Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Задача о безударном сильном сжатии идеального политрошюго газа в случае конфигурации Мизеса 18
1.1 Постановка задачи Мизеса 18
1.2 Теоремы о существовании и единственности решения описывающего течения в газе при конфигурации Мизеса - 21
1.3 Алгоритм расчета течения методом характеристик - 30
1.4 Результаты расчетов и выводы 39
1.5 Задача о получении других финальных распределений 46
Глава 2. Задача Крайко о безударном переходе из покоя в покой 50
2.1 Постановка задачи 50
2.2 Теоремы о существовании и единственности решенин описывающего течения в газе при конфигурации Крайко 54
2.3 Численный метод решения 60
2.4 Результаты расчетов и выводы G8
2.5 Решение задачи Крайко в г=0 77
2.6. Сравнение двух решений задачи о безударном 82
сильном сжатии
Заключение 87
Литература
- Теоремы о существовании и единственности решения описывающего течения в газе при конфигурации Мизеса
- Алгоритм расчета течения методом характеристик
- Теоремы о существовании и единственности решенин описывающего течения в газе при конфигурации Крайко
- Результаты расчетов и выводы
Введение к работе
Диссертация 1 посвящена математическому моделированию двух способов безударного сильного сжатия одномерного слоя политрошюго газа. Первый способ описывает течения, возникающие в газе при переводе его из однородного покоящегося состояния в однородный движущийся ноток. Второй способ описывает течения, возникающие в газе при переводе его из однородного покоящегося состояния также в однородное покоящееся состояние с большим значением плотности. Математическое моделирование этих течений основано на соответствующих численных методах и реализованно с помощью созданного комплекса программ для персонального компьютера.
В задачах физики часто возникает необходимость произвести сжатие газа до больших значений плотности. В частности, получение больших плотностей требуется при лазерном (инерционном) термоядерном синтезе, при котором происходит слияние легких атомных ядер в более тяжелые ядра. Для реализации таких реакций требуется получить достаточно большое значение плотности у относительно больших масс исходного вещества.
Считается [1], что исследование безударного сильного сжатия в рамках модели газовой динамики для идеального политрошюго газа позволит выявить основные закономерности и дать некоторые рекомендации для реального осуществления требуемых процессов получения больших значений плотности. Конечно, при требуемых плотностях и температурах газ будет далеко не идеальной средой: изменяются физико-химические свойства, будут происходить процессы ионизации, диффузные процессы, перенос энергии излучением. Ясно, что эти обстоятельства приводят к существенному усложнению математической модели и делают се труднодоступной для качественного анализа. Тем не менее существенно, что упомянутые сложные физико-химические процессы в газе происходят на общем фоне чисто газодинамического течения, свойства которого во многом являются определяющими и подлежат независимому изучению. Это обстоятельство послужило основой того, что в диссертации рассмотрена модель идеального политрошюго газа.
В работе [1] отмечено, что "куммуляция (сильный рост плотности и давления) свойственна непрерывным средам и безусловным ее ограничением служит атомизм (конечные размеры атомов и их пробегов), по связанный с этим предел по размерам обычно в миллионы раз дальше того, что изучается в самых тонких опытах, и тогда практически несуществен". Там же отмечено, что, "несмотря па неустойчивость кумуляции в сплошных средах, она остается очень полезной идеализацией, допускающей точные решения и указывающей как к пей приближаться практически, не рассчитывая, однако, на 'Исследование поддержано РФФИ, проекты 02-01-01122, 04-01-00205. самофокусировку (т.е. надо прилагать определенные усилия)".
Современное состояние теории газовой динамики в значительной степени было определено результатами полученными очень многими авторами па протяжении 140-лстпих исследований. В основу легла классическая работа Б. Римана 1860 г. [2] по описанию полны сжатия в плоскосимметричном течении идеального газа. Система уравнений газовой динамики, постановки различных и ач алы ю-краевых задач для нес, теоремы о существовании решений у такой системы - псе это изложено и хорошо известных учебниках по газовой динамике, авторами которых являются: Л.В. Овсянников [3]; Б.Л. Рождественский, Н.Н. Янспко [4]; Л.Г. Лойцянский [5]; Г.Г. Черный [6].
При математическом моделировании процессов безударного сильного сжатия с помощью построения решений системы уравнений газовой динамики можно выделить два различных подхода:
Использование точных решений, полученных исходя из заранее указанных свойств этих решений: симметрия, автомодслыюсть, линейность по части переменных и т.п. Только после построения этих решений под них подбираются начально-краевые задачи, имеющие содержательный газодинамический смысл.
Сначала ставятся нужные (с точки зрения газовой динамики для получения соответствующих течений сжатия) начально-краевые задачи для системы уравнений газовой динамики, а затем ищутся решения этих задач и анализируются свойства этих решений.
Исследования в рамках первого подхода привели к четырем точным решениям системы уравнений газовой динамики, описывающим процесс безударного сильного сжатия первоначально однородного и покоящегося газа:
Простая центрированная волна Б. Римана, описывающая сжатие одномерного плоско-симметричного слоя до бесконечной плотности (см., например, работы [1, 7]). Непрерывная состыковка этого течения с однородным движущимся потоком произведено Р. Мизесом и, следовательно, и случае плоской симметрии получено безударное сильное сжатие до любого наперед заданного значения плотности.
Автомодельные решения, подробно описанные в книге Л.И. Седова [8], интерпретированные Я.М. Кажданом [9], И.Е. Забабахиным и В.А. Симонен-ко [10] на сжатие одномерных объемов газа со сферической или цилиндрической симметрией и, в последующем, детально исследованные А.Н. Крайко, Н.И. Тилляевой [11].
Двумерное решение В.А. Сучкова [12], интерпретированное А.Ф. Сидоровым [13] на сжатие призмы при согласованных значениях показателя 7 и угла призмы.
4. Трехмерное решение А.Ф. Сидорова [13, 14], описывающее сжатие многогранника при согласованных значениях показателя у и двугранных углов.
Второй подход к решению задачи о безударном сильном сжатии был предложен в книге СП. Баутина [15], где установлено, что течения, реализующие безударное сильное сжатие различных объемов газа, описываются решением соответствующих характеристических задач Коши.
В работе [15] показано, что для описания процессов безударного сжатия до бесконечной плотности необходимо для нелинейной системы уравнений с частными производными (системы уравнений газовой динамики) решать одну характеристическую задачу — задачу о получении вертикального распределения. Здесь термин «вертикальное распределение» указывает на то, что в момент сильного сжатия график зависимости плотности от пространственной координаты переходит в вертикальную прямую. Получаемая волна сжатия и одномерном плоскосимметричном случае есть центрированная волна Римана. В случае одномерных цилиндрически и сферически симметричных течений, а также в двумерном и трехмерном случае эта волна есть соответствующее обобщение центрированной волны Римаиа.
В рамках как первого, так и второго подхода возможно моделирование процессов безударного сильного сжатия численными методами. Например, Г.В. Долголевой, А.В. Забродиным и др. [16, 17, 18, 19] рассмотрены решения системы уравнений газовой динамики, реализующие достаточно большое по плотности безударное сжатие в плоском, цилиндрическом и сферическом случаях и показано, что в рамках оболочечной системы можно подобрать такой закон энерговложения, который позволяет воспроизвести зависимости скорости и давления на внешней границе сжимаемого слоя, соответствующие точному решению в плоскосимметричном случае и позволяющие осуществить безударное сжатие в смеси дейтерий-тритий до плотностей р* = 103 — 5- 103/?о-
Также численные исследования других задач о безударном сильном сжатии проводились в работах В.Т. Жукова, А.В. Забродина и др. [20], Т.Н. Бро-ниной [21]. В этих работах алгоритм расчета течений при безударном сильном сжатии также основан на использовании известных точных решений. Следовательно, закон движения сжимающего поршня, используемый в этих работах, известен заранее до проведения расчетов. Благодаря этому указанные алгоритмы достаточно точно восстанавливают известные данные течения. Однако, их использование ограничено теми конфигурациями, для которых получены эти точные решения.
В работе М.Г. Анучина [22] проведено численное исследование влияния процесса теплопроводности на сжатие плоского газового слоя, при котором в случае идеального адиабатического газа реализуется безударное сжатие с неограниченной кумуляцией плотности и энергии. При заданной траектории поршня рассчитано сжатие плоского слоя газа со следующими показателями в финальный момент расчета: максимальное сжатие в одной точке (непосредственно на поршне) 4- Ю5ро, при этом средняя по слою степень сжатия раппа 8 Ю3рсь а 37,0% массы газа занимает 0,02% области газа около поршня.
В работах А.В. Роїцупкипа, С.А. Ягупова проведены численные расчеты безударного сжатия, использующие методику предложенную в работе [15].
В работе [23] А.В. Рощупкиным численно решается задача о безударном сильном сжатии газа до конечной плотности в случае двумерных течений. Построена траекторию поршня, реализующего сжатие двумерных газовых слоев в G-8 раз от исходной плотности первоначально однородного покоящегося газа.
В работе [24] С.А. Ягуповым численно получены автомодельные решения, описывающие процесс безударного сильного сжатия водорода с реальным уравнением состояния воздуха в условиях перехода из молекулярной фазы в атомарную.
В работе [25] СП. Баутина, Ю.Ю. Чернышева, с использованием предложенного в [15] подхода, аналитически решена задача о безударном сильном сжатии одномерных слоев теплопроводного невязкого газа при учете равновесного излучения.
В данной работе проведено численное построение решений двух задач о безударном сильном сжатии одномерного слоя политроппого газа. В первом случае последовательно решаются две характеристические задачи Коши. Во втором случае последовательно решаются три характеристические задачи Коши. Кусочно-составные течения, найденные в процессе численного построения, моделируют процесс безударного сильного сжатия одномерного слоя политроппого газа. Первое построение описывает течения, возникающие при сжатии первоначально однородного и покоящегося газа так, что в финальный момент времени получается однородный движущийся поток. Второе построение описывает течения, возникающие при сжатии газа, когда и в начальный момент газ однороден и покоится, и в финальный момент газ также однороден и покоится, но с большим значением плотности. Приближенное аналитическое исследование этих задач проведено в работах А.Ф. Сидорова [26] и А.Н. Крайко [11, 27, 28, 29, 30]. В этих работах данные задачи исследовались с точки зрения оптимальности процесса сжатия плоских, цилиндрических и сферических слоев однородного покоящегося газа.
В работе Р. Мизеса [31] решена задача о сжатии плоского однородного покоящегося слоя газа с помощью двух поршней. Первая фаза такого сжатия полностью совпадает с конфигурацией, предложенной А.Ф. Сидоровым [2GJ.
В работе А.Ф. Сидорова [26], а затем в работе СП. Баутина [15] продолжено исследование первой фазы сжатия по конфигурации Р. Мизсса для случая цилиндрически и сферически симметричных течений. В частности, СП. Бау-тиным [15] доказано существование решения в конфигурации течений Р. Мизсса для случая цилиндрических и сферических течений.
В работе А.Ф. Сидорова [2G] исследована задача об оптимальном безударном сжатии плоских, цилиндрических и сферических слоев однородного покоящегося газа, требующее для достижения заданной степени сжатия минимальной внешней энергии. Решение задачи строилось состыковкой двух течений. В одном из течений есть особенность, которая подобна особенности в центрированной волне Рішана. Управление сжимающим поршнем имеет одну точку переключения. С помощью этого подхода и плоском случае восстановлено точное решение задачи, являющееся состыковкой центрированной волны Римапа и однородного движущегося потока. Это решение повторяет решение, полученное Р. Мизесом. С использованием этого решения построены законы оптимального управления движением поршня. В случае цилиндрически и сферически симметричных течений построено приближенное решение с использованием начальных отрезков характеристических рядов.
В работах А.Н. Крайко [11, 27, 28, 29, 30] предложен специальный способ сжатия плоских, цилиндрических и сферических слоев однородного покоящегося газа. Выполненное в работе [30] исследование показало, что по энергетическим затратам наиболее выгодно нсавтомодельиое сжатие газа из однородного покоящегося состояния в однородное покоящееся состояние с большим значением плотности. Поэтому способ, предложенный А.Н. Крайко оптимальнее способа, предложенного и работах А.Ф. Сидорова [26].
В данной диссертации рассматриваются численные решения двух указанных выше задач (задача Мизсса и задача Крайко соответственно), существование и единственность решений у которых докзано в работах СП. Баутина [15, 32, 33].
Известно, что система уравнений газовой динамики является системой гиперболического типа, для которой задача с начальными данными при t — 0, а также задача о плавном движении поршня в газе (характеристическая задача Коши) поставлены корректно (см. [3], стр.64-70). В силу того, что одновременная смена знака у времени и у скорости газа оставляют систему уравнений газовой динамики без изменений, то отмеченные выше две задачи (задача Коши и характеристическая задача Коши) являются корректными также и при их решении в обратную сторону изменения времени, естественно, если в течении не возникают сильные разрывы (ударные волны). Именно этот случай непрерывных решений у корректно поставленных задач как при изменении времени в положительную сторону, так и в отрицательную рассмотрен в диссертации.
В работе использованы в основном численные, а также аналитические методы исследования конкретной математической модели — системы уравнений газовой динамики (нелинейной системы дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа) — описывающей течения газа при больших степенях сжатия. Решения получаются в табличном и графическом виде. По данным таблиц устанавливаются законы внешнего воздействия на газ, реализующие требуемое сжатие, а также исследуются основные свойства решений.
Целями работы являются:
1. Рассчитать неавтомодсльные течения идеального политрошюго газа, возникающие при безударном сильном сжатии одномерных объемов: плоско- симметричных, цилиндрических и сферических слоев, а также цилиндриче ских и сферических объемов.
2. В том числе, численными расчетами определить безразмерные значения масс газа для которых возможно безударное сжатие по конфигурации Мизеса и но конфигурации Крайко.
Для реализации указанных целей необходимо:
Разработать алгоритмы для численного расчета решения задачи Р. Мизеса и решения задачи А.Н. Крайко. Алгоритмы должны учитывать свойства решений, строго установленные математическими методами.
С помощью созданного комплекса программ провести массовые расчеты по численному построению решений задачи Р. Мизеса и задачи А.Н. Крайко.
Научная новизна работы заключается в следующем.
Впервые проведены численные расчеты неавтомодельных течений, возникающих при безударном сильном сжатии цилиндрических и сферических слоев газа до итоговой плотности, постоянной по всему сжатому слою и в 104 — 106 раз превышающей исходную плотность. Вычислены значения масс газа, сжимаемых рассматриваемыми безударными способами.
Впервые определен закон движения поршня, реализующего требуемое безударное сжатие цилиндрических и сферических слоев газа как в конфигурации Мизеса, так и в конфигурации Крайко.
Для этого впервые предложены и реализованы два численных алгоритма решений нескольких (в первом случае - двух, во втором - трех) специальных начально-краевых задач, имеющих конкретные особенности в течении.
Теоретическая ценность работы состоит в следующем. К известному методу характеристик с пересчетом добавлены новью моменты: счет нескольких конкретных характеристических задач Копій в обратном направлении изменения времени, учет свойств решений как в особой точке центрированной волны, так и в точке г = 0, где система уравнений газовой динамики имеет особенность; восстановление в процессе счета траектории движения сжимающего непроницаемого поршня.
Практическая ценность работы состоит в следующем.
Для конкретных значений параметров газа (массы, плотности, показателя адиабаты) указаны законы внешнего воздействия па газ, при которых реализуется требуемое безударное сжатие. Они являются конкретными рекомендациями для соответствующих физических экспериментов.
Апробация работы.
Результаты диссертационной работы докладывались на конференциях: VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001 г.), XVIII, XIX и XX Всероссийская школа-семинар «Аналитические методы и оптимизация процессов в механики жидкости и газа», (САМГОП — 2000, Пермі,, 2000 г.; САМГОП - 2002, Спсжииск, 2002 г.; САМГОП - 2004, Абрау-Дюрсо, 2004 г.), Международная конференция «VI и VII Забабахинские научные чтения» (Спсжииск, 2001 г., 2003 г.), Всероссийская конференция «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Екатеринбург, 2003 г.), Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение» (Новосибирск, 2004 г.), Международная конференция «Russia-Japan International Workshop on Turbulence and Instabilities», (Москва, 2004 г.), Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика, RDAMM — 2001», (Новосибирск, 2001 г.), Конференция «Вычислительные технологии и математические модели в науке, технике и образовании», (ВТММ - 2000, Новосибирск, 2000 г., ВТММ - 2002, Алма-Ата, 2002 г.), Всероссийская конференция молодых ученых «Проблемы исследования и разработок по созданию силовых и энергетических установок 21 века» (Москва, ЦИАМ, 2000 г.), Конференция «Современные методы математического моделирования природных и антропогенных катастроф» (Красноярск, ИВМ СО РАН, 1999), 30, 31, 32 и 33 региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 1999, 2000, 2001 и 2002 гг.), Межотраслевая научно-практическая конференция «Спсжииск и наука» (Снежинск, 2000 г.), Всероссийская научно-практическая конференция «Фундаментальные и прикладные исследования транспорту — 2000» (Екатеринбург, 2000 г.), Научно-техническая конференция «Молодые ученые — транспорту» (Екатеринбург, 1999, 2001 г).
По теме диссертации опубликовано 23 работы: 4 статьи в журнале «Вычислительные технологии» [52, 53, 54, 55], 3 депонированных в ВИНИТИ статьи [5G, 57, 58], остальные [59-74] — труды и тезисы конференций.
Работа состоит из введения, двух глав, содержащих одиннадцать пунктов, заключения, списка используемой литературы, рисунков и таблиц.
Первая глава посвящена задаче, впервые рассмотренной в работе Р.Мизсса [31]. Исследования этой главы примыкают к результатам, полученным в [9, 2G, 31], и являются продолжением исследований [15}. Предлагается алгоритм численного расчета решения, в основу которого положен известный метод характеристик с пересчетом. Традиционно применяемый метод характеристик дополнен двумя новыми элементами. Во первых, решение строится в обратном направлении изменения времени из точки, имеющей особенность аналогичную особенности в центрированной полис Римана. Для этого, и частности, используется математически строго доказанное свойство решения в этой особой точке. Во вторых, строится решение задачи с данными на характеристике, в процессе этого построения определяется закон движения сжимающего поршня, который до построения всего решения не известен. Это позволяет рассчитать течения, описывающие процесс безударного сжатия политронного газа до большего значения плотности.
Теоремы о существовании и единственности решения описывающего течения в газе при конфигурации Мизеса
В пункте 1.1 была поставлена задача Мизеса о безударном сжатии однородного покоящегося газа. Там же предложено найти решение задачи Мизеса численным методом. В данном пункте приведены теоремы доказывающие существование единственного решения задачи. Теоремы приведены для более общего случая течений возникающих к газе: случая когда течения не являются изэптропическимн. В следующих пунктах, численное решение задачи Мизеса ищется среди изэнтропических течений из-за особенностей численной методики. Для полноты изложения рассмотрены общие идеи доказательства существования и единственности решения поставленных задач. Подробное доказательство приведено в работе [15].
Известно, что система уравнений газовой динамики является системой гиперболического типа, для которой задача с начальными данными при t О, а также задача о плавном движении поршня в газе (характеристическая задача Копій) поставлены корректно (см. [3], стр.64-70). В силу того, что одновременная смена знака у времени и у скорости газа оставляют систему уравнений газовой динамики без изменений, то отмеченные выше две задачи (задача Копій и характеристическая задача Копій) являются корректными также и при их решении в обратную сторону изменения времени, естественно, если в течении не возникают сильные разрывы (ударные волны). Именно этот случай непрерывных решений у корректно поставленных задач как при изменении времени в положительную сторону, так и к отрицательную рассмотрен в диссертации.
Поставленная задача Мизеса сводится к двум начально-краевым задачам, последовательное решение которых даст решение задачи Мизеса для плоских {и = 0), цилиндрических (i/ = 1) и сферических {v = 2) слоев идеального газа.
Плоско, цилиндрически и сферически симметричные течения для полит-ропного газа являются решениями системы уравнений: at + uur + a(ur + vlj) = 0, І щ + иит + fprjS2(7crr + cr2ssr — 0, (2.1) St -f usr — 0.
Здесь: r = yT.i=\ x f 0, a = p 1 2, p - плотность, у - константа в уравнении состояния р = A2(S)p1/rY, у 1, р - давление, S - энтропия, s = A(S), и = (ст, u,s)- искомые функции; при и = 2 (случай сферической симметрии) и есті, проекция V сектора скорости газа в точке М 6 Я3 на радиус-вектор этой точки в Л3 и предполагается, что V параллелен этому радиус-вектору; при і/=1( случай цилиндрической симметрии ) и есть проекция V на радиус-вектор этой точки и R2, и при этом проекция V на ось Охз считается равной нулю.
Далее будет рассматриваться сжатие слоя газа снаружи. Пусть в некоторой окрестности заданной точки (t — і , г = г ),г 0, известно аналитическое решение системы (2.1): U = Tf0(t,r) - фоновое течение, у которого c0(t ,n) = s0( ,r,)cr0(+,r ) 0.
С фоновым течением С/о(2, г) и будет состыковано через слабый разрыв искомое решение, являющееся волной сжатия, и распространяющееся по фоновому течению.
Построим звуковую характеристику семейства С фонового течения, проходящую через точку (2 , г ). Эта С характеристика и будет в дальнейшем слабым разрывом, который разделяет фоновое течение и волну сжатия. Характеристика С однозначно определяется при решении задачи Копій: — - u0{t, v) - So(t, r)a0(t,r) , r(t)\t=u = r .
Из аналитичности фонового течения следует существование и единственность решения данной задачи - аналитической функции г = r0(t), описывающей С характеристику. Далее везде считаем, что функция г = г0() известна и, следовательно, известны значения газодинамических параметров фонового течении на этой С - характеристике:
С учетом исходного предположения, эти параметры также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности точки t = .
После построения С - характеристики фоновое течение будет рассматриваться в "четверти" полной окрестности точки ( , г ): при t t и только по одну сторону от С" - характеристики. В другой "четверти": при t і и по другую сторону от С - характеристики будет строиться волна сжатия ( см. рис. 2.1 ). Для системы (2.1) сформулируем две начально-краевые задачи, последовательное решение которых и даст решение задачи Мизеса.
Задача 1 (сэ/сатие газа до бесконечной плотности).
Сначала ставится задача о сжатии газа до бесконечной плотности. Поскольку решается задача о безударном сжатии газа до бесконечной плотности, то у искомого течения при t — t 0 должна обращаться в бесконечность производная аТ ( см. рис. 2.2 ). Для того, чтобы раскрыть эту особенность искомого точения, делается замена переменных f r = r(t\a), \ t = t . Теперь ,о" нош іс независимые переменные, а г - искомая функция новых независимых переменных. Якобиан преобразования равен J = П1 О = -та
Таким образом, даже не построив г = г(ї ,сг), можно утверждать, что J обратится в нуль, если в физическом пространстве (пространстве независимых переменных t,r) значение производной аг обратится в бесконечность. При этом в пространстве независимых переменных t ,a производная га раина нулю и особенностей у решения нет. Это свойство и является основной причиной замены.
Алгоритм расчета течения методом характеристик
В предыдущих пунктах данной главы было сделано следующее: и пункте 1,2 поставлена задача Мизеса; в пункте 1.2 приведены теоремы устанавливающие существование единственного локально-аналитического решения задачи Мизеса. Приведенные теоремы не позволяют указать область существования решения, поэтому в конце пункта 1.2 предложено найти решение численными расчетами, с указанием конкретной области решения. В данном пункте будет предложен алгоритм численного построения решения задачи Мизеса.
Алгоритм расчета является конечно-разностным методом, в основу которого положен широко известный метод характеристик с пересчетом по следующим причинам [4, 51]: 1) метод имеет второй порядок точности после пересчета; 2} так как каждая ячейка расчетной характеристической сетки аппроксимирует свой характеристический коноид, то этот факт обеспечивает консервативность данной разностной схемы; 3) метод характеристик является устойчивым, в том числе при расчетах течений даже с сильными разрывами. Прежде, чем перейти к обсуждению метода, уточним некоторые моменты в поставленной задаче. Считаем, что фоновое течение U0(, г) является однородным покоем, т.е. задается соотношением: C?o(i,r) = . u„(t,r) -0 , a0{t, г) = 1 , k So{t, г) =1 и тогда все рассматриваемые течения в газе будут изоэнтропическими (так как при безударном сжатии энтропия остается постоянной), т.е. s(t,r) — const = 1. При этом а = с, т.е. функция а совпадает со скоростью звука. С учетом этого, система (2.1) примет вид:
Далее будет подробно описан случай сжатия слоя газа снаружи, т.е. звуковая характеристика, разделяющая фон и искомое течение является бихарактеристикой г = г — (t — / ), на которой: и\с- =0и с\с- = 1.
В пункте 1.2 было показано, что в рассчитываемом течении па характеристике отделяющей покоящийся газ от волны сжатия в момент итогового сжатия возникнет особенность. В этой точке имеет место скачок степени плотности от с = pi7-1 2 до некоторого значения, которое определиться в конкретных расчетах. Течение в некоторой окрестности особой точки является обобщением центрированной волны Римана, а в самой точке имеет место связь (см. [15]): 7 — 1 с= 1-- --— и. (3.2)
Предлагаемый алгоритм рассчитывает характеристическую сетку, узлами которой являются точки пересечения характеристик С+ и С" семейств, а также значения искомых функций в этих узлах. Характеристики определяются разностными методами при аппроксимации решений обыкновенных дифференциальных уравнений C-:jt=u{t,r)-c{t,r) C+: = u(f,r)-fc(t,r) с соответствующими начальными условиями. Используемый метод характеристик основан на следующих рассуждениях. Если первое уравнение системы (3.1) последовательно умножить па ±- у и сложить со вторым уравнением, то получается эквивалентная (3.1) система уравнений [4]: 1 It" + ф-А + («+ Ш«+ф-А = -»?, I &« - ф-А + (» - "Ш« - Ф-А = "f Вводятся инварианты Римана [4]: 2 2 R = и Ч -с , L = и — 7 — 1 7 1 т.е. (Д + Ь) 7-1,р п и = , с = — —(Д - L) . В результате получается система уравнений: Н-1 I Rt + Lt + L v ± - 3"3) Ь( - 1 — , , + Ьи,,, , i + Д L 4 4 расщепленная но производным.
Более того, если в плоскости переменных t, г с помощью дифференциальных уравнений ввести соответственно линии С+ : г = r+(t) и С : г = г (), то с учетом формулы для производной сложной функции, система (3.3) примет вид: dt w 8 г r=r+(t) і Ц( ,г-(0) _ /2=1 {Il2(t,r)-L2(t,r)] dt и 8 г (3.4) г=г (()
Линии С4" и С- являются звуковыми характеристиками, поскольку уравнения этих линий и терминах функций и, с имеют вид С+: ! = U( ,r) + c(t,r), , С-: % = u{t,r) - c{t,r) . {6-Ь}
Метод характеристик расчета одномерных течений газа состоит в следующем. Пусть в пространстве переменных t,r известны значении инвариантов Л, L в точках Mi(t\,ri) и М2(І2 т 2)- Из точки Мі выпускаем С--характеристику, а из Мч - С+-характеристику. Пусть эти характеристики пересекутся в точке Мз ( см. рис. 3.1 ). Метод характеристик позволяет найти эту точку Мз и узнать в ней значения инвариантов R, L.
Введем обозначения: +(г,г)- д(,г) + Цг,г), Г(г,г) = ( ,г) + я(г7г), F-(tiriRtL) = =H. В первом приближении координаты точки Мз определятся как решение системы f ЙЕ& = Г( і,гі), т.е. как координаты точки пересечения прямых, выпущенных из соответствующих точек с наклоном С±-характеристик соответственно. Уравнения, входящие и последнюю систему, являются разностными приближениями уравнений (3.5). После того, как точка Мз(із з) найдена, в ней рассчитываются значения инвариантов R, L но формулам:
Теоремы о существовании и единственности решенин описывающего течения в газе при конфигурации Крайко
В предыдущих пунктах данной главы было сделано следующее: и пункте 2.1 поставлена задача Крайко; в пункте 2.2 приведены теоремы устанавливающие существование единственного локально-аналитического решения задачи Крайко. Приведенные теоремы не позволяют указать область существования решения, поэтому в конце пункте 2.2 предложено найти решение численными расчетами, с указанием конкретной области решения. В данном пункте будет предложен алгоритм численного построения решения задачи Крайко.
Алгоритм расчета является конечно-разностным методом, в основу которого положен широко известный метод характеристик с пересчетом по следующим причинам [4, 51]: 1) метод имеет второй порядок точности поело пересчета; 2) так как каждая ячейка расчетной характеристической сотки аппроксимирует свой характеристический коноид, то этот факт обеегшчинает консервативность данной разностной схемы; 3) метод характеристик является устойчивым, в том числе при расчетах течений даже с сильными разрывами.
В пункте 2.2 показано существование решения задачи Крайко при переходе к меньшему значению плотности. Ниже, пользуясь уже упомянутым свойством инвариантности системы уравнений газовой динамики, рисунок 7.1 переворачиваются с "головы на ноги" и построение решения задачи Крайко при переходе к большему значению плотности рассматривается в обратном направлении изменения времени (см. рис. 8.1,8.2).
Прежде чем перейти к изложению алгоритма расчета сделаем уточняющие замечания.
Фоновым покоем назовем первоначально однородный и покоящийся газ в несжатом состоянии, задаваемом следующим соотношением: и расположенным в области О ЕР (см. рис. 7.1). За единицу расстояния берется расстояние от оси симметрии (в случае цилиндрической симметрии) или от центра симметрии (в случае сферической симметрии) до стенки 0\02. Таким образом, полагается, что г0 — 1.
В пункте 2.2 было показано, что в рассчитываемом течении особенность возникнет на поршне в момент итогового сжатия (см. рисунки 7.1 - точка А). В этой точке имеет место скачок плотности от /? до некоторого значения, которое определиться в конкретных расчетах. Течение в некоторой окрестности точки Л является обобщением центрированной волны Римапа, а в самой точке имеет место связь (см. [15]): 7-1 с = с -\ —и . (8.2)
Предложенный алгоритм рассчитывает характеристическую сетку, узлами которой являются точки пересечения характеристик С+ и С семейств, а также значения искомых функций в этих узлах. Характеристики определяются разностными методами при аппроксимации решений обыкновенных дифференциальных уравнений dr C : — = u(t,r)-c{t,r) dr с соответствующими начальными условиями. Вводятся инварианты Римана R, L вычисляемые по формулам: 2 2 R — u-i с, Ь — и с (8.3) 7—1 7 1
Если в точке известны значения инвариантов Римапа, тогда метод характеристик позволяет рассчитать изменение инварианта R вдоль характеристики С+ проходящей через эту точку и изменение инварианта L вдоль характеристики С . По известным значениям инвариантов Римана (8.3) легко находятся значения скорости газа и и значения скорости звука в газе с: R+L 7-І и=—— , c= —(R L). Вводятся функции t(t, г) = u(t, г) + c(t, г) , Г ( , г) = u(t, г) - с(«, г), которые но известным значениям скорости газа и скорости звука задают в точке (t, г) тангенсы углов наклона характеристик семейства С+ и С соответственно.
Сетка строится слоями, характеристики С$ определяют j-ый слой. Обозначим точки характеристической сетки как: (t{, rf), здесь j - это помер слоя, І - номер точки в слое.
Точки пересечения характеристик С+ и С находятся по следующим формулам: точка (tj,rf) для j О, г 0 определяется при решении системы (первое приближение): ті — г: i "-1 j T] — s \Ч-Ъ ri-\) , 8.4) Ij _ J-l — S \4 ) 4 ) Функции +, равны значениям угловых коэффициентов, в узлах сетки, характеристик С+ и С соответственно. Точки (i_i,W-i) и Ш ГІ ) заданы; п них известим значения инвариантов Л, L. Расчет значений инвариантов R, L в точке пересечения производится по формулам +(4- -1) (41-1, , -1 -1) ,Д«?_і,г/-і)) , +(М - ГV"( r\ г/"1, я( Г\гГ), (С\ Г1)) (8.5) где функции і (і,г,Л,Л)--і/ /Р-(і, г, Я, 10 = Детали получения расчетных формул (8.5), а также формул для F+,F приведены в книге [4]. Затем координаты (, г{) расчетной точки пересечения уточняется с помощью системы
Результаты расчетов и выводы
В данной диссертации численными методами получены два решения системы уравнений газовой динамики, описывающие процесс безударного сжатии одномерного слоя политрошюго газа. Первое решение удовлетворяет конфигурации газовых течений рассмотренной в работе Р.Мизеса [31], а задача о нахождении этого решения задачей Мизеса. Второе решение удовлетворяет конфигурации газовых течений рассмотренной А.Н, Крайко и работах [11, 27, 28, 29, 30], а задача о нахождении этого решения задачей Крайко.
В обеих конфигурациях газовых течений в начальный момент времени газ однороден, его плотность р равна 1, и покоится, его скорость и равна 0. В финальный момент времени газ однороден, его плотность р равна р#, и конфигурации Крайко газ покоится, а в конфигурации Мизеса газ движется.
Рассмотрены одномерные изэнтропические течения возникающие в полит-ропном газе с уравнением состояния р = р7/Т- Указанные течения являются решением системы уравнений для скорости газа и и скорости звука С = рЬ-1)/2; г С( + UCr + fc c(«r + ) = о, [Щ + фт)сст + ииг - 0, здесь t - время; г уТ%=\ х\ 0 - пространственная переменная; 7 показатель- адиабаты; р - давление; v - параметр геометрии: v = 0 в случае плоских течений, v = 1 в случае цилиндрических течений, у = 2в случае сферических течений.
В работах СП. Баутина [15, 33] доказано, существование двух локально-аналитических решений системы уравнений газовой динамики, описывающих одномерные изэнтропические газовые течения и удовлетворяющих двум рассматриваемым конфигурациям. Доказанные теоремы являются локальными по массе газа, другими словами теоремы не указывают конкретное значение для массы газа, сжатие которого возможно безударным способом.
Детальное исследование задачи Мизеса, проведенное СП. Баутиным [15], привело к постановке двух начально-краевых задач для системи уравнений газовой динамики. Первая задача - задача о сжатии газа до бесконечной плотности, решение первой задачи непрерывно примыкает через звуковую характеристику к области 0, где находится газ в первоначально однородном покоящемся состоянии. Вторая задача - задача о получении наперед заданного распределения: в момент времени t — д/ газ должен быть однородной с плотностью р = р средой. Решение второй задачи непрерывно примыкает через звуковую характеристику к решению первой задачи. Доказано существование локально-аналитических решений первой и второй задач. Также показано, что в газовых течениях описываемых решением задачи Мизеса будет особенность: разрыв значения плотности на звуковой характеристике отделяющей однородный покоящийся газ от течения сжатия, в момент получения требуемого финального состояния газа (точка А на рис. 2.1). Также показано, что в некоторой окрестности точки А решение представимо в виде рядов являющихся обобщением центрированной волны Римана, а в самой точке решение задано соотношениями простой волны Римана. Указанное свойство решения используется для раскрытия особенности при численном решении задачи Мизеса.
Детальное исследование задачи Крайко, проведенное СП. Баутиным j33, привело к постановке трех начально-краевых задач для системы уравнений газовой динамики. Первая задача - задача о плавном выдвижении подвижного поршня из заданного газового течения, при этом решение первой задачи непрерывно склеивается с областью 0 в которой находится однородный сжатый (р = /? ) покоящийся газ. Вторая задача - задача о нспротекании газа через неподвижный поршень, при этом решение второй задачи непрерывно склеивается с решением первой задачи через звуковую характеристику. Третья задача - задача Гурса, решение этой задачи непрерывно склеивается через одну звуковую характеристику с решением второй задачи и через другую характеристику с областью 4 в которой находится однородный покоящийся несжатый (р = 1) газ. Доказано существование локально-аналитических решений этих задач. При доказательстве использовано свойство инвариантности системы уравнений газовой динамики относительно изменения направления времени и одновременной смены знака скорости, что позволило рассмотреть вместо задачи о сжатии задачу о разрежении. Также показано, что в газовых течениях описываемых решением задачи Крайко возникнет особенность: разрыв значения плотности на поверхности подвижного сжимающего поршня, в момент получения требуемого финального состояния газа (точка А на рис. 7.1). Также показано, что в некоторой окрестности точки А решение можно представить в виде рядов являющихся обобщением центрированной волны Римана, а в самой точке решение задается соотношением определяющим простую волну Римана. Указанное свойство решения используется для раскрытия особенности при численном решении задачи Крайко.
Полученные численные решения В расчетах были рассмотрены различные варианты для параметров: m,7, v, р - Выполнены расчеты когда показатель политропы газа 7 принимает значения: 1.4, 5/3, 2. Вид симметрии v принимает значения: 0 - плоская симметрия, 1 - цилиндрическая симметрия, - сферическая симметрия. Рассчитано сжатие газа до плотности р равной 104 — 10G от первоначальной плотности р0 = 1.
Для обеих задач численно восстановлены газовые течения в целом и, в частности, траектория сжимающего поршня. Траектория сжимающего поршня получена в виде точек (,-, г$) пространства физических переменных, здесь г - номер точки на траектории поршня, количество точек для каждого рассмотренного случая параметров газа т, у, и, р индивидуально. В точках траектории поршня рассчитаны значения плотности pi и скорости щ газа. По известным значения плотности pi легко найти значение давления pi р] /7 в точке (U,ri), что позволило рассчитать работу по сжатию газа, совершаемую сжимающем поршнем.
Анализ расчетов. Для двух конфигураций численно восстановлены течении возникающие в газе при сжатии, как частный случай, рассчитана траектория сжимающего поршня. Сделаем некоторые выводы основанные на полученных результатах (отмстим, что многие из выводов понятны интуитивно, при этом они подтверждены расчетами). Выводы:
Первый: анализ рассчитанных течений показал, что полученное численное решение описывает процесс безударного сжатия одномерного слоя газа.
Второй: в основе алгоритма расчета лежит проверенный метод характеристик, позволяющий с достаточной степенью точности восстанавливать течения в газе. В частности, для проведенных расчетов относительная погрешность масс газа 5т до сжатия и после меньше 1%. Для раскрытия особенности в течении используется свойство решения, полученное с использованием строгих математических приемов: особенность описывается сходящимся рядом, первые слагаемые которого известны. По мнению автора, особая привлекательность указанного алгоритма в том, что расчет течений начинается из точки с особенностью, где течения заданы строгими аналитическими соотношениями, а уже потом, в оставшейся области. Поэтому рассмотренная методика позволяет получать достаточно точное численное решение используя персональный компьютер.
