.
В пятом параграфе проводится сравнение результатов численных экспериментов. Для каждой схемы проведено три теста с различными начальными данными: «2 горба», кусок синусоиды и прямоугольник. Такой выбор позволяет наглядно продемонстрировать достоинства и недостатки разностных схем. Для проведения тестов использовалась программа, разработанная в ходе работы над диссертацией. Программа предназначена для сравнения резуль- татов расчетов, полученных при помощи различных разностных схем на произвольных начальных данных и пространственных сетках. Подробнее ознакомиться с возможностями программы можно в приложении.
Вторая глава посвящена описанию разностных схем нового типа для решения уравнения переноса. Схемы получили название «балансно-характеристические схемы с разнесенными потоковыми и консервативными переменными». Глава состоит из пятнадцати параграфов.
В первом параграфе проводится детально рассмотрение схемы «КАБАРЕ», которая является предшественницей балансно-характеристические схем. Схема получена на основе ин-терполяционно-характеристичкого подхода к построению схем. В параграфе описаны основные свойства схемы «КАБАРЕ».
Во втором параграфе схема «КАБАРЕ» представлена в двухслойном виде. Для этого вводится дополнительный набор переменных, относящихся к центрам ячеек и названных «консервативными». Переменные в узлах сетки называются «потоковыми».
В третьем и четвертом параграфах предложены процедуры нелинейной коррекции для потоковых и консервативных переменных соответственно. Потоковые переменные удерживаются в пределах минимума-максимума по ячейке, а для консервативных переменных проводится перенос избытка (восполнение недостатка) в соседние ячейки.
В пятом параграфе описан четырехэтапный алгоритм для схемы «КАБАРЕ» с нелинейной коррекцией консервативных и потоковых переменных и его основные свойства.
В шестом параграфе проводится сравнение описанного алгоритма с двумя известными TVD схемами. Для этого использовались три тестовые задачи: единичную ступеньку, занимающую 10 расчетных ячеек, всюду гладкая функция с большими градиентами («2 горба»), положительной частью синусоиды.
В седьмом параграфе приведена балансно-характеристическая интерпретация схемы «КАБАРЕ».
В восьмом параграфе второй главы описаны новые схемы, полученные уже только на основе балансно-характеристического подхода. Предложено две схемы - первого (н)я+1/2 _ (н)""1'2 Ю» _«,"
4+1/2 4+1/2 +С.УМ Ф, =0 (03) (1 + г) (1 + г) и второго порядка точности: q«+1/2_ 0,1-1/2 n _ n Um>2 U'+"2 +с-Ф,+1 V' =0 (0.5) C" =-^^+^^-^1 + ^74-^/2 (0.6) (1 + r) (1 + r) где r = —, &ЦІІІ - консервативные, а ф"++/ - потоковые переменные h
Схемы обозначены. аббревиатурой BCSSCFV (Balance and Characteristic Scheme with Staggered Conservative and Fluxes Variable). Для схем описаны процедуры монотонизации.
В девятом параграфе приведены результаты расчетов по схемам BCSSCFV. Использовались те же задачи, что и для сравнения схемы «КАБАРЕ» с TVD схемами.
В десятом параграфе построены диссипативные и дисперсионные поверхности для новых схем. Поверхности позволяют подробно изучить свойства схем и определить, который из корней характеристического уравнения является <осорошим», а какой «паразитным».
В одиннадцатом параграфе рассмотрена процедура отбраковки паразитного корня. От влияния паразитного корня можно избавиться согласованием начальных значений консервативных и потоковых переменных.
В двенадцатом параграфе проводится сравнение схем BCSSCFV и «КАБАРЕ». Изучение достоинств и недостатков схем в зависимости от числа Куранта приводит к идее гибридизации двух схем. Приведен один из возможных вариантов слияния.
В тринадцатом-четырнадцатом параграфах второй главы приводится обобщение полученных схем на случай переменного поля скоростей. Переменное поле скоростей требует особенной процедуры коррекции консервативных и потоковых переменных.
В пятнадцатом параграфе второй главы приводится обобщение полученных схем на уравнение конвекции-диффузии.
Третья глава посвящена решению одного скалярного квазилинейного гиперболического уравнения в форме закона сохранения: +^-0;/(.)вС;«[М:,.[аГ]; (0.7) и(дс,0) = ф(дс) ;
