Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Краткий обзор литературы и постановка задачи исследований 7
1.1. Открытие явления гидродинамической кавитации 7
1.2. О кавитационном шуме, потерях энергии пузырьком и одной из задач настоящей работы 8
1.3. Об открытии явления сонолюминесценции и о гипотезах, объясняющих её механизмы 15
1.4. Подводные взрывы и лазерная кавитация 17
1.5. Явления кумуляции энергии и её ограничители 22
1.6. Об исследованиях динамики несферических пузырьков 23
Глава 2. Численная схема, построение, тестирование 28
2.1. Схема расчёта осесимметричных задач в сферических координатах 28
2.2. Расчёт "болыпих,,величин на границах ячеек 37
2.3. Вычисление шага по времени 40
2.4. Тестовый расчет обтекания сферы 42
2.5. Тестовый расчет дифракции ударных волн на сфере 44
2.6. Тестовый расчет — взрыв сферического заряда, автомодельное решение Седова для расходящейся ударной волны 47
Глава 3. Динамика несферического пузырька 53
3.1. Осесимметричная модель для изэнтропического течения сжимаемой жидкости 53
3.2. Тестирование метода расчёта поверхностного натяжения . 58
3.3. Взрыв в жидкости заряда, имеющего форму эллипсоида вращения 60
3.4. Охлопывание несферического пузырька 66
Глава 4. Рост и охлопывание сферического пузырька 80
4.1. Сферически-симметричная модель для сжимаемой жидкости . 80
4.2. Сферически-симметричная модель для несжимаемой жидкости 83
4.3. Формирование возмущения давления в окрестности пузырька при его свободном схлопыванни, автомодельное решение Хантсра 84
4.4. Особенность сферической волны, расходящейся от коллапсирующего пузырька 89
4.5. Сферический взрыв в жидкости с образованием полости . 92
Заключение
- О кавитационном шуме, потерях энергии пузырьком и одной из задач настоящей работы
- Расчёт "болыпих,,величин на границах ячеек
- Тестирование метода расчёта поверхностного натяжения
- Сферически-симметричная модель для несжимаемой жидкости
Введение к работе
Актуальность темы. Явление кумуляции энергии, возникающее при схлопывании парогазовых полостей в жидкости, уже на протяжении более века вызывает неослабевающий интерес исследователей. Проблема заключается в том, что экспериментально невозможно непосредственно получить полную картину наиболее интересующей стадии процесса, когда полость схлопывается до своего минимального размера. Этим вызвано появление огромного количества теоретических работ по данной проблеме, подавляющее большинство которых ограничены рамками сферической симметрии. В то время как, в действительности, даже незначительное начальное отклонение от сферической формы при схлопывании может увеличиваться. Поэтому исследование динамики несферических пузырьков является одной из актуальных проблем гидродинамики.
Явление схлопывания пузырьков находит применение в химической промышленности, в частности, в сонохимии. Оказывается, мельчайшие парогазовые пузырьки, которые растут и схлопываются в жидкости под действием ультразвука, могут обладать мощной каталитической способностью. Охлопывание пузырьков используется также при ультразвуковой очистке воды.
Для исследования явления кумуляции, целесообразно рассмотреть одиночный пузырек, схлопывающийся в неограниченном объёме невозмущенной жидкости, В этом суть классической задачи в постановке Рэлея. При выполнении экспериментальных исследований создать такую полость в объеме жидкости можно с помощью сфокусированного лазерного импульса. При постановке задачи математического моделирования в представленной работе были рассмотрены эксперименты B.C. Тесленко и В. Лаутерборна.
Численное моделирование гидродинамики жидкости, окружающей пузырёк, является эффективным методом исследования, поскольку на основании сравнения численных и экспериментальных данных о распространении ударной волны, излучаемой пузырьком в окружающую жидкость, возможно косвенно восстановить картину коллапса, которая недоступна для непосредственного наблюдения.
Цели работы. Численное моделирования роста и схлопывания пузырьков с учетом сжимаемости жидкости. Анализ влияния
гидростатического давления жидкости, давления насыщенных паров, поверхностного натяжения и массообменпых процессов на границе, начальной геометрии самой границы на динамику пузырьков.
Выявление набора сценариев, по которым происходит схлопывание несферических пузырьков.
Построение численной сетки, обеспечивающей расчёт ударной волны, излучаемой пузырьком в окружающую жидкость без размазывания. Изучение структуры полученной волны.
Исследование эволюции искажения сферической формы пузырька при взрывном росте из зародыша в форме эллипсоида вращения.
Научная новизна. В диссертации получены следующие основные научные результаты:
разработана компьютерная программа, позволяющая производить экономичный и устойчивый расчёт задач газовой динамики с движением, близким к сферически-симметричному;
с помощью численного эксперимента показано, что осесимметричный пузырёк, близкий к шару, может при схлопывании стремиться либо к образованию тора, либо к разделению на два пузырька в зависимости от величины начального искажения и интенсивности массообменпых процессов;
- установлено, что начальная взрывная полость, ограниченная
вытянутым эллипсоидом вращения, быстро приобретает форму, близкую к
шару, и к моменту максимального расширения граница полости становится
приплюснутым эллипсоидом вращения, близким к сфере.
Практическая ценность.
- Общие представления об особенностях коллапса пузырьков, близких
к сферическим, помогут определить режимы схлопывания, ведущие к
увеличению кумуляции во время коллапса.
- Результаты по величине диссипации энергии при схлопывании
одиночного пузырька будут использоваться в замыкающих соотношениях
для моделей механики многофазных сред и будут иметь приложение в
сонохимии и в технологиях очистки воды ультразвуком.
Достоверность результатов обеспечивается использованием известного численного метода для решения уравнений гидродинамики сжимаемой жидкости, обусловлена совпадением полученных результатов с некоторыми автомодельными решениями, а также проведением
сравнительных тестовых расчетов с численными результатами других авторов.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и научных школах:
на конференции молодых математиков МГУ (Москва, 1998);
на Международной конференции САМГОП (Уфа, 1998);
на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения в физике» (Стерлитамак, 1999);
на 138 съезде Американского акустического общества (Огайо, 1999);
- на Международной конференции по многофазным системам,
посвященной 60-летию академика РАН Р. И. Нпгматулина ICMS-2000
(Уфа, 2000);
VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);
на XVI сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2002);
на XVII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 2003);
на VIII школе-семинаре стран СНГ «Акустика неоднородных сред» под руководством профессора В. К. Кедринского (Новосибирск, 2004);
- на XVII сессии Международной школы по моделям механики
сплошной среды (Казань, 2004).
Кроме того, результаты работы неоднократно докладывались и получили положительную оценку на семинарах в Институте механики УНЦ РАН (под руководством академика РАН Р. И. Нпгматулина), в Институте проблем транспортировки энергоресурсов АН РБ (г.Уфа) (под руководством академика АН Республики Азербайджан
A. X. Мирзаджанзаде) и в Стерлитамакской государственной
педагогической академии на семинарах под руководством профессоров
B. Ш. Шагапова и К. Б. Сабитова.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 14 работах.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 105 страниц, в том числе 35 рисунков. Список литературы состоит из 80 наименований.
О кавитационном шуме, потерях энергии пузырьком и одной из задач настоящей работы
В природе чисто газовых пузырьков не существует и в образованную полость со стенок обязательно будет испаряться жидкость. В опытах по лазерному пробою жидкости образуются преимущественно паровые пузырьки. Чтобы создать паровую полость нужно совершить работу по растяжению жидкости и работу по испарению жидкости в образующуюся полость. Лорд Рэлей, работа которого [3] является наиболее цитируемой в данной области, заинтересовался проблемой схлопывания пузырьков после того, как ознакомился с гипотезой Осборна Рейнольдса об источнике шума, издаваемого закипающим чайником. Согласно Рейнольдсу перед закипанием чайника паровые пузырьки, поднимающиеся через непрогретый верхний слой воды, остывая, схлопываются. Схлопывание сопровождается излучением акустических волн, которые и создают характерный шум.
Испускание пузырьком акустического излучения является эффектом сжимаемости окружающей его жидкости. Сжимаемость жидкости мало влияет на динамику пузырька во время схлопывания, но начинает играть значительную роль в образовании ударных волн на стадии отскока.
Вместе с ударной волной уносится значительная часть энергии пузырька. При определенных условиях схлопывания можно даже считать, что потери энергии пузырька связаны только с акустическим излучением. Такой подход применим к пульсациям полостей, образованных в результате химического подводного взрыва, и использовался в работе [10]. Содержимое полости при взрыве химического заряда состоит преимущественно из продуктов детонации. В работе [10] вводится параметр потерь энергии: &п tin где Еп — потенциальная энергия, запасенная полостью при n-ой пульсации, Rn — максимальный радиус полости в n-ой пульсации. Потенциальная энергия вычислялась по следующей формуле: „ = 4/3W&Po, (1-2) где PQ — гидростатическое давление жидкости.
Для первой пульсации полости в работе [10] найдено, что параметр потерь энергии v приблизительно равен 0.34, что соответствует уменьшению радиуса Я2 по сравнению с йі в 0.698 раз, для второй пульсации v равен 0.54, соответственно радиус изменяется в 0.814 раз. Относительное снижение потерь энергии для второй пульсации связано, видимо, с большей сферичностью пузырька на второй пульсации и относительно большим газосодержанием, поскольку значительная часть газа не успевает диффундировать в жидкость, что снижает глубину коллапса и ведёт к уменьшению потерь при схлопывании. В этой работе, основная доля потенциальной энергии полости данной пульсации PoVn (где Ро — гидростатическое давление жидкости, Vn — объём полости) расходуется на ударно-акустическое излучение AEW и на потенциальную энергию следующей пульсации РаУп . P0Vn = АЕШ + P0Vn+l + 6Е, где величиной всех остальных потерь SE пренебрегают. !!!—!!! В работе [10] ударная волна фиксировалась с помощью датчиков давления, установленных на некотором расстоянии от центра взрыва, энергия AEW вычислялась по формуле AEW = - /. (P(i) - PQ)2dt, (1.3) где га — расстояние от центра взрыва до датчика давления, ро — плотность жидкости, со — скорость звука, P(t) — изменение давления на выбранном расстоянии Г,І, Ро — гидростатическое давление. Расчёты показали, что AEW ъЕп- Еп,н. 1.4)
Считается, что разница потенциальных энергий между двумя последующими пульсациями соответствует энергии ударной волны от схлопывающейся каверны.
В известной работе [11] впервые были сделаны численные расчёты для сжимаемой жидкости, исследующие образование и распространение слабых ударных волн во время фазы роста пузырька после коллапса. В работе пренебрегал ось влиянием поверхностного натяжения и вязкости жидкости. Пузырёк считался чисто газовым, испарением жидкости внутрь пузырька пренебрегал ось. Начальное давление газа внутри пузырька принималось равным 10 3 атм, считалось, что сжатие пузырька происходит адиабатически с показателем адиабаты 7 равным 1.4. Начальное давление в жидкости равнялось 1 атм. При таких условиях пузырёк схлопывался в пятьдесят раз. Было установленоj что для волны расходящейся после такого коллапса амплитуда затухает с расстоянием, как: Р/Рос - 400Ді/г. Энергия ударной волны и второй максимальный радиус не оценивались. В работе [12] установлено, что ни поверхностное натяжение, ни вязкость не играют значительной роли в данной проблеме.
В статье [13] рассматривается трансформация первоначальной потенциальной энергии газового пузырька в энергию акустического излучения после коллапса в зависимости от достигаемой глубины коллапса. Получено, что с увеличением глубины коллапса величина AEW/En, стремится к единице. Но в данной работе расчитывалась энергия волны вблизи пузырька, на самом деле с распространением энергия волны уменьшается, поскольку она расходуется на кинетическую энергию жидкости за фронтом волны. Если даже коллапс будет настолько глубоким, что полость полностью сомкнётся, то за счёт наличия массовой скорости за фронтом волны, которая направлена от центра симметрии, жидкость на стадии распространения волны должна будет разорваться. Поскольку при сферически-симметричном движении скорость жидкости затухает обратно пропорционально квадрату расстояния, то с расстоянием скорость затухания волны снижается и на расстояниях в несколько раз превышающих начальный радиус энергия волны меняется мало и тогда с ростом глубины коллапса AEW/En стремится к величине заметно меньшей единицы.
В природе чисто газовых пузырьков не существует и в образованную полость со стенок обязательно будет испаряться жидкость. В опытах по лазерному пробою жидкости образуются преимущественно паровые пузырьки. Чтобы создать паровую полость нужно совершить работу по растяжению жидкости и работу по испарению жидкости в образующуюся полость.
Расчёт "болыпих,,величин на границах ячеек
Расчётные формулы для границ ячеек, "соседних по углу", например n-i/2,m-i/2 и п-н/2,т-1/2) когда сама граница неподвижна, будут несколько отличаться от формул для границ ячеек, "соседних по радиусу", например n-i/2,m-i/2 и n-i/2,m+i/2) так как эта граница будет двигаться по некоторому закону, определяемому в обіцем случае движением внешней и внутренней границы. Начнём с описания расчёта "больших"величин на границе ячеек "сОСеДНИХ ПО углу": „_l/2,m-l/2 И n+l/2,m-l/2- В ЭТОМ СЯучвЙ проекция вектора скорости на нормаль к границе будет совпадать с составляющей скорости по направлению в:
Hi l/2,m-l/2 — vn l/2,m-l/2i Wn+ 1/2,пг-1/2 = vn+l/2,m l/2 Сам процесс распада разрыва мы здесь не будем описывать, а отошлём читателя к оригинальной статье [42]. Входные данные для этого процесса: среда слева от границы раздела характеризуется значениями параметров pn-i/2,m-i/2,Pn-i/2,m-i/2 n-i/2,m-i/2, справа значениями Pn+i/2,m-i/2)pn+i/2,m-i/2 w„+i/2,m_i/2-. В результате распада разрыва выработаются три волны, из которых две могут быть либо ударной волной, дибо волной разрежения, а одна представляет собой контактный разрыв. Выходными данными будут: давление на контактном разрыве — рс„ ,/9, нормальная компонента скорости на контактном разрыве — га_,,2, скорость левой волны — D„m_u2i скорость правой волны — D и также плотность, которая, в отличие от давления и скорости, будет различной за фронтом левой и правой волны: р _и2 и Pnm-i/2 После расчёта распада разрыва могут быть выбраны "большие"величины исходя из четырёх возможных случаев: 1) Если Dl _l/2 и Dr _l/2 имеют различные знаки и й т_1/2 О, тогда р с г) ngni -fn.m-1/2 — Pn,m l /2 їЧі,т-\/2 Рп,т 1/2- щт-1/2 = n+l/2,m-l/2 K,m-l/2 = ,m-l/2! 2) Если Dl;_l/2 и D l1/2 имеют различные знаки и )ГП_1/2 О, полагаем Рп,т-1/2 = Рп,т-1/2 Ді,т-1/2 = Рп,тп-1/2 11,171-1/2 = «п-1/2,то-1/2 К,тп-1/2 = .щ-І/г! 3) Если .DJL ! /о и 1?"1 , л обе положительны, то Pn,m-l/2 =Рп-1/2,т-1/2)#7і,тп-1/2 = Pn-\/2,m-l/2, Un,m-l/2 — un-l/2,m-l/2, Ki,m-l/2 = -1/2, -1/25 4) Если _1/2 и Г 11/2 обе отрицательны, то
Рп,т-1/2 — Pn+l/2,m-l/2) n.m-1/2 = Pn+l/2,m-l/2j Un,m-\f2 = n+l/2,m-l/2) Ki.m-1/2 = Wl/2,m-l/2 Величину Enjn \j2 во всех случаях досчитываем по используемому в конкретной задаче уравнению состояния.
Расчет "болыпих"величин на границе ячеек, "соседних по радиусу", начинаем с проектирования вектора скорости в этих ячейках на нормаль к границе (направление от центра симметрии к внешней границе будем считать положительным): Wn-l/2,m+l/2 = Wn-l/2,m+l/2 COS yJ„_i/2,m «п-1/2,т+1/2 ВІЛ „_i/2,m, Wn-I/2,m-l/2 = «п-1/2,ш-1/2С08 І,_і/2,га «n l/2,ffl-l/2Sin -l/2,m! где Pn i/2,m — угол между лучом от центра координат к точке лежащей на середине дуги (1Піт, ln-i,m) и нормалью к дуге в данной точке: , «\ га.тга п—\,т) Pn-l/2tm = arctg —— — — .. \ап ип—1)\ п,т т" Іп—\іГП) Затем расчитываем распад разрыва по следующим входным данным: среда слева от границы раздела характеризуется значениями параметров: pn_i/2inH-i/2»A»-i/2,m+i/2» n-i/2,»n+i/2 справа значениями: Pn-\/2,m-\/2 Pn-l/2,m-l/2 Wn-l/2,m-l/2 Для выбора "больших"величин нужно определить скорость движения самой границы, а это есть проекция на нормаль к середине дуги (ki.rn) ki-i,m) скорости изменения координаты г этой средней точки
Для определения новых положений 1щт узлов сетки на момент времени to + г необходимо, в общем случае, определить новое положение узлов внешней границы — Г1 1 и также новое положение узлов внутренней границы — ln,M. Вычислим скорость движения узла Iй 1 вдоль п-го луча сетки путем интерполяции скоростей двух прилежащих отрезков внешней границы: АП_1/2Д ,л (i 0n 0n-K ltanV п+1/2,т\ &п = —т nl+tanv?„_i/2,m о TTZ ГГТ7 і cos( _1/2im) 2 I tan (pn-i/2,m\ + I tan р„+і/2іт\ \i+l/2,L , +1- I tan p„_iy2m + ——і (і - tan „+1/2;m ). г——г: гJ где Ап_і 2,і — скорость движения отрезка внешней границы, определяемая из расчёта распада разрыва: если граница совмещается с волной, то это будет скорость либо правой, либо левой волны, если граница представляет из себя контактный разрыв, то это будет скорость контактного разрыва.
Тестирование метода расчёта поверхностного натяжения
Рассмотрим малые колебания пузырька газа около его шаровой формы. Если в начальный момент времени сферическому пузырьку придать малое искажение формы, за счет сил поверхностного натяжения он будет стремиться к сферической форме, но за счет инерции жидкости, возникающей при данном движении пузырёк, не будет задерживатся в положении равновесия, колеблясь около сферической формы как маятник. Существует общая формула для круговой частоты таких колебаний пузырька в несжимаемой жидкости, формула Л амба а;2= (гг + 1)(п-1)(п + 2) " где п — порядок сферической гармоники, а — коэффициент поверхностного натяжения жидкости, р — плотность жидкости, R — радиус пузырька. Если рассмотреть сферическую гармонику второго порядка п = 2 (искаженная форма в виде эллипсоида вращения), то период колебаний будет равен Т = - ==. (3.5)
При искажении формы осесимметричного пузырька его радиус становится переменной величиной, зависящей от угловой координаты в. Численные расчёты проводились для пузырька воздуха радиуса Re = 10 нм, находящегося в воде при окружающем давлении равном атмосферному, начальная амплитуда отклонения от сферической формы была взята, равной А = 0.0066Я. Радиус внешней границы расчетной области был взят, равным 5Де. Было проведено три расчёта на 125X255, 195X355 и 250X500 ячейках, что приведено на рис.3.1. Видно, что с уточнением сетки степень затухания уменьшается, что связано с уменьшением "численной вязкости "сетки. В то же время для всех трех сеток период колебаний одинаковый и совпадает с периодом вычисленным по формуле (3.5).
Создать полость в объёме жидкости, соответственно постановке Рэлея, можно с помощью сфокусированного лазерного импульса. На рис. 3.2 приведено фото пробоя жидкости лазерным импульсом [57] - виден зародыш пузырька и расходящаяся ударная волна.
На рис. 3.3 приведены результаты численного моделирования данного явления: положение поверхности пузырька для различных моментов времени. В эксперименте зародыш пузырька обычно имеет веретенообразную форму, подробное исследование пробоя и начальной стадии роста пузырька проведено в работе [47]. Для простоты при численном моделировании зародыш пузырька будем задавать в форме эллипсоида вращения, вытянутого вдоль оси симметрии. В начальный момент времени ті давление в окружающей жидкости однородно и равно пяти атмосферам, давление внутри полости также однородно и равно 10 атмосфер, искажение сферической формы пузырька А, вычисленное по (3.7), равно —80%. В силу симметрии можно будет ограничиться одной четвертью плоскости.
Поле давлений для момента времени 2 приводится на рис. 3.4. Видно, что ударная волна отошла на расстояние около 0.7mm., причем с ростом угловой координаты, начиная от оси симметрии, интенсивность ударной волны возрастает и достигает максимума в направлении, перпендикулярном оси симметрии. Массовая скорость за фронтом ударной волны также будет больше в направлении 8 — х/2, следовательно контактная граница в данном направлении движется быстрее, чем в направлении в = 0. В результате пузырёк из вытянутого эллипсоида вращения превращается к моменту максимального расширения 5 в приплюснутый. В промежуточный момент времени 4. форма пузырька наиболее близка к сфере.
На рис. 3.5 приводятся численные результаты для трех различных давлений окружающей жидкости, при этом зародыш пузырька для всех вариантов задавался одинаковым и по размеру и по внутреннему давлению. Видно, что с ростом окружающего давления искажение формы пузырька Л при достижении им максимального расширения увеличивается. Рост искажения формы пузырька Л при повышении давления должен снижать степень кумуляции энергии во время коллапса. Данное обстоятельство можно проиллюстрировать следующими экспериментальными данными [58]. На рис. 3.6 приводится зависимость интенсивности свечения пузырька от изменения окружающего давления, при постоянной вкладываемой энергии лазера. Интенсивность свечения пузырька характеризует степень кумуляции энергии во время коллапса. Кривые для всех приведенных энергий лазера носят немонотонный характер.
Сферически-симметричная модель для несжимаемой жидкости
Рассмотрим свободное схлопывание пузырька с граничным условием (4.3). Параллельно с численным интегрированием системы (4.1), (4.2) будем проводить аналитические вычисления для несжимаемой жидкости.
Из выражения для рапределения скорости (4.4) видно, что скорость обратно пропорциональна квадрату координаты с коэффициентом пропорциональности С. Для того, чтобы оценить как будет изменяться во времени скорость, надо рассмотреть производную этого коэффициента по времени (4.9). Видно, что пока R мало отличается от /?о производная этого коэффициента по времени будет отрицательной. А поскольку скорость заполнения — отрицательная величина, следовательно, скорость движения жидкости в любой эйлеровой точке будет возрастать,
То есть вся масса жидкости, окружающей полость движется с ускорением. Это начальная стадия процесса: жидкость из первоначального состояния покоя приходит в движение.
На рис. 4.2 (диаграмма а) приведены распределения модуля скорости жидкости для четырех равноотстоящих моментов времени соответствующих начальной стадии процесса схлопывания. Видно, что со временем темп роста скорости уменьшается (четвертый момент времени соответствует нулевому ускорению).
Рассмотрим теперь распределения давления на начальной стадии. Правая часть выражения (4.6) состоит из одного постоянного и двух переменных слагаемых. Рассмотрим участие двух последних слагаемых на первой стадии процесса. Оба слагаемых во время первой стадии будут отрицательными. В начальный момент времени радиус R = RQ скорость стенки R — 0 и выражение для распределения давления записывается в виде: р(г)-»- , (4.10) 7 то есть давление плавно меняется от 0 при г = RQ на стенке полости до Ро на бесконечности, и в этом участвует только первое слагаемое (второе равно нулю). Этот момент времени соответствует нулевому распределению на рис. 4.2 (диаграмма б).
С ростом скорости вклад второго слагаемого увеличивается, а вклад первого уменьшается. При этом распределение давления будет становиться более крутым, поскольку второе слагаемое — 4г с ростом г затухает быстрее, чем первое — - , это видно из рис. 4.2 (диаграмма б) — распределение 4 соответствует моменту, когда первое слагаемое уменьшилось до нуля.
На начальной стадии движения жидкость можно считать несжимаемой. Распределения, полученные в ходе численного интегрирования были нанесены на рис. 4.2 (диаграммы а и б) штриховыми линиями, они полностью совпадают с рапределениями для несжимаемой жидкости. Начальная стадия заканчивается, когда радиус полости достигает следующего значения:
Распределения модуля скорости и давления жидкости по радиальной координате; а,, б — для начальной стадии процесса, в, г — для стадии торможения, д, о — для заключительной стадии схлопыванпя (сплошные линии — решение для несжимаемой жидкости, штриховые линии — численное решение, штрих-пунктирная линии: на диаграммах давления — точки максимальных давлений, на диаграммах скорости — зависимость скорости стенки от радиуса, серая широкая линия — автомолельное Бешение Хантепа!
При дальнейшем уменьшении радиуса полости, производная коэффициента С по времени (4.9) станет положительной и скорость движения жидкости в любой эйлеровой точке начнет убывать. Если на начальной стадии жидкость ускоряется, то теперь движущаяся жидкость начинает тормозиться.
На рис. 4.2 (диаграмма в) приведены распределения модуля скорости жидкости для трех равноотстоящих моментов времени соответствующих стадии торможения. Видно, что со временем темп снижения скорости увеличивается. В момент времени 4 ускорение равно нулю, в последующие моменты времени 5 и б ускорение становится отрицательным и увеличивается по модулю. Обратимся к выражению для. распределения давления (4.6). На стадии торможения первое слагаемое становится положительным, второе остается отрицательным. То есть слагаемые начинают работать в разных направлениях. На поверхности полости давление всегда равно нулю — это вклад второго слагаемого; по мере удаления от полости действие второго слагаемого быстро затухает и начинает проявляться первое слагаемое — давление становится выше начального, на бесконечности оба слагаемых стремятся к нулю и давление равно постоянному начальному — распределения 5 и 6 на рис. 4.2 (диаграмма г).
Таким образом, на второй стадии в жидкости можно выделить две области: в первой по ходу движения давление растет от начального на бесконечности до некоторого максимального на некотором удалении от стенок, а во второй — падает от максимального до нуля на поверхности полости. Рост давления по ходу движения объясняется тем, что во второй стадии движение жидкости начинает тормозиться. В любой эйлеровой точке скорость жидкости с течением времени уменьшается, но поскольку стенка полости движется с ускорением всегда, то существует некоторая пристеночная область, в которой лагранжевая скорость частицы жидкости продолжает возрастать. Этим объясняется последующее падение давления.
