Содержание к диссертации
Введение
I. Модели и методы расчета задач динамики пузырька. Численные методы в газовой динамике 11
1. Обзор моделей и методов расчета динамики пузырька 12
2. Краткий обзор численных методов в газовой динамике 20
3. Выводы 28
II. Математическая модель и метод расчета 29
4. Математическая модель сильного сжатия газового пузырька в сжимаемой жидкости 30
5. Метод расчета 35
Построение расчетной сетки 35
Алгоритм расчета первого этапа 39
Алгоритм расчета второго этапа 45
Начальные и граничные условия 49
6. Выводы 55
III. Верификация 57
7. Динамика пузырька в слое несжимаемой жидкости 59
8. Свободные колебания формы эллипсоидального пузырька в жидкости 62
9. Свободные совместные колебания формы и объема эллипсо идального пузырька в слое жидкости 65
10. Эволюция поверхности эллипсоидального пузырька в сферической колбе при радиальном движении стенки колбы 68
11. Эволюция поверхности эллипсоидального пузырька в слое жидкости под действием поверхностного натяжения на свободной внешней границе 70
12. Обтекание шара сверхзвуковым потоком газа с отошедшей ударной волной 72
13. Выводы 75
IV. Динамика пузырька при его сильном сжатии 77
14. Сильное сжатие сферического кавитационного пузырька 78
15. Охлопывание пустой полости в жидкости 84
16. Адиабатическое сжатие воздушного пузырька в воде 86
17. Сильное сжатие несферического парового пузырька в жидкости 89
18. Выводы 101
Заключение 104
Литература
- Краткий обзор численных методов в газовой динамике
- Математическая модель сильного сжатия газового пузырька в сжимаемой жидкости
- Свободные колебания формы эллипсоидального пузырька в жидкости
- Охлопывание пустой полости в жидкости
Введение к работе
Сильное сжатие парогазовых пузырьков сопровождается высокими температурами, давлениями и плотностями содержимого пузырьков, высокими давлениями жидкости в их окрестности. Это представляет значительный интерес для различных приложений. Так, в сонохимии пузырек играет роль химического реактора, в медицине он применяется для разрушения камней в почках. Сильное сжатие пузырьков может вызывать кавитационное разрушение гребных винтов. Наибольший интерес представляет экстремально сильное сжатие, с которым связывают такие феномены, как одно-пузырьковая сонолюминесценция и нейтронная эмиссия при акустической кавитации. Их теоретические и экспериментальные исследования привели к формированию представления о том, что в финальной высокоскоростной стадии сжатия в пузырьке формируется ударная волна, сходящаяся к его центру. По мере схождения ее интенсивность возрастает так, что кратковременно в центре пузырька образуется сферическое ядро с очень высокими значениями температуры и плотности, что и вызывает свечение в первом случае и нейтронную эмиссию во втором.
Теоретическое представление о таком механизме экстремально сильного сжатия содержимого пузырьков основано на предположении о сферичности процесса сжатия. Однако в реальности пузырек всегда имеет небольшие отклонения от сферической формы. Поэтому разработка математических моделей, методов расчетов и исследование влияния искажений сферичности пузырька на характеристики сильного сжатия являются актуальными. До настоящего времени этот вопрос практически не исследовался. Изучалось лишь влияние радиальной (сферической) составляющей движения содержимого пузырька и окружающей жидкости на эволюцию малых возмущений сферичности пузырька, на степень их нарастания. При этом обратное влияние искажений сферичности на радиальную составляющую движения, что представляет наибольший интерес, не учитывалось. Цель работы. Цель работы состоит в создании численного метода исследования сильного сжатия несферического (осесимметричного) кавита-ционного пузырька в жидкости. Для этого необходимо решить следующие задачи:
- выбрать математическую модель;
- разработать экономичный метод расчета;
- провести численное исследование его работоспособности. Научная новизна работы.
1. Предложено обобщение одномерной модели Нигматулина сильного сжатия кавитационного пузырька на осесимметричиый случай.
2. Разработан численный метод расчета задач сильного сжатия осесимметричного кавитационного пузырька.
3. Установлено, что при решении осесимметричных задач сильного сжатия пузырька предлагаемый метод существенно экономичнее классического метода Годунова.
4. Выявлен один из сценариев развития несферичности динамики среды в кавитационном пузырьке при сильном сжатии. Установлено, что в процессе сжатия давление и температура внутри пузырька в несферическом случае могут быть выше, чем в сферическом.
Научная и практическая ценность работы.
Предложенные в работе математическая модель и численный метод могут быть использованы для проведения детального изучения влияния отклонений формы поверхности пузырьков от сферической на развитие несферичности полей давления, плотности, температуры и скорости в его полости при сильном сжатии. Результаты таких исследований могут быть использованы при планировании экспериментов по экстремально сильному сжатию содержимого пузырьков. Их можно использовать также при оценке реалистичности различных теорий сильного сжатия, основанных на гипотезе о сферической симметрии процесса сжатия.
Достоверность результатов обеспечивается корректностью постановки задачи, согласованием результатов расчета разнообразных тестовых и модельных задач с их аналитическими решениями, численными решениями, полученными автором другими методами расчета, и численными решениями других авторов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях и научных школах:
- VI Всероссийский семинар «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2005);
- V Молодежная школа-конференция «Лобачевские чтения - 2006» (Казань, 2006);
- Научная конференция «Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук» (Зеленодольск, 2006);
- IV Всероссийская научная конференция «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2007);
- Российская конференция «Механика и химическая физика сплошных сред» (Бирск, 2007);
- IX Международная конференция «Забабахинские научные чтения» (Снежинск, 2007);
- VII Всероссийский.семинар «Сеточные методы для краевых задач и приложения» (Казань, 2007);
- VI Молодежная научная школа-конференция «Лобачевские чтения -2007» (Казань, 2007); - VIII Всероссийский семинар по аналитическая механика, устойчивости и управлению движением (Казань, 2008);
- Российский симпозиум «Динамика многофазных сред» (Казань, 2008);
- Международная научная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные проблемы» (Стерлитамак, 2008);
- Всероссийский VI Школа-семинар молодых ученых и специалистов акад. РАН В.Е.Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 2008);
- VIII Всероссийский семинар по аналитическая механика, устойчивости и управлению движением (Казань, 2008);
- Итоговые научные конференции Института механики и машиностроения Казанского научного центра РАН за 2006, 2007 г.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 статей и 4 тезисов. Из них 2 статьи - в изданиях, входящих в список ВАК. Основное содержание диссертации отражено в работах [10,12-20,34,48-52]. Работы [13-16] выполнены совместно с А.А Аганиным, [12] - с А.А. Аганиным и Т.С. Гусевой, [17-20] - с А.А. Аганиным и Н.А. Хисматуллиной, [10,34] - с М.А. Иль-гамовым и А.А. Аганиным, [49-52] - с Н.А. Хисматуллиной.
Вклад соавторов заключается в следующем.
А.А. Аганину принадлежит постановка задач, участие в разработке методики расчета, составлении программ и обсуждении полученных результатов. Т.С. Гусевой принадлежит расчет по упрощенной модели эволюции искажения сферической формы полости, а Н.А. Хисматуллиной - участие в разработке методики расчета и обсуждении полученных результатов. М.А. Ильгамов участвовал в обсуждении полученных результатов. Вклад автора в публикациях состоит в участии в разработке методики расчета, составлении программ, проведении расчетов и анализе полученных результатов.
Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю и со автору большинства своих работ доктору физико-математических наук А.А. Аганину. Кроме того, автор благодарен члену-корреспонденту РАН М.А. Ильгамову и кандидату физико-математических наук Н.А. Хисма-туллиной за регулярные консультации и полезные советы. Спасибо также всем сотрудникам лаборатории ВДСС ИММ КазНЦ РАН за поддержку и внимание. Проводимые исследования были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (проекты № 05-01-00415-а, № 08-01-00215, № 08-01-97029-р_поволжье_а), Фондом научно-исследовательских и опытно-конструкторских разработок Республики Татарстан (проекты № 05-5.4-397-2005(ф), № 07-7.5-19/2006(г)), Российской Академией Наук (программа 10002-251/ОЭМППУ-13/079-083/190603-773).
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, содержащих восемнадцать параграфов и заключения, изложенных на 120 страницах, включая 28 рисунков и список использованной литературы из 131 наименования.
Во введении отмечена актуальность темы диссертации. Определена цель работы. Отмечена ее научная новизна. Представлено краткое содержание разделов диссертации.
В первой главе приведен обзор работ по динамике сферического и несферического пузырька и методам ее численного исследования. Рассмотрена литература по численным методам решения нестационарных уравнений динамики сжимаемой жидкости и газа: явные, неявные и явно-неявные методы, методы искусственной вязкости, методы аппроксимации интегральных законов сохранения, современные методы повышенного порядка точности.
Во второй главе представлена предлагаемая математическая модель сильного сжатия кавитационного пузырька в жидкости. Приведена система уравнений динамики газа в пузырьке и окружающей жидкости с учетом эффектов теплопроводности, испарения и конденсации. Выписаны уравнения динамики сжимаемой жидкости и газа в смешанной эйлерово-лагранжевой системе координат, связанной с поверхностью пузырька. Приведена модификация схемы Годунова на основе UNO-схемы, используемая в методике расчета. Выполнено сравнение с другими разностными схемами из того же класса схем Годунова. Приведена явно-неявная разностная схема для уравнения энергии. Эта схема применяется для учета эффектов тепломассообмена. Описан способ моделирования начальных и граничных условий. Приведены формулы вычисления кривизны и испарения-конденсации на межфазной поверхности. Представлены алгоритм построения сетки и способ движения ее узлов.
Третья глава посвящена изучению правильности работы алгоритма расчета и реализующего его программного комплекса. В ней приводятся решения тестовых задач (свободные колебания формы эллипсоидального пузырька в жидкости; совместные колебания формы и объема эллипсоидального пузырька в слое жидкости; эволюция поверхности эллипсоидального пузырька в сферической колбе при радиальном движении стенки колбы; эволюция поверхности эллипсоидального пузырька в слое жидкости под действием поверхностного натяжения на свободной внешней границе; обтекание сферы сверхзвуковым потоком газа). В качестве эталонного решения в задачах динамики слоя жидкости применяется аналитическое или численное решение, полученное в рамках упрощенной формулировки задачи в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом того, что сжимаемость жидкости в этой задаче несущественна. Упрощенной формулировке задачи динамики пузырька в слое несжимаемой жидкости посвящен отдельный параграф, в котором приводятся уравнения эволюции радиуса пузырька и его малого отклонения от сферической формы. В задаче обтекания сферы сверхзвуковым потоком газа приводится сравнение с результатами расчета другого автора.
В четвертой главе основное внимание уделяется динамике пузырька при его сильном сжатии. Изучается эволюция формы поверхности пузырька, динамика газа в его полости, деформация фронта ударной волны при ее радиальном движении к центру пузырька. На примере задач сильного сжатия сферического кавитационного пузырька и схлопывания пустой полости в жидкости демонстрируется эффективность применения методики настоящей работы. Исследуются особенности эволюции малых эллипсоидальных возмущений сферической формы пузырька в задаче адиабатического сжатия воздушного пузырька в воде после его сильного расширения из равновесного состояния в зависимости от его равновесного радиуса. Для получения представления о применимости упрощенной модели на стадии сжатия приводится сравнение результатов расчетов с применением упрощенной модели и прямой численной модели, предлагаемой в настоящей работе. Указывается один из сценариев развития искажений сферичности парового пузырька и их влияния на динамику газа в его полости при сильном сжатии.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
Результаты проведенных численных расчетов представлены в диссертации в виде рисунков и графиков.
Краткий обзор численных методов в газовой динамике
Малость размеров пузырька и горячего ядра в нем, а также короткая продолжительность финальной стадии сжатия пузырька затрудняют ее экспериментальное изучение. В связи с этим важную роль в понимании происходящих при этом процессов приобретает математическое моделирование. В частности, указанное выше представление об ударно-волновом механизме сонолюминесценции и ядерного излучения сформировалось в результате вычислительных экспериментов с применением сферически симметричных моделей, в которых для описания движения газа в полости пузырька использовались уравнения газовой динамики [89,100-102,104,121,129]. В качестве методов численного решения применялись методы первого порядка точности: Лакса-Фридрихса [129], Годунова [29,89,104,121], комплекс программ DYNA2D [100-102].
Модели, описанные в предыдущем параграфе и предназначенные для изучения эволюции искажений сферичности пузырька, имеют ряд упрощающих предположений (малая сжимаемость, однородность распределения газа в пузырьке), которые ограничивают их применение в финальной стадии сжатия. Прямое численной моделирование на основе уравнений динамики жидкости и газа позволяет корректно описывать динамику пузырька на высокоскоростной стадии сжатия, когда в газе появляются значительные неоднородности и даже ударные волны. Результативность прямого численного моделирования во многом зависит от экономичности метода расчета уравнений газовой динамики.
С точки зрения аппроксимации по времени различают явные, неявные и явно-неявные схемы [22,40,67,93]. Выбор схемы зависит в основном от особенностей задачи. Явные схемы отличаются простотой реализации и отладки полученных программ: переменные на последующем временном слое выражаются непосредственно (явно) через переменные на предыдущем слое. Однако они устойчивы только при выполнении ограничения шага по времени At. На равномерной сетке с шагом h это условие для одномерных уравнений газовой динамики в акустическом приближении записывается в виде:
At AtCRT = h/c, (2.1) где с - скорость распространения малых возмущений. Условие (2.1) называется условием Куранта [24]. Расчет большинства задач по явным схемам требует чрезвычайно много временных шагов, что затрудняет изучение задач, поэтому их область применения ограничена.
Основным преимуществом неявных схем является их устойчивость при любом временном шаге. Однако решение системы уравнений с помощью неявного метода является значительно более трудоемкой задачей: для нахождения переменных на последующем временном слое необходимо решать систему алгебраических уравнений, что требует больших затрат компьютерных ресурсов и процессорного времени. Для многомерных задач сложность алгоритма существенно возрастает. Решение задач с сильно нестационарными и быстропротекающими процессами, в которых могут возникать ударные волны, накладывает на численную схему свои условия. Так, в неявных схемах требование точности расчета может привести к более жесткому ограничению на шаг по времени, чем условие Куранта (2.1). Это связано с тем, что большой шаг по времени будет вести к "размазыванию" разрывов решения.
Особенно отметим явно-неявные схемы, которые сочетают в себе лучшие качества явных и неявных схем [68]. В них значение одной из неизвестных функций определяется как явно, так и неявно через значения других неизвестных функций. Такие методы часто применяются для численного решения уравнений сжимаемой жидкости и газа в совокупности с методом расщепления по физическим процессам и пространственным направлениям. Используя метод расщепления мы приходим к решению последовательности задач, которые решаются явными и неявными методами. В результате ограничение на шаг по времени будет задавать явная схема.
Существуют два основных подхода построения схем сквозного счета, допускающих счет через ударные волны: применение искусственной вязкости и аппроксимация интегральных законов сохранения. Метод искусственной вязкости основан на введении искусственных добавок (диссипации) для обеспечения устойчивости решения особенно там, где существуют большие градиенты и даже разрывы решения. Идея искусственной вязкости относится к ранним работам, посвященным изучению динамики жидкости и газа. Так, в работах J. Neumann и R. Richtmyer [103] предложен был вариант применения линейной и квадратичной вязкости. M.L. Wilkins в обзоре [128] рассматривал обобщение метода на многомерный случай. Примером применения искусственной вязкости при изучении низкоскоростной стадии динамики пузырьков являются методы типа CIP-CUP [82,83], которые за счет расщепления уравнений на конвективные и акустические части открывают возможности гибкого выбора временного шага, а значит и ускорения расчетов. Однако, как известно, использование искусственных добавок может привести к нефизичности решения [116]. На высокоскоростной стадии сжатия при таком подходе могут возникнуть проблемы с энтропийным следом и способом задания добавочных членов. К тому же считается, что разностные схемы основанные на аппроксимации интегральных законов сохранения, лучше учитывают их физические свойства. Именно такие методы широко применяются при моделировании коллапса пузырька. В частности для решения задач сферического сжатия в работах [6,29,55,81,89,104] используются схемы типа Годунова для подвижной системы координат, в [129] - схема Лакса - Фридрихса .
Методы, базирующиеся на аппроксимации уравнений газовой динамики в интегральной форме, подразделяются на две группы: методы типа Лакса - Фридрихса (центральные схемы) и методы типа Годунова (схемы вверх по потоку). В схеме Лакса - Фридрихса значения функций на последующем временном слое находятся на границах ячеек, а численные потоки сглаживаются в центрах ячеек по квадратуре. Преимущество такого подхода заключается в его простоте, недостатком является чрезвычайная численная вязкость. В схемах типа Годунова значения функций находятся в центрах ячеек, численные потоки определяются в результате точного или приближенного решения задачи Римана. Такие схемы лучше описывают разрывные решения, чем аналогичные схемы типа Лакса-Фридрихса, однако добавляют весьма сложную и затратную по компьютерному времени процедуру решения задачи Римана. При выборе разностной схемы мы руководствовались накопленным опытом исследований. В работах J.E Fromm a [72], P. Wesseling a [127], R. Jeltsch a и др. [86] показано, что для моделирования сжимаемой жидкости применение схем вверх по потоку является более предпочтительным.
Классический метод Годунова базируется на точном решении задачи Римана о распаде произвольного разрыва на границах ячеек, что придает ему устойчивость, а потому и большую привлекательность. Приближенные решения этой задачи привели к формирования целого класса схем [40]. В них применяются отдельные точные элементарные решения задачи распада разрыва. Так, метод Куранта - Изаксона - Риса (КИР) и метод Роу используют только движущиеся разрывы, метод Ошера — волны Римана. Метод КИР основан на приближенном решении локально линеаризованной системы уравнений с учетом движущихся разрывов, разделяющих области с постоянными значениями величин. Схема Роу отличается от КИР тем, что точно воспроизводит нелинейное решение задачи Римана для движущегося сильного разрыва. Однако, она может волны разрежения заменять ударными волнами разрежения, приводя тем самым к нефизичности решения. Схема Ошера использует простые волны (волны сжатия, разрежения и контактные волны), что приводит к усреднению сильных ударных волн. С учетом вышесказанного, в работе использовалось точное решение задачи Римана с целью более корректного описания происходящих внутри полости пузырька газодинамических процессов.
Математическая модель сильного сжатия газового пузырька в сжимаемой жидкости
При сильном сжатии поверхность пузырька может значительно отклоняться от сферической. В окрестности межфазной границы в жидкости могут возникать большие градиенты давления, в жидкости и газе — тонкие тепловые пограничные слои. Градиенты давления влияют на скорость движения поверхности пузырька, а от тепловых пограничных слоев зависит масса газа в пузырьке, а значит и изменение радиуса пузырька в финальной стадии сжатия. К тому же, при сильном сжатии в полости пузырька могут возникать очень интенсивные радиально сходящиеся волны сжатия, в т.ч. и ударные. Они определяют экстремальные значения газодинамических параметров в окрестности центра пузырька. Все это при расчетах должно аккуратно отслеживаться. С этой целью в настоящей работе применяется смешанная эйлерово-лагранжева (СЭЛ) система координат, связанная с поверхностью пузырька. При этом предполагается, что поверхность пузырька (и внешняя поверхность жидкости) при сжатии может отклоняться от сферической, хотя и значительно, но без нарушения однозначности вдоль радиальной координаты (т.е. без нарушения однозначности функций г = rs(0, t) и г = г (#, )). СЭЛ координаты не только позволяют учесть перечисленные выше особенности задачи, но и дают возможность плавно переходить от сетки с хорошим разрешением пограничных слоев к сетке с хорошим разрешением ударной волны в газе в финальной стадии процесса.
Для решения уравнений (4.8) с соответствующими граничными условиями применяется конечно-объемный метод, состоящий в том, что на каждом временном шаге сначала строится расчетная сетка, а затем в два этапа выполняются вычисления, построенные по принципу расщепления по физическим процессам. Дается описание алгоритмов построения сетки и расчетов на первом и втором этапах. На первом этапе игнорируется теплопроводность газа и жидкости. Здесь решаются уравнения (4.8) без учета тепловых потоков. Влияние теплопроводности учитывается на втором этапе. Для этого решается уравнение энергии.
Расчетная область в координатах г, 9 представляет собой криволинейный четырехугольник, состоящий из двух зон: зоны газа и зоны жидкости. Если внешняя граница слоя жидкости является бесконечно удаленной г/ = сю, то в качестве внешней границы расчетной области принимается достаточно далеко удаленная искусственная граница г = ra{0,t).
Расчетная область покрывается сеткой из (Ng + Ni) х Ng ячеек, где Ng и Ni - количество ячеек в радиальном направлении в зонах газа и жидкости соответственно, Ng - количество ячеек по угловой координате.
Для адекватного описания особенностей решения (тонких тепловых пограничных слоев) в начале сжатия используется сетка со сгущением (по геометрической прогрессии) к межфазной поверхности как со стороны газа, так и со стороны жидкости.
В процессе сжатия внутри пузырька могут формироваться интенсивные волны сжатия и ударные волны, сходящиеся к центру пузырька. В таком случае предлагаемый метод расчета позволяет осуществить в координатах г, 9 плавное перестроение сетки за счет изменения функций(3(t) и j(t). Заметим, что в СЭЛ координатах сетка всегда остается равномерной с шагом Л по -направлению и Аг] по 77-направлению. К тому же, криволинейные в плоскости г, 9 ячейки сетки в подвижной системе координат преобразуются в прямоугольники. Это значительно упрощает построение разностной схемы. Описанный метод построения сетки позволяет эффективно изучать как эволюцию формы пузырька, так и динамику газа в окрестности центра пузырька в процессе сильного сжатия.
Функции /3(t) и 7СО можно выбирать в зависимости от конкретной задачи. Связь функции /3(t) с ее значением 1 и сеткой в газе следующая. Если (3{t) 1, то сетка сгущается к поверхности пузырька, если/3() 1 — то в противоположную сторону. При /3(0 = 1 сетка равномерная. Аналогичное соответствие имеет место и между функцией 7() » ее значением {гj — rs)Ng/ (rsNi) и сеткой в жидкости.
При решении рассматриваемых ниже задач функции (3{t) и (t) принимаются кусочно-линейными где при ф = /3 имеем t\ = д, t i — ts, а при ф = J полагается t\ — tc, І2 = tf). Параметры Pi, fy, л, їв функции /3(t) выбираются с учетом того, что сначала нужно добиться хорошего разрешения тонкого теплового пограничного слоя в окрестности пузырька, а затем сходящейся к центру пузырька ударной волны, формирующейся в его полости в процессе сжатия. Поэтому указанные параметры выбираются так, чтобы сначала сетка сгущалась к поверхности пузырька, а затем плавно переходила в равномерную (резкое изменение сетки может приводить к появлению нефизических осцилляции). Для хорошего разрешения ударной волны вблизи центра пузырька необходимо использовать сетку со сгущением к центру. Однако такой цели в настоящей работе не ставилось, а потому сетка со сгущением к центру в рассматриваемых ниже примерах не применялась. Параметры функции 7(і) (7ij 72 tc, D) выбираются, исходя из того, что в жидкости, как и в газе, в окрестности пузырька возникает тонкий тепловой пограничный слой. Для его хорошего разрешения используется сетка со сгущением к поверхности пузырька. Кроме того, расчеты показали, что лучше выбирать 7( ) /5().
Перемещение сетки по угловой координате отсутствует (0Г = 0). Вычисление радиальной компоненты скорости узлов сетки на каждом временном шаге осуществляется следующим образом. Сначала в результате решения задачи о распаде разрыва на границах зон определяется нормальная компонента скорости Dk движения элементов границы.
Свободные колебания формы эллипсоидального пузырька в жидкости
Эллипсоидальный пузырек газа находится в неограниченном объеме невязкой жидкости. Под действием сил поверхностного натяжения форма пузырька совершает периодические колебания, в ходе которых эллипсоид становится вдоль оси симметрии то вытянутым, то приплюснутым. За начало отсчета времени t = 0 принимается момент, когда отклонение от сферической формы пузырька является максимальным.
В качестве следующего теста рассматривается задача колебаний эллипсоидального пузырька в слое жидкости, в которой, в отличие от предыдущей задачи, колебания формы пузырька происходят совместно с колебаниями его объема.
Сферический пузырек газа радиусом Re находится в сферическом слое невязкой жидкости в покое и равновесии. На внешней границе слоя имеем Р/ = р. В некоторый момент сферическая поверхность пузырька испытывает небольшое эллипсоидальное возмущение. В этот же момент небольшое изменение претерпевает и объем пузырька. В результате под действием сил поверхностного натяжения, перепада давления на внутренней и внешней сторонах слоя жидкости возникают малые колебания формы и объема пузырька. За начало отсчета времени t = 0 принимается момент, когда радиус пузырька в ходе колебаний объема становится максимальным, а форма пузырька в процессе его колебаний — сферической. Уравнения поверхности пузырька и скорости ее перемещения при t = 0 имеют вид rs = R, fa = RelP2(cos в), где R = Re(e + 1)- начальный радиус пузырька, є0 - относительная амплитуда колебаний радиуса пузырька, є — начальная скорость изменения амплитуды эллипсоидального отклонения. Внешняя граница слоя в начальный момент времени имеет форму сферы радиуса Щ = 4R0. Как и в предыдущей задаче, давление газа в полости пузырька принимается однородным и зависящим от радиуса пузырька по закону (8.1). Задача решается при Re = 0.001 м, є = —600 с-1, р = 1.01325 бар, р = 858 кг/м3, а/Re = 2.92 бар, є0 - 0.01. При таких входных данных сжимаемость жидкости влияет незначительно, так что начальное распределение параметров жидкости определяется в приближении ее несжимаемости. В этом приближении динамика пузырька в слое жидкости при малых отклонениях его формы от сферической описывается уравнениями (7.1), (7.2).
Изменение относительного возмущения є радиуса пузырька и относительной амплитуды эллипсоидального отклонения от сферической формы пузырька Є2 в задаче совместных колебаний формы и объема эллипсоидального пузырька: символы W " - численное решение, сплошные линии - решение по (9.1), (9.2) в приближении несжимаемой жидкости.
На рис. 6 представлено изменение относительного возмущенияє радиуса пузырька и эволюция амплитуды относительного отклонения от сферической формы пузырька Єг рассчитанные по предлагаемому в настоящей работе методу и по (9.1), (9.2). Видно, что численное решение хорошо согласуется с решением в приближении несжимаемой жидкости как по изменению возмущения радиуса пузырька, так и по изменению амплитуды искажения сферической формы. 10. Эволюция поверхности эллипсоидального пузырька в сферической колбе при радиальном движении стенки колбы.
В задачах сильного сжатия пузырька движение его поверхности может в значительной степени зависеть от условий как на внутренней, так и на внешней границе. К тому же, в отличие от рассмотренных выше задач, влияние сил поверхностного натяжения при сильном сжатии пузырька может оказаться незначительным (из-за относительно большого радиуса в начале сжатия и в результате больших сил инерции в его конце). Поэтому в качестве следующей тестовой задачи рассматривается задача динамики эллипсоидального пузырька, находящегося в жидкости в центре сферической колбы, при радиальном движении стенки колбы. В этой задаче изменение формы пузырька зависит как от поверхностного натяжения, так и от радиального перемещения внешней границы жидкости. Постановка задачи следующая. Сферический пузырек газа радиусом R находится в невязкой жидкости в центре сферической колбы радиуса Rf. Стенка колбы движется по гармоническому закону R/ = RP +A sin Xt (А - амплитуда, Л - частота). В некоторый момент времени на поверхности пузырька возникает малое эллипсоидальное отклонение от сферической формы. В последующем под действием поверхностного натяжения и перемещений стенки колбы радиус пузырька и эллипсоидальное искажение его сферичности совершают колебания. За начало отсчета времени t = 0 принимается момент, когда радиус колбы равен Rf, а амплитуда искажения сферичности пузырька достигает своего максимального значения є .
Охлопывание пустой полости в жидкости
Для иллюстрации эффективности предлагаемой методики в описании высокоскоростного сжатия пузырька рассматривается следующая задача. Пустая эллипсоидальная полость находится в неограниченном объеме жидкости. Полагается, что сначала полость расширялась под действием сил инерции и перепада давлений в полости и в жидкости на бесконечном удалении от межфазной поверхности. В некоторый момент времени, принимаемый за начальный t = 0, радиус полости достигает максимального значения R0, а эллипсоидальное возмущение имеет амплитуду є\. При t 0 полость начинает схлопываться, при этом искажение сферичности возрастает. Давление в полости при схлопывании полагается равным нулю. Влияние теплопроводности, испарения и конденсации не учитываются.
Расчетная область, состоящая из одной зоны жидкости, разбивается на Ni х Ng ячеек. При этом по радиусу используется неравномерное разбиение по геометрической прогрессии (размер первой ячейки -Дгі = Q.25irR/Ng). По угловой координате сетка выбирается равномерной.
Годунова и его UNO-модификацией. Видно, что при использовании UNO-схемы для получения приемлемой точности решения достаточно сетки526х 100, в то время как для схемы Годунова нужна сетка даже мельче, чем2104 х 400. При этом UNO-схема дает неплохие результаты уже на сетке263 X 50, а решение по схеме Годунова остается качественно неверным (в процессе схло-пывания пузырек оказывается не вытянутым, а приплюснутым вдоль оси симметрии) вплоть до сетки 526 х 100. Численные расчеты показали, что UNO-модификация позволяет снизить затраты компьютерного времени в тысячи раз.
Расчеты показывают, что для получения численного решения с помощью TVD-модификации, аналогичного по точности решению, полученному с применением UNO-модификации, требуется примерно в 2 раза более мелкая сетка. Это означает, что затраты компьютерного времени при использовании TVD-схемы возрастают примерно в 8 раз.
Рассматривается следующая задача. При t 0 эллипсоидальная газовая полость расширяется адиабатически из состояния равновесия до тех пор, пока радиус полости R не примет значение R0. В этот момент, принимаемый за начальный t = 0, давление жидкости на бесконечности больше давления газа в полости. Под действием перепада давления полость адиабатически сжимается. Анализируется эволюция малого возмущения сферической формы полости при сжатии.
В равновесном состоянии давление и температура газа в полости равны давлению и температуре окружающей жидкости р , Too, а радиус R = Re. Задача решалась при следующих исходных данных: Роо = 1 бар, Too = 293 К, pj = 998.2 кг/м3, Я0 = Rm = 0.001 м, а = 0.00001Д0.
Видно, что характер изменения возмущений сферичности при использовании обеих моделей оказывается подобным. В частности, на начальной стадии сжатия возмущения сферичности пузырька при всех значениях параметра /3 изменяются одинаково и совпадают с тем, что получается для пустой полости. Затем проявляется влияние газа внутри по лости пузырька, и изменение возмущений различается. Установлено, что при уменьшении Re в интервале 50 мкм Re 400 мкм отношение Л = Rmin/Rmax радиусов полости в конце и начале сжатия уменьшается в диапазоне 0.004 Л 0.09. При этом вытянутый эллипсоид в процессе сжатия превращается в приплюснутый, и наоборот. Экстремальное искажение сферичности полости достигается в конце сжатия так, что при увеличении /3 значение относительного отклонения 1612/ 21 от сферической формы сначала монотонно возрастает до 2.6 (при Л = 0.04), а затем убывает до 1.5. Упрощенная модель, основанная на расщеплении движения жидкости на сферическую и несферическую составляющие, завышает максимальное отклонение на к, 40%.
Применимость предлагаемого метода расчета к описанию сильного песферического сжатия пузырька, когда в его полости возникают значительные неоднородности, и даже ударные волны, демонстрируется на примере следующей задачи. До начального момента времени кавитационный эллипсоидальный пузырек расширяется в неограниченном объеме жидкости (жидкого дейтерированного ацетона). Расширение происходит сначала под действием давления пара в пузырьке ръ, превышающего давление окружающей жидкости роо = р, а затем, когдарь Роз, под действием сил инерции. При t — 0 радиус пузырька становится максимальным и равным В, расширение прекращается. В этот момент температура и пара, и жидкости равна Т, давление пара в пузырьке — давлению насыщения р при температуре Т. На бесконечном удалении от пузырька давление и температура жидкости в процессе сжатия не изменяются, оставаясь равнымироо (Poo Ps) и ) соответственно. В начальный момент времени поверхность пузырька отклонена от сферической формы, так что уравнение поверхности пузырька при = 0 имеет вид rs = R 4- а\Р2(cos в). Под действием градиента давления в жидкости пузырек при t 0 сжимается. Эволюция формы пузырька в процессе сжатия определяется движением жидкости и пара.
Начальное распределение параметров и положение искусственной границы г = ra(9, t) при t 0 определяется аналогично тому, как это сделано в задаче силыюго сжатия сферического газового пузырька в жидкости. При этом распределение давления, скорости, плотности и полной энергии при t = 0 вычисляется с учетом малости отклонения от сферической формы пузырька, а давление на внешней границе ра — без учета несферичности. Применяются реалистичные уравнения состояния жидкого и парообразного дейтерированного ацетона в форме Ми-Грюнайзена [104].
В начале сжатия и в газе, и в жидкости используется, как и в задаче о сильном сжатии сферической полости, подвижная сетка, сгущающаяся по геометрической прогрессии к межфазной поверхности. Для корректного описания пограничных тепловых слоев параметр j(t) в ходе сжатия уменьшается по формуле (5.2). По мере формирования ударной волны осуществляется постепенный переход на равномерную сетку с помощью параметра (3(f) по формулам (5.1) и (5.2).
Радиальное распределение давления и температуры внутри полости пузырька и окружающей жидкости в двух сечениях 9 = 0 (кривые 1) и 9 = 7г/2 (кривые 2) для пяти последовательных моментов времени i_5 начальной стадии сясатия. Точкой указано положение межфазной границы. ловые слои (из-за наличия тепломассообмена), появляются значительные неоднородности давления в жидкости (кривые, соответствующие моментам і_з). Затем ко времени t& давление в паре у поверхности пузырька становится сравнимым с давлением жидкости, и внутри пузырька у его поверхности формируется ударная волна. Ее образование лучше видно по кривым температуры, так как наибольшее значение температуры достигается непосредственно за фронтом ударной волны, в то время как наибольшее значение давления располагается за фронтом на некотором удалении от него. Рис. 20 иллюстрирует также начало влияния несферичности пузырька на поля давления и температуры. При t = і_з это влияние еще незначительно, тогда как в момент t радиальные распределения и давления, и температуры на лучах в — О и в = 7г/2 уже заметно различаются. И это различие по мере сжатия возрастает.
